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% Sujet aimablement fourni par l'académie de la Martinique
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S }
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2010}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S (obligatoire) Antilles-Guyane~\decofourright\\septembre 2010}}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{PARTIE A - Restitution organisée des connaissances}

\medskip
 
%On suppose connues la dérivée de la fonction exponentielle et la formule de dérivation de $u \circ v$ ainsi que ses conditions d'utilisation.
% 
%On suppose savoir que la fonction ln est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ et que 
%pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$ on a : exp$(\ln x) = x$.
% 
%À partir de ces quatre arguments, montrer que la dérivée de la fonction ln est la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ qui à $x$ associe $\dfrac{1}{x}$.
Soit $x > 0$.

Considérons la fonction $x \longmapsto  \left[\text{exp}(\ln x)\right] = x$.

En dérivant ces deux fonctions, en utilisant en premier la formule de dérivation d'une fonction composée : $\ln '(x) \times \text{exp}' (\ln x) = 1$, soit puisque exp$'$ = exp 

$\ln ' (x) \times  \text{exp}(\ln x) = 1$, ou encore $\ln'(x)  \times x = 1  \iff \ln' (x) = \dfrac{1}{x}$, car $x \neq 0$.

\bigskip

\textbf{PARTIE B - Étude de fonction}

\medskip
 
%On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

%\[f(x) =  x +  \dfrac{\ln x}{x}.\]
% 
%Le but du problème est l'étude de cette fonction et le calcul d'une aire.
% 
%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 3~cm.
 
\textbf{I - Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip
 
%On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par  

%\[g(x) = x^2 + 1 - \ln x.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Étudier les variations de $g$ sur $]0~;~+ \infty[$.
$g$ somme de fonctions dérivables sur $]0~;~+ \infty[$ est dérivable et sur cet intervalle $g'(x) = 2x + 0 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{2x^2 - 1}{x}$.

Comme $x > 0$ le signe de la dérivée est donc celui  du trinôme $2x^2 - 1 = \left(x\sqrt{2} + 1\right)\left(x\sqrt{2} - 1\right)$ ou encore de celui de $x\sqrt{2} - 1$ puisque $x\sqrt{2} + 1 > 1 > 0$.

Ce trinôme s'annule donc en $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.$

Sur $\left]0~;~\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right[,~g'(x) < 0$ : la fonction est décroissante ;

Sur $\left]\dfrac{\sqrt{2}}{2}~;~+ \infty\right[,~g'(x) > 0$ : la fonction est croissante. 
\item %En déduire le signe de $g$ sur $]0~;~+ \infty[$.
On a $g\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) =  \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + 1 - \ln \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = \dfrac{1}{2} + 1 - \dfrac{1}{2}\ln 2 + \ln 2 = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}\ln 2 > 0$, car somme de deux termes positifs.

Le minimum de $g$ étant supérieur à zéro, on a donc $g(x) > 0$, sur $]0~;~+ \infty[$. 
\end{enumerate}

\textbf{II - Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath et tracé de sa courbe représentative} \boldmath $\mathcal{C}$ \unboldmath 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite en $0$ de la fonction $f$. Quelle est l'interprétation graphique de ce résultat ?
%f(x) =  x +  \dfrac{\ln x}{x}
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to 0,~x > 0} \dfrac{\ln x}{x} = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0,~x > 0} f(x) = - \infty$. 
\item %Déterminer la limite en $+ \infty$ de $f$ puis montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x = + \infty$, on a  $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = + \infty$.

Soit la fonction $d$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $d(x) = f(x) - x = \dfrac{\ln x}{x}$.

On a vu que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ ce qui montre que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} d(x) = 0$, c'est-à-dire que la droite $\mathcal{D}$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.
\item %Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $]0~;~+ \infty[$.
On a $\left[\dfrac{\ln x}{x} \right]' = \dfrac{\frac{1}{x} \times x - 1 \times \ln x}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$, donc $f'(x) = 1 + \dfrac{1 - \ln x}{x^2} = \dfrac{x^2 + 1 - \ln x}{x^2}$. 
\item %En déduire le sens de variation de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
On a donc $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$ : d'après la question précédente les deux termes de ce quotient sont supérieurs à zéro, donc le quotient l'est aussi : la fonction $f$ est croissante sur $]0~;~+ \infty[$. 
\item %Déterminer le point A de la courbe $\mathcal{C}$ en lequel la tangente $\mathcal{T}$ est parallèle à la droite $\mathcal{D}$.
La droite $\mathcal{D}$ a pour coefficient directeur 1. Il faut donc chercher l'abscisse $x_{\text{A}}$ telle que $f'(x_{\text{A}}) = 1$.

Donc on cherche $f'(x) = 1 + \dfrac{1 - \ln x}{x^2}  = 1 \iff 1 - \ln x = 0 \iff \ln x = 1 \iff x = \text{e}$. Or $f(\text{e}) = \text{e} + \dfrac{\ln \text{e}}{\text{e}} = \text{e} + \dfrac{1}{\text{e}}$.

Finalement : A$\left(\text{e}~;~\text{e} + \dfrac{1}{\text{e}}\right)$
 
\item %Dans le repère \Oij{} tracer les droites $\mathcal{D}$  et $\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$.
Voir plus bas.
\end{enumerate}
 
\textbf{III - Calcul d'une aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que $\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \dfrac{\ln x}{x}\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}.$
Intégration par parties :

On pose : $\left\{\begin{array}{l l}
u'(x) = \dfrac{1}{x}&v(x) = \ln x\\
u(x) = \ln x&v'(x) = \dfrac{1}{x}
\end{array}\right.$

Toutes ces fonctions sont dérivables donc continues sur [1~;~e], donc 

$I = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \dfrac{\ln x}{x}\:\text{d}x = [(\ln x)(\ln x)]_{1}^{\text{e}} - \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \dfrac{\ln x}{x}\:\text{d}x \iff I \iff 2I = (\ln (\text{e})^2 - (\ln (1))^2 = 1 \iff I = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \dfrac{\ln x}{x}\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}$.
\item %En déduire l'aire de la région du plan délimitée par les droites d'équation $x = 1,$

%$x = \text{e}$, l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}$. On exprimera cette aire en cm$^2$. Hachurer cette région sur le graphique.
La fonction $f$ est croissante sur $]0~;~+ \infty[$ et $f(1) = 1$, donc sur l'intervalle [1~;~e], $f(x) \geqslant 1 > 0$.

L'aire de la surface délimitée par les droites d'équation $x = 1,$
$x = \text{e}$, l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}$ est donc égale en unités d'aire à l'intégrale $\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$.

Or $\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} x\:\text{d}x + \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \dfrac{\ln x}{x}\:\text{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_{1}^{\text{e}} + I = \dfrac{\text{e}^2}{2} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{\text{e}^2}{2} (u. a.).$

L'unité d'aire étant égale à $3 \times 3 = 9$~cm$^2$, l'aire de la surface est donc égale à 

$\dfrac{9\text{e}^2}{2} \approx 33,25$~cm$^2$, ce que l'on vérifie approximativement sur la figure.
\end{enumerate} 

\medskip
\psset{unit=2.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.2,-2)(4,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=3,gridwidth=0.6pt,subgridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,-2)(4,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.2,-2)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.39}{3.8}{x x ln x div add}
\psline[linestyle=dashed](2.71828,0)(2.71828,3.086)(0,3.086)
\uput[u](2.71828,3.086){A}
\psplot{0}{3.8}{0.367881 x add}\uput[u](0.5,0.87){$\mathcal{T}$}
\psplot{0}{3.8}{x}\uput[d](0.65,0.5){\blue$\mathcal{C}$}
\psline(1,-2)(1,3) \uput[d](2.71828,0){e}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2.71828}{x x ln x div add}
\psline(2.71828,0)(1,0)
}
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip
 
%\textbf{L'exercice comporte quatre propositions indépendantes.}
% 
%\textbf{Indiquer pour chacune d'elles si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse choisie.}

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ du plan complexe rapporté au repère orthonormé \Ouv, vérifiant $|z - 2| = |z - 2\text{i}|$ est la droite d'équation $y = x$.
VRAIE. Si A est le point d'affixe 2 et B celui d'affixe 2i, $|z - 2| = |z - 2\text{i}| \iff \text{A}M = \text{B}M \iff M$ est équidistant de A et de B, donc $M$ appartient à la médiatrice de [AB] : cette médiatrice a bien pour équation $y = x$. 
\item  %Si A, B et C sont trois points deux à deux distincts du plan complexe d'affixes $a,~b$ et $c$ vérifiant $\dfrac{b - a}{c - a} = - 3$ alors A, B et C sont alignés.
VRAIE. $\dfrac{b - a}{c - a} = - 3 \Rightarrow \text{arg}\left(\dfrac{b - a}{c - a} \right) = \text{arg}( -3)$ soit $\left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{AB}}\right) = \pi$. Cette dernière égalité montre que les points A, B et C sont alignés. 
\item %L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk. 

%La droite de l'espace passant par le point B de coordonnées (2~;~3~;~4) et admettant le vecteur $\vect{u}(1~;~2~;~3)$ comme vecteur directeur a pour représentation paramétrique :
VRAIE. $M(x~;~y~;~z) \in \left(\text{B},~\vect{u} \right) \iff \vect{\text{B}M} = \alpha \vect{u}~(\alpha \in \R)~ \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x - 2&=&1\alpha\\
y - 3&=&2\alpha\\
z - 4&=&3\alpha
\end{array}\right.\iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\alpha + 2\\
y&=&2\alpha + 3\\
z&=&3\alpha + 4
\end{array}\right.$

Or en posant $\alpha = t - 1$, on a donc :

$M(x~;~y~;~z) \in \left(\text{B},~\vect{u} \right) \iff  \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&t - 1 + 2\\
y&=&2(t - 1) + 3\\
z&=&3(t - 1) + 4
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&t  + 1\\
y&=&2t + 1\\
z&=&3t + 1
\end{array}\right.$
%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%x&=& t+1\\ 
%y&=&2t+1\\
%z&=&3t+ 1
%\end{array} \right. \quad  t \in \R.\]
\item %L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk.
 
%La sphère de centre A(1~;~1~;~1) et de rayon $10$ est tangente au plan $\mathcal{P}$ d'équation $x + y + z - 1 = 0$.
FAUSSE. L'affirmation signifie que la distance du centre A de la sphère au plan  $\mathcal{P}$ est égale à 10. Or :

$d(\text{A},~\mathcal{P}) = \dfrac{\left|1 + 1 + 1  - 1 \right|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \neq 10$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

%On considère la suite de nombres réels $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par : 

%\[u_{0} = - 1,~ u_{1} = \dfrac{1}{2}~ \text{et, pour tout entier naturel} ~n,~ u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_{n}.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_{2}$ et en déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.
D'après la définition $u_{2} = u_{1} - \dfrac{1}{4}u_{0} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$.

$\bullet~$ Si la suite était géométrique, d'après les deux premiers termes la raison serait égale à $- \dfrac{1}{2}$ ; or $u_{1} \times \left(- \dfrac{1}{2} \right) =  \dfrac{1}{2} \neq u_{2}$.

$\bullet~$ Si la suite était arithmétique, d'après les deux premiers termes la raison serait égale à $\dfrac{1}{2} - ( -1) = \dfrac{3}{2}$ ; or $u_{1} + \left(\dfrac{3}{2}  \right) =  \dfrac{4}{2} = 2  \neq u_{2}$.

Conclusion : la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique. 
\item %On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ :
 
%\[v_{n} = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $v_{0}$.
$v_{0} = u_{1} - \dfrac{1}{2}u_{0} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \times (- 1) = 1$. 
		\item %Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$.
On a pour tout naturel $n$, $v_{n+1} = u_{n+2} - \dfrac{1}{2}u_{n+1}= u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_{n} - \dfrac{1}{2}u_{n+1} = $

$\dfrac{1}{2}u_{n+1} -  \dfrac{1}{4}u_{n} = \dfrac{1}{2}\left(u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n} \right) = \dfrac{1}{2}v_{n}$.
 		\item %En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
$v_{n+1} = \dfrac{1}{2}v_{n}$ signifie que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison $\dfrac{1}{2}$. 
		\item %Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
On a donc quel que soit $n \in \N,~v_{n} = \left(\dfrac{1}{2} \right)^n = \dfrac{1}{2^n}$.
	\end{enumerate} 
\item %On définit la suite $\left(w_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ : 

%\[w_{n}   = \dfrac{u_{n}}{v_{n}}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $w_{0}$.
$w_{0} = \dfrac{u_{0}}{v_{0}}  = \dfrac{- 1}{1} = -1$.
		\item %En utilisant l'égalité $u_{n+1} = v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}$,  exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ et de $v_{n}$.
On a  $w_{n+1}   = \dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}} = \dfrac{v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}}{\dfrac{1}{2}v_{n}} = 2 + \dfrac{u_{n}}{v_{n}}$.
		\item %En déduire que pour tout $n$ de $\N,~ w_{n+1} = w_{n} + 2$.
On a par définition $\dfrac{u_{n}}{v_{n}} = w_{n}$, donc l'égalité ci-dessus s'écrit :

$w_{n+1} = 2 + w_{n}$. 
		\item %Exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$.
		L'égalité précédente montre que la suite $\left(w_{n}\right)$ est une suite arithmétique de premier terme $- 1$ et de raison $2$.
		
		On a donc $w_{n} = w_{0} + n \times 2 = - 1 + 2n$.
	\end{enumerate} 
\item %Montrer que pour tout entier naturel $n$

%\[u_{n} = \dfrac{2n- 1}{2^n}.\]  
On a trouvé que $w_{n} = 2n - 1 = \dfrac{u_{n}}{v_{n}} = \dfrac{u_{n}}{\frac{1}{2^n}} = 2^n \times u_{n}$.

Donc $u_{n} = \dfrac{2n - 1}{2^n}$, car $2^n \neq 0$ quel que soit $n \in \N$.  
\item %Pour tout entier naturel $n$, on pose : $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots	+ u_{n}$. 
 
%Démontrer par récurrence que pour tout $n$ de $\N$ : 

%\[S_{n} = 2 - \dfrac{2n + 3}{2^n}.\]
Démonstration par récurrence :

$\bullet~~$ Initialisation : $S_{0} = u_{0} = -1$ et $2 - \dfrac{2\times 0 + 3}{2^0} = 2 - \dfrac{3}{1} = 2 - 3 = - 1$. La formule est vraie au rang $0$.

$\bullet~~$ Hérédité : supposons qu'il existe un naturel $k$ tel que :

$S_{k} = \displaystyle\sum_{i=0}^{k} u_{i} = u_{0} + u_{1} + \cdots	+ u_{k} = 2 - \dfrac{2k + 3}{2^k}$.

Donc $S_{k+1} = S_{k} + u_{k+1} = 2 - \dfrac{2k + 3}{2^k} +  \dfrac{2(k + 1) - 1}{2^{k+1}} = 2 +  \dfrac{-4k - 6  + 2k + 1}{2^{k + 1}} = 2 + \dfrac{-2k - 5}{2^{k + 1}} = 2 - \dfrac{2k + 5}{2^{k + 1}} = 2 - \dfrac{2(k + 1) + 3}{2^{k + 1}}$.

La formule est vraie au rang $k + 1$.

On a donc démontré par récurrence que pour tout $n$ de $\N$ :

\[S_{n} = 2 - \dfrac{2n + 3}{2^n}.\]

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip
 
%\textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés seront donnés à \boldmath$\np{0,0001}$\unboldmath~ près.}

%\medskip
% 
%Lors d'une épidémie chez des bovins, on s'est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle.
% 
%Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d'animaux dont 1\:\% est porteur de la maladie. 

%On obtient les résultats suivants :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85\:\% des cas ; 
%\item[$\bullet~$] si un animal est sain, le test est négatif dans 95\:\% des cas.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

%\medskip
 
%On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d'utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie.
% 
%On note :

%\setlength\parindent{15mm}
%\begin{description}
%\item[ ] M l'évènement : \og l'animal est porteur de la maladie \fg{} ;
%\item[ ] T l'évènement : \og le test est positif \fg.
%\end{description}
%\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée.

\medskip

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$M$}\taput{0,01}}
	  { 
		  \TR{$T$}\taput{0,85}
		  \TR{$\overline{T}$}\tbput{0,15}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{M}$}\tbput{0,99}}
	  {
		  \TR{$T$}\taput{0,05}
		  \TR{$\overline{T}$}\tbput{0,95}	  
	  }	
}
\end{center}

\medskip
 
\item %Un animal est choisi au hasard. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la probabilité qu'il soit porteur de la maladie et que son test soit positif ?
On suit la première branche : la probabilité est égale à

$p(M) \times p_{M}(T) = 0,01 \times 0,85 = \np{0,0085}$. 
		\item  %Montrer que la probabilité pour que son test soit positif est $0,058$.
La probabilité qu'il soit non porteur de la maladie et que son test soit positif (troisième branche) est égale à $0,99 \times 0,05 = \np{0,0495}$.

On a donc $p(T) = p(M) \times p_{M}(T) + p\left(\overline{M}\right) \times p_{\overline{M}}(T) = \np{0,0085} + \np{0,0495} = 0,058$.
 	\end{enumerate} 
\item %Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour qu'il soit porteur de la maladie ?
Il faut calculer $p_{T}(M) = \dfrac{p(M \cap T)}{p(T)} = \dfrac{\np{0,0085}}{0,058} \approx \np{0,1466}$. 
\item %On choisit cinq animaux au hasard. La taille de ce troupeau permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d'assimiler les tirages à des tirages avec remise. On note X la variable aléatoire qui, aux cinq animaux choisis, associe le nombre d'animaux ayant un test positif. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la loi de probabilité suivie par X ?
On a ici un schéma de Bernoulli de paramètres $n = 5$ et $p = \np{0,058}
$.

X suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(5~;~0,058)$.

La probabilité que $k$ animaux aient un test positif est égale à :

\[\binom{5}{k} \times  \np{0,058}^k \times (1 - \np{0,058})^{5 - k}.\]

On obtient le tableau de la loi de probabilité de X suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
X $= x_{i}$						&0			&1			&2			&3			&4&5\\ \hline
$p\left(\text{X} = x_{i}\right)$&\np{0,7417}&\np{0,2284}&\np{0,0281}&\np{0,0017}&\np{0,0001}&0\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item %Quelle est la probabilité pour qu'au moins un des cinq animaux ait un test positif ?
L'évènement contraire est : tous les animaux ont un test négatif qui d'après le tableau précédent a une probabilité d'environ \np{0,7417}.

La probabilité pour qu'au moins un des cinq animaux ait un test positif est donc : $1 - \np{0,7417} = \np{0,2583}$.
	\end{enumerate} 
\item~ %Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant réagi positivement au test est de 100~euros et le coût de l'abattage d'un animal non dépisté par le test et ayant développé la maladie est de \np{1000}~euros. On suppose que le test est gratuit.
 
%D'après les données précédentes, la loi de probabilité du coût à engager par animal subissant le test est donnée par le tableau suivant :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Coût& $0$& 100 &\np{1000}\\ \hline 
Probabilité &\np{0,9405} &\np{0,0580} &\np{0,0015}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire associant à un animal le coût à engager.
On a d'après les données du tableau :
		
E $ = 0 \times \np{0,9405} + 100 \times \np{0,0580} + \np{1000} \times \np{0,0015} = 5,80 + 1,50 = 7,30$~\euro.

Ceci représente le coût moyen par animal 
		\item %Un éleveur possède un troupeau de 200~bêtes. Si tout le troupeau est soumis au test, quelle somme doit-il prévoir d'engager ?
Pour 200~bêtes, le coût sera en moyenne de :
		
\[200 \times 7,30 = \np{1460}~\text{\euro}.\] 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}