%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage[left=3cm,right=3cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \thispagestyle{empty} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S } \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{21 juin 2010}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010~\decofourright }}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %\emph{Cet exercice est un QCM qui comporte 8 questions, numérotées de 1 à 8. À chaque question, une seule des trois réponses notée \textbf{a},~\textbf{b} ou \textbf{c} est exacte. On demande au candidat d'indiquer sur sa copie, pour chaque question, quelle est la bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.\\ %Une réponse exacte rapporte $0,5$ point. Une réponse fausse ou une absence de réponse n'enlèvent pas de point.} %\bigskip %\parbox{0.45\linewidth}{ %Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on considère les points : %A(1, 0, 0), B(1, 1, 0), C(1, 2, 0), D(1, 0, 1), %E(1, 1, 1), F(1, 2, 1), G(0, 0, 1), H(0, 1, 1), I(0, 2, 1), J(0, 1, 0), K(0, 2, 0) comme indiqués sur la figure ci -contre :}\hfill %\parbox{0.52\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(-3,-2)(5,4) %\psline[linestyle=dashed](-0.9,-0.5)(0,0)(3,0) %\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,1.5) %\psline[linestyle=dashed](0.6,-0.5)(1.5,0)(1.5,1.5)%BJH %\pspolygon(-0.9,-0.5)(2.2,-0.5)(2.2,0.95)(-0.9,0.95)%ACFD %\psline(2.2,-0.5)(3,0)(3,1.5)(2.2,0.95)%CKIF %\psline(3,1.5)(1.5,1.5)(0.6,1)(0.6,-0.5)%IHEB %\psline(1.5,1.5)(0,1.5)(-0.9,0.95)%HGD %\psline{->}(3,0)(5,0) %\psline{->}(-0.9,-0.5)(-2.7,-1.7) %\psline{->}(0,1.5)(0,4) %\uput[d](-0.9,-0.5){A} \uput[ur](0,0){O} \uput[d](0.6,-0.5){B} %\uput[ur](1.5,0){J} \uput[d](2.2,-0.5){C} \uput[ur](3,0){K} %\uput[r](2.2,0.95){F} \uput[ur](3,1.5){I} \uput[dr](0.6,1){E} %\uput[ur](1.5,1.5){H} \uput[l](-0.9,0.95){D} \uput[ur](0,1.5){G} %\uput[u](-2.7,-1.7){$x$} \uput[u](5,0){$y$} \uput[r](0,4){$z$} %\end{pspicture}} \begin{enumerate} \item Question 1 : Le triangle GBI est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{Réponse~}X}} \textbf{a} : isocèle.& \textbf{b} : équilatéral.& \textbf{c} : rectangle.\\ \end{tabularx} \medskip On a GB$^2 = 1 + 2 = 3 \Rightarrow \text{GB} = \sqrt{3}$ ; de même BI $ = \sqrt{3}$ et GI = 2. Le triangle GBI est isocèle. \item Question 2 : Le barycentre du système de points pondérés $\{(\text{O},~ 2),~ (\text{A},~ $-1$),~(\text{C},~1)\}$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{Réponse~}X}} \textbf{a} : le point K.& \textbf{b} : le point I.& \textbf{c} : le point J.\\ \end{tabularx} \medskip Par définition le barycentre G vérifie : $2\vect{\text{GO}} - \vect{\text{GA}} + \vect{\text{GC}} = \vect{0} \iff 2\vect{\text{OG}} = \vect{\text{AC}} \iff \vect{\text{OG}} = \dfrac{1}{2}\vect{\text{AC}} = \vect{\text{OJ}} \Rightarrow $ G = J. \item Question 3 : Le produit scalaire $\vect{\text{AH}} \cdot \vect{\text{FC}}$ est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{Réponse~}X}} \textbf{a} : 1.& \textbf{b} : $-1$.& \textbf{c} : 2.\\ \end{tabularx} \medskip Avec $\vect{\text{AH}}(-1~;~1~;~1)$ et $\vect{\text{FC}}(0~;~0~;~-1),~\vect{\text{AH}} \cdot {}\vect{\text{FC}} = - 1$. \item Question 4 : Les points B, C, I, H : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{Réponse~}X}} \textbf{a} : sont non coplanaires.& \textbf{b} : forment un rectangle.& \textbf{c} : forment un carré.\\ \end{tabularx} \medskip On a BC = HI = 1 et CI = BH $ = \sqrt{2}$. Ces points sont coplanaires (ils appartiennent au plan d'équation $x + z = 1$), donc BCIH est un parallélogramme. Or $\vect{\text{BC}}\: \cdot\: \vect{\text{CI}} = 0 + 0 + 0 = 0$. Le parallélogramme a un angle droit : c'est un rectangle. \item Question 5 : Une représentation paramétrique de paramètre $t$ de la droite (KE) est: %\medskip %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{Réponse~}X}} %\textbf{a} $\left\{\begin{array}{l c r} %x&=&t\\ %y&=&2 + t\\ %z&=&t %\end{array}\right.$. %& \textbf{b} $\left\{\begin{array}{l c r} %x&=&3 + 4t\\ %y&=&t\\ %z&=&4t %\end{array}\right.$.& \textbf{c} $\left\{\begin{array}{l c r} %x&=&1 - t\\ %y&=&1 + t\\ %z&=&1 - t %\end{array}\right.$.\\ %\end{tabularx} %\medskip On a $\vect{\text{KE}}(1~;~-1~;~1)$. $M(x~ ;~y~;~z) \in (\text{KE}) \iff \vect{\text{KM}} = u\vect{\text{KE}}, u \in \R \iff \left\{\begin{array}{l c r} x - 0&=&u\\ y - 2&=&-u\\ z - 0&=&u \end{array}\right.$ $ \iff \left\{\begin{array}{l c r} x &=&u\\ y &=&2 -u\\ z &=&u \end{array}\right.$ En posant $t = 1 - u \iff u = 1 - t$, on obtient $M(x~;~y~;~z) \in (\text{KE}) \iff \left\{\begin{array}{l c r} x &=&1 - t\\ y &=&1 + t\\ z &=&1 - t \end{array}\right.,\, t \in \R$. \item Question 6 : Une équation cartésienne du plan (GBK) est: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{Réponse~}X}} \textbf{a} : {\small$2x + 2 y- z - 2 = 0$}.& \textbf{b} : {\small$x + y - 3 = 0$}.& \textbf{c} : {\small$x + y + 2z = 2$}.\\ \end{tabularx} \medskip Les coordonnées de G, B et K ne vérifient que l'équation $x + y + 2z = 2$. \item Question 7 : La distance du point C au plan (ADH) est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{Réponse~}X}} \textbf{a} : $\sqrt{2}$.& \textbf{b} : $2$.& \textbf{c} : $\dfrac{1}{2}$.\\ \end{tabularx} \medskip Une équation du plan (ADH) est $x + y - 1 = 0$. Donc $d(\text{C},~\text{ADH}) = \dfrac{|1 + 2 - 1|}{\sqrt{1 + 1}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$. \item Question 8 : Le volume du tétraèdre HJKB est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{Réponse~}X}} \textbf{a} : $\dfrac{1}{2}$.& \textbf{b} : $\dfrac{1}{6}$.& \textbf{c} : $\dfrac{1}{3}$.\\ \end{tabularx} On prend comme base BJK dont l'aire est $\dfrac{1}{2}$, comme hauteur HJ = 1, d'où un volume égal à $V = \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2} \times 1 = \dfrac{1}{6}$. \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité } %\medskip %Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 1~cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. %On considère les points A, B, C et P d'affixes respectives : %\[ a = - 2,\quad b = 2 - 2\text{i}\sqrt{3},\quad c = 3+3\text{i}\sqrt{3}\quad \text{et} \quad p = 10.\] \medskip \textbf{PARTIE A Étude de la configuration} \medskip \begin{enumerate} \item Construction de la figure. \begin{enumerate} \item %Placer les points A et P dans le repère \Ouv. Cf. figure. \item %Déterminer les modules des nombres complexes $b$ et $c$. On a $|b|^2 = 2^2 + \left(-2\sqrt{3} \right)^2 = 4 + 12 = 16 = 4^2$. Donc $|b| = 4$. De même $|c|^2 = 3^2 + \left(3\sqrt{3} \right)^2 = 9 + 27 = 36 = 6^2$. Donc $|c| = 6$. \item %Utiliser les cercles de centre O et de rayons respectifs 4 et 6 pour construire les points B et C. Voir les droites en tiretés. \end{enumerate} \item %Démontrer que le triangle BCP est équilatéral. BC$^2 = 1^2 + 75 = 76$ ; BP$^2 = 64 + 12 = 76$ ; PC$^2 = 49 + 27 = 76$ ; Donc $\text{BC}^2 = \text{BP}^2 = \text{PC}^2 = 76 \Rightarrow \text{BC} = \text{BP} = \text{PC} \Rightarrow $ BCP est équilatéral. $\bullet~$ \emph{Autre méthode : } On calcule $\dfrac{b - p}{c - p} = \dfrac{-8 - 2\text{i}\sqrt{3}}{-7 + 3\text{i}\sqrt{3}} = \dfrac{(-8 - 2\text{i}\sqrt{3})(-7 + 3\text{i}\sqrt{3})}{(-7 + 3\text{i}\sqrt{3})(-7 - 3\text{i}\sqrt{3})} = \dfrac{56 - 18 + 24\text{i}\sqrt{3} + 14\text{i}\sqrt{3}}{49 + 27} = \dfrac{38 + 38\text{i}\sqrt{3}}{76} = \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}.$ On a donc d'une part : $\left|\dfrac{b - p}{c - p} \right| = \left|\text{e}^{\text{i}\frac{\sqrt{3}}{2}} \right| = 1$, ce qui signifie $\dfrac{\text{PC}}{\text{BP}} = 1$, donc PC = BP : le triangle BPC est isocèle en P, d'autre part : $\text{arg}\left(\dfrac{b - p}{c - p} \right) = \text{arg}\left(\text{e}^{\text{i}\frac{\sqrt{3}}{2}}\right) = \dfrac{\pi}{3}.$ Conclusion BPC est isocèle en P et l'angle en P a pour mesure $\dfrac{\pi}{3}$ ; les deux autres angles ont donc eux aussi pour mesure $\dfrac{\pi}{3}$ et le triangle BPC est équilatéral. \item %On note $r_{\text{A}}$ la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. \begin{enumerate} \item %Vérifier que l'image Q du point C par $r_{\text{A}}$ a pour affixe : $q = -4 + 4\text{i}\sqrt{3}$. On a par définition de la rotation $q$ étant l'affixe de Q : $q - a = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(c - a) \iff q = a + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(c - a) = - 2 + \left(5 + 3\text{i}\sqrt{3} \right)\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) =$ $ - 2 + \dfrac{5}{2} - \dfrac{9}{2} + \dfrac{5\text{i}\sqrt{3}}{2} + \dfrac{3\text{i}\sqrt{3}}{2} = - 4 + 4\text{i}\sqrt{3}.$ \item %Vérifier l'égalité : $q = -2b$. Que peut-on en déduire pour les points B, O et Q ? On a $q = - 4 + 4\text{i}\sqrt{3} = -2\left(2 - 2\text{i}\sqrt{3} \right) = - 2b$. On a donc $\vect{\text{OQ}} = - 2\vect{\text{OB}}$ ce qui signifie que les vecteurs sont colinéaires ou encore les points O, Q et B sont alignés. \end{enumerate} \item %Soit R le symétrique de C par rapport à O. \begin{enumerate} \item %Démontrer que les droites (AP), (BQ) et (CR) sont concourantes en O. Par définition O, C et R sont alignés ; on vient de démontrer que O, Q et B sont alignés et A, O et P sont sur l'axe des réels. Conclusion : (AP), (BQ) et (CR) sont concourantes en O. \item %Établir que : AP = BQ = CR. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-6,-6)(10,8) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-6,-6)(10,6) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psdots(-2,0)(2,-3.464)(3,5.196)(10,0)(-4,6.928)(-3,-5.196)%ABCPQR \uput[ul](-2,0){A} \uput[dr](2,-3.464){B} \uput[ur](3,5.196){C} \uput[ur](10,0){P} \uput[dl](0,0){O}\uput[l](-4,6.928){Q}\uput[ur](-3,-5.196){R} \pscircle(0,0){4} \pscircle(0,0){6} \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,-4) \psline[linestyle=dashed](3,0)(3,6) \pspolygon(2,-3.464)(3,5.196)(10,0) \psarc(-2,0){7,211}{46.1}{106.1} \psarc(-2,0){4mm}{46.1}{106.1} \psline(2,-3.464)(-4,6.928) \psline(3,5.196)(-2,0)(-4,6.928) \psline(3,5.196)(-3,-5.196) \end{pspicture} \end{center} \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip %On note $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan, associe le réel $f(M)$ défini par : %\[f(M) = M\text{A} + M\text{B} + M\text{C}.\] \begin{enumerate} \item %Calculer $f(\text{O})$. $f(\text{O}) = \text{OA} + \text{OB} +\text{OC} = |a| + |b| + |c| = 2 + 4 + 6 = 12$. \item %Soient $M$ un point quelconque et $N$ son image par la rotation $r_{\text{A}}$. %Démontrer que : $M\text{A} = MN$ puis que $M\text{C} = N\text{Q}$. Par définition de la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$, un point $M$, son image $N$ et le centre A sont les sommets d'un triangle équilatéral. Donc $M\text{A} = MN$. D'autre part $M$ et C ayant pour images respectives par l'isométrie $r_{\text{A}}$ les points $N$ et Q, on a $M\text{C} = N\text{Q}$. \item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiatives, même infructueuses, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip %En utilisant l'inégalité triangulaire, démontrer que pour tout point $M$ du plan, %$f(M) \geqslant 12$. $f(M) = M\text{A} + M\text{B} + M\text{C} = MN + M\text{B} + M\text{C}$ d'après la question précédente, $f(M) \geqslant \text{B}N + M\text{C}$, d'après l'inégalité triangulaire dans B$MN$, $f(M) \geqslant \text{B}N + N\text{Q}$ d'après la question précédente, $f(M) \geqslant \text{BQ}$ d'après l'inégalité triangulaire dans B$N$Q. Or B, O et Q étant alignés : BQ = BO + OQ = 4 + 8 = 12 et finalement \[f(M) \geqslant 12.\] Conclusion : d'après la question précédente on voit donc que le point qui minimise la somme des distances d'un point du plan aux trois sommets du triangle ABC, est le point O, cette somme des distances étant égale à 12. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip %Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(\text{A}~;~ \vect{u},~\vect{v}\right)$. L'unité graphique est 1~cm. %On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. %On considère les points B, C et H d'affixes respectives : %\[b = 5\text{i},\quad c = 10\quad \text{et}\quad h = 2 + 4\text{i}.\] % %\emph{Construire une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions.} \medskip \begin{enumerate} \item %Étude de la position du point H \begin{enumerate} \item %Démontrer que le point H appartient à la droite (BC). On a $\vect{\text{BC}}(10~;~-5)$ et $\vect{\text{BH}}(2~;~-1)$, donc $\vect{\text{BC}} = 5\vect{\text{BH}}$ : ces vecteurs sont colinéaires, donc B, C et H sont alignés. \item %Calculer $\dfrac{h}{h - c}$, et en déduire que $\left(\vect{\text{HC}},\vect{\text{HA}}\right) = - \dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]$. $\dfrac{h}{h - c} = \dfrac{2 + 4\text{i}}{-8 + 4\text{i}} = \dfrac{1}{2}\dfrac{1 + 2\text{i}}{- 2 + \text{i}} = \dfrac{1}{2}\dfrac{(1 + 2\text{i})(- 2 - \text{i})}{(- 2 + \text{i})(- 2 - \text{i})} = \dfrac{1}{2}\dfrac{-2 + 2 - \text{i} - 4\text{i}}{4 + 1} = \dfrac{1}{2} \times (-\text{i})$. On a donc arg$\left(\dfrac{h}{h - c}\right) = - \dfrac{\pi}{2} \iff \left(\vect{\text{CH}},~\vect{\text{AH}}\right) = - \dfrac{\pi}{2} \iff \left(\vect{\text{HC}},\vect{\text{HA}}\right) = - \dfrac{\pi}{2}$. \end{enumerate} \item %Étude d'une première similitude \begin{enumerate} \item %Calculer les rapports : $\dfrac{\text{BH}}{\text{AH}},~\dfrac{\text{BA}}{\text{AC}}$ et $\dfrac{\text{AH}}{\text{CH}}$. La question précédente montre que dans le triangle rectangle ABC, [AH] est la hauteur issue de A. $\dfrac{\text{BH}}{\text{AH}} = \dfrac{\left|\vect{\text{BH}} \right|}{\left|\vect{\text{AH}} \right|}$. Or BH$^2 = 4 + 1 = 5 \Rightarrow \text{BH} = \sqrt{5}$ et AH$^2 = 4 + 16 = 20 \Rightarrow \text{AH} = 2\sqrt{5}$. Donc $\dfrac{\text{BH}}{\text{AH}} = \dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \dfrac{1}{2}$. Ba = 5 et AC = 10, donc $\dfrac{\text{BA}}{\text{AC}} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$. Enfin comme CH$^2 = 64 + 16 = 80 \Rightarrow \text{CH} = 4\sqrt{5}$, on a $\dfrac{\text{AH}}{\text{CH}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}} = \dfrac{1}{2}.$ Conclusion : $\dfrac{\text{BH}}{\text{AH}} = \dfrac{\text{BA}}{\text{AC}}= \dfrac{\text{AH}}{\text{CH}} = \dfrac{1}{2}.$ \item %Démontrer qu'il existe une similitude directe $S_{1}$ qui transforme le triangle CHA en le triangle AHB. La question précédente montre que les côtés du triangle BAH sont deux fois plus petits que ceux de BCA. Comme $\left(\vect{\text{HC}},~\vect{\text{HA}} \right) = \left(\vect{\text{HA}},~\vect{\text{HB}} \right) = - \dfrac{\pi}{2}$, la similitude (directe) $S_{1}$ de centre H et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ transforme le triangle CHA en le triangle AHB. \item %Déterminer l'écriture complexe de cette similitude $S_{1}$ ainsi que ses éléments caractéristiques. On sait que l'écriture complexe de cette similitude est, $z$ étant l'affixe d'un point $M$ et $z'$ celle de son image par $S_{1}$ est \[z' - z_{\text{H}} = \dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{-\pi}{2}}\left(z - z_{\text{H}}\right) \iff z' = 2 + 4\text{i} - \dfrac{1}{2}\text{i}(z - 2 - 4\text{i}) \iff z' = -\dfrac{1}{2}\text{i}z + 5\text{i}.\] Éléments caractéristiques : centre H, rapport $\dfrac{1}{2}$ et angle $- \dfrac{\pi}{2}$. \end{enumerate} \item %Étude d'une seconde similitude %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiatives, même infructueuses, sera prise en compte dans l'évaluation} %On note $S_{2}$ la similitude qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : %\[z' = (- 1 - 2\text{i})\overline{z} + 10.\] %Démontrer que $S_{2}$ est composée d'une symétrie orthogonale d'axe ($\Delta$), et d'une similitude directe dont le centre $\Omega$ appartient à ($\Delta$). Préciser ($\Delta$). Cherchons le(s) point(s) fixe(s) de cette similitude. Avec $z = x + \text{i}y$, $z' = x' + \text{i}y' =x + \text{i}y = (- 1 - 2\text{i})(x - \text{i}y) + 10 \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=& - x - 2 y + 10 \\ y&=&-2x + y \end{array}\right. \iff $ $\left\{\begin{array}{l c l} 2x&=&-2y + 10\\ 2x& =& 0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} y&=&5\\ x&=&0 \end{array}\right.$ Le seul point fixe a pour affixe 5i : c'est B. $S_{2}$ doit donc être la composée d'une symétrie orthogonale d'axe $(\Delta)$ contenant B et d'une similitude de centre B. $\bullet~$ La symétrie orthogonale a une écriture complexe de la forme $z' = \alpha\overline{z} + \beta$ avec $|\alpha| = 1$. Or B est invariant par cette symétrie : $5\text{i} = \alpha5\text{i} + \beta \iff \beta = 5\text{i}(\alpha + 1)$. L'écriture complexe de la symétrie est donc : $z' = \alpha\overline{z} + 5\text{i}(\alpha + 1)$. En posant $\alpha = a + \text{i}b, (\text{avec } a^2 + b^2 = 1$, les points $M(x~;~y)$ invariants par cette symétrie vérifient : $x + \text{i}y = (a + \text{i}b)(x - \text{i}y) + 5\text{i}(1 + a + \text{i}b)$, d'où $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&ax + by - 5b\\ y&=&-ay + bx +5(1 + a) \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x(a - 1) + by - 5b&=&0\\ bx - y(a + 1) + 5(1 + a)&=&0 \end{array}\right.$ Ces deux équations sont deux équations d'une même droite $(\Delta)$ : elles contiennent toutes les deux le point B(0~;~5) et coupent respectivement l'axe des abscisses en $x = - \dfrac{5b}{1 - a}$ et $x = - \dfrac{5(a + 1)}{b}$. Or $- \dfrac{5b}{1 - a} = - \dfrac{5b(1 + a)}{(1 + a)(1 - a)} = - \dfrac{5b(1 + a)}{1 - a^2} = - \dfrac{5b(1 + a)}{b^2} = - \dfrac{5(1 + a)}{b}.$ \item Étude d'une composée \begin{enumerate} \item %Calculer le rapport de la similitude composée $S_{2} \circ S_{1}$. Le rapport de la similitude $S_{2} \circ S_{1}$ est égal au produit des rapports des deux similitudes, soit $\sqrt{5} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$. \item %En déduire le rapport entre les aires des triangles CHA et BAC. Les points C,\,H,\, A ont pour images respectives par $S_{2} \circ S_{1}$ les points B,\,A,\, C, donc le triangle CHA a pour image le triangle BAC. Dans cette similitude les aires sont multipliées par le carré du rapport de similitude soit $\left( \dfrac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \dfrac{5}{4} = 1,25$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(11,6) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-1,-1)(11,6) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](0,5)(10,0)(2,4) \uput[ur](0,5){B} \uput[ur](10,0){C} \uput[ur](2,4){H}\uput[dl](0,0){A} \psline(0,0)(2,4) \psline(0,5)(10,0) \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats } %\medskip %Avant le début des travaux de construction d'une autoroute, une équipe d'archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain. % %Lorsque le $n$-ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif. % %L'évènement : \og le $n$-ième sondage est positif \fg{} est noté $V_{n}$, on note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $V_{n}$. %\medskip %L'expérience acquise au cours de ce type d'investigation permet de prévoir que: %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~$] si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à $0,6$ d'être aussi positif; %\item[$\bullet~$] si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à $0,9$ d'être aussi négatif. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} %On suppose que le premier sondage est positif, c'est-à-dire : $p_{1} = 1$. \medskip \begin{enumerate} \item %Calculer les probabilités des évènements suivants : \begin{enumerate} \item A : %\og les 2\up{e} et 3\up{e} sondages sont positifs \fg{} ; D'après l'énoncé $p\left(V_{2} \right) = 0,6$ et $p_{V_{2}}\left((V_{3}\right) = 0,6$, donc $p\left(V_{2}\cap V_{3} \right) = p\left(V_{2} \right) \times p_{V_{2}}\left(V_{3} \right) = 0,6 \times 0,6 = 0,36$. \item B : %\og les 2\up{e} et 3\up{e} sondages sont négatifs \fg. On a $p\left(V_{2} \right) = 0,6 \Rightarrow p\left(\overline{V_{2}} \right) = 1 - 0,6 = 0,4$ et d'après l'énoncé $p_{\overline{V_{2}}}\left(\overline{V_{3}} \right) = 0,9$. Donc $p\left(\overline{V_{2}} \cap \overline{V_{3}} \right) = p\left(\overline{V_{2}} \right) \times p_{\overline{V_{2}}}\left(\overline{V_{3}} \right) = 0,4 \times 0,9 = 0,36$. \end{enumerate} \item %Calculer la probabilité $p_{3}$ pour que le 3\up{e} sondage soit positif. On a $p_{3} = p\left(V_{3}\right) = p\left(V_{3}\cap V_{2} \right) + p\left(V_{3}\cap \overline{V_{2}} \right)$. Or $p\left(V_{3} \cap \overline{V_{2}} \right) = p\left(\overline{V_{2}} \right) \times p_{\overline{V_{2}}}\left(V_{3}\right) = 0,4 \times (1 - 0,9) = 0,4 \times 0,1 = 0,04$. Conclusion : $p_{3} = 0,36 + 0,04 = 0,4$. \item %$n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. %Recopier et compléter l'arbre ci-dessous en fonction des données de l'énoncé : \medskip \begin{center} \pstree[treemode=R]{\TR{}} { \pstree{\Tdot\taput{$p_{n}$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$V_{n+1}$}\taput{\psframe(0.7,0.4)\rput(0.35,0.2){0,6}} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{V_{n+1}}$}\tbput{\psframe(0.7,-0.4)\rput(0.35,-0.2){0,4}} } \pstree{\Tdot\tbput{$1 - p_{n}$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$V_{n+1}$}\taput{\psframe(0.7,0.4)\rput(0.35,0.2){0,1}} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{V_{n+1}}$}\tbput{\psframe(0.7,-0.4)\rput(0.35,-0.2){0,9}} } } \end{center} \medskip \item %Pour tout entier naturel $n$ non nul, établir que : $p_{n+1} = 0,5p_{n} + 0,1$. On a (ce que l'on peut voir sur l'arbre) : $p_{n+1}= p\left(V_{n+1} \right) = p\left(V_{n+1}\cap V_{n} \right) + p\left(V_{n+1} \cap \overline{V_{n}} \right) = p_{n} \times 0,6 + \left(1 - p_{n}\right)\times 0,1 = 0,6p_{n}- 0,1p_{n} + 0,1 = 0,5p_{n} + 0,1$. \item %On note $u$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_{n} = p_{n} - 0,2$. \begin{enumerate} \item %Démontrer que $u$ est une suite géométrique, en préciser le premier terme et la raison. Pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} = p_{n+1} - 0,2 = 0,5p_{n} + 0,1 - 0,2 = 0,5p_{n} - 0,1 = 0,5\left(p_{n} - 0,2\right) = 0,5u_{n}$. Cette égalité montre que la suite $u$ est une suite géométrique de raison $0,5$ ; son premier terme est $u_{1} = p_{1} - 0,2 = 1 - 0,2 = 0,8$. \item %Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$. On sait que pour tout entier naturel $n$ non nul $u_{n} = u_{1}\times r^{n - 1} = 0,8 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} = \dfrac{0,8}{2^{n-1}}$. De la définition de $u_{n}$ il résulte que $p_{n} = 0,2 + \dfrac{0,8}{2^{n-1}}$. \item %Calculer la limite, quand $n$ tend vers $+ \infty$, de la probabilité $p_{n}$. On sait que $0 <\dfrac{1}{2} < 1$ entra\^{\i}ne que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{0,8}{2^{n-1}} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_{n} = 0,2$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats } %\medskip %\begin{center} L'objectif de l'exercice est l'étude d'une fonction et d'une suite liée à cette fonction \end{center} \textbf{PARTIE A} \medskip %On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : %\[ f(x) = \dfrac{1}{x^2}\text{e}^{\frac{1}{x}}.\] %On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij. L'unité graphique est 1~cm. \begin{enumerate} \item Étude des limites \begin{enumerate} \item %Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $0$. $\bullet~$ $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} = +\infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{\frac{1}{x}} = + \infty$ ; $\bullet~$ $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} = + \infty$, donc par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$. \item %Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$. Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x} = 0,~\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{e}^{\frac{1}{x}} = 1$. Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x^2} = 0$, donc par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$. \item %Quelles conséquences peut-on déduire de ces deux résultats, pour la courbe $\mathcal{C}$ ? La première limite montre que l'axe des ordonnées est asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage de zéro. La seconde montre que l'axe des abscisses est asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini. \end{enumerate} \item Étude des variations de la fonction $f$ \begin{enumerate} \item %Démontrer que, la fonction dérivée de la fonction $f$ s'exprime, pour tout réel $x$ strictement positif, par : %\[f'(x) = - \dfrac{1}{x^4}\text{e}^{\frac{1}{x}}(2x + 1).\] $f(x)$ étant considéré comme un produit de fonctions dérivables sur $]0~;~+\infty[$, on a : $f'(x) = \left(\dfrac{1}{x^2} \right)'\text{e}^{\frac{1}{x}} + \dfrac{1}{x^2}\left(\text{e}^{\frac{1}{x}} \right)' = - \dfrac{2x}{x^4}\text{e}^{\frac{1}{x}} + \dfrac{1}{x^2}\left(- \dfrac{1}{x^2}\right)\text{e}^{\frac{1}{x}} = - \text{e}^{\frac{1}{x}}\left(\dfrac{2x}{x^4} + \dfrac{1}{x^4} \right) = - \dfrac{1}{x^4}\text{e}^{\frac{1}{x}}(2x + 1)$. \item %Déterminer le signe de $f'$ et en déduire le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. On a $x > 0 \Rightarrow 2x > 0 \Rightarrow 2x + 1 > 1 > 0$ ; d'autre part quel que soit $u \in \R,~\text{e}^u > 0$. Enfin $x > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{x^4} > 0$, donc finalement pour tout réel supérieur à zéro, $f'(x) < 0$. Il en résulte que la fonction $f$ est décroissante sur $]0~;~+ \infty[$ de plus l'infini à zéro d'après la première question. \item %Démontrer que l'équation $f(x) = 2$ a une unique solution notée $\alpha$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et donner la valeur approchée de $\alpha$ arrondie au centième. D'après le résultat précédent (décroissance de $f$ de plus l'infini à zéro sur $]0~;~+\infty[$), la fonction $f$ continue car dérivable sur cet intervalle il existe un unique réel $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 0$. La calculatrice donne : $f(1,1) \approx 2,05$ et $f(1,2) \approx 1,60$ donc $1,1 < \alpha < 1,2$ ; $f(1,10) \approx 2,05$ et $f(1,11) \approx 1,99$ donc $1,10 < \alpha < 1,11$. La valeur approchée au centième de $\alpha$ est donc $1,11.$ \end{enumerate} \item %Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère orthonormal \Oij. Voir plus bas \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B Étude d'une suite d'intégrales} \medskip %Pour tout entier naturel $n \geqslant 2$ on considère l'intégrale $I_{n}$ définie par : %\[I_{n} = \int_{1}^2 \dfrac{1}{x^n}\text{e}^{\frac{1}{x}}\:\text{d}x.\] \begin{enumerate} \item %Calculer $I_{2}$. $I_{2} = \displaystyle\int_{1}^2 \dfrac{1}{x^2}\text{e}^{\frac{1}{x}}\:\text{d}x$. On pose $u(x) = \dfrac{1}{x}$ qui est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ donc $u'(x) = - \dfrac{1}{x^2}$. La fonction à intégrer est donc de la forme $- u'(x) \text{e}^{u(x)}$ qui est la dérivée de $-\text{e}^{u(x)}$. On a donc $I_{2} = \left[- \text{e}^{\frac{1}{x}}\right]_{1}^2 = \text{e} - \text{e}^{\frac{1}{2}} = \text{e} - \sqrt{\text{e}}$. \item Une relation de récurrence \begin{enumerate} \item %Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que pour tout entier naturel $n \geqslant 2$ : %\[I_{n+1} = \text{e} - \dfrac{\sqrt{\text{e}}}{2^{n-1}} + (1 - n)I_{n}.\] $\bullet~~$ \emph{Méthode} 1 : $I_{n} = \displaystyle\int_{1}^2 \dfrac{1}{x^{n}}\text{e}^{\frac{1}{x}}\:\text{d}x$. On pose $u'(x) = \dfrac{1}{x^{n}}$ et $v(x) = \text{e}^{\frac{1}{x}}$ ; d'où $u(x) = - \dfrac{1}{n-1}\dfrac{1}{x^{n-1}}$ et $v'(x) = - \dfrac{1}{x^2}\text{e}^{\frac{1}{x}}$. Toutes les fonctions sont dérivables, donc continues sur $]0~;~+ \infty[$ : on peut donc intégrer par parties : $I_{n} = \left[- \dfrac{1}{n-1}\dfrac{1}{x^{n-1}}\text{e}^{\frac{1}{x}} \right]_{1}^2 - \dfrac{1}{n-1}\displaystyle\int_{1}^2 \dfrac{1}{x^{n-1}}\times \dfrac{1}{x^2}\text{e}^{\frac{1}{x}}\:\text{d}x =$ $ \dfrac{1}{n-1}\left(\text{e} - \text{e}^{\frac{1}{2}}\right) - \dfrac{1}{n-1}\displaystyle\int_{1}^2 \dfrac{1}{x^{n+1}}\text{e}^{\frac{1}{x}}\:\text{d}x = \dfrac{1}{n}\left(\text{e} - \text{e}^{\frac{1}{2}}\right) - \dfrac{1}{n-1}I_{n+1}$. Puis $(n-1)I_{n} = \text{e} - \text{e}^{\frac{1}{2}} - I_{n+1} \iff I_{n+1} = \text{e} - \dfrac{\sqrt{\text{e}}}{2^{n-1}} + (1 - n)I_{n}$. $\bullet~~$ \emph{Méthode} 2 : une autre intégration par parties : On pose $u'(x) = - \dfrac{1}{x^2}\text{e}^{\frac{1}{x}} ; \quad v(x) = - \dfrac{1}{x^{n - 1}}$ ; d'où : $u(x) = \text{e}^{\frac{1}{x}} ; \quad v'(x) = \dfrac{n - 1}{x^n}$. Donc $I_{n+1}(x) = \left[- \dfrac{1}{x^{n-1}}\text{e}^{\frac{1}{x}} \right]_1^2 - \displaystyle\int_1^2 \dfrac{(n - 1)\text{e}^{\frac{1}{x}}}{x^n}\:\text{d}x = - \dfrac{\text{e}^{\frac{1}{2}}}{2^{n - 1}} + \text{e} + (1 - n)I_n = \text{e} - \dfrac{\sqrt{\text{e}}}{2^{n - 1}}.$ \item %Calculer $I_{3}$. La relation de récurrence précédente permet de calculer : $I_{3}= \text{e} - \dfrac{\sqrt{\text{e}}}{2^{2-1}} + (1 - 2)I_{2} = \text{e} - \dfrac{\sqrt{\text{e}}}{2^{2-1}} - \left(\text{e} - \sqrt{\text{e}}\right) = \dfrac{\sqrt{\text{e}}}{2}.$ \end{enumerate} \item %Étude de la limite de la suite de terme général $I_{n}$ \begin{enumerate} \item %Établir que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~2], on a : %$0 \leqslant \dfrac{1}{x^n}\text{e}^{\frac{1}{x}} \leqslant \dfrac{\text{e}}{x^n}$. Soit $x$ tel que : $0 < 1 \leqslant x \leqslant 2$, donc en passant aux inverses : $0 < \dfrac{1}{2}\leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant 1$, puis par croissance de la fonction exponentielle : $ < \text{e}^{\frac{1}{2}} \leqslant \text{e}^{\frac{1}{x}} \leqslant \text{e}^1$, d'où en particulier $0 < \text{e}^{\frac{1}{x}} \leqslant \text{e}$. Comme $x^n > 0$ pour tout naturel et tout réel $x$ entre 1 et 2, il résulte que : $0 \times \dfrac{1}{x^n} < \text{e}^{\frac{1}{x}}\dfrac{1}{x^n} \leqslant \text{e}\dfrac{1}{x^n}$. ou encore $0 \leqslant \dfrac{1}{x^n}\text{e}^{\frac{1}{x}} \leqslant \dfrac{\text{e}}{x^n}$. \item %En déduire un encadrement de $I_{n}$ puis étudier la limite éventuelle de la suite $\left(I_{n}\right)$. On en déduit l'encadrement de l'intégrale $I_{n}$ : \[\int_{1}^2 0\:\text{d}x < \int_{1}^2 \dfrac{1}{x^n}\text{e}^{\frac{1}{x}}\:\text{d}x \leqslant \int_{1}^2\dfrac{\text{e}}{x^n}\:\text{d}x,\] soit $0 < I_{n} \leqslant \text{e}\left[- \dfrac{1}{n-1}\dfrac{1}{x^{n-1}}\right]_{1}^2$ soit finalement $0 < I_{n} \leqslant \dfrac{\text{e}}{n - 1}\left(1 - \dfrac{1}{2^{n-1}} \right)$. Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{2^{n-1}} = 0$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{n-1} = 0$, on obtient par produit de limites : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{\text{e}}{n - 1}\left(1 - \dfrac{1}{2^{n-1}} \right) = 0$. D'après le théorème des \og gendarmes \fg{} on a donc : \[\lim_{n \to + \infty} I_{n} = 0.\] \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-1,-1)(11,10) \psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(11,10) \uput[d](11,0){$x$}\uput[r](0,10){$y$}\uput[dl](0,0){O}\uput[r](0.9,9){\blue $\mathcal{C}$} \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1,-1)(11,10) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=10000,linewidth=1.25pt]{0.668}{10}{2.71828 1 x div exp x dup mul div} \end{pspicture} \end{center} \end{document}