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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
% Sujet aimablement fourni par François Cosmo
% Corrigé Denis Vergès
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pdftitle = {Corrigé Asie  juin 2014},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalaurŽéat S }
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
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\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalaurŽéat S Asie 
juin 2006~\decofourright}}} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A.  Restitution organisée de connaissances}

\medskip

On a arg $\left(\dfrac{z}{z'}\times z'\right) = \text{arg } z \iff \text{arg } \left(\dfrac{z}{z'}\right) + \text{arg } z' = \text{arg } z \iff \text{arg } \left(\dfrac{z}{z'}\right) = \text{arg } z - \text{arg } z'$.

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-1.5)(2,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-2,-1.5)(2,3)
\pscircle(0,1){2}\rput(0,-1){$\times$} \rput(0,3){$\times$} \rput(-2,1){$\times$}
\rput(1.732,0){$\times$} \rput(-1.732,0){$\times$}
\uput[ur](0,3){B} \uput[dr](0,-1){A} \uput[ul](-2,1){C} 
\uput[ul](1.732,0){J} \uput[ur](-1.732,0){K} \uput[ur](-1,0){C$'$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{figure}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $M$ d'affixe $z$ (avec $z \neq - \text{i}$)  est invariant par $f$ si et seulement si $z= \dfrac{\text{i}z+3}{z + \text{i}} \iff z^2 + \text{i}z = \text{i}z + 3 \iff z^2 = 3$. Les points invariants sont donc les points J et K d'affixes respectives $\sqrt{3}$ et $- \sqrt{3}$.

Le cercle de diamètre [AB] a pour rayon $2$ et pour centre le point d'affixe i. Or la distance de ce point à J est égale à $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$, donc J appartient au cercle de diamètre [AB]. Même calcul pour K.
		\item Si $c'$ est l'affixe de C$'$, alors $c' = \dfrac{\text{i}(-2 + 3\text{i}}{-2 + \text{i} + \text{i}} = \dfrac{2 - 2\text{i}}{- 2 + 2\text{i}} = - 1$. Donc C$'$ appartient à l'axe des abscisses.
	\end{enumerate}
\item On peut écrire  $z'= \dfrac{\text{i}z+3}{z + \text{i}} = \dfrac{\text{i}(z - 3\text{i})}{z - (- \text{i})}$. En prenant les arguments de ces deux complexes (et en utilisant le résultat de la partie A) on obtient arg$(z') = \arg{\text{i}} + \text{arg}\left(\dfrac{z - 3\text{i}}{z - (- \text{i})}\right)~\text{à}~2\pi~\text{prés} \iff \text{arg}(z') = \dfrac{\pi}{2} + \left(\vect{\text{A}M},~\vect{\text{B}M}\right) ~\text{à}~2\pi~\text{prés} \iff$

$\text{arg}(z') = \left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}}\right) + \dfrac{\pi}{2} ~\text{à}~2\pi~\text{près}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $z'$ est imaginaire pur  si et seulement si son argument est $\dfrac{\pi}{2}$ ou $-\dfrac{\pi}{2}$. Les points $M$ correspondants sont tous les points de la droite (AB) excepté les points A et B.
		\item 
\begin{itemize}
\item  Si $M$ appartient au demi-cercle contenant K, alors  $ \left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$ et par conséquent arg$(z') = \pi$, donc $M'$ a une affixe réelle négative.
\item  Si $M$ appartient au demi-cercle contenant J, alors  $ \left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}}\right) = - \dfrac{\pi}{2}$ et par conséquent arg$(z') = 0$, donc $M'$ a une affixe réelle positive.
\end{itemize} Dans tous les cas  si $M$ appartient au cercle de diamètre [AB] privé des points A et B, le point $M'$ appartient à l'axe des abscisses.

Autre méthode numérique : Si $M$ appartient au cercle de diamètre [AB], son affixe s'écrit $z = \text{i} + 2\text{e}^{2\text{i}\theta}$, avec $\theta\in [0~;~2\pi]$. On trouve alors que 

$z' = \dfrac{\cos \theta}{1 + \sin \theta}\in \R$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\begin{center}

\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture}(3,3.7)
%\psgrid[subgriddiv=10]
\psframe(0,0)(2,2) %ABFE
\psline(0,2)(0.75,2.75)(2.75,2.75)(2,2)%EHGF
\psline(2.75,2.75)(2.75,0.75)(2,0)%BCG
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0.75,0.75)%AD
\psline[linestyle=dashed](0.75,0.75)(0.75,2.75)%DH
\psline[linestyle=dashed](2.75,0.75)(0.75,0.75)%DC
\uput[dr](0.75,0.75){D} \uput[dl](0,0){$A$} \uput[dr](2,0){B}
\uput[dr](2.75,0.75){C} \uput[ur](0.75,2.75){H} \uput[ul](0,2){E}
\uput[ul](2,2){F} \uput[u](2.75,2.75){G}
\pspolygon[linecolor=blue,linestyle=dashed](0,0)(2.75,0.75)(1.416,2.75)
\uput[ur](1.416,2.75){I} \uput[ul](0.5,2.5){J}
\psline[linestyle=dotted](1.416,2.75)(0.75,3.75)(0.75,2.75)
\psline[linestyle=dotted](0.75,3.75)(0,0)
\psline[linestyle=dotted](2.05,0.56)(1.416,2.75)
\uput[dr](2.05,0.56){R}
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](0.5,2.5)(1.416,2.75)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Voir figure
\item Construction du point J :
	\begin{itemize}
		\item Dans le plan CDHG, la droite (IC) coupe la droite (DH) en un point P ;
		\item Dans le plan ADHE la droite (PA) coupe la droite (EH) en J.
	\end{itemize}
	
Le plan (ACI) est donc coupé par les deux faces parallèles (ABCD) et (EFGH) : les intersections (AC) et(IJ) sont donc parallèles.
\item
	\begin{enumerate}
		\item R $\in$ (AC) : on sait qu'il existe un réel unique $k$ tel que 
$\vect{\text{AR}} = k\vect{\text{AC}}$, ce réel $k$ étant l'abscisse de R si le repère de la droite (AC) est le couple (A, C).
		
(IR) $\perp$  (AC) $\iff \vect{\text{IR}} \cdot \vect{\text{AC}} = 0$.
		\item Si R a pour coordonnées $(x,~y,~z)$,~$\vect{\text{AR}} = k\vect{\text{AC}} \Longrightarrow x = k,~y = k,~z = 0$.
		
$\vect{\text{IR}} \cdot \vect{\text{AC}} = 0 \iff \left(x - \dfrac{1}{3}\right) \times 1 + (y - 1) \times 1 + (z - 1) \times 0 = 0 \iff x - \dfrac{1}{3} + y - 1 = 0.$ D'o\`u en remplaçant par les coordonnées de R : $2k - \dfrac{4}{3} = 0 \iff k = \dfrac{2}{3}$.

Conclusion : R$\left(\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{2}{3}~;~0\right)$.
		\item On calcule $\text{IR}^2 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 + 1^2 = \dfrac{11}{9} \Longrightarrow \text{IR} = \dfrac{\sqrt{11}}{3}$.
	\end{enumerate}
\item $\vect{n}$ de coordonnées $(3~;~-3~;~2)$ est normal au vecteur $\vect{\text{AC}}(1~;~1~;~0)$ (produit scalaire nul) et au vecteur $\vect{\text{AI}}\left(\frac{1}{3}~;~1~;~1\right)$.
 
Le vecteur $\vect{n}$ orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ACI) est un vecteur normal à ce plan.

Une équation du plan (ACI) est donc $3x - 3y + 2z + d = 0$ et comme ce
plan contient A(0~;~0~;~0),\: $d = 0$.

Une équation du plan (ACI) est donc : $3x - 3y + 2z  = 0$.
\item Avec F(1~;~0~;~1) on sait que $d(\text{F},~\text{ACI}) = \dfrac{|3 \times 1 - 3 \times 0 + 2 \times 1|}{\sqrt{3^2 + (-3)^2 + 2^2}} = \dfrac{5}{\sqrt{22}}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude de deux cas particuliers}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Si $n = 2$ : $1^2 + 3^2 + 5^2 = 35 = 8\times 4 + 3$, c'est-dire que $1^2 + 3^2 + 5^2 \equiv 3~ \text{modulo}~ 3$. Le triplet (1 ; 3 ; 5) est donc solution.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Si $n = 3$
\[ \begin{array}{|*{9}{c|}}\hline
~~r~~ &	~~0~~&	~~1~~&	~~2~~& ~~3~~&	~~4~~&	~~5~~&	~~6~~& 	~~7~~\\ \hline
R& 0	&1	&4	&1	&0	&1	&4	&1\\ \hline
\end{array}\]
Exemple : si $m = 8n + 3$ alors $m^2 = 64n^2 + 48n + 9 = 64n^2 + 48n + 8 + 1 = 8\times \left(n^2 + 6n + 1\right) + 1 \iff m^2 \equiv 1~ \text{modulo}~8$.
		\item Les seuls restes possibles sont donc 0, 1 et 4. Avec trois carrés la somme des restes ne peut être que $0,~1,~ 2,~3,~4,~5,~6$, mais pas $7$.\\
Conclusion : il n'existe pas d'entier $x,~y,~z$ tels que $x^2 +y^2 +z^2 \equiv 7 ~ \text{modulo}~ 8$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B Étude du cas général où} \boldmath  $n \geqslant  3$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item S'il existe  trois entiers naturels $x,~ y$ et $z$ tels que	\\
$x^2 + y^2 + z^2 \equiv 2^n - 1  ~ \text{modulo}~ 2^n$ alors $x^2 + y^2 + z^2 = 2^n q + 2^n - 1= 2^n(q + 1) - 1$, donc cette somme est impaire. Donc :
	\begin{itemize}
		\item aucun des trois n'est pair ;
		\item il ne peut y avoir un pair et deux impairs car la somme des carrés serait paire ;
		\item il peut y avoir deux pairs ;
		\item il ne peut y avoir trois pairs, car la somme des carrés serait paire.
	\end{itemize}
\item $x = 2q,~y = 2r,~z = 2s + 1$.
	\begin{enumerate}
		\item  Donc $x^2 + y^2 + z^2  = 4q^2 + 4r^2 + 4s^2 + 4s + 1 = 4\times \left(q^2 + r^2 + s^2 + s\right) + 1$.\\
 Conclusion $x^2 + y^2 + z^2 \equiv 1 ~ \text{modulo}~4$
		\item Or on a supposé que $x^2 + y^2 + z^2 \equiv 2^n - 1  ~ \text{modulo}~ 2^n$ soit  $x^2 + y^2 + z^2 = 2^n\times q  + 2^n - 1 = 4\alpha - 1$ (car $n$ est au moins égal à 3).

Ceci est impossible : un multiple de 4 plus 1 ne peut être égal à un multiple de 4 moins 1.

En effet s'il existe $\alpha$ et $\beta$ tels que :

$8\alpha - 1 = 8\beta + 1$ alors $8\alpha - 8\beta = 2 \iff 4\alpha - 4\beta = 1$. La différence de deux multiples de 4 ne peut  être égale  à  1.
Conclusion : il n'existe pas de triplet solution avec un seul impair.
	\end{enumerate}
\item On suppose que $x,~ y,~ z$ sont impairs. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout naturel $k$ non nul, $k^2 + k = k \times(k + 1)$ produit de deux naturels consécutifs : l'un des deux facteurs est pair, donc le produit est pair.
		\item Posons : $x = 2q + 1,~y = 2r + 1$ et $z = 2s + 1$, alors

$x^2 + y^2 + z^2 = 4q^2 + 4q + 1 + 4r^2 + 4r + 1 + 4s^2 + 4s + 1 = \left(4q^2 + 4q\right) + \left(4r^2 + 4r\right) + \left(4s^2 + 4s\right) + 3 = 4\left[\left(q^2 + q\right) + \left(r^2 + r\right) + \left(s^2 + s\right)\right] + 3$. Or d'après la question précédente chaque parenthèse est un nombre pair, donc 

$x^2 + y^2 + z^2  = 4\times (2\alpha + 2\beta + 2\gamma) + 3 = 8(\alpha + \beta + \gamma) + 3$ c'est-à-dire que 

$x^2 + y^2 + z^2 \equiv 3 ~ \text{modulo}~ 8.$
		\item Or puisque $n \geqslant 3$ on peut écrire $x^2 + y^2 + z^2 = 2^3 \times2^{n-3}q + 2^3 \times2^{n-3} - 1 = 2^3a - 1 = 8a - 1$. (avec $a \in \N$)
		
On peut expliciter : s'il existe $\alpha$ et $\beta$ tels que :

$8\alpha - 1 = 8\beta + 3$ alors $8\alpha - 8\beta = 4 \iff 2\alpha - 2\beta = 1$. La différence de deux pairs ne peut être égale à 1.
Ceci est impossible : Un multiple de 8  plus 3 ne peut être égal à un multiple de 8 moins 1.

Conclusion finale :  pour $n > 2$ le problème proposé n'a pas de solution.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'énoncé dit que $p_{1} = 0,5$,  que $p_{\text{G}_{1}}(\text{G}_{2}) = 0,7$ et que 
$p_{\text{P}_{1}}(\text{G}_{2}) = 1 - 0,8 = 0,2.$
		\item Puisqu'il n'y a pas de match nul, on a $p_{n} + q_{n} = 1$.
		\item  Pour $n \geqslant 1,~p_{n+1} = p\left(\text{G}_{n+1}\right) = p_{\text{G}_{n}}(\text{G}_{n+1}) + p_{\text{P}_{n}}(\text{G}_{n+1})  =\\
 p_{n} \times 0,7 + \left(1 - p_{n}\right) \times 0,2 \iff p_{n+1} = 0,7p_{n} + 0,2 - 0,2p_{n} = 0,5p_{n} + 0,2$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On peut écrire par exemple la relation de récurrence  précédente

$p_{n+1} = 0,5p_{n} + 0,2 \iff p_{n+1} - 0,4 = 0,5p_{n} + 0,2 - 0,4 \iff$ 


$p_{n+1} - 0,4  = 0,5p_{n} - 0,2 \iff p_{n+1} - 0,4 = 0,5\left(p_{n} - 0,4\right) \iff$

$v_{n+1} = 0,5v_{n}$.

Cette relation de récurrence montre que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,5$.

On en déduit que $v_{n} = v_{1}\times 0,5^{n-1}$. Or $v_{1} = p_{1} - 0,4 = 0,5 - 0,4 = 0,1$. Donc $v_{n} = 0,1 \times 0,5^{n-1}$.
		\item On en déduit que $p_{n} = v_{n} + 0,4 = p_{n} = 0,4 + 0,1 \times 0,5^{n-1}$.
		\item Comme $-1 < 0,5 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 0,5^{n-1} = 0$,~donc $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} p_{n} = 0,4$.

Cela signifie que sur un grand nombre de parties, Pierre gagnera en moyenne 4 parties sur 10. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $u$ telle que $u(x) = x\text{e}^{-x}$ ; alors $u'(x) = \text{e}^{-x} - x\text{e}^{-x}$ et  

$u' + u =  \text{e}^{-x} - x\text{e}^{-x} + x\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}$, donc $u$ est bien une solution de l'équation différentielle (E).
\item (E$_{0}) :  y' + y = 0 \iff y' = - y$. Les solutions de cette équation sont les fonctions $x \mapsto C\text{e}^{-x},~C$ étant un réel quelconque. 
\item Une fonction $v$ est solution de (E) si et seulement si $v' + v = \text{e}^{-x}$. On a vu à la question 1 que $u$ est une telle fonction donc que $u' + u = \text{e}^{-x}$. En calculant la différence membre à membre : $v' - u' + v - u = 0 \iff (v - u)' + (v - u) = 0$, autrement dit, la fonction  $v - u$ est solution de E$_{0}$.
\item On a donc pour toute solution $v$ de (E), $v - u = C\text{e}^{-x} \iff v = u + C\text{e}^{-x} \iff v = x\text{e}^{-x} + C\text{e}^{-x} \iff v = (x + C)\text{e}^{-x},~C \in \R$. 
\item La solution $f_{2}$ prenant la valeur 2 en 0 vérifie $f_{2}(0) = (0 + C)\text{e}^{0} = 2 \iff C = 2$.

Conclusion : $f_{2}(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item On a $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}  (x+ k) = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}  \text{e}^{-x} = + \infty$, donc par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}  (x+ k)\text{e}^{-x} = - \infty$.
\item On a $f_{k}(x) = x\text{e}^{-x} + k\text{e}^{-x}$. Comme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \text{e}^{-x} = 0$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\text{e}^{x}} = 0$, on en déduit que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f_{k}(x) = 0$.

L'axe des abscisses est donc asymptote horizontale à $\mathcal{C}_{k}$ au voisinage de plus l'infini.
\end{itemize}
\item On remarque que les fonctions $f_{k}$ sont toutes les solutions de l'équation différentielle (E), donc $f'_{k} + f_{k} = \text{e}^{-x}$. Donc 

$f'_{k}(x) = \text{e}^{-x} - f_{k}(x) = \text{e}^{-x} - (x + k)\text{e}^{-x} = f'_{k}(x) = \text{e}^{-x}(1 -k -x)$.
\item Comme $\text{e}^{-x} > 0$ quel que soit $x$réel, le signe de$f'_{k}(x)$ est celui de  $1 -k - x$ expression qui s'annule pour $x = 1 - k$. D'o\`u le tableau de variations :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0.4)(8,3.5)
\psframe(0,0.35)(8,3.5)
\psline(0,2)(8,2) \psline(0,3)(8,3) \psline(2,0.35)(2,3.5)
\psline{->}(2.5,0.75)(4.5,1.8)   \psline{->}(5.5,1.8)(7.5,0.75) \psline(5,2)(5,3)
\uput[u](1,3){$x$}  \uput[u](2.3,3){$-\infty$}  \uput[u](5,3){$1 - k$}  \uput[u](7.2,3){$+ \infty$}
\uput[u](1,2.3){$f'_{k}(x)$} \uput[u](3.5,2.2){$+$}  \uput[u](5,2.2){$0$} \uput[u](6.5,2.2){$-$}
\uput[u](1,0.8){$f_{k}(x)$} \rput(2.5,0.5){$- \infty$} \uput[u](5,1.4){$\text{e}^{k-1}$} \rput(7.8,0.5){$0$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item I$_{0} = \displaystyle\int_{-2}^0 \text{e}^{-x}\,\text{d}x = \left[- \text{e}^{-x} \right]_{-2}^0 = - 1 + \text{e}^2 = \text{e}^2 - 1$.
		\item On a $I_{n+1} = \displaystyle\int_{-2}^0 x^{n+1}\text{e}^{-x}\,\text{d}x$. On pose :
\[\begin{array}{l  l}
u(x) = x^{n+1}&v'(x) = \text{e}^{-x}\\
u'(x) = (n+1)x^n&v(x)=  - \text{e}^{-x}\\
\end{array}\]
toutes ces fonctions étant continues, car dérivables. En intégrant par parties : 

$I_{n+1} = \left[-x^{n+1}\text{e}^{-x} \right]_{-2}^0  + (n+1)\displaystyle\int_{-2}^0 x^n\text{e}^{-x}\,\text{d}x$, c'est-à-dire 

\[I_{n+1} = (- 2)^{n+1}\text{e}^{2} + (n+1)I_{n}.\]

 On a donc une relation de récurrence pour le calcul de $I_{n}.$
		\item Pour $n = 0$, la relation précédente s'écrit I$_{1} = -2\text{e}^{2} + \text{I}_{0} = 
-2\text{e}^{2} + \text{e}^2 - 1 = - \text{e}^2 - 1$.

De même avec $n = 1$, on obtient : I$_{2} = (-2)^2\text{e}^2 + 2\text{I}_{1} = 4\text{e}^2 - 2\text{e}^2 - 2 = 2\text{e}^2 - 2$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item D'après A. 5. la fonction représentée est la fonction $f_{2}$. Donc $k = 2$.
		\item On a $\mathcal{S} = \displaystyle\int_{-2}^0 (x + 2)\text{e}^{-x}\,\text{d}x = \displaystyle\int_{-2}^0 x\text{e}^{-x}\,\text{d}x + 2\displaystyle\int_{-2}^0 \text{e}^{-x}\,\text{d}x = \text{I}_{1} + 2\text{I}_{0} =$
		
$ - \text{e}^2 - 1 + 2\left(\text{e}^2 - 1\right) = \text{e}^2 - 3$ u.a. (environ $4,39$ u.a. ce que l'on contrôle sur le dessin)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}