\documentclass[10pt,leqno]{scrartcl} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !!! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \usepackage{multicol} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Correction : François Hache %Merci à l'académie de la Martinique pour le sujet \usepackage{pst-all} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\abs}[1]{\left\vert#1\right\vert} \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} %%%% Commandes perso FH \newcommand{\ds}{\displaystyle} %displaystyle \newcommand{\cg}{\texttt{]}} %crochet gauche \newcommand{\cd}{\texttt{[}} %crochet droit %\renewcommand{\d}{\,\text{d}} %le d de différentiation \newcommand{\pg}{\geqslant} %plus grand ou égal \newcommand{\pp}{\leqslant} %plus petit ou égal \newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent \newcommand*{\point}[4]{ \psdots(#1,#2) \uput[#3](#1,#2){#4} } % permet de placer un point et de marquer son nom en même temps % abscisse ordonnée emplacement et nom \usepackage{fancyhdr} \renewcommand{\headwidth}{\textwidth} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma% pas d'espace après la virgule en mode mathématique \usepackage[np]{numprint} \setlength\parindent{0mm} \usepackage{hyperref} \renewcommand{\d}{\,\text{d}} % le d de différentiation \newcommand{\e}{\,\text{e}}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\text{\,i}}% le i des complexes \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S}, pdftitle = {Antilles Guyane S - 11 septembre 2014}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{11 septembre 2014}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane~\decofourright\\ [4pt]11 septembre 2014\\[10pt]}} \end{center} \subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue divers tests permettant de rejeter les peluches ne répondant pas aux normes en vigueur. D'expérience, le concepteur sait que 9\,\% des nouveaux jouets ne répondent pas aux normes. À l'issue des tests, il est noté que \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 96\,\% des peluches répondant aux normes sont acceptées par les tests ; \item[$\bullet~~$] 97\,\% des peluches ne répondant pas aux normes ne sont pas acceptées à l'issue des tests. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On prélève une peluche au hasard dans la production de l'entreprise. On note \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $N$ l'évènement : \og la peluche répond aux normes en vigueur \fg{} ; \item[$\bullet~~$] $A$ l'évènement : \og la peluche est acceptée à l'issue des tests \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} %\medskip % %\textbf{Partie A} % %\medskip \subsubsection*{Partie A} \begin{enumerate} \item On construit un arbre pondéré représentant la situation exposée précédemment: \bigskip \begin{center} \pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=1.5cm,levelsep=4cm]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$N$}\taput{\red $1-0,09=0,91$}} { \TR{$A$}\taput{0,96} \TR{$\overline{A}$}\tbput{\red $1-0,96=0,04$} } \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline{N}$}\tbput{0,09}} { \TR{$A$}\taput{\red $1-0,97=0,03$} \TR{$\overline{A}$}\tbput{0,97} } } \end{center} \bigskip \item% Démontrer que la probabilité qu'une peluche soit acceptée à l'issue des tests est \np{0,8763}. La probabilité qu'une peluche soit acceptée est $P(A)$. D'après la formule des probabilités totales: $P(A)=P(N \cap A) + P(\overline N \cap A)$. $\left. \begin{array}{@{} l} P(N \cap A) = P(N)\times P_N(A) = 0,91 \times 0,96 = \np{0,8736} \\ P\left(\overline N \cap A\right) = P\left(\overline N\right)\times P_{\overline N}(A) = 0,09 \times 0,03 = \np{0,0027} \end{array} \right\rbrace \Longrightarrow P(A)= \np{0,8736} + \np{0,0027} = \np{0,8763}$ \item% Calculer la probabilité qu'une peluche qui a été acceptée à l'issue des tests soit véritablement aux normes en vigueur. Arrondir le résultat au dix-millième. La probabilité qu'une peluche qui a été acceptée soit aux normes est $P_A(N)$: $P_A(N)=\dfrac{P(N \cap A)}{P(A)} = \dfrac{\np{0,8736}}{\np{0,8763}} \approx \np{0,9969}$ \end{enumerate} \subsubsection*{Partie B} On considère que la vie d'une peluche se termine lorsqu'elle subit un dommage majeur. On admet que la durée de vie en années d'une peluche, notée $D$, suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. \medskip \begin{enumerate} \item On sait que $P(D \leqslant 4) = 0,5$.% Interpréter ce résultat dans le contexte de cet exercice. %Calculer la valeur exacte de $\lambda$. Si $D$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors $P(D \pp a) = \ds\int_{-\infty}^{a} \lambda \e^{-\lambda t} \d t =1-\e^{-\lambda a}$. Donc $P(D \pp 4)=0,5 \iff 1-\e^{-4\lambda}=0,5 \iff 0,5 = \e^{-4\lambda} \iff \ln 0,5 = -4\lambda \iff \lambda = -\dfrac{\ln 0,5}{4}$ \item On prendra ici $\lambda = \np{0,1733}$. Le jour de ses trois ans, un enfant qui joue avec cette peluche depuis sa naissance décide, voyant qu'elle est encore en parfait état, de la donner à sa sœur qui vient de naître. La probabilité pour que sa sœur la garde sans dommage majeur au moins cinq années supplémentaires est la probabilité conditionnelle $P_{D \pg 3}(D \pg 3+5)$. On sait que la loi exponentielle est une loi à \og{}durée de vie sans vieillissement\fg{} donc que, pour tous réels strictement positifs $s$ et $t$: $P_{D \pg t}(D \pg s+t) = P(D \pg s)$. Donc $P_{D \pg 3}(D \pg 3+5) = P(D \pg 5) = 1-P(D \pp 5) = 1-\left (1-\e^{-5\lambda}\right ) = \e^{-5\times \np{0,1733}} \approx \np{0,4204} $ % Arrondir le résultat au dix-millième. \end{enumerate} %\bigskip % %\textbf{Partie C} % %\medskip \subsubsection*{Partie C} Un cabinet de sondages et d'expertise souhaite savoir quel est le réel intérêt des enfants pour ce jouet. À la suite d'une étude, il apparaît que pour un enfant de quatre ans, le nombre de jours, noté $J$, où la peluche est son jouet préféré suit une loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$. Il apparaît que $\mu = 358$~jours. \medskip \begin{enumerate} \item% Soit $X = \dfrac{J - 358}{\sigma}$.% Quelle est la loi suivie par $X$ ? D'après le cours, la variable aléatoire $X = \dfrac{J - 358}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite, c'est-à-dire la loi normale de moyenne 0 et d'écart type 1. \item On sait que $P(J \leqslant 385) = 0,975$.% Déterminer la valeur de $\sigma$ arrondie à l'entier le plus proche. $J \pp 385 \iff J-358 \pp 27 \iff \dfrac{J-358}{\sigma} \pp \dfrac{27}{\sigma}$ car $\sigma$ est un nombre strictement positif. On cherche donc $\sigma$ pour que $P\left (X \pp \dfrac{27}{\sigma}\right ) \pp 0,975$ sachant que $X$ suit la loi normale centrée réduite. La calculatrice donne $\dfrac{27}{\sigma} \approx 1,96$ ce qui équivaut à $\sigma \approx 13,77$. On prendra donc $\sigma = 14$. \end{enumerate} \subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \subsubsection*{Partie A} On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\cd 0~;~ + \infty\cd$ par $f(x) = x\text{e}^{- x}$. \begin{enumerate} \item% Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. D'après le cours, $\ds\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\e^{x}}{x} = +\infty$; donc $\ds\lim_{x \to +\infty}\dfrac{x}{\e^{x}} = 0$ ce qui équivaut à $\ds\lim_{x \to +\infty} x\e^{-x} = 0$. Donc $\ds\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ \item% Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $\cd 0~;~ + \infty\cd$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur $\cd 0~;~ + \infty\cd$. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ donc sur $\cd 0~;~ + \infty\cd$ et: $f'(x)= 1\times \e^{-x} + x\left (-1\times \e^{-x}\right ) = \e^{-x} -x\e^{-x} = \left (1-x\right )\e^{-x}$ Pour tout réel $x$, $\e^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $1-x$; $f(0) = 0$ et $f(1) = \e^{-1} \approx 0,37$ D'où le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\cd 0~;~ + \infty\cd$: \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% paramètres \def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c|*5{c}|} \hline x & 0 & \hspace*{\esp} & 1 & \hspace*{\esp} & +\infty \\ \hline f'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline & & & \Rnode{max}{\e^{-1}} & & \\ f(x) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min1}{0} & & & & \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \\ \hline \end{array}$} \end{center} \end{enumerate} On donne la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan ainsi que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$. \subsubsection*{Partie B} Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item On place sur le graphique, en utilisant la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\Delta$, les points $A_{0},\, A_{1}$ et $A_{2}$ d'ordonnées nulles et d'abscisses respectives $u_{0},\, u_{1}$ et $u_{2}$.% Laisser les tracés explicatifs apparents. \begin{figure} \centering \label{fig1} \psset{xunit=4cm,yunit=8cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-0.2,-0.1)(2.5,0.6) \multido{\n=0+1}{3}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,0)(\n,1.1)} \multido{\n=0.0+0.5}{3}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](0,\n)(2.5,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.1,-0.1)(2.5,1.1) \psplot[linewidth=1.25pt]{0}{1.1}{x} \psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,linecolor=blue]{0}{2.5}{x 2.71828 x exp div} \uput[ul](0.5,0.5){$\Delta$} \uput[u](1.8,0.35){$\mathcal{C}_{f}$} \psset{linecolor=red,linestyle=dashed} \psline(1,0)(1,0.368)(0,0.368) \psline(0.368,0.368)(0.368,0) \psline(0.368,0.255)(0,0.255) \psline(0.255,0.255)(0.255,0) \uput*[d](1,0){\red $A_0$} \uput*[d](0.368,0){\red $A_1$} \uput*[d](0.255,0){\red $A_2$} \uput[l](0,0.368){\red $u_1$} \uput[l](0,0.255){\red $u_2$} \psdots[linecolor=red](1,0)(0.368,0)(0.255,0) \end{pspicture*} \end{figure} \item% Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n,\: u_{n} > 0$. Soit $\mathcal P_n$ la propriété $u_n>0$. \begin{list}{\textbullet}{} \item $u_0=1>0$ donc la propriété est vraie au rang 0. \item On suppose la propriété vraie au rang $p\pg 0$, c'est-à-dire $u_p>0$. Pour tout réel $x$, $\e^{-x}>0$ donc pour tout réel $x>0$, $x\e^{-x}>0$ donc $f(x)>0$. Or $u_{p+1}=f(u_p)$ et $u_p>0$ (hypothèse de récurrence); donc $f(u_p)>0$ et donc $u_{p+1}>0$. La propriété est vraie au rang $p + 1$. \item La propriété est vérifiée au rang 0, et elle est héréditaire pour tout $p\pg 0$; elle est donc vraie pour tout $n \pg 0$. \end{list} On a donc démontré que, pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$. \item% Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. Pour tout réel $x>0$: $\begin{array}{l @{\ \iff\ } l l} -x < 0 & \e^{-x} < \e^{0} & \text{croissance de la fonction exponentielle}\\ & \e^{-x} < 1\\ & x\e^{-x} < x & \text{car } x>0\\ & f(x)0$, $f(x)0$ donc $f(u_n)0} \ln(x)=-\infty\\ \ds\lim_{x \to 0} \dfrac{x}{n}=0 \end{array} \right\rbrace \stackrel{\text{par somme}}{\ds\lim_{x \to 0 \atop x>0} f(x)=-\infty} $ $f(x)= \ln(x) - \dfrac{x}{n}$ peut s'écrire $x\left (\dfrac{\ln(x)}{x} - \dfrac{1}{n}\right )$ pour tout $x$ de $\cg 0\,;\, +\infty\cd$. $\left. \begin{array}{@{} r} \ds\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} =0 \Longrightarrow \ds\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} -\dfrac{1}{n} = -\dfrac{1}{n}<0\\[8pt] \ds\lim_{x \to +\infty} x = +\infty \end{array} \right\rbrace \stackrel{\text{par produit}}{\ds\lim_{x \to +\infty} x\left (\dfrac{\ln(x)}{x} - \dfrac{1}{n}\right ) = -\infty} \iff \ds\lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$ \medskip La fonction $f$ est dérivable sur $I$ et $f'(x)=\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{n} = \dfrac{n-x}{nx}$. $f'(x)$ s'annule et change de signe pour $x=n$ et $f(n)=\ln(n)-\dfrac{n}{n}= \ln(n)-1$. \medskip D'où le tableau de variation de la fonction $f$: \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% paramètres \def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c|l*4{c}|} \hline x & 0 & \hspace*{\esp} & n & \hspace*{\esp} & +\infty \\ \hline n-x & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline f'(x) & \vline\,\vline & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline & \vline\,\vline & & \Rnode{max}{\ln(n)-1} & & \\ f(x) & \vline\,\vline & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \vline\,\vline \ \Rnode{min1}{-\infty} & & & & \Rnode{min2}{-\infty} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \\ \hline \end{array} $} \end{center} D'après ce tableau de variation, l'équation $f(x)=0$ admet deux solutions dans $\cg 0\,;\, +\infty\cd$ si et seulement si le maximum de la fonction $f$ est strictement positif, c'est-à-dire quand $\ln(n)-1>0$: $\ln(n)-1>0 \iff \ln(n)>1 \iff n>\e \iff n \pg 3$ Donc on peut dire que l'équation $(E_1)$ admet deux solutions si et seulement si $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 3. \end{enumerate} \subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv.% On prendra comme unité 2~cm sur chaque axe. %Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions. \medskip On considère la fonction $f$ qui à tout nombre complexe $z$ associe $f(z) = z^2 + 2z + 9$. \begin{enumerate} \item% Calculer l'image de $- 1 + \text{i}\sqrt{3}$ par la fonction $f$. $f\left (-1+\i\sqrt{3}\right ) = \left (-1+\i\sqrt{3}\right )^2 +2\left (-1+\i\sqrt{3}\right )+9 = 1 - 2\i\sqrt{3} - 3 -2 +2\i\sqrt{3} +9 = 5$ \item On résout dans $\C$ l'équation $f(z) = 5$: $f(z) = 5 \iff z^2+2z+9=5 \iff z^2+2z+4 = 0$; $\Delta = 4-16 = -12 = -\left (2\sqrt{3}\right )^2$ Donc l'équation admet deux racines complexes conjuguées: $\dfrac{-2+ 2\i\sqrt{3}}{2}=-1+\i \sqrt{3}$ et $-1 - \i \sqrt{3}$ %Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation. On appelle $A$ le point d'affixe $z_{A} = -1+\i \sqrt{3}$ et $B$ le point d'affixe $z_{B} = -1 - \i \sqrt{3}$ $\left| z_{A}\right| = \ds\sqrt{1+3}=2$ Soit $\theta_A$ un argument de $z_A$: $\left. \begin{array}{@{} l} \cos \theta_A = -\dfrac{1}{2}\\[8pt] \sin \theta_A = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right\rbrace \Longrightarrow \theta_A = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \text{ où } k\in \Z$ Donc $z_A = 2\e^{\frac{2\i\pi}{3}}$ Les nombres complexes $z_A$ et $z_B$ sont conjugués, donc ils ont le même module et des arguments opposés donc $z_B = 2\e^{-\frac{2\i\pi}{3}}$ $\left| z_{A}\right| = 2$ donc le point $A$ se trouve sur le cercle de centre $O$ et de rayon 2. De plus la partie réelle de $A$ vaut $-1$ donc $A$ se trouve sur la droite d'équation $x=-1$. Idem pour $B$. Voir graphique page \pageref{fig2}. %Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points A et B dont l'affixe est solution de l'équation (A étant le point dont l'affixe a une partie imaginaire positive). % %On laissera les traits de construction apparents. \item Soit $\lambda$ un nombre réel. On considère l'équation $f(z) = \lambda$ d'inconnue $z$. %Déterminer l'ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l'équation $f(z) = \lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées. $f(z)=\lambda \iff z^2+2z+9=\lambda \iff z^2+2z+9-\lambda=0$ Pour que l'équation $f(z) = \lambda$ admette deux solutions complexes conjuguées, il faut et il suffit que le discriminant du polynôme $z^2+2z+9-\lambda$ soit strictement négatif. $\Delta = 4 - 4(9-\lambda) = 4 - 36 + 4\lambda = 4\lambda-32$; $\Delta<0 \iff 4\lambda-32<0 \iff \lambda < 8$ L'ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l'équation $f(z)=\lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées est l'intervalle $\cg -\infty\,;\, 8\cd$. \item Soit (F) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ vérifie $\left |f(z) - 8\right | = 3$ $f(z)-8 = z^2+2z+9-8 = z^2+2z+1 = (z+1)^2$; donc $\left|f(z)-8\right |=\left |(z+1)^2\right| = \left |z+1\right |^2$ car le module d'un carré est égal au carré du module. Donc $\left |f(z)-8\right |=3 \iff \left |z+1\right |^2=3 \iff \left |z+1\right | = \sqrt{3}$ Soit $\Omega$ le point d'affixe $-1$, donc de coordonnées $(-1\,;\, 0)$; si on appelle $M$ le point d'affixe $z$, alors $\left |z+1\right | = \sqrt{3} \iff \left | z_M - z_{\Omega}\right |=\sqrt{3}$. L'ensemble des points $M$ vérifiant $\left | z_M - z_{\Omega}\right |=\sqrt{3}$ est le cercle de centre $\Omega$ et de rayon $\sqrt{3}$. %Prouver que (F) est le cercle de centre $\Omega(-1~;~0)$ et de rayon $\sqrt{3}$. On trace (F) sur le graphique (voir page \pageref{fig2}). \item Soit $z$ un nombre complexe, tel que $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels. \begin{enumerate} \item% Montrer que la forme algébrique de $f(z)$ est $x^2 - y^2 + 2x + 9 + \text{i}(2xy + 2y)$ $f(z)=z^2+2z+9 = (x+\i y)^2 +2(x+\i y) +9 = x^2 +2\i xy -y^2 +2x +2\i y +9 \\ \phantom{f(z)} = x^2 - y^2 +2x+9 +\i(2xy + 2y)$ \item On note (E) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ est telle que $f(z)$ soit un nombre réel. %Montrer que (E) est la réunion de deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ dont on précisera les équations. % %Compléter le graphique de l'annexe en traçant ces droites. $f(z) \text{ réel} \iff 2xy+2y=0 \iff 2y(x+1)=0 \iff y=0 \text{ ou }x=-1$ Donc (E) est la réunion de deux droites $D_{1}$ d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) et $D_{2}$ d'équation $x=-1$. \end{enumerate} \item% Déterminer les coordonnées des points d'intersection des ensembles (E) et (F). Le cercle (F) est de centre $\Omega$ d'affixe $-1$ et de rayon $\sqrt{3}$. Donc les points d'intersection du cercle (F) avec l'axe des abscisses ont pour coordonnées $\left ( -1-\sqrt{3}\,;\, 0\right )$ et $\left ( -1+\sqrt{3}\,;\, 0\right )$. Les points $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A$ et $z_B$ dont les parties réelles sont égales à $-1$; donc $A$ et $B$ sont situés sur la droite $D_2$. $\Omega A = \left | z_A - z_{\Omega}\right | = \left |-1+\i\sqrt{3}+1\right | = \left | \i\sqrt{3}\right | = \sqrt{3}$ donc le point $A$ appartient au cercle (F). $\Omega B = \left | z_B - z_{\Omega}\right | = \left |-1-\i\sqrt{3}+1\right | = \left | -\i\sqrt{3}\right | = \sqrt{3}$ donc le point $B$ appartient au cercle (F). Les coordonnées des quatre points d'intersection des ensembles (E) et (F) sont: $\left ( -1-\sqrt{3}\,;\, 0\right )$, $\left ( -1+\sqrt{3}\,;\, 0\right )$, $\left ( -1\,;\, \sqrt{3}\right )$ et $\left ( -1\,;\, -\sqrt{3}\right )$ \end{enumerate} \begin{figure}[!h] \centering \label{fig2} \psset{unit=2cm,comma=true} \def\xmin{-2.9} \def\xmax{2.9} \def\ymin{-2.3} \def\ymax{2.9} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psaxes[linewidth=1pt,labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec u$,d][$\vec v$,l] \uput[dl](0,0){$O$} \psset{linecolor=red} \pscircle[linestyle=dashed](0,0){2} \psline(-1,\ymin)(-1,\ymax) \psdots(2;120)(2;-120) \uput[ul](2;120){\red $A$} \uput[dl](2;-120){\red $B$} \psset{linecolor=blue} \pscircle(-1,0){1.732} \uput[ul](-1,0){\blue $\Omega$} \psdots(-1,0) \uput[ul](-2,1.4){\blue (F)} \uput[d](2.5,0){$D_1$} \uput[l](-1,2.5){\red $D_2$} \end{pspicture*} \end{figure} \subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats ayant suivi la spécialité} \medskip Dans une ville, une enseigne de banque nationale possède deux agences, appelées X et Y. D'une année sur l'autre, une partie des fonds de l'agence X est transférée à l'agence Y, et réciproquement. De plus, chaque année, le siège de la banque transfère une certaine somme à chaque agence. \medskip Soit $n$ un entier naturel. On note $x_{n}$ la quantité de fonds détenue par l'agence X, et $y_{n}$ la quantité de fonds détenue par l'agence Y au 1\up{er} janvier de l'année $2014 + n$, exprimées en millions d'euros. On note $U_{n}$ la matrice $\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}$ et on note $I = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$. On suppose que le 1\up{er} janvier de l'année 2014, l'agence X possède 50~millions d'euros et l'agence Y possède 10~millions d'euros. L'évolution de la quantité de fonds est régie par la relation $U_{n+1} = AU_{n} + B,\: \text{où}\:\: A = \begin{pmatrix}0,6&0,15\\0,2&0,4\end{pmatrix} \:\:\text{et}\:\ B = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item% Interpréter dans le contexte de l'exercice le coefficient 0,6 de la matrice $A$ et le coefficient 3 de la matrice $B$. $U_{n+1} = AU_{n} + B \iff \begin{pmatrix} x_{n+1} \\y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,6&0,15\\0,2&0,4\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} x_{n} \\y_{n} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} \iff \left\lbrace \begin{array}{l @{\ =\ } l} x_{n+1} & 0,6x_n + 0,15y_n +1\\ y_{n+1} & 0,2x_n + 0,4 y_n +3 \end{array} \right.$ Le coefficient $0,6$ de la matrice $A$ correspond au pourcentage de la somme qui reste d'une année sur l'autre à l'agence X. Le coefficient 3 de la matrice B correspond à la somme (en millions d'euros) qui est rajoutée chaque année à l'agence Y. \item% Donner la matrice $U_{0}$ puis calculer la quantité de fonds détenue par chacune des agences X et Y en 2015, exprimée en millions d'euros. D'après le texte, $U_0= \begin{pmatrix} 50\\10 \end{pmatrix}$ La quantité de fonds dans chaque agence en 2015 est donnée par la matrice $U_1= AU_{0} + B$: $\begin{pmatrix} x_{1} \\y_{1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,6&0,15\\0,2&0,4\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 50 \\ 10 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,6\times 50 + 0,15 \times 10 +1\\ 0,2\times 50 + 0,4 \times 10 +3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 32,5 \\ 17 \end{pmatrix}$ En 2015, il y a donc $32,5$ millions d'euros dans l'agence X et 17 millions d'euros dans l'agence Y. \item On note $D = \begin{pmatrix}0,3&0\\0&0,7\end{pmatrix},\: P = \begin{pmatrix}1&3\\- 2&2\end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix}0,25&- 0,375\\0,25 &0,125\end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item% Donner sans détailler le calcul, la matrice $P DQ$. \`A la calculatrice, on trouve que $PDQ = \begin{pmatrix}0,6&0,15\\ 0,2&0,4\end{pmatrix}$ donc que $PDQ=A$. \item% Expliciter le calcul du coefficient de la première ligne et de la deuxième colonne du produit matriciel $QP$. $QP = \begin{pmatrix}0,25&- 0,375\\0,25 &0,125\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1&3\\- 2&2\end{pmatrix}$ Le coefficient situé sur la première ligne et la deuxième colonne de la matrice $QP$ est donc : $0,25 \times 3 + (-0,375) \times 2 = 0,75 - 0,75 = 0$ Dans la suite, on admettra que $QP = I$. \end{enumerate} \end{enumerate} On admettra dans la suite de cet exercice que pour tout entier naturel non nul $n$, $A^n = P D^nQ$. \emph{Ce résultat est assez facile à démontrer par récurrence en considérant les résultats des questions précédentes; l'hérédité se démontre ainsi: $A^{p+1}=A\times A^{p} = PDQ\times PD^{p}Q = PDD^pQ = PD^{p+1}Q$ car $Q\times P=I$.} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{3} \item On pose pour tout entier naturel $n$, $V_{n} = U_{n} - \begin{pmatrix}5\\ \frac{20}{3} \end{pmatrix}$ ; donc $U_{n} = V_{n} + \begin{pmatrix}5\\ \frac{20}{3} \end{pmatrix}$ \begin{enumerate} \item% Démontrer que pour tout entier naturel $n,\: V_{n+1} = AV_{n}$. $V_{n+1} = U_{n+1} - \begin{pmatrix}5\\ \frac{20}{3}\end{pmatrix} = AU_n+B - \begin{pmatrix}5\\ \frac{20}{3}\end{pmatrix} = A \left (V_n + \begin{pmatrix}5\\ \frac{20}{3}\end{pmatrix}\right ) + \begin{pmatrix}1 \\ 3 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix}5\\ \frac{20}{3}\end{pmatrix}\\ \phantom{V_{n+1}} = AV_n + \begin{pmatrix}0,6&0,15\\0,2&0,4\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}5\\ \frac{20}{3}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 3 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix}5\\ \frac{20}{3}\end{pmatrix} = AV_n + \begin{pmatrix} 0,6\times 5+0,15 \times \frac{20}{3} +1-5\\[4pt] 0,2\times 5 + 0,4 \times \frac{20}{3} + 3 - \frac{20}{3} \end{pmatrix} = AV_n + \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}\\ \phantom{V_{n+1}} = AV_n $ \item% Déterminer $V_{0}$ puis pour tout entier naturel $n$, donner l'expression de $V_{n}$ en fonction de $A,\, n$ et $V_{0}$. $V_{0} = U_{0} - \begin{pmatrix}5\\ \frac{20}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50 \\ 10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5\\ \frac{20}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}45\\ \frac{10}{3} \end{pmatrix}$ On peut dire que, pour tout $n$, $V_n = A^n\times V_0$. \emph{On peut considérer ce résultat comme \og{}classique\fg{}; en cas de doute, on peut le démontrer par récurrence en se rappelant que $A^0 = I$.} \end{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel. On admet que $A^n = \begin{pmatrix}0,25 \times 0,3^n + 0,75 \times 0,7^n&0,375\left(- 0,3^n + 0,7^n\right)\\ 0,5\left(- 0,3^n + 0,7^n\right)& 0,75 \times 0,3^n + 0,25 \times 0,7^n\end{pmatrix}$ \begin{enumerate} \item% Déterminer le coefficient de la première ligne de la matrice $V_{n}$ en détaillant les calculs. D'après les questions précédentes, $V_n = A^n\times V_0$ donc le coefficient de la première ligne de $V_n$ est: $\left(0,25 \times 0,3^n + 0,75 \times 0,7^n \right)\times 45 + \left (0,375\left(- 0,3^n + 0,7^n\right )\right) \times \dfrac{10}{3}\\[5pt] \hspace*{1cm} = 11,25 \times 0,3^n + 33,75 \times 0,7^n + 1,25\left(- 0,3^n + 0,7^n\right ) \\ \hspace*{1cm} = 11,25 \times 0,3^n + 33,75 \times 0,7^n -1,25\times 0,3^n + 1,25\times 0,7^n\\ \hspace*{1cm} = 10\times 0,3^n +35 \times 0,7^n $ \item% En déduire l'expression de $x_{n}$ en fonction de $n$. $U_n= V_{n} + \begin{pmatrix}5\\ \frac{20}{3} \end{pmatrix}$ et $U_n=\begin{pmatrix} x_n \\y_n \end{pmatrix}$ Donc $x_n = 10\times 0,3^n +35 \times 0,7^n +5$ \item% Déterminer la limite de $x_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ et interpréter ce résultat dans le cadre du problème. La suite $(0,3^n)$ est une suite géométrique de raison $0,3$; or $-1<0,3<1$ donc $\ds\lim_{x \to +\infty} 0,3^n=0$. Pour la même raison, on peut dire que $\ds\lim_{x \to +\infty} 0,7^n=0$. D'après les théorèmes sur les limites de suites, on peut déduire que $\ds\lim_{x \to +\infty} x_n=5$. Cela signifie que la quantité de fonds disponibles dans l'agence X va tendre vers 5 millions d'euros. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document} autrement dit si la courbe $\mathcal C$ représentant la fonction ln et la droite $d_n$ d'équation $y=\dfrac{x}{n}$ se coupent en deux points; les solutions sont alors les abscisses des points d'intersection de la courbe $\mathcal C$ et de la droite $d_n$. Toutes les droites $d_n$, pour $n\in \N^*$, passent par l'origine $O$ du repère. On va chercher la droite $d$ qui passe par l'origine et qui est tangente à la courbe $\mathcal C$. Une tangente à la courbe $\mathcal C$ au point de la courbe d'abscisse $a>0$ a pour équation: $y = f'(a)(x-a)+f(a)$ c'est-à-dire $y = \dfrac{1}{a}\left (x-a\right )+\ln a$ ou encore $y = \dfrac{x}{a}-1+ \ln a$. Cette tangente passe par l'origine si et seulement si $- 1 + \ln a = 0$ c'est-à-dire pour $a=\e$. L'équation de la tangente $d$ à $\mathcal C$ passant par $O$ est donc $y=\dfrac{x}{\e}$. Donc une droite $d_n$ coupera la courbe $\mathcal C$ en deux points si son coefficient directeur est plus petit que $\dfrac{1}{\e}$ donc pour $n>\e$. \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=1cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-1,-3)(8,3) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.9,-2.9)(8,3) %\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{1.1}{x} \psplot[plotpoints=2000,linecolor=red]{0.05}{8}{x ln} \uput[dr](6,1.8){\red $\mathcal C$} \psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linestyle=dashed]{0}{6}{x 2.718 div} \uput[ul](5,1.84){\blue $d$} \uput[dl](0,0){$O$} \psline[linecolor=blue,linestyle=dotted](2.718,0)(2.718,1)(0,1) \uput[d](2.718,0){\blue e} \end{pspicture*} \end{center} Donc l'équation $(E_1)$ a deux solutions si et seulement si $n >\e$. \end{document}