%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} %Corrigé :Jean-Paul GOUALARD] \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} % Sujet aimablement fourni par l'académie de la Martinique %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \setlength{\textwidth}{13cm} \setlength{\textheight}{23,5cm} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \everymath{\displaystyle} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S}, pdftitle = {Antilles-Guyane septembre 2009}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S } \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{septembre 2009}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane~\decofourright\\ septembre 2009}}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{VRAI OU FAUX} Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée. \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout $n \in \N^*$ par $u_{n} = (- 1)^n$. \begin{enumerate} %\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est bornée. \item Vrai : la suite $\left(u_{n}\right)$ est bien bornée, par $- 1$ et $1$. %\item La suite $\left(u_{n}\right)$ converge. \item Faux : la suite $\left(u_{n}\right)$ n'a pas de limite quand $n$ tend vers $\infty$. %\item La suite de terme général $\dfrac{u_{n}}{n}$ converge. \item Vrai : la suite de terme général $\dfrac{u_{n}}{n}$ converge vers 0, d'après le théorème des gendarmes. %\item Toute suite $\left(v_{n}\right)$ à termes strictement positifs et décroissante converge vers $0$. \item Faux : une suite peut être à termes positifs (donc minorée) et décroissante, donc convergente, mais converger vers un autre nombre que 0 : par exemple, la suite de terme général $u_{n}=1 + \dfrac{1}{n+1}$ est à termes positifs, décroissante et tend vers 1. \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B} \medskip \begin{enumerate} %\item Si $A$ et $B$ sont deux évènements indépendants avec $P(B) \neq 0$ et $P(B) \neq 1$, alors %$P( A \cap B) = P_{B}(A)$. \item Faux : $A$ et $B$ sont deux évènements indépendants avec $P(B) \neq 0$ et $P(B) \neq 1$, alors $P( A \cap B) = P_{B}(A)\times P(B)\neq P_{B}(A)$. %\item Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0~;~1], alors $P\left(X \in [0,1~;~0,6]\right) = 0,6$. \item Faux : $X$ est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0~;~1], donc :\\ $P\left(X \in [0,1~;~0,6]\right) = 0,6-0,1=0,5$. %\item Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres 100 et $\dfrac{1}{3}$, alors $P(X \geqslant 1)= 1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{100}$. \item Vrai : $X$ est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres 100 et $\dfrac{1}{3}$.\\ $P(X \geqslant 1)= 1 -P(X=0)=1-\binom{100}{0}\left(\dfrac{1}{3}\right)^0\left(1-\dfrac{1}{3}\right)^{100}=1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{100}$. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. On considère les points A$(1~;~-1~;~ 4)$, B$(7~;~ -1~;~-2)$ et C$(1~;~ 5~;~ -2)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} % \item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BC}}$. \item On trouve $\vect{\text{AB}}(6~;~0~;~-6),~ \vect{\text{AC}}(0~;~6~;~-6)$ et $\vect{\text{BC}}(-6~;~6~;~0)$. % \item Montrer que le triangle ABC est équilatéral. \item $\text{AB}=\sqrt{6^2+0^2+(-6)^2}=6\sqrt{2}$ ; $\text{AC}=\sqrt{0^2+6^2+(-6)^2}=6\sqrt{2}$ et \\ $\text{BC}=\sqrt{(-6)^2+6^2+0^2}=6\sqrt{2}$.\\ $\text{AB = AC = BC =}6\sqrt{2}$ donc le triangle ABC est équilatéral. % \item Montrer que le vecteur $\vect{n}(1~;~1~;~1)$ est un vecteur normal au plan (ABC). \item $\vect{n}.\overrightarrow{\text{AB}}=1\times 6+1\times 0+1\times -6=0$ donc $\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{\text{AB}}$.\\ $\vect{n}.\overrightarrow{\text{AC}}=1\times 0+1\times 6+1\times -6=0$ donc $\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{\text{AC}}$.\\ $\overrightarrow{n}$ est un vecteur orthogonal à deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ non colinéaires du plan (ABC), donc $\overrightarrow{n}$ est orthogonal au plan (ABC). % \item En déduire que $x + y + z - 4 = 0$ est une équation cartésienne du plan (ABC). \item Le plan (ABC) a pour vecteur normal $\overrightarrow{n}$ et passe par A : il a pour équation cartésienne : \\ $1.\left(x-x_{A}\right)+1.\left(y-y_{A}\right)+1.\left(z-z_{A}\right)=0$ soit $x-1+x+1+z-4=0$ qui donne : $x+y+z-4=0$ \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{D}$ la droite de représentation paramétrique \[\left\{\begin{array}{l c l} x&=&-2t\\ y&=&-2t-2\\ z&=&-2t-3 \end{array}\right. \text{où} \quad t \in \R.\] \begin{enumerate} % \item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ est perpendiculaire au plan (ABC). \item La droite $\mathcal{D}$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u}(-2~;~-2~;~-2)=-2\overrightarrow{n}$.\\ $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{n}$ sont colinéaires, donc $\mathcal{D}$ est perpendiculaire au plan (ABC) % \item Montrer que les coordonnées du point G, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (ABC) sont (3~;~ 1~;~0). \item Soit G, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (ABC). Les cordonnées de G vérifient l'équation paramétrique de $\mathcal{D}$ et l'équation du plan ABC.\\ Par conséquent :\\ $(-2t)+(-2t-2)+(-2t-3)-4=0$ qui donne $-6t-9=0$ et donc : $t=-\dfrac{3}{2}$.\\ En remplaçant $t$ par $-\dfrac{3}{2}$, on trouve que les coordonnées de G sont : $G\left(3~;~1~;~0\right)$. \item $\dfrac{1}{3}\left(x_{A}+x_{B}+x_{C}\right)=\dfrac{9}{3}=3=x_{G}$ ; $\dfrac{1}{3}\left(y_{A}+y_{B}+y_{C}\right)=\dfrac{3}{3}=1=y_{G}$ et \\ $\dfrac{1}{3}\left(z_{A}+z_{B}+z_{C}\right)=\dfrac{0}{3}=0=z_{G}$.\\ Les coordonnées de l'isobarycentre de A, B et C sont celles de G donc G est l'isobarycentre de A, B et C. \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre G passant par A. \begin{enumerate} % \item Donner une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$. \item Une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$ est :\\ $\left(x-x_{G}\right)^2+\left(y-y_{G}\right)^2+\left(z-z_{G}\right)^2=R^2=\text{GA}^2$ (puisque $\mathcal{S}$ passe par A), c'est-à-dire :\\ $(x-3)^2+(y-1)^2+z^2=\text{GA}^2$ avec $\text{GA}^2=(1-3)^2+(-1-1)^2+(4-0)^2=24$.\\ Une équation cartésienne de $\mathcal{S}$ est donc : $(x-3)^2+(y-1)^2+z^2=24$ % \item Déterminer les coordonnées des points d'intersection E et F, de la droite $\mathcal{D}$ et de la sphère $\mathcal{S}$. \item Les coordonnées des points d'intersection de la droite $\mathcal{D}$ et de la sphère $\mathcal{S}$ vérifient chacune des deux équations, donc sont solutions du système : $\left\{\begin{array}{l} x=-2t\\ y=-2t-2\\ z=-2t-3\\ (x-3)^2+(y-1)^2+z^2=24 \end{array}\right. $\\ On en déduit : $(-2t-3)^2+(-2t-2-1)^2+(-2t-3)^2=24$, donc $3(-2t-3)^2=24$ d'où $(-2t-3)^2=8$ qui s'écrit $(2t+3)^2-(2\sqrt{2})^2=0$.\\ Après factorisation, on trouve : $t_{1}=\dfrac{-3-2\sqrt{2}}{2}$ et $t_{2}=\dfrac{-3+2\sqrt{2}}{2}$.\\ On en déduit les coordonnées des deux points :\\ Pour $t_{1}=\dfrac{-3-2\sqrt{2}}{2}$ : $\text{E}\left(3+2\sqrt{2}~;~1+2\sqrt{2}~;~2\sqrt{2}\right)$.\\ Pour $t_{2}=\dfrac{-3+2\sqrt{2}}{2}$ : $\text{F}\left(3-2\sqrt{2}~;~1-2\sqrt{2}~;~-2\sqrt{2}\right)$.\\ \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. On considère la surface $S_{1}$ d'équation $z = x^2 + y^2$, et la surface $S_{2}$ d'équation $z = xy + 2x$. \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip %On note $\mathcal{P}$ le plan d'équation $x = 2$, $E_{1}$ l'intersection de la surface $S_{1}$ et du plan $\mathcal{P}$ et $E_{2}$ l'intersection de la surface $S_{2}$ et du plan $\mathcal{P}$. % %En \textbf{annexe}, le plan $\mathcal{P}$ est représenté muni du repère $\left(\text{A}~ ;~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$ où A est le point de coordonnées (2~;~0~;~0). \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} % \item Déterminer la nature de l'ensemble $E_{1}$. \item $E_{1}$ est l'intersection de $\mathcal{P}$ et de $S_{1}$. les coordonnés d'un point quelconque de $E_{1}$ vérifient donc le système :\\ $\left\{\begin{array}{l}z=x^2+y^2\\x=2\end{array}\right.$ qui équivaut à $\left\{\begin{array}{l}x=2\\z=y^2+4\end{array}\right.$.\\ Dans le plan $\mathcal{P}$, $z=y^2+4$ est l'équation d'une parabole. % \item Déterminer la nature de l'ensemble $E_{2}$. \item $E_{2}$ est l'intersection de $\mathcal{P}$ et de $S_{2}$. les coordonnés d'un point quelconque de $E_{2}$ vérifient donc le système :\\ $\left\{\begin{array}{l}z=xy+2x\\x=2\end{array}\right.$ qui équivaut à $\left\{\begin{array}{l}x=2\\z=2y+4\end{array}\right.$.\\ $E_{2}$ est donc une droite dans le plan $\mathcal{P}$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} % \item Représenter les ensembles $E_{1}$ et $E_{2}$ sur la feuille \textbf{annexe}. \item voir figure à la fin de l'exercice % \item Dans le repère \Oijk{} donner les coordonnées des points d'intersection B et C des ensembles $E_{1}$ et $E_{2}$. \item Les coordonnées des points d'intersection B et C des ensembles $E_{1}$ et $E_{2}$ vérifient le système :\\ $\left\{\begin{array}{l}x=2\\z=x^2+y^2\\z=2y+4\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=2\\z=y^2+4\\y^2+4=2y+4\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=2\\z=2y+4\\y(y-2)=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=2\\z=y^2+4\\y=0\end{array}\right.\text{ ou }$ $\left\{\begin{array}{l}x=2\\z=y^2+4\\y=2\end{array}\right.$.\\ On obtient deux points : B(2~;~0~;~4) et C(2~;~2~;~8) \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B} \medskip %\emph{On pourra utiliser sans démonstration la propriété suivante :} % %\og \emph{soient $a,~ b$ et $c$ des entiers avec $a$ premier. Si $a$ divise $bc$ alors $a$ divise $b$ ou $a$ divise $c$.}\fg %\medskip %L'objectif de cette partie est de déterminer les points d'intersection $M(x~;~y~;~z)$ des surfaces $S_{1}$ et $S_{2}$ où $y$ et $z$ sont des entiers relatifs et $x$ un nombre premier. %On considère un tel point $M(x~;~y~;~z)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} % \item Montrer que $y(y - x) = x(2 - x)$. \item $M\in S_{1}\cap S_{2}\Leftrightarrow x^2+y^2=xy+2x$ c'est-à-dire $y^2-xy=2x-x^2$ \\ d'où $=y(y-x)=x(2-x)$ . % \item En déduire que le nombre premier $x$ divise $y$. \item $x$ est premier ; il divise $x(2-x)$ donc divise $y(y-x)$.\\ Soit il divise $y$, soit il divise $y-x$. Mais s'il divise $y-x$, il divise $(y-x)+x$ donc $y$.\\ On en déduit que $x$ divise $y$. \end{enumerate} \item On pose $y = kx$ avec $k \in \Z$. \begin{enumerate} % \item Montrer que $x$ divise 2, puis que $x = 2$. \item $y(y-x)=x(2-x)$ s'écrit alors $kx(kx-x)=x(2-x)$, donc $kx^2(k-1)=x(2-x)$.\\ $x$ est premier donc non nul ; on peut simplifier par $x$.\\ On obtient alors : $kx(k-1)=2-x$.\\ $x$ est premier, divise $kx(k-1)$, donc divise $2-x$. Comme il divise aussi $x$, il divise la somme $(2-x)+x=2$. $x$ divise donc 2.\\ $x$ est un diviseur de 2 et est premier, donc $x=2$. % \item En déduire les valeurs possibles de $k$. \item Avec $x=2$, l'égalité $kx(k-1)=x(2-x)$ donne $k(k-1)=0$. On en déduit $k=0$ ou $k=1$. \end{enumerate} %\item Déterminer les coordonnées possibles de $M$ et comparer les résultats avec ceux de la PARTIE A, question 2. b. \item Pour $k=0$, on obtient comme coordonnées $(2~;~0~;~4)$ qui sont les coordonnées du point B.\\ Pour $k=1$, on obtient comme coordonnées $(2~;~2~;~8)$ qui sont les coordonnées du point C.\\ Ainsi retrouve-t-on les résultats de la première partie, question 2.b. \end{enumerate} \vspace{1cm} \begin{center} \psset{unit=0.875cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture}(-7,-5)(8,15) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt](0,0)(-7,-5)(8,15) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-7,-5)(8,15) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](8,0){$y$}\uput[r](0,15.1){$z$}\uput[dl](0,0){A} \uput[d](0.5,0){$\vect{\jmath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{k}$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{3}{x^2+4} \psplot{-4}{5.5}{2*x+4} \end{pspicture} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. \begin{enumerate} %\item Placer les points A, B et C d'affixes respectives %\[z_{\text{A}} = -11 + 4\text{i},~ %z_{\text{B}} = -3 - 4\text{i}\quad \text{et}\quad z_{\text{C}} = 5 + 4\text{i}.\] \item Le figure complète est à la fin de l'exercice. %\item Calculer le module et un argument du quotient $\dfrac{z_{\text{A}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{B}}}$ et en déduire la nature du triangle ABC. \item $\dfrac{z_{\text{A}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{B}}}=\dfrac{-8+8\mathrm{i}}{8+8\mathrm{i}}=\dfrac{-1+\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\dfrac{\mathrm{i}(1+\mathrm{i})}{1+\mathrm{i}}=\mathrm{i}$.\\ On en déduit : $\dfrac{\text{BA}}{\text{BC}}=\left|\dfrac{z_{\text{A}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{B}}}\right|=|\mathrm{i}|=1$ donc BA = BC.\\ $\left(\overrightarrow{\text{BC}}~;~\overrightarrow{\text{BA}}\right)=\arg\left(\dfrac{z_{\text{A}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{B}}}\right)=\arg(\mathrm{i})=\dfrac{\pi}{2}$.\\ On en déduit que le triangle ABC est rectangle isocèle en B. %\item Soit E l'image du point C par la rotation $\mathcal{R}$ de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$. % %Montrer que l'affixe de E vérifie $z_{\text{E}} = -3 + \left(8\sqrt{2} - 4 \right)\text{i}$. \item L'écrire complexe de la rotation de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ est : $z'- z_{\text{B}} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}\left(z-z_{\text{B}}\right)$, c'est-à-dire : $z'=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi 4}\left(z-z_{\text{B}}\right))+z_{\text{B}}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi 4}\left(z+3+4\mathrm{i}\right)-3-4\mathrm{i}$.\\ E est l'image de C par cette rotation, donc : \\ $z_{\text{E}}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi 4}\left(5+4\mathrm{i}+3+4\mathrm{i}\right)-3-4\mathrm{i}=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}\right)\left(8+8\mathrm{i}\right)-3-4\mathrm{i}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times 8(1+\mathrm{i})^2-3-4\mathrm{i}\\ =4\sqrt{2}\times 2\mathrm{i}-3-4\mathrm{i}=-3+\left(8\sqrt{2}-4\right)\mathrm{i}$. %Placer le point E. % accolades inutiles dans la ligne suivante %\item Soit D l'image du point E par l'homothétie $\mathcal{H}$ de centre B et de rapport $\dfrac{\sqrt{2}{}}{2}$. \item L'écriture complexe de l'homothétie $\mathcal{H}$ est : \\ $z'- z_{\text{B}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(z-z_{\text{B}}\right)$ donc $z'=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(z-z_{B}\right)+z_{B}$.\\ On en déduit : $z_{\text{D}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(-3+(8\sqrt{2}-4)\mathrm{i}+3+4\mathrm{i}\right)-3-4\mathrm{i}=\sqrt{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times (8\sqrt{2}\mathrm{i})-3-4\mathrm{i}\\ =8\mathrm{i}-3-4\mathrm{i}=-3+4\mathrm{i}$ donc $z_{D}=-3 + 4\mathrm{i}$. %Montrer que D est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. $z_{\text{D}}=\dfrac{1}{2}\left(z_{\text{A}}+z_{\text{C}}\right)$ donc D est le milieu de [AC] ; or, ABC est un triangle rectangle en B. Par conséquent, D est le milieu de l'hypoténuse du triangle rectangle ABC, donc le centre de son cercle circonscrit. %Placer le point D . %\item \textbf{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} % Soit $\mathcal{D}$ la droite parallèle à la droite (EC) passant par le point D. On note F le point d'intersection de la droite $\mathcal{D}$ et de la droite (BC), I le milieu du segment [EC] et J le milieu du segment [DF]. %Montrer que B, I et J sont alignés. \item Les droites (EC) et (DF) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès appliqué aux triangles BDF et BEC, $\dfrac{\text{BE}}{\text{BC}}=\dfrac{\text{BD}}{\text{BF}}$ donc F est l'image de C par l'homothétie $\mathcal{H}$.\\ On a alors : $\overrightarrow{\text{BD}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\overrightarrow{\text{BE}}$ et $\overrightarrow{\text{BF}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\overrightarrow{\text{BC}}$.\\ Par définition, J est le milieu de [DF].\\ On en déduit : \\ $\overrightarrow{\text{BJ}}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{\text{BD}}+\overrightarrow{\text{BF}}\right) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\overrightarrow{\text{BE}}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\overrightarrow{\text{BC}}\right)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\overrightarrow{\text{BE}}+\overrightarrow{\text{BC}}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{\text{BE}}+\overrightarrow{\text{BC}}\right)\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\overrightarrow{\text{BI}}$.\\ On a donc : $\overrightarrow{\text{BJ}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\overrightarrow{\text{BI}}$ : J est l'image de I par l'homothétie $\mathcal{H}$ donc B, I et J sont alignés. \end{enumerate} \vspace{1cm} \begin{center} \psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-12,-5)(6,8) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-12,-5)(6,8) \psline(-11,4)(-3,-4) \psline(-3,-4)(5,4) \psline(-11,4)(5,4) \psline(-3,7.31)(5,4) \psline(-3,-4)(-3,7.31) \psplot{-12}{6}{(--22.06-3.31*x)/8} \psdots[linecolor=blue](-11,4) \rput[bl](-10.92,4.12){\blue{$A$}} \psdots[linecolor=blue](-3,-4) \rput[bl](-2.92,-3.88){\blue{$B$}} \psdots[linecolor=blue](5,4) \rput[bl](5.08,4.12){\blue{$C$}} \psdots[linecolor=darkgray](-3,7.31) \rput[bl](-2.92,7.44){\darkgray{$E$}} \psdots[linecolor=darkgray](-3,4) \rput[bl](-2.92,4.12){\darkgray{$D$}} \psdots[linecolor=darkgray](2.66,1.66) \rput[bl](2.74,1.78){\darkgray{$F$}} \psdots[linecolor=darkgray](1,5.66) \rput[bl](1.08,5.78){\darkgray{$I$}} \psdots[linecolor=darkgray](-0.17,2.83) \rput[bl](-0.1,2.94){\darkgray{$J$}} \uput[u](-6,5.2){$\mathcal{D}$} \end{pspicture*} \end{center} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle ]0~ ;~1] par : \[f(x) = 1 + x\ln x.\] %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0~ ;~1]. %$\mathcal{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij. %$T$ est la droite d'équation $y = x$. %La courbe $\mathcal{C}$ et la droite $T$ sont représentées sur le schéma ci-dessous. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} % \item Justifier que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f( x) = 1$. \item D'après les formules de croissances comparées, $\lim_{x\rightarrow 0}x\ln x=0$ donc \\ $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=1$. % \item En utilisant le signe de $x \ln x$ sur ]0~;~ 1], montrer que, pour tout nombre réel $x \in ]0~;~1]$ , on a $f(x) \leqslant 1$. \item Pour tout $x\in]0~;~1]$, $\ln x\leqslant 0$ donc $x\ln x\leqslant 0$ et $f(x)=1+x\ln x\leqslant 1$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} % \item Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x \in ]0~;~1]$. \item $f$ est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables sur $]0~;~1]$.\\ Pour tout $x\in]0~;~1]$, $f'(x)=0+1\times \ln x+x\times \dfrac{1}{x}=1+\ln x$ ; $f'(x)=1+\ln x$. % \item Vérifier que la droite $T$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1. \item L'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}$ en 1 est : $y=f'(1)(x-1)+f(1)$ ; $f'(1)=1$ et $f(1)=1$.\\ Cette équation est donc : $y=(x-1)+1$ soit : $y=x$.\\ Cette tangente est donc $T$. \end{enumerate} \item On note $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $x \in ]0~;~1]$ par \[g(x) = 1 + x \ln x - x.\] \begin{enumerate} % \item Étudier les variations de $g$ sur l'intervalle ]0~;~1] et dresser le tableau de variation de $g$. \item $g$ est dérivable sur $]0~;~1]$ comme somme de fonctions dérivables.\\ Pour tout $x\in]0~;~1]$, $g(x)=f(x)-x$ donc $g'(x)=f'(x)-1=\ln x$. %On ne cherchera pas la limite de $g$ en $0$. % \item En déduire les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $T$. \item Pour tout $x\in]0~;~1]$, $\ln x\leqslant 0$ donc $g'(x)\leqslant 0$. On en déduit que $g$ est décroissante sur $]0~;~1]$. Or $g(1)=0$.\\ Par conséquent, $g(x)\geqslant 0$ sur $]0~;~1]$.\\ On en déduit que $\mathcal{C}$ est au-dessus de $T$ sur $]0~;~1]$. \end{enumerate} \item Soit $\alpha$ un nombre réel tel que $0 < \alpha < 1$. On pose $I(\alpha) = \displaystyle\int_{\alpha}^1 \left[1 - f(x)\right]\:\text{d}x.$ \begin{enumerate} % \item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $I(\alpha) = \dfrac{\alpha^2}{2}\ln \alpha + \dfrac{1}{4} - \dfrac{\alpha^2}{4}$. \item On a donc $I(\alpha)=\int_{\alpha}^1-x\ln x\text{ d}x=-\int_{\alpha}^1u'(x)v(x)\text{ d}x$ en posant $\left\{\begin{array}{l}u'(x)=x\\v(x)=\ln x\end{array}\right.$.\\ $v$ est dérivable sur $[\alpha~;~1]$ et $u'$ et $v'$ sont continues sur l'intervalle $[\alpha~;~1]$.\\ On peut donc utiliser la formule d'intégration par parties.\\ $\int_{\alpha}^1u'(x)v(x)\text{ d}x=\left[u(x)v(x)\right]-\int_{\alpha}^1u(x)v'(x)\text{ d}x$ avec $\left\{\begin{array}{l}u(x)=\dfrac{x^2}{2}\\v'(x)=\dfrac{1}{x}\end{array}\right.$.\\ Par conséquent : $\int_{\alpha}^1u'(x)v(x)\text{ d}x=\left[\dfrac{x^2}{2}\ln x\right]_{\alpha}^1-\int_{\alpha}^1\dfrac{x^2}{2}\times \dfrac{1}{x}\text{ d}x\\ =-\dfrac{\alpha^2}{2}\ln\alpha-\int_{\alpha}^1\dfrac{x}{2}\text{ d}x=-\dfrac{\alpha^2}{2}\ln\alpha-\left[\dfrac{x^2}{4}\right]_{\alpha}^1=-\dfrac{\alpha^2}{2}\ln\alpha-\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{\alpha^2}{4}\right)$.\\ Finalement : $I(\alpha)=-\left[-\dfrac{\alpha^2}{2}\ln\alpha-\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{\alpha^2}{4}\right)\right]=\dfrac{\alpha^2}{2}\ln \alpha + \dfrac{1}{4} - \dfrac{\alpha^2}{4}$. % \item Déterminer $\displaystyle\lim_{\alpha \to 0} I(\alpha)$. \item D'après les formules des croissances comparées, $\lim_{\alpha\rightarrow 0}\dfrac{\alpha^2}{2}\ln\alpha=0$ ; $\lim_{\alpha\rightarrow 0}\dfrac{\alpha^2}{4}=0$ donc $\lim_{\alpha\rightarrow 0}I(\alpha)=\dfrac{1}{4}$. % \item Interpréter graphiquement le résultat précédent. \item On en déduit que l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $y=1$ est égale à $\dfrac{1}{4}$ unité d'aire (hachurée sur le dessin ci-dessous). % \item À l'aide des résultats précédents, déterminer, en unités d'aire, l'aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}$, la droite $T$ et l'axe des ordonnées. \item Pour calculer l'aire demandée, il faut calculer l'aire du triangle formé par la droite $T$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $y=1$ ; elle vaut $\dfrac{1}{2}$.\\ On lui soustrait l'aire calculée précédemment : $\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}$.\\ L'aire du domaine (en gris sur le dessin ci-dessous) compris entre la courbe $\mathcal{C}$, la droite $T$ et l'axe des ordonnées vaut $\dfrac{1}{4}$ unité d'aire. \begin{center} \psset{xunit=4.0cm,yunit=4.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-0.2,-0.2)(1.5,1.5) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2](0,0)(0,0)(1.5,1.5) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=2000]{0.0}{1.0}{x} \psplot[plotpoints=2000]{0.0}{1.0}{1} \pscustom[fillstyle=vlines]{\psplot{0}{1}{1}\psplot{1}{1E-6}{1+x*ln(x)}} \pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray!50]{\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{1.0E-6}{1}{1+x*ln(x)}\psplot{1}{0}{x}} \uput[d](0.5,0.5){$T$} \uput[u](0.46,0.64){\blue $\mathcal{C}$} \psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{1.0E-6}{1.0}{1+x*ln(x)} \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1) \end{pspicture*} \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}