%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \usepackage{xspace} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} % Sujet aimablement fourni par l'académie de la Martinique %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage[left=3cm,right=3cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \thispagestyle{empty} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S } \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{septembre 2011}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane~\decofourright\\septembre 2011}}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} %On considère la fonction $f$ définie $]0~;~+ \infty[$ par : % %\[f(x) = x \ln x - 1.\] \medskip \textbf{Partie A : Étude d'une fonction} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. De $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty$, on conclut que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$. \item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. On sait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - 1$. \end{enumerate} \item %Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $]0~;~+ \infty[$. $f'(x) = \ln x + x \times \dfrac{1}{x} = \ln x + 1$. On a donc $f'(x) > 0 \iff \ln x + 1 > 0 \iff \ln x > - 1 \iff x > \text{e}^{- 1}$ \:(par croissance de la fonction exponentielle). On peut donc en déduire que $f$ est croissante sur $\left]\text{e}^{- 1}~;~+ \infty \right[$. De même $f'(x) < 0 \iff x < \text{e}^{- 1}$ et $f'(x) = 0 \iff x = \text{e}^{- 1}$. On a $f\left(\text{e}^{- 1} \right) = \text{e}^{- 1}\ln \left(\text{e}^{- 1} \right) - 1 = - \text{e}^{- 1} - 1$. %En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. On a donc le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ suivant : \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(7,3.5) \psframe(7,3.5)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,3)(7,3)\psline(1,0)(1,3.5) \uput[u](0.5,3){$x$}\uput[u](1.2,3){$0$}\uput[u](4,3){$\text{e}^{- 1}$}\uput[u](6.5,3){$+ \infty$} \rput(0.5,2.5){$f'(x)$}\rput(2.5,2.5){$-$}\rput(4,2.5){$0$}\rput(5.5,2.5){$+$} \rput(0.5,1){$f(x)$}\uput[d](1.5,2){$- 1$}\uput[u](4,0){$- \text{e}^{- 1} - 1$}\uput[d](6.5,2){$+ \infty$} \psline{->}(1.8,1.75)(3.25,0.5) \psline{->}(4.75,0.5)(6.25,1.7) \end{pspicture} \end{center} \medskip \item %Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans $]0~;~+ \infty[$. On note $\alpha$ cette solution. Déterminer un encadrement de $\alpha$ à la précision $10^{-2}$. Sur $\left]0~;~\text{e}^{- 1}\right[, \:f(x) \leqslant - 1 < 0$. l'équation n'a pas de solution sur cet intervalle. Sur l'intervalle $\left[\text{e}^{- 1}~;~+ \infty\right[$, la fonction $f$ est continue car dérivable et strictement monotone croissante : il y a donc une bijection de $\left[\text{e}^{- 1}~;~+ \infty\right[$ sur $\left[- \text{e}^{- 1} - 1~;~+ \infty\right[$. Conclusion : il existe un réel unique $\alpha$ de l'intervalle $\left[\text{e}^{- 1}~;~+ \infty\right[$ tel que $f(\alpha) = 0$. La calculatrice donne successivement : $1,7 < \alpha < 1,8$, puis $1,76 < \alpha < 1,77$. \item %Déterminer le signe de $f(x)$ lorsque $x$ appartient à $]0~;~+ \infty[$. La question précédente montre que : \begin{itemize} \item sur $\left]0~;~\alpha \right[ , \:\: f(x) < 0$ ; \item $f(\alpha) = 0$ ; \item sur $]\alpha~;~+ \infty[,\:\:f(x) > 0$. \end{itemize} \item %Montrer que $\ln \alpha = \dfrac{1}{\alpha}$. On a $f(\alpha) = 0 \iff \alpha \ln \alpha - 1 = 0 \iff \alpha \ln \alpha = 1 \iff \ln \alpha = \dfrac{1}{\alpha}$ (car $\alpha \neq 0$). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Calcul d'une intégrale} \medskip %On donne en annexe la courbe $\mathcal{C}$, représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé. On considère l'intégrale suivante : % %\[I = \int_{\alpha}^4 f(x)\:\text{d}x.\] % %\medskip \begin{enumerate} \item %Justifier que l'intégrale $I$ est l'aire d'une partie du plan que l'on hachurera sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie). On sait que sur l'intervalle $[\alpha~;~4]$ la fonction $f$ est positive, que $\alpha < 4$, donc l'intégrale est (en unité d'aire) l'aire de la surface hachurée limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = \alpha$ et $x = 4$. \item %À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale %\[J = \int_{\alpha}^4 x \ln x\:\text{d}x.\] Posons $\left\{\begin{array}{l c l} u'(x)&=&x\\ v(x) &=&\ln x \end{array}\right. \Longrightarrow \left\{\begin{array}{l c l} u(x)&=&\dfrac{x^2}{2}\\ v'(x) &=& \dfrac{1}{x} \end{array}\right.$ Toutes ces fonctions sont continues car dérivables sur l'intervalle $[\alpha~;~4]$, on peut donc faire une intégration par parties : $I = \left[\dfrac{x^2}{2}\ln x \right]_{\alpha}^4 - \displaystyle\int_{\alpha}^4 \dfrac{x^2}{2} \times \dfrac{1}{x}\:\text{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2}\ln x \right]_{\alpha}^4 - \displaystyle\int_{\alpha}^4 \dfrac{x}{2}\:\text{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2}\ln x - \dfrac{x^2}{4}\right]_{\alpha}^4 = $ $8\ln 4 - 4- \left(\dfrac{\alpha^2}{2}\ln \alpha - \dfrac{\alpha^2} {4}\right) = 8\ln 4 - 4 + \dfrac{\alpha^2}{4} - \dfrac{\alpha^2}{2}\ln \alpha$. \item %Montrer l'égalité : $I = \dfrac{\alpha^2}{4} + \dfrac{\alpha}{2} + 16\ln 2 - 8$. %En déduire une valeur approchée de $I$ à $10^{-1}$ près. $I = \displaystyle\int_{\alpha}^4 (x\ln x - 1)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{\alpha}^4 x\ln x\:\text{d}x - \displaystyle\int_{\alpha}^4 1\:\text{d}x = J - [x]_{\alpha}^4 = 8\ln 4 - 4 + \dfrac{\alpha^2}{4} - \dfrac{\alpha^2}{2}\ln \alpha - 4 + \alpha$. On a vu que $\ln \alpha = \dfrac{1}{\alpha}$, donc : $I = 8\ln 4 - 4 + \dfrac{\alpha^2}{4} - \dfrac{\alpha^2}{2\alpha} - 4 + \alpha = 8\ln 4 - 4 + \dfrac{\alpha^2}{4} - \dfrac{\alpha}{2} - 4 + \alpha = 8\ln 4 - 8 + \dfrac{\alpha^2}{4} + \dfrac{\alpha}{2} = 8\ln 2^2 - 8 + \dfrac{\alpha^2}{4} + \dfrac{\alpha}{2} = 16\ln 2 - 8 + \dfrac{\alpha^2}{4} + \dfrac{\alpha}{2}$ De l'encadrement trouvé $1,76 < \alpha < 1,77$, on déduit successivement : $\np{3,0976} < \alpha^2 < \np{3,1329} \Rightarrow 0\np{0,7744}< \dfrac{\alpha^2}{4}< \np{0,783225}$ et $0,88 < \dfrac{\alpha}{2}< 0,885$ et finalement : $\np{4,7444} < I < \np{4,768225}$. On a donc $I \approx 4,8$ (u. a.) à 0,1 près. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip %L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. % %On considère les trois points A, B et C de coordonnées respectives : % %A$(-1~;~2~;~1)$ , B$(1~;~- 6~;~-1)$ et C (2~;~2~;~2). \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan. $\vect{\text{AB}}(2~;~- 8 ~;~- 2), \: \vect{\text{AC}}(3~;~0 ~;~1)$ : ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, dont les trois points distincts A, B et C définissent un plan. \item %Montrer que le vecteur $\vect{n}\left(\begin{array}{r}1\\1\\- 3\\\end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan (ABC). On a $\vect{n} \cdot \vect{\text{AB}} = 2 - 8 + 6 = 0$ et $\vect{n} \cdot \vect{\text{AC}} = 3 - 3 = 0$. Le vecteur $\vect{n}$ orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) est donc un vecteur normal au plan (ABC). \item %Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC). On sait que $M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff 1x + 1y - 3z + d = 0$. En particulier C$(2~;~2~;~2) \in (\text{ABC}) \iff 1 \times 2 + 1 \times 2 - 3 \times 2 + d = 0 \iff d = 2$. Conclusion : $M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff x + y - 3z + 2 = 0$. \end{enumerate} \item %Soit $P$ le plan d'équation : $x - y + z - 4 = 0$. \begin{enumerate} \item %Montrer que les plans (ABC) et $P$ sont sécants. Le vecteur $\vect{p}(1~;~- 1~;~1)$ est un vecteur normal au plan (P). Or $\vect{n}$ et $\vect{p}$ ne sont pas colinéaires, ce qui signifie que les plans (ABC) et $P$ ne sont pas parallèles donc sécants. \item %Soit $D$ la droite intersection des plans $P$ et (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de la droite $D$. $M(x~;~y~;~z) \in D \iff M(x~;~y~;~z) \in \left\{\begin{array}{l c l} x + y - 3z + 2 &=& 0\\ x - y + z - 4 &=& 0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x + y &=&3t - 2\\ x - y &=&- t + 4 \quad (1)\\ z&=&t \end{array}\right. \Rightarrow 2x = 2t + 2 \iff x = t + 1$. En remplaçant dans l'équation (1) $y = x + z - 4 = z + 1 + z - 4 = 2t - 3$. Finalement : $M(x~;~y~;~z) \in D \iff \left\{\begin{array}{l c l} x&=&t + 1\\ y&=&2t - 3\\ z&=&t \end{array}\right.$ \end{enumerate} \item %On considère la sphère $S$ de centre $\Omega(3~;~1~;~3)$ et de rayon 3 et on nomme I le point de coordonnées $(2~;~-1~;~1)$. On admet que la droite $D$ a pour représentation paramétrique: %\[\left\{\begin{array}{l c r} %x &=& 1 + t\\ %y &=& -3 + 2t\\ %z &=&t, %\end{array}\right.\quad t \in \R.\] \begin{enumerate} \item %Montrer que le point I appartient à la droite $D$. Le point de $D$ correspondant à $t = 1$ est le point I. \item %Montrer que le point I appartient à la sphère $S$. Calculons $\Omega\text{I}^2 = (2 - 3)^2 + (- 1 - 1)^2 + (1 - 3)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$, donc $\Omega\text{I} = 3$ : le point I appartient à la sphère $S$. \item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} %Montrer que la droite $D$ coupe la sphère $S$ en un deuxième point. Un point $M(x~;~y~;~z)$ appartient à $S$ si et seulement si $\Omega M^2 = 9 \iff (x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = 9$. Un point $M(x~;~y~;~z)$ appartient à $D$ et à $S$ si et seulement si ses coordonnées vérifient les équations : $\left\{\begin{array}{l c r} x &=& 1 + t\\ y &=& -3 + 2t\\ z &=&t\\ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 &=& 9 \end{array}\right. \Rightarrow$ $ (1 + t - 3)^2 + (- 3 + 2t - 1)^2 + (t - 3)^2 = 9 \iff t^2 + 4 - 4t + 4t^2 + 16 - 16t + t^2 + 9 - 6t = 9 \iff$ $ 6t^2 - 26t + 20 = 0 \iff 3t^2 - 13t + 10 = 0$. On sait que I appartient à $S$ donc $t = 1$ est une des des solutions de l'équation du second degré. Or $3t^2 - 13t + 10 = (t - 1)(3t - 10)$ ; donc l'autre solution est donnée par $3t - 10 = 0 \iff t = \dfrac{10}{3}$, valeur du paramètre qui conduit à J$\left(\dfrac{13}{3}~;~\dfrac{11}{3}~;~\dfrac{10}{3}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité } \medskip %L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. % %On considère l'ensemble $P$ des points $M (x~;~y~;~z)$ de l'espace tels que : % %\[ z = x^2 + y^2.\] % %Les trois questions sont indépendantes. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Montrer que l'intersection de l'ensemble $P$ et du plan d'équation $z = 5$ est un cercle dont on précisera le centre et le rayon. Les points $M(x~;~y~;~z)$ communs à $P$ et au plan d'équation $z = 5$ ont leurs cordonnées qui vérifient : $\left\{\begin{array}{l c l} z&=&x^2 + y^2\\ z&=&5 \end{array}\right. \Longrightarrow \left\{\begin{array}{l c l} x^2 + y^2&=&5\\ z&=&5 \end{array}\right.$ Ces points appartiennent donc au cercle situé dans le plan d'équation $z = 5$, cercle de centre (0~;~0~;~5) et de rayon $\sqrt{5}$. \item %Déterminer la nature de l'intersection de l'ensemble $P$ et du plan d'équation $y = 1$. De même Les points $M(x~;~y~;~z)$ communs à $P$ et au plan d'équation $y = 1$ ont leurs cordonnées qui vérifient : $\left\{\begin{array}{l c l} z&=&x^2 + y^2\\ y&=&1 \end{array}\right. \Longrightarrow \left\{\begin{array}{l c l} z &=&x^2 + 1\\ y&=&1 \end{array}\right.$ On reconnaît une parabole (de sommet (0~;~0~;~1) située dans le plan d'équation $y = 1$. \end{enumerate} \item %On considère la sphère $S$ de centre O et de rayon $\sqrt{6}$. \begin{enumerate} \item %Donner une équation de la sphère $S$. $M(x~;~y~;~z) \in S \iff \text{O}M^2 = R^2 = 6 \iff x^2 + y^2 + z^2 = 6$. \[M(x~;~y~;~z) \in S \iff x^2 + y^2 + z^2 = 6 \] \item %Montrer que l'intersection de la sphère $S$ et de l'ensemble $P$ est un cercle. Les points $M(x~;~y~;~z)$ communs à $P$ et à la sphère $S$ ont leurs cordonnées qui vérifient : $\left\{\begin{array}{l c l} z&=&x^2 + y^2\\ x^2 + y^2 + z^2 &=& 6 \end{array}\right. \Longrightarrow z + z^2 = 6 \iff z^2 + z - 6 = 0$. Cette équation du second degré a une solution évidente : 2 ; l'autre est donc $- 3$. Or $z = - 3 = x^2 + y^2$ ne correspond à aucun point puisque $x^2 + y^2 \geqslant 0$. Il reste donc la solution : $z = 2 = x^2 + y^2$. Les points $M(x~;~y~;~z)$ communs à $P$ et à la sphère $S$ sont donc des points du cercle centré en (0~;~0~;~2) et de rayon $\sqrt{2}$. \end{enumerate} \item %Le but de cette question est de déterminer les points $M(x~;~y~;~z)$ de l'ensemble $P$, dont les coordonnées sont des entiers relatifs, appartenant au plan d'équation $- 3x + 2 y = 1$ et vérifiant $z \leqslant 25$. \begin{enumerate} \item %Donner un couple d'entiers relatifs solution de l'équation (E) : $- 3x + 2y = 1$. Le couple solution $(- 1~;~- 1)$ est évident. \item %Déterminer l'ensemble des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation (E). De $\left\{\begin{array}{l c l} - 3x + 2y &=& 1\\ - 3\times ( - 1) + 2 \times (- 1) &=& 1 \end{array}\right. \Longrightarrow \:(\text{par différence})\:$ $ - 3(x + 1) + 2(y + 1) = 0 \iff 2(y + 1) = 3(x + 1) \quad (1)$. 2 divise donc $3(x + 1)$, mais (Gauss) comme il est premier avec 3, il divise $x + 1$. Il existe donc un entier $k$ tel que $x + 1 = 2k \iff x = 2k - 1$. En reportant le résultat $x + 1 = 2k$ dans (1), on obtient $2(y + 1) = 3 \times 2k \iff y + 1 = 3k \iff y = 3k - 1$. Les couples solutions sont donc de la forme $(2k - 1~;~3k - 1), \quad k \in \Z$. %Déterminer les points de l'ensemble P dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ sont des entiers relatifs vérifiant : %\[-3x + 2y = 1\quad \text{et} \quad z \leqslant 25.\] D'après le résultat précédent un point de coordonnées entières appartient au plan si ses coordonnées sont de la forme $(2k - 1~;~3k - 1), \quad k \in \Z$ ; ils appartiennent de plus à $P$ si et seulement si : $z = x^2 + y^2 = (2k - 1)^2 + (3k - 1)^2 = 4k^2 + 1 - 4k + 9k^2 + 1 - 6k = 13k^2 - 10k + 2$. Il reste à trouver les points tels que $z \leqslant 25$. $z \leqslant 25 \iff 13k^2 - 10k + 2 \leqslant 25 \iff 13k^2 - 10k - 23 \leqslant 0$ L'équation $13k^2 - 10k - 23 = 0$ a une solution évidente $- 1$ ; l'autre est donc $\dfrac{23}{13}$. Le trinôme $13k^2 - 10k - 23$ est négatif entre ses deux racines, donc les valeurs convenables de $k$ vérifient : \[-1 \leqslant k \leqslant \dfrac{23}{13}< 2\] Il n'y a donc que trois valeurs possibles : $k = - 1$, soit le point $(- 3~;~- 4~;~25)$ ; $k = 0$, soit le point $(- 1~;~- 1~;~2)$ ; $k = 1$, soit le point $(1~;~2~;~5)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats } \medskip %Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 4~cm. % %\medskip \textbf{Partie A :} \medskip %On note P le point d'affixe $p = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, Q le point d'affixe $q = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, et K le point d'affixe $- 1$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Montrer que les points P et Q appartiennent au cercle $\Gamma$ de centre O et de rayon 1. On a $|p|^2 = \left(- \dfrac{1}{2} \right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1 = \text{OP}^2$, donc $|p| = \text{OP} = 1$. Comme $q = \overline{p}$, OQ = OP = 1. Les points P et Q appartiennent au cercle $\Gamma$ de centre O et de rayon 1. \item %Faire une figure et construire les points P et Q. Voir à la fin. Les points P et Q ont tous les deux une partie réelle égale à $- \dfrac{1}{2}$ : ils appartiennent donc à la droite d'équation $x = - \dfrac{1}{2}$ et au cercle $\Gamma$. Voir à la fin de l'exercice. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer l'ensemble $D$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z| = |z + 1|$. Représenter cet ensemble sur la figure. Soit le point K d'affixe $- 1$. On a : $|z| = |z + 1| \iff |z - 0| = |z - (- 1)| \iff \text{O}M = \text{K}M$, donc les points $M$ sont équidistants de O et de K. L'ensemble $D$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z| = |z + 1|$ est donc la médiatrice du segment [OK]. \item %Montrer que P et Q sont les points d'intersection de l'ensemble $D$ et du cercle $\Gamma$. On sait déjà que OP = 1 ; calculons KP$^2 = \left(- \dfrac{1}{2} - ( -1) \right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \left(\dfrac{1}{2} \right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = 1$, donc KP = 1 et P $\in D$. De même OQ = 1 et KQ$^2 = \left(- \dfrac{1}{2} - ( - 1) \right)^2 + \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1$, donc KQ = 1 et Q $ \in D$. Conclusion : les points P et Q sont les deux points communs au cercle $\Gamma$ et à la médiatrice $D$. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie B :} \medskip %On considère trois nombres complexes non nuls $a,\: b$ et $c$. On note A, B et C les points d'affixes respectives $a,\: b$ et $c$. %On suppose que l'origine O du repère \Ouv est à la fois le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit du triangle ABC. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Montrer que $|a| = |b| = |c|$. En déduire que $\left|\dfrac{b}{a}\right| = \left|\dfrac{c}{a}\right| = 1$. O est le centre du cercle circonscrit du triangle ABC, donc OA = OB = OC ou encore $|a| = |b| = |c|$. On a $\left|\dfrac{b}{a}\right| = \dfrac{|b|}{|a|} = 1$ ; même démonstration pour $\left|\dfrac{b}{a}\right| = 1$. \item %Montrer que $a + b + c = 0$. O est le centre de gravité du triangle ABC ou encore l'isobarycentre des trois points A, B, C ce qui signifie que $a + b + c = 0$. \item %Montrer que $\left|\dfrac{b}{a}\right| = \left|\dfrac{b}{a} + 1\right| = 1$. De la question précédente on déduit : $c = - (a + b)$ d'o\`u pour les modules $|c| = |-(a + b)| = |a + b|$. On a donc $\left|\dfrac{c}{a} \right| = \dfrac{|- (a + b)|}{|a|} = \dfrac{|(a + b)|}{|a|} = \left|\dfrac{a + b}{a} \right| = \left|1 + \dfrac{b}{a} \right|$. Finalement $\left|\dfrac{b}{a}\right| = \left|\dfrac{b}{a} + 1\right| = 1$. \item %En utilisant la partie A, en déduire que On a vu dans la partie A que les seuls complexes $z$ tels que $|z| = |z + 1|$ étaient les complexes $p$ et $q$. Donc on a $\dfrac{b}{a} = p$ ou $\dfrac{b}{a} = q$. \end{enumerate} \item %Dans cette question, on admet que $\dfrac{b}{a} = p$ et $\dfrac{c}{a} = q$. \begin{enumerate} \item %Montrer que $\dfrac{q - 1}{p - 1} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. $\dfrac{q - 1}{p - 1} = \dfrac{- \frac{1}{2} - \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2} - 1}{ - \frac{1}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2} - 1} = \dfrac{- \frac{3}{2}- \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2} }{- \frac{3}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2}}= \dfrac{ - 3 - \text{i}\sqrt{3}}{ - 3 + \text{i}\sqrt{3}} = \dfrac{\left(- 3 - \text{i}\sqrt{3} \right)\left( - 3 - \text{i}\sqrt{3}\right)}{\left(- 3 + \text{i}\sqrt{3} \right)\left( - 3 + \text{i}\sqrt{3}\right)} = \dfrac{9 - 3 + 6\text{i}\sqrt{3}}{9 + 3} = \dfrac{ 6 + 6\text{i}\sqrt{3}}{12} = \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos \dfrac{\pi}{3} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{3} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. \item %Montrer que $\dfrac{q - 1}{p - 1} = \dfrac{c - a}{b - a}$. $\dfrac{q - 1}{p - 1} = \dfrac{\frac{c}{a} - 1}{\frac{b}{a} - 1} = \dfrac{\frac{c - a}{a}}{\frac{b - a}{a}} = \dfrac{c - a}{b - a}$. \item %Déduire des deux questions précédentes la nature du triangle ABC. Les deux résultats précédents montrent : - en termes de modules que $\left|\dfrac{c - a}{b - a} \right| = \left|\dfrac{q - 1}{p - 1}\right| = \left|\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} \right| = 1$. On a donc $\left|\dfrac{c - a}{b - a} \right| = 1 \iff \dfrac{|c - a|}{|b - a|} = 1 \iff |c - a| = |b - a| \iff \text{AC} = \text{AB}$, donc le triangle ABC est isocèle en A. - en termes d'arguments que arg$\left(\dfrac{c - a}{b - a} \right) = \text{arg}\left(\dfrac{q - 1}{p - 1} \right) = \text{arg}\left(\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right) = \dfrac{\pi}{3}$. On a donc $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC}}\right) = \dfrac{\pi}{3}$. L'angle au sommet du triangle ABC mesure $\dfrac{\pi}{3}$, donc les deux autres angles aussi : le triangle ABC est donc équilatéral. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \begin{center} \psset{unit=3cm} \begin{pspicture}(-2,-2)(2,2) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange] \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-2)(2,2) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \psdots(-1,0)(1;120)(1;-120)\uput[ul](-1,0){K}\uput[dl](0,0){O} \uput[ul](1;120){P}\uput[dl](1;-120){Q} \psline(-0.5,-2)(-0.5,2)\pscircle(0,0){1} \end{pspicture} \end{center} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats } %\medskip % %\textbf{Les parties A et B sont indépendantes} % %\medskip % %Un site internet propose des jeux en ligne. \textbf{Partie A :} %\medskip % %Pour un premier jeu : %\setlength\parindent{10mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$] si l'internaute gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est égale à $\dfrac{2}{5}$. %\item[$\bullet~~$] si l'internaute perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est égale à $\dfrac{4}{5}$. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %Pour tout entier naturel non nul $n$, on désigne par $G_{n}$ l'évènement \og l'internaute gagne la $n$-ième partie \fg{} et on note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $G_{n}$. % %L'internaute gagne toujours la première partie et donc $p_{1} = 1$. \begin{enumerate} \item ~%Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant : \vspace{0,5cm} \begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}} { \pstree[nodesepB=2.5pt]{\TR{$G_{n}$}\taput{$p_{n}$}} { \TR{$G_{n+1}$}\taput{$\frac{2}{5}$} \TR{$\overline{G_{n+1}}$}\tbput{$\frac{3}{5}$} } \pstree[nodesepB=2.5pt]{\TR{$\overline{G_{n}}$}\tbput{$1 - p_{n}$}} { \TR{$G_{n+1}$}\taput{$\frac{1}{5}$} \TR{$\overline{G_{n+1}}$}\tbput{$\frac{4}{5}$} } } \end{center} \vspace{0,5cm} \item %Montrer que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $p_{n+1} = \dfrac{1}{5}p_{n} + \dfrac{1}{5}$. D'après la loi des probabilités totales : $p_{n+1} = p\left(G_{n+1} \right) = p\left(G_{n} \cap G_{n+1} \right) + p\left(\overline{G_{n}} \cap G_{n+1} \right) = \dfrac{2}{5}p_{n} + \dfrac{1}{5}\left(1 - p_{n}\right) = \dfrac{1}{5}p_{n} + \dfrac{1}{5}$. \item %Pour tout $n$ entier naturel non nul, on pose $u_{n} = p_{n} - \dfrac{1}{4}$. \begin{enumerate} \item %Montrer que $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$ et de premier terme $u_{1}$ à préciser. Pour tout $n$ entier naturel non nul, $u_{n+1} = p_{n+1} - \dfrac{1}{4} = (\text{d'après la question précédente}) $ $\dfrac{1}{5}p_{n} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{5}p_{n} - \dfrac{1}{20} = \dfrac{1}{5}\left(p_{n} - \dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{5}u_{n}$. L'égalité $u_{n+1} = \dfrac{1}{5}u_{n}$ montre que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$ et de premier terme $u_{1} = p_{1} - \dfrac{1}{4} = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$. \item %Montrer que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $p_{n} = \dfrac{3}{4} \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^{n - 1} + \dfrac{1}{4}$. On sait que pour tout naturel supérieur ou égal à 1 : $u_{n} = u_{1}\times \left(\dfrac{1}{5} \right)^{n - 1} =$ $u_{n} = \dfrac{3}{4} \times \left(\dfrac{1}{5} \right)^{n - 1}$. Comme $u_{n} = p_{n} - \dfrac{1}{4} \iff p_{n} = u_{n} + \dfrac{1}{4}$, on a finalement : \[p_{n} = \dfrac{3}{4} \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^{n - 1} + \dfrac{1}{4}.\] \item %Déterminer la limite de $p_{n}$. Comme $\left|\dfrac{1}{5} \right| < 1$, \:$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{1}{5} \right)^{n-1} = 0$ et $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \dfrac{3}{4} \times\left(\dfrac{1}{5} \right)^{n-1} = 0$. Il en résulte que $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} p_{n} = \dfrac{1}{4}$. Au bout d'un très grand nombre de parties, la probabilité de gagner sera proche d'une chance sur quatre. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B :} \medskip %Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10~parties. % %On suppose que toutes les parties sont indépendantes. % %La probabilité de gagner chaque partie est égale à $\dfrac{1}{4}$. % %Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur. % % %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier. Les épreuves étant identiques et indépendantes, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X est une loi binomiale avec $n = 10$ et $p = \dfrac{1}{4}$. \item %Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Le résultat sera arrondi à $10^{-2}$ près. On a $p (\text{X} \geqslant 1) = 1 - p(\text{X} = 0) = 1 - \displaystyle\binom{10}{0}\times \left(\dfrac{1}{4} \right)^{0}\left(\dfrac{3}{4} \right)^{10} = 1 - \dfrac{3^{10}}{4^{10}} \approx 0,943 \approx 0,94$, à $10^{-2}$ près. \item %Déterminer l'espérance de X. On a E(X) $ = n \times p = 10 \times \dfrac{1}{4} = 2,5$. \end{enumerate} \item %Le joueur doit payer 30~\euro{} pour jouer les 10~parties. %Chaque partie gagnée lui rapporte 8~\euro. \begin{enumerate} \item %Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur. Le joueur doit payer 30~\euro{} pour les 10 parties et récupérera en moyenne $2,5 \times 8 = 20$~\euro. (espérance de gagner 2,5 parties sur 10). En moyenne les 10 parties coûteront $30 - 20 = 10$~\euro, soit 1~\euro{} par partie. Le jeu est donc désavantageux. \item %Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40~\euro ? Le résultat sera arrondi à $10^{-5}$ près. Pour réaliser un bénéfice supérieur à 40~\euro, vu la mise de 30~\euro{}, il faut gagner plus de 70~\euro{}. Comme $8 \times 8 = 64$, il faut donc gagner 9 parties au moins sur 10 ($9 \times 8 = 72$). On a $p(\text{X} = 9) + p(\text{X} = 10) = \displaystyle\binom{10}{9}\left(\dfrac{1}{4} \right)^{9}\left(\dfrac{3}{4} \right)^{} + \displaystyle\binom{10}{10}\left(\dfrac{1}{4} \right)^{10}\left(\dfrac{3}{4} \right)^{0} = 10 \times \dfrac{3}{4^{10}} + \dfrac{1}{4^{10}} = $ $\dfrac{31}{4^{10}} \approx\np{0,00002956} \approx \np{0,00003}$. \end{enumerate} \end{enumerate} %\newpage % %\begin{center} % %\textbf{ANNEXE} % %\vspace{0,5cm} % %\textbf{Commun à tous les candidats} % %\vspace{0,5cm} % %\textbf{À rendre avec la copie} % %\begin{flushleft}\textbf{Exercice 1} % %\vspace{1,5cm} % %\end{flushleft} % %\psset{unit=1.4cm} %\begin{pspicture}(-2,-2.5)(6.5,5.75) %\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2.5)(6.5,5.75) %\uput[d](6.5,0){$x$}\uput[l](0,5.75){$y$}\uput[dl](0,0){O} %\uput[r](4,4.5){$\mathcal{C}$} %\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{4.4}{x ln x mul 1 sub} %\end{pspicture} %\end{center} \end{document}