%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{multirow} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Correction : François Hache \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} %%%% Commandes perso FH \newcommand{\ds}{\displaystyle}% displaystyle \newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crocher gauche \newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit \renewcommand{\d}{\,\text{d}}% le d de différentiation \newcommand{\e}{\,\text{e}\,}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\text{\,i\,}}% le i des complexes \newcommand{\pg}{\geqslant}% plus grand ou égal \newcommand{\pp}{\leqslant}% plus petit ou égal \newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent \newcommand{\limit}[2]{\lim\limits_{#1 \to #2}}% limite \newcommand{\integ}[2]{\displaystyle\int_{#1}^{\,#2}}% intégrale \newcommand*{\point}[4]{ \psdots(#1,#2) \uput[#3](#1,#2){#4} } % permet de placer un point et de marquer son nom en même temps % abscisse ordonnée emplacement et nom \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma% pas d'espace après la virgule en mode mathématique \usepackage[np]{numprint} \setlength\parindent{0mm} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S } \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{19 juin 2014}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Asie 19 juin 2014~\decofourright}}} \end{center} \subsection*{Exercice 1 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} %\medskip % %\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples comportant quatre questions indépendantes.\\ %Pour chaque question, une seule des quatre affirmations proposées est exacte.\\ %Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à l'affirmation exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point ; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} % %\smallskip % %Dans l'espace, rapporté à un repère orthonormal, on considère les points A$(1~;~- 1~;~- 1)$, B(1~;~1~;~1), C(0~;~3~;~1) et le plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x + y - z + 5 = 0$. % \medskip \textbf{Question 1 - c.} %Soit $\mathcal{D}_{1}$ la droite de vecteur directeur $\vect{u}(2~;~-1~;~1)$ passant par A. % %Une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est : % %\medskip %\begin{tabularx}{\linewidth}{X X} %\textbf{a.~~}$\left\{\begin{array}{l cl} %x&=&2+t \\ %y&=&- 1 - t\\ %z&=&1 - t %\end{array}\right. \quad (t \in \R)$& %\textbf{b.~~}$\left\{\begin{array}{l cl} %x&=&- 1 + 2t \\ %y&=&1 - t\\ %z&=&1 + t %\end{array}\right. \quad (t \in \R)$\\ %\textbf{c.~~}$\left\{\begin{array}{l cl} %x&=&5 + 4t \\ %y&=&- 3 - 2t\\ %z&=&1 + 2t %\end{array}\right. \quad (t \in \R)$& %\textbf{d.~~}$\left\{\begin{array}{l cl} %x&=&4 - 2t \\ %y&=&- 2 + t\\ %z&=&3 - 4 t %\end{array}\right. \quad (t \in \R)$\\ %\end{tabularx} On peut éliminer rapidement les réponses \textbf{a.} et \textbf{d.} car les vecteurs directeurs des droites proposées ne sont pas colinéaires au vecteur $\vec u$. La représentation paramétrique donnée en \textbf{c.} est une droite qui contient le point A pour la valeur $t=-1$. \medskip \textbf{Question 2 - c.} %Soit $\mathcal{D}_{2}$ la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l cl} %x&=&1 + t \\ %y&=&- 3 - t\\ %z&=&2 - 2 t %\end{array}\right. \quad (t \in \R)$. % %\textbf{a.~~} La droite $\mathcal{D}_{2}$ et le plan $\mathcal{P}$ ne sont pas sécants % %\textbf{b.~~} La droite $\mathcal{D}_{2}$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$. % %\textbf{c.~~} La droite $\mathcal{D}_{2}$ et le plan $\mathcal{P}$ se coupent au point E$\left(\dfrac{1}{3}~;~- \dfrac{7}{3}~;~\dfrac{10}{3} \right)$. % %\textbf{d.~~} La droite $\mathcal{D}_{2}$ et le plan $\mathcal{P}$ se coupent au point F$\left(\dfrac{4}{3}~;~- \dfrac{1}{3}~;~\dfrac{22}{3} \right)$. Le plus efficace pour répondre à cette question est de résoudre le système $\left\{\begin{array}{r @{\ =\ } l} x & 1 + t \\ y & - 3 - t\\ z & 2 - 2 t\\ 2x+y-z+5 & 0 \end{array}\right.$ qui donne $-\dfrac{2}{3}$ comme valeur à $t$ et qui conduit au point E. \medskip \textbf{Question 3 - d.} %\textbf{a.~~} L'intersection du plan $\mathcal{P}$ et du plan (ABC) est réduite à un point. % %\textbf{b.~~} Le plan $\mathcal{P}$ et le plan (ABC) sont confondus. % %\textbf{c.~~} Le plan $\mathcal{P}$ coupe le plan (ABC) selon une droite. % %\textbf{d.~~} Le plan $\mathcal{P}$ et le plan (ABC) sont strictement parallèles. On appelle $\vect n \left ( 2\,;\, 1 \,;\, -1 \right )$ un vecteur normal au plan $\mathcal P$. On montre successivement que $\vect n .\;\vect{\text{AB}}=0$ et $\vect n . \;\vect{\text{AC}}=0$ ce qui prouve que les plans $\mathcal P$ et (ABC) sont parallèles. Or A\;$\not\in \mathcal P$ donc les plans sont strictement parallèles. \medskip \textbf{Question 4 - a.} %Une mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ arrondie au dixième de degré est égale à : % %\medskip %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} %\textbf{a.~~} 22,2~\degres&\textbf{b.~~} 0,4~\degres&\textbf{c.~~} 67,8~\degres &\textbf{d.~~} 1,2~\degres %\end{tabularx} %\medskip On utilise l'expression du produit scalaire : $\vect{\text{AB}} . \; \vect{\text{AC}} = \text{AB} \times \text{AC} \times \cos \widehat{\text{BAC}} \iff 12 = \sqrt{8} \times \sqrt{21} \times \cos \widehat{\text{BAC}}$ donc $\cos \widehat{\text{BAC}}\approx \np{0,9258}$ ce qui correspond à $22,2\degres$. %\vspace{0,25cm} % %\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points} \subsection*{Exercice 2 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Le taux d'hématocrite est le pourcentage du volume de globules rouges par rapport au volume total du sang. On note $X$ la variable aléatoire donnant le taux d'hématocrite d'un adulte choisi au hasard dans la population française; cette variable suit la loi normale de moyenne $\mu = 45,5$ et d'écart type $\sigma$. %\medskip % %\textbf{Partie A} % %\medskip \subsubsection*{Partie A} On note $Z$ la variable aléatoire $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} = \dfrac{X - 45,5}{\sigma}$. %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Quelle est la loi de la variable aléatoire $Z$ ? D'après le cours, la variable aléatoire $Z = \dfrac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite, d'espérance 0 et d'écart type 1. \item% Déterminer $P(X \leqslant \mu)$. D'après le cours, si la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu$, $P(X\pp \mu)=0,5$. Cela résulte de la symétrie de la courbe de Gauss autour de la droite d'équation $x=\mu$. \end{enumerate} \item% En prenant $\sigma = 3,8$, déterminer $P(37,9 \leqslant X \leqslant 53,1)$. Arrondir le résultat au centième. En prenant $\sigma=3,8$, $\mu-2\sigma = 45,5 - 2\times 3,8 = 37,9$ et $\mu+2\sigma = 45,5 + 2\times 3,8 = 53,1$. Or on sait que si la variable aléatoire $X$ suit la loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$:\\ $P(\mu - 2\sigma \pp X \pp \mu +2\sigma) \approx 0,95$ donc $P(37,9 \pp X \pp 53,1) \approx 0,95$. \end{enumerate} %\bigskip % %\textbf{Partie B} % %\medskip \subsubsection*{Partie B} %Une certaine maladie V est présente dans la population française avec la fréquence 1\,\%. On sait d'autre part que 30\,\% de la population française a plus de 50 ans, et que 90\,\% des porteurs de la maladie V dans la population française ont plus de 50 ans. % %\smallskip % %On choisit au hasard un individu dans la population française. % %On note $\alpha$ l'unique réel tel que $P(X \leqslant \alpha) = 0,995$, o\`u $X$ est la variable aléatoire définie au début de l'exercice. On ne cherchera pas à calculer $\alpha$. % %\smallskip % On définit les évènements : \setlength\parindent{10mm} \begin{description} \item[\hspace*{1cm} $M$: ] \og l'individu est porteur de la maladie V \fg ; \item[\hspace*{1cm} $S$: ] \og l'individu a plus de 50 ans \fg{} ; \item[\hspace*{1cm} $H$: ] \og l'individu a un taux d'hématocrite supérieur à $\alpha$ \fg. \end{description} \setlength\parindent{0mm} %Ainsi $P(M) = 0,01, \quad P_{M}(S) = 0,9$ et $P(H) = P(X > \alpha)$. % %D'autre part, une étude statistique a révélé que 60\,\% des individus ayant un taux d'hématocrite supérieur à $\alpha$ %sont porteurs de la maladie V. % %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On sait que 90\,\% des porteurs de la maladie V ont plus de 50 ans donc $P_M(S)=0,9$. $P(M \cap S) = P(M) \times P_M(S) = 0,01 \times 0,9 = 0,009$. \item% On choisit au hasard un individu ayant plus de 50 ans. Montrer que la probabilité qu'il soit porteur de la maladie V est égale à $0,03$. La probabilité qu'un individu ayant plus de 50 ans soit porteur de la maladie V est\\ $P_S(M)= \dfrac{P(M \cap S)}{P(S)}$. On sait que 30\,\% de la population a plus de 50 ans, donc $P(S)=0,3$. On déduit: $P_S(M)= \dfrac{P(M \cap S)}{P(S)} = \dfrac{0,009}{0,3} = 0,03$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Calculer la probabilité $P(H)$. $P(H)= P(X > \alpha) = 1- P(X \pp \alpha) = 1 - 0,995 = 0,005$ \item L'individu choisi au hasard a un taux d'hématocrite inférieur ou égal à $\alpha$ (évènement $\overline H$); la probabilité qu'il soit porteur de la maladie V est $P_{\overline H}(M)$. $P_{\overline H}(M)=\dfrac{P(M \cap \overline H)}{P(\overline H)}$ On sait que 60\,\% des individus ayant un taux d'hématocrite supérieur à $\alpha$ sont porteurs de la maladie V, donc $P_H(M)=0,6$. On en déduit que $P(H \cap M) = P(H) \times P_H(M)= 0,05 \times 0,6 = 0,003$. D'après la formule des probabilités totales, $P(M)=P(M \cap H) + P(M \cap \overline H)$ donc \\ $P(M \cap \overline H) = P(M) - P(M \cap H) = 0,01 - 0,003 = 0,007$. $P_{\overline H}(M)=\dfrac{P(M \cap \overline H)}{P(\overline H)} = \dfrac{0,007}{0,995} \approx 0,007$. La probabilité qu'un individu soir porteur de la maladie sachant qu'il a un taux d'hématocrite inférieur ou égale à $\alpha$ est de $0,007$. \end{enumerate} \end{enumerate} %\bigskip % %\textbf{Partie C} % %\medskip \subsubsection*{Partie C} %Le but de cette partie est d'étudier l'influence d'un gène sur la maladie V. \medskip \begin{enumerate} \item% Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence de la maladie V dans les échantillons de taille \np{1000}, prélevés au hasard et avec remise dans l'ensemble de la population française. On arrondira les bornes de l'intervalle au millième. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\,\%$ de la fréquence $p$ de la maladie V dans un échantillon de taille $n$ est: $I=\left[ p-1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\,;\,p+1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n} \right]$ $p=P(M)=0,01$ et $n=\np{1000}$ donc: $I=\left[ 0,01-1,96 \dfrac{\sqrt{0,01 \times 0,99}}{\sqrt{\np{1000}}}\,;\,0,01+1,96 \dfrac{\sqrt{0,01 \times 0,99}}{\sqrt{\np{1000}}} \right] \approx \cd 0,003\,;\, 0,017 \cg$ \item Dans un échantillon aléatoire de \np{1000} personnes possédant le gène, on a trouvé 14~personnes porteuses de la maladie V donc $f=\dfrac{14}{\np{1000}} = 0,014$. \smallskip %Au regard de ce résultat, peut-on décider, au seuil de 95\,\%, que le gène a une influence sur la maladie ? Cette fréquence appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% donc l'échantillon étudié peut être considéré comme \og{}normal\fg{}; on peut conclure que le gène ne semble pas avoir d'influence sur la maladie. \end{enumerate} %\vspace{0,5cm} % %\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points} \subsection*{Exercice 3 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Une chaîne, suspendue entre deux points d'accroche de même hauteur peut être modélisée par la représentation graphique d'une fonction $g$ définie sur $[-1~;~1]$ par Soit $g$ la fonction définie sur $\cd -1\,;\, 1\cg$ par $g(x) = \dfrac{1}{2a} \left(\text{e}^{ax} + \text{e}^{- ax}\right)$ où $a$ est un réel strictement positif. %\smallskip % %On montre en sciences physiques que, pour que cette chaîne ait une tension minimale aux extrémités, il faut et il suffit que le réel $a$ soit une solution strictement positive de l'équation % %\[(x - 1)\text{e}^{2x} - 1 - x = 0.\] On définit sur $\cd 0~;~+ \infty\cd$ la fonction $f$ par $f(x) = (x - 1)\text{e}^{2x} - 1 - x$. %\medskip \begin{enumerate} \item% Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$. La fonction $f$ est dérivable sur $\cd 0\,;\, +\infty \cd$ comme somme, produit et composée de fonctions dérivables: $f'(x) = 1 \times \e^{2x} + (x-1)\times 2\e^{2x} -1 = (2x-1)\e^{2x} - 1$ $f'(0)= -\e^{0}-1 = -2$ $\left. \begin{array}{@{} r @{\ =\ } l} \ds \lim_{x \to +\infty} (2x-1) & +\infty\\ \ds\lim_{x \to +\infty}\e^{x} = +\infty \Longrightarrow \ds\lim_{x \to +\infty}\e^{2x} & + \infty \end{array} \right\rbrace \stackrel{\text{par produit}}{\Longrightarrow} \ds\lim_{x \to +\infty} (2x - 1)\e^{2x} = +\infty$ $\Longrightarrow \ds\lim_{x \to +\infty} f'(x)=+\infty $ %Vérifier que $f'(0) = - 2$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f'(x) = + \infty$. \item% On note $f''$ la fonction dérivée de $f'$. %Vérifier que, pour tout réel $x \geqslant 0,\:\: f''(x) = 4x\text{e}^{2x}$. $f''(x)=2\times \e^{2x} + (2x-1) \times 2\e^{2x} = (2+4x-2)\e^{2x}=4x\e^{2x}$ \item% Montrer que, sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ la fonction $f'$ s'annule pour une unique valeur, notée $x_{0}$. \begin{list}{\textbullet}{} \item Pour tout $x$, $\e^{2x}>0$ donc la fonction $f''$ est strictement positive sur $\cg 0\,;\, +\infty \cd$, et donc la fonction $f'$ est strictement croissante sur $\cd 0\,;\, +\infty \cd$. \item La fonction $f'$ est continue $\cd 0\,;\, +\infty\cd$. \item $f'(0)=-2<0$ \item $\ds\lim_{x \to +\infty} f'(x)=+\infty$ \end{list} donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, on peut dire que l'équation $f'(x)=0$ admet une solution unique dans l'intervalle $\cd 0\,;\, +\infty\cd$; on appelle $x_0$ cette solution. \textit{On aurait pu également établir le tableau de variations de la fonction $f'$.} \item \begin{enumerate} \item% Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, puis montrer que $f(x)$ est négatif pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left[0~;~x_{0}\right]$. \begin{list}{\textbullet}{D'après la question précédente: } \item $f'(x)<0$ sur $\cd 0 \,;\, x_0\cd$ donc $f$ est strictement décroissante sur $\cd 0 \,;\, x_0\cg$; \item $f'(x)>0$ sur $\cg x_0 \,;\, +\infty\cd$ donc $f$ est strictement croissante sur $\cd x_0 \,;\, +\infty\cd$. \end{list} $\left. \begin{array}{@{} l} f(0)=-1\times \e^0 - 1 = -2 <0\\ f \text{ est décroissante sur } \cd 0\,;\, x_0 \cg \end{array} \right\rbrace \Longrightarrow f(x)<0 \text{ pour tout } x \in \cd 0\,;\, x_0 \cg \Longrightarrow f(x_0) <0 $ \item $f(2) = 1\times \e^4 -1 - 2 = \e^4 - 3 \approx 51,6 >0$ %En déduire que sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, la fonction $f$ s'annule pour une unique valeur. \begin{list}{\textbullet}{} \item La fonction $f$ est strictement croissante sur $\cd x_0\,;\, +\infty \cd$. \item La fonction $f$ est continue sur $\cd x_0\,;\, +\infty\cd$. \item $f(x_0)<0$ \item $f(2)=\e^4-3>0$ \end{list} donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, on peut dire que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique dans l'intervalle $\cd x_0\,;\, 2\cg$. $f(2)>0$ et $f$ est strictement croissante sur $\cd 2\,;\, +\infty\cd$ donc l'équation $f(x)=0$ n'a pas de solution dans l'intervalle $\cd 2 \,;\, +\infty\cd$. Comme $f(x)<0$ sur $\cd 0\,;\, x_0\cg$, l'équation $f(x)=0$ n'a pas de solution dans $\cd 0\,;\, x_0\cg$. \smallskip On peut donc dire que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution dans l'intervalle $\cd 0\,;\, +\infty\cd$ et que cette solution appartient à l'intervalle $\cd x_0\,;\, 2\cg$; on l'appelle $a$. %Si l'on note $a$ cette valeur, déterminer à l'aide de la calculatrice la valeur de $a$ arrondie au centi\`eme. En utilisant la calculatrice, on trouve $a \approx 1,20$. \textit{Pour déterminer une valeur approchée de $x_0$ à la calculatrice, on peut programmer la fonction $f$ et utiliser le tableau de valeurs, ou utiliser le \texttt{solveur} si la calculatrice en possède un.} \end{enumerate} \item On admet que la longueur $L$ de la chaîne est donnée par l'expression $L = \displaystyle\int_{0}^1 \left(\text{e}^{ax} + \text{e}^{- ax}\right)\:\text{d}x$. %Calculer la longueur de la chaîne ayant une tension minimale aux extrémités, en prenant $1,2$ comme valeur approchée du nombre $a$. La fonction $x \longmapsto \e^{\alpha x}$ où $\alpha \neq 0$ a pour primitive $x \longmapsto \dfrac{\e^{\alpha x}}{\alpha}$ donc la fonction $x \longmapsto \e^{ax} + \e^{-ax}$ a pour primitive la fonction $x \longmapsto \dfrac{\e^{ax}}{a} + \dfrac{\e^{-ax}}{-a}$ soit $x \longmapsto \dfrac{1}{a}\left ( \e^{ax} - \e^{-ax}\right )$. $L = \displaystyle\int_{0}^1 \left(\e^{ax} + \e^{- ax}\right)\:\d x = \left [ \dfrac{1}{a}\left ( \e^{ax} - \e^{-ax}\right ) \right ]_0^1 = \left [ \dfrac{1}{a}\left ( \e^{a} - \e^{-a}\right ) \right ] - \left [ \dfrac{1}{a}\left ( \e^{0} - \e^{0}\right ) \right ] =$ $ \dfrac{1}{a}\left ( \e^{a} - \e^{-a}\right ) \phantom{L} = \dfrac{1}{1,2}\left ( \e^{1,2} - \e^{-1,2}\right ) \approx 2,52$ \end{enumerate} %\vspace{0,5cm} % %\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi la spécialité mathématique} \medskip %Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 1. Pour $n$ de $\N^*$, on note $f_{n}$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $\cd 0~;~1\cg$ par $f_{n}(x) = \dfrac{1}{1 + x^n}$. Pour tout $n$ de $\N^*$, on définit le nombre $I_{n}$ par $I_{n} = \ds\int_{0}^1 f_{n}(x) \d x = \int_{0}^1 \dfrac{1}{1 + x^n} \d x$. \begin{enumerate} \item %Les représentations graphiques de certaines fonctions $f_{n}$ obtenues à l'aide d'un logiciel sont tracées ci-après. %\begin{figure}[!b] %\begin{center} %\psset{unit=8cm,comma=true} %\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.1,1.1) %\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2]{->}(0,0)(1.1,1.1) %\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(1,1) %\uput[u](1.05,0){$x$}\uput[r](0,1.05){$y$} %\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 1 exp 1 add div} %\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 2 exp 1 add div} %\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 3 exp 1 add div} %\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 4 exp 1 add div} %\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 5 exp 1 add div} %\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 10 exp 1 add div} %\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 50 exp 1 add div} %\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 200 exp 1 add div} %\uput[d](0.3,0.77){$f_{1}$} %\uput[ur](0.4,0.862){$f_{2}$} %\uput[d](0.5,0.9){$f_{3}$} %\uput[l](0.96,0.9){$f_{50}$} %\uput[r](0.98,0.93){$f_{200}$} %%\psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red](0,1)(0.2,0) %%\psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red, hatchangle=-45](0.2,0.962)(0.4,0) %%\psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red](0.4,0.862)(0.6,0) %%\psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red, hatchangle=-45](0.6,0.735)(0.8,0) %%\psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red](0.8,0.61)(1,0) %\end{pspicture} %\end{center} %\end{figure} %En expliquant soigneusement votre démarche, conjecturer, pour la suite $\left(I_{n}\right)$ l'existence et la valeur éventuelle de la limite, lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. Pour tout $n$ de $\N^*$ et tout $x$ de $\cd 0\,;\, 1\cg$, $1+x^n >0$ donc $f_n(x) >0$. Donc $I_n = \ds\int_0^1 f_n(x) \d x$ est égale à l'aire du domaine délimité par la courbe représentant la fonction $f_n$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$. D'après le graphique, cette aire tend à se rapprocher de 1 quand $n$ tend vers $+\infty$. \item % Calculer la valeur exacte de $I_{1}$. $I_1= \ds\int_0^1 \dfrac{1}{1+x} \d x = \left [ \rule[-5pt]{0pt}{12pt} \ln (1+x)\right ]_0^1 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$ \item \begin{enumerate} \item% Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] et pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : %\[\dfrac{1}{1 + x^n} \leqslant 1.\] Pour tout $n$ de $\N^*$ et tout $x$ de $\cd 0\,;\, 1\cg$: $0 \pp x^n \pp 1 \iff 1 \pp 1+x^n \pp 2 \iff \dfrac{1}{1} \pg \dfrac{1}{1+x^n} \pg \dfrac{1}{2}$ donc $\dfrac{1}{1+x^n} \pp 1$. \item% En déduire que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : $I_{n} \leqslant 1$. Pour tout $x$ de $\cd 0\,;\, 1\cg$, $\dfrac{1}{1+x^n} \pp 1$ donc, d'après la positivité de l'intégration: \smallskip \hfill $\ds\int_0^1 \dfrac{1}{1+x^n} \d x \pp \int_0^1 1 \d x \iff I_n \pp \left [x \rule[-2pt]{0pt}{10pt} \right ]_0^1 \iff I_n \pp 1$\hfill\, \end{enumerate} \item% Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] et pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : %\[1 - x^n \leqslant \dfrac{1}{1 + x^n}.\] Pour tout $n$ de $\N$ et pour tout $x$, $\left (x^n\right )^2 \pg 0$ donc $1- \left (x^n\right )^2 \pp 1$ ce qui équivaut à $\left (1-x^n\right )\left (1+x^n\right ) \pp 1$ et comme $1+x^n >0$ pour $x \in \cd 0\,;\, 1\cg$: $1-x^n \pp \dfrac{1}{1+x^n}$. \item% Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1 \left( 1 - x^n\right)\:\text{d}x$. $\displaystyle\int_{0}^1 \left( 1 - x^n\right)\:\d x = \left [ x-\dfrac{x^{n+1}}{n+1} \right ]_0^1 = \left [1-\dfrac{1}{n+1}\right ] - 0 = \dfrac{n}{n+1} $ \item% À l'aide des questions précédentes, démontrer que la suite $\left(I_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite. On a vu que, pour tout $n$ de $\N$ et tout réel $x$ de $\cd 0\,;\, 1\cg$, $1-x^n \pp \dfrac{1}{1+x^n}$. D'après la positivité de l'intégration, on peut en déduire que $ \ds \int_0^1 (1-x^n) \d x \pp \ds \int_0^1 \dfrac{1}{1+x^n} \d x$ c'est-à-dire $\dfrac{n}{n+1} \pp I_n$. On a vu aussi que pour tout $n$, $I_n \pp 1$. Donc, pour tout $n$, $\dfrac{n}{n+1} \pp I_n \pp 1$. \smallskip On sait que $\ds\lim_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n+1\rule[-2pt]{0pt}{0pt}}=0$ donc $\ds\lim_{n \to +\infty} 1 - \dfrac{1}{n+1}=1$ ce qui équivaut à $\ds\lim_{n \to +\infty}\dfrac{n}{n+1}=1$ $\ds\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n}{n+1} = 1$, $\ds\lim_{n \to +\infty} 1 = 1$ et, pour tout $n$ de $\N$, $\dfrac{n}{n+1\rule[-3pt]{0pt}{0pt}} \pp I_n \pp 1$; donc, d'après le théorème des gendarmes, la suite $(I_n)$ est convergente et a pour limite 1. \item% On considère l'algorithme suivant : % %\begin{center} %\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l X|}\hline %\textbf{Variables :}& $n,\:p$ et $k$ sont des entiers naturels\\ % & $x$ et $I$ sont des réels\\ % &\\ %\textbf{Initialisation :}& $I$ prend la valeur $0$\\ % &\\ %\textbf{Traitement :}& Demander un entier $n \geqslant 1$\\ % & Demander un entier $p \geqslant 1$\\ % &Pour $k$ allant de 0 à $p - 1$ faire :\\ % &\hspace{0,5cm}$x$ prend la valeur $\dfrac{k}{p}$\\ % &\hspace{0,5cm} $I$ prend la valeur $I + \dfrac{1}{1 + x^n} \times \dfrac{1}{p}$\\ % &Fin Pour \\ % &Afficher $I$\\ \hline %\end{tabularx} %\end{center} \begin{enumerate} \item% Quelle valeur, arrondie au centième, renvoie cet algorithme si l'on entre les valeurs $n = 2$ et $p = 5$ ? On fait tourner l'algorithme proposé avec $n=2$ et $p=5$: %On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau suivant avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l'algorithme. Les valeurs de $I$ seront arrondies au millième. \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $k$& $x$&$I$\\ \hline 0 & 0 & 0,2 \\ \hline 1 & 0,2 & 0,392\\ \hline 2 & 0,4 & 0,565\\ \hline 3 & 0,6 & 0,712\\ \hline 4 & 0,8 & 0,834\\ \hline \end{tabularx} \end{center} La valeur de $I$ arrondie au centième qui sera affichée est 0,83. \item% Expliquer pourquoi cet algorithme permet d'approcher l'intégrale $I_{n}$. Il faut reconnaitre dans l'algorithme proposé la méthode des rectangles permettant de calculer des valeurs approchées d'aire sous une courbe; plus précisément, comme la fonction $f_n$ est décroissante sur $\cd 0\,;\, 1\cg$, on obtient la somme de rectangles majorant l'intégrale $I_n$ cherchée. %\begin{figure}[!b] \begin{center} \psset{unit=7cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.1,1.1) \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(1.1,1.1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=0.2]{->}(0,0)(1,1) \uput[u](1.05,0){$x$}\uput[r](0,1.05){$y$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 2 exp 1 add div} \uput[ur](0.4,0.862){$f_{2}$} \psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red](0,1)(0.2,0) \psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red, hatchangle=-45](0.2,0.962)(0.4,0) \psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red](0.4,0.862)(0.6,0) \psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red, hatchangle=-45](0.6,0.735)(0.8,0) \psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red](0.8,0.61)(1,0) \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi la spécialité mathématique} %\medskip % %\textbf{Partie A} % %\medskip \subsubsection*{Partie A} %Le but de celle partie est de démontrer que l'ensemble des nombres premiers est infini en raisonnant par l'absurde. % %\medskip \begin{enumerate} \item On suppose qu'il existe un nombre fini de nombres premiers notés $p_{1},\: p_{2}, \ldots,\: p_{n}$. On considère le nombre $E$ produit de tous les nombres premiers augmenté de 1 : $E = p_{1} \times p_{2} \times \cdots\times p_{n} + 1$. %Démontrer que $E$ est un entier supérieur ou égal â 2, et que $E$ est premier avec chacun des nombres $p_{1},\: p_{2}, \ldots,\: p_{n}$. Le nombre 2 est premier donc il est dans la liste $\{ p_1\,,\, p_2 \,,\, \ldots, p_n\}$ donc le produit de ces nombres premiers est supérieur ou égal à 2 et donc $E$ est supérieur ou égal à 2. Soit $i$ un entier de l'intervalle $\cd 1\,;\, n\cg$. Le reste de la division de $E$ par $p_i$ est 1; donc $E$ n'est pas divisible par $p_i$. Comme $p_i$ est un nombre premier, et que $E$ n'est pas divisible par $p_i$, alors $E$ et $p_i$ sont premiers entre eux. Donc $E$ est premier avec chacun des nombres $p_1$, $p_2$, \ldots,$p_n$. \item% En utilisant le fait que $E$ admet un diviseur premier conclure. Tout nombre supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier, donc $E$ admet un diviseur premier. Ce diviseur premier ne peut être ni $p_1$, ni $p_2$, ni \ldots, ni $p_n$; donc il existe un autre nombre premier qui n'est ni $p_1$, ni $p_2$, ni \ldots, ni $p_n$, ce qui contredit l'hypothèse faite au départ. Il existe donc une infinité de nombres premiers. \end{enumerate} %\bigskip % %\textbf{Partie B} % %\medskip \subsubsection*{Partie B} Pour tout entier naturel $k \geqslant 2$, on pose $M_{k} = 2^k -1$. On dit que $M_{k}$ est le $k$-ième nombre de Mersenne. %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Reproduire et compléter le tableau suivant, qui donne quelques valeurs de $M_{k}$ : On calcule $M_k$ pour quelques valeurs de $k$: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $k$&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline $M_{k}$&3&7&15&31&63&127&255&511&1023\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item% D'après le tableau précédent, si $k$ est un nombre premier, peut-on conjecturer que le nombre $M_{k}$ est premier ? Pour $k=2$ premier, $M_2=3$ est premier. Pour $k=3$ premier, $M_3=7$ est premier. Pour $k=5$ premier, $M_5=31$ est premier. Pour $k=7$ premier, $M_7=127$ est premier. D'après ce tableau, on peut conjecturer que si $k$ est premier, alors $M_k$ est premier. \end{enumerate} \item Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels non nuls. \begin{enumerate} \item% Justifier l'égalité : $1 + 2^p + + \left(2^p\right)^2 + \left(2^p\right)^3 + \cdots \left(2^p\right)^{q - 1} = \dfrac{\left(2^p\right)^q - 1}{2^p - 1}$. $1 + 2^p + + \left(2^p\right)^2 + \left(2^p\right)^3 + \cdots \left(2^p\right)^{q - 1}$ est la somme des $q$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison $2^P$; cette somme est égale à: \smallskip \hfill $\text{premier terme} \times \dfrac{1- \text{raison}^\text{nombre de termes}}{1- \text{raison}} = 1\times \dfrac{1-(2^p)^q}{1-2^p} = \dfrac{(2^p)^q-1}{2^p-1}$ \hfill\, \smallskip \item% En déduire que $2^{pq} - 1$ est divisible par $2^p - 1$. Le nombre $1 + 2^p + + \left(2^p\right)^2 + \left(2^p\right)^3 + \cdots \left(2^p\right)^{q - 1}$ est entier et, d'après la question précédente, $\left (1 + 2^p + + \left(2^p\right)^2 + \left(2^p\right)^3 + \cdots \left(2^p\right)^{q - 1}\right ) \times \left ( 2^p-1\right ) = 2^{pq}-1$ donc $2^{pq} - 1$ est divisible par $2^p - 1$. \item% En déduire que si un entier $k$ supérieur ou égal à $2$ n'est pas premier, alors $M_{k}$ ne l'est pas non plus. Soit $k$ un nombre non premier; alors il existe deux entiers strictement plus grands que 1 tels que $k=pq$. $M_k=2^k-1=2^{pq}-1$ est divisible par $2^p-1$ qui est strictement plus grand que 1: donc $M_k$ n'est pas premier. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Prouver que le nombre de Mersenne $M_{11}$ n'est pas premier. $M_{11} = 2^{11}-1 = \np{2047} = 23\times 89$ donc $M_{11}$ n'est pas premier. \item% Que peut-on en déduire concernant la conjecture de la question 1. b. ? La conjecture de la question \textbf{1.b.} est donc fausse: 11 et premier et $M_{11}$ ne l'est pas. \end{enumerate} \end{enumerate} %\bigskip % %\textbf{Partie C} % %\medskip \subsubsection*{Partie C} %Le test de Lucas-Lehmer permet de déterminer si un nombre de Mersenne donné est premier. Ce test utilise la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 4$ et pour tout entier naturel $n$ : % %\[u_{n+1} = u_{n}^2 - 2.\] % %Si $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2, le test permet d'affirmer que le nombre $M_{n}$ est premier si et seulement si $u_{n-2} \equiv 0 \quad \text{modulo }\: M_{n}$. Cette propriété est admise dans la suite. % %\medskip Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par: $\left\lbrace \begin{array}{r @{\ =\ } l l} u_0 & 4\\ u_{n+1} & u_n^2-2 & \text{pour tout entier naturel } n \end{array} \right. $ \begin{enumerate} \item% Utiliser le test de Lucas-Lehmer pour vérifier que le nombre de Mersenne $M_{ ~5}$ est premier D'après le test de Lucas-Lehmer, $M_5$ est premier si et seulement si $u_{3} \equiv 0 \text{ modulo }M_{5}$. $M_5=31$; $u_0=4$ ; $u_1=u_0^2-2 = 14$; $u_2=u_1^2-2=194$; $u_3=u_2^2-2=\np{37634} = 31 \times \np{1214}$ Donc $u_3$ est divisible par $M_5$ donc le test de Lucas-Lehmer est vérifié pour $k=5$. \item% Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 3. L'algorithme suivant permet de vérifier si le nombre de Mersenne $M_{n}$ est premier, en utilisant le test de Lucas-Lehmer: \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l X|}\hline & \\[-5pt] \textbf{Variables:}& $u$, $M$, $n$ et $i$ sont des entiers naturels \\ \textbf{Initialisation:}& $u$ prend la valeur 4\\ \textbf{Traitement:}& Demander un entier $n \geqslant 3$\\ & $M$ prend la valeur {\red $2^n-1$}\\ & Pour $i$ allant de 1 à {\red $n-2$} faire \\ &\hspace{0.4cm} $u$ prend la valeur {\red $u^2-2$} \\ &Fin Pour\\ &Si $M$ divise $u$ alors afficher \og $M$ {\red est premier} \fg\\ & sinon afficher \og $M$ {\red n'est pas premier} \fg\\ \hline \end{tabularx} \end{center} %Recopier et compléter cet algorithme de façon à ce qu'il remplisse la condition voulue. \end{enumerate} \end{document}