\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Merci à David Hamet %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\e}{\text{e}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat spécialité}, pdftitle = {Asie 17 mai 2022}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat spécialité} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{17 mai 2022}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Asie 17 mai 2022 Jour 1~\decofourright\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}} \vspace{0,25cm} Le sujet propose 4 exercices. Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et \textbf{ne doit traiter que ces 3 exercices.} \medskip Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points). \medskip Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte. \hrule \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points} \medskip \emph{Principaux domaines abordés}: Probabilités conditionnelles et indépendance. Variables aléatoires. \medskip %Lors d'une kermesse, un organisateur de jeux dispose, d'une part, d'une roue comportant quatre cases blanches et huit cases rouges et, d'autre part, d'un sac contenant cinq jetons portant les numéros 1, 2, 3, 4 et 5. % %Le jeu consiste à faire tourner la roue, chaque case ayant la même probabilité d'être obtenue, puis à extraire un ou deux jetons du sac selon la règle suivante : % %\setlength\parindent{1cm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$] si la case obtenue par la roue est blanche, alors le joueur extrait un jeton du sac ; %\item[$\bullet~~$] si la case obtenue par la roue est rouge, alors le joueur extrait successivement et sans remise deux jetons du sac. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0cm} % %Le joueur gagne si le ou les jetons tirés portent tous un numéro impair. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Un joueur fait une partie et on note $B$ l'évènement \og la case obtenue est blanche \fg, $R$ l'évènement \og la case obtenue est rouge\fg{} et $G$ l'évènement \og le joueur gagne la partie \fg. \begin{enumerate} \item %Donner la valeur de la probabilité conditionnelle $P_B(G)$. Si la case est blanche on tire 1 seul jeton ; comme il y a 3 résultats impairs sur 5 numéros on a $P_B(G) = \dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10} = 0,6$. \item %On admettra que la probabilité de tirer successivement et sans remise deux jetons impairs est égale à $0,3$. %Recopier et compléter l'arbre de probabilité suivant: Tout d'abord on a $P(B) = \dfrac{4}{12} = \dfrac13$ et donc $P(R) = \dfrac{8}{12} = \dfrac23$. Si la case est rouge on tire successivement deux jetons : il y a $5 \times 4 = 20$ issues différentes depuis 1--2 jusqu'à 5-4 et parmi celles-ci les issues gagnantes : 1-3 ; 1-5 ; 3-1 ; 3-5 ; 5-1 et 5-3. On a donc $P_R(G) = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10} = 0,3$ (voir l'énoncé). On peut donc compléter l'arbre pondéré : \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=3cm]{\TR{}} {\pstree{\TR{$B$~~} \taput{$\frac13$}} {\TR{$G$}\taput{0,6} \TR{$\overline{G}$}\tbput{0,4} } \pstree{\TR{$R$~~} \tbput{$\frac23$}} {\TR{$G$}\taput{0,3} \TR{$\overline{G}$}\tbput{0,7} } } \end{center} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Montrer que $P(G) = 0,4$. D'après la loi des probabilités totales : $P(G) = P(B \cap G) + P(R \cap G)$ $\bullet~~$$P(B \cap G) = P(B) \times P_B(G) = \dfrac13 \times 0,6 = \dfrac{0,6}{3} = 0,2$ ; $\bullet~~$$P(R \cap G) = P(R) \times P_R(G) = \dfrac23 \times 0,3 = \dfrac{0,6}{3} = 0,2$. Donc $P(G) = 0,2 + 0,2 = 0,4$. \item %Un joueur gagne la partie. %Quelle est la probabilité qu'il ait obtenu une case blanche en lançant la roue? Il faut trouver $P_G(B) = \dfrac{P(G \cap B)}{P(G)} = \dfrac{P(B \cap G)}{P(G)} = \dfrac{0,2}{0,4} = \dfrac2 = 0,5$. \end{enumerate} \item %Les évènements $B$ et $G$ sont-ils indépendants ? Justifier. $\bullet~~$$P(B) \times P(G) = \dfrac13 \times 0,4 = \dfrac{0,4}{3} = \dfrac{4}{30} = \dfrac{2}{15}$ ; $\bullet~~$$P(B \cap G) = \dfrac13 \times 0,6 = 0,2 = \dfrac{2}{10} = \dfrac15$. Donc $P(B) \times P(G) \ne P(B \cap G)$ : les évènements ne sont pas indépendants. \item Un même joueur fait dix parties. Les jetons tirés sont remis dans le sac après chaque partie. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées. \begin{enumerate} \item %Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. Les 10 épreuves sont indépendantes et à chacune la probabilité de gagner est égale à 0,4. La variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale $\mathcal{B}(10~;~0,4)$. \item %Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, que le joueur gagne exactement trois parties sur les dix parties jouées. On a $P(X = 3 = \binom{10}{3} \times 0,4^3 \times (1 - 0,4)^7 \approx 0,215$ au millième près. \item %Calculer $P (X \geqslant 4)$ arrondie à $10^{-3}$ près. La calculatrice donne $P(X \leqslant 3) \approx 0,3823$, donc $P(X \geqslant 4) \approx 0,6177$, soit 0,618 au millième près. %Donner une interprétation du résultat obtenu. Il y a plus de 6 chances sur 10 de gagner au moins 4 parties. \end{enumerate} \item %Un joueur fait $n$ parties et on note $p_n$ la probabilité de l'évènement \og le joueur gagne au moins une partie \fg. \begin{enumerate} \item %Montrer que $p_n = 1 - 0,6^n$. On a $p_n = P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,6^n$. \item %Déterminer la plus petite valeur de l'entier $n$ pour laquelle la probabilité de gagner au moins une partie est supérieure ou égale à $0,99$. Il faut trouver le plus petit entier $n$ tel que $p_n \geqslant 0,99$, soit : $1 - 0,6^n \geqslant 0,99 \iff 0,01 \geqslant 0,6^n$ soit par croissance de la fonction logarithme : $\ln 0,01 \geqslant n \ln 0,6 \iff \dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,6} \leqslant n$, car $\ln 0,6 < 0$. Or $\dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,6} \approx 9,02$. Il faut donc jouer au moins 10 parties pour avoir une probabilité d'en gagner une avec une probabilité d'au moins 99\,\%. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points} \medskip \emph{Principaux domaines abordés} : Suites numériques. Algorithmique et programmation. \medskip Un médicament est administré à un patient par voie intraveineuse. \bigskip \textbf{Partie A : modèle discret de la quantité médicamenteuse} \medskip %Après une première injection de 1 mg de médicament, le patient est placé sous perfusion. % %On estime que, toutes les $30$~minutes, l'organisme du patient élimine 10\,\% de la quantité de médicament présente dans le sang et qu'il reçoit une dose supplémentaire de $0,25$ mg de la substance médicamenteuse. % %On étudie l'évolution de la quantité de médicament dans le sang avec le modèle suivant : % %pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la quantité, en mg, de médicament dans le sang du patient au bout de $n$ périodes de trente minutes. On a donc $u_0 = 1$. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Calculer la quantité de médicament dans le sang au bout d'une demi-heure. Au bout de 30 min, 10\,\% de 1 mg ont disparu : il en reste donc $0,9$ mg et on donne alors $0,25$ mg supplémentaires : on a donc $u_1 = 1,15$. \item %Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = 0,9u_n + 0,25$. Si $u_n$ est la quantité de médicament présente au bout de $n$ périodes de 30 min, à la $(n + 1)$\up{e} période 10\,\% auront disparu ; il en restera donc $0,9u_n$ et on donne alors 0,25 mg de médicament supplémentaire ; on a donc $u_{n+1} = 0,9u_n + 0,25$. \item \begin{enumerate} \item %Montrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n,\: u_n \leqslant u_{n+1} < 5$. \emph{Initialisation} Pour $n = 0$. On a $u_0 = 1$ et $u_1 = 1,15$ soit $u_0 \leqslant u_1 < 5$ :l'encadrement est réalisé au rang $0$. \emph{Hérédité} : Soit $n \in \N$ et supposons que $u_n \leqslant u_{n+1} < 5$. Alors en multipliant par 0,9 : $0,9u_n \leqslant 0,9u_{n+1} < 0,9 \times 5$ et en ajoutant 0,25 à chaque membre : $0,9u_n + 0,25 \leqslant 0,9u_{n+1} + 0,25 < 0,9 \times 5 + 0,25$, soit $u_{n+1} \leqslant u_{n+2} < 4,75 < 5$. On a donc : $u_{n+1} \leqslant u_{n+2} < 5$ : l'encadrement est vrai au rang $(n + 1)$. L'encadrement est vrai au rang $0$ et s'il est vrai au rang $n$, il l'est aussi au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence : pour tout entier naturel $n,\: u_n \leqslant u_{n+1} < 5$. \item %En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. La première partie du résultat précédent montre que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante et la deuxième que cette suite est majorée par 5 : elle est donc convergente vers une limite $\ell \leqslant 5$. \end{enumerate} \item %On estime que le médicament est réellement efficace lorsque sa quantité dans le sang %du patient est supérieure ou égale à $1,8$ mg. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le script écrit en langage Python suivant de manière à déterminer au bout de combien de périodes de trente minutes le médicament commence à être réellement efficace. \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline \texttt{\textbf{def} efficace():}\\ \quad \texttt{u=1}\\ \quad \texttt{n=0}\\ \quad \texttt{\textbf{while} {\red u < 1.8} :}\\ \quad\qquad \texttt{u={\red 0.9*u+0.25}}\\ \quad\qquad \texttt{n = n+1}\\ \quad \texttt{\textbf{ return }n}\\ \hline \end{tabular} \end{center} \item %Quelle est la valeur renvoyée par ce script ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. Le script renvoie $n = 8$,car $u_8 \approx 1,854 > 1,8$. Le médicament est réellement efficace après 4 heures. \end{enumerate} \item %Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2,5 - u_n$. \begin{enumerate} \item %Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $\left(v_0\right)$. On a donc $v_{n+1} = 2,5 - u_{n+1} \iff u_{n+1} = 2,5 - v_{n+1} = 0,9u_n + 0,25$. Or $v_n = 2,5 - u_n \iff u_n = 2,5 - v_n$ ; l'égalité précédente devient donc : $2,5 - v_{n+1} = 0,9\left(2,5 - v_n \right) + 0,25 \iff 2,5 - v_{n+1} = 2,25 - 0,9v_n + 0,25 \iff v_{n+1} = 0,9v_n$ : cette égalité montre que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,9 de premier terme $v_0 = 2,5 - u_0 = 2,5 - 1 = 1,5$. \item %Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: u_n = 2,5 - 1,5 \times 0,9^n$. On sait que quel que soit $n \in \N,\:, v_n = v_0 \times 0,9^n$, soit $v_n = 1,5 \times 0,9^n$, d'où puisque $u_n = 2,5 - v_n$ : Quel que soit $n \in \N, \: u_n = 2,5 - 1,5 \times 0,9^n$. \item %Le médicament devient toxique lorsque sa quantité présente dans le sang du patient dépasse $3$ mg. %D'après le modèle choisi, le traitement présente-t-il un risque pour le patient? Justifier. On sait que quel que soit $n \in \N, \: 0,9^n < 1$, car $-1 < 0,9 < 1$, et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,9^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n =2,5 < 3$. Conclusion : à aucun moment le traitement ne sera dangereux pour le patient. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : modèle continu de la quantité médicamenteuse} \medskip %Après une injection initiale de $1$~mg de médicament, le patient est placé sous perfusion. % %Le débit de la substance médicamenteuse administrée au patient est de $0,5$ mg par heure. % %La quantité de médicament dans le sang du patient, en fonction du temps, est modélisée %par la fonction $f$, définie sur $[0~;~ +\infty[$, par \[f(t) = 2,5 - 1,5\text{e}^{-0,2t},\] %où $t$ désigne la durée de la perfusion exprimée en heure. % %On rappelle que ce médicament est réellement efficace lorsque sa quantité dans le sang du patient est supérieure ou égale à $1,8$~mg. % %\medskip % \begin{enumerate} \item %Le médicament est-il réellement efficace au bout de 3~h 45~min ? 3~h 45~min $= 3 + \dfrac{45}{60} = 3 + \dfrac{3}{4} = 3 + \dfrac{75}{100} = 3 + 0,75 = 3,75$. On a donc $f(3,75) = 2,5 - 1,5\text{e}^{-0,2 \times 3,75} = 2,5 - 1,5 \times \text{e}^{-0,75} \approx \np{1,791} < 1,8$. Le traitement n'est pas efficace au bout de 3 h 45 min. \item %Selon ce modèle, déterminer au bout de combien de temps le médicament devient réellement efficace. Il faut trouver $t$ tel que $f(t) \geqslant 1,8$, soit $2,5 - 1,5\text{e}^{-0,2t} \geqslant 1,8 \iff 0,7 \geqslant 1,5\text{e}^{-0,2t} \iff \frac{7}{15} \geqslant \text{e}^{-0,2t}$, soit par croissance du logarithme : $\ln \frac{7}{15} \geqslant - 0,2t \iff -5\ln \frac{7}{15} \leqslant -5 \times (- 0,2t)$ car $- 5 < 0$, soit enfin $t \geqslant -5\ln \frac{7}{15}$. Or $ -5\ln \frac{7}{15} \approx \np{3,8107}$ soit 3 h et $\np{0,8107} \times 60 = 48,64$~min soit environ 3 h 49 min. \item %Comparer le résultat obtenu avec celui obtenu à la question 4. b. du modèle discret de la Partie A. Ce temps est inférieur à celui de la question 4. b. La perfusion est donc plus rapidement efficace. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points} \medskip \emph{Principaux domaines abordés}: Manipulation des vecteurs, des droites et des plans de l'espace. Orthogonalité et distances dans l'espace. Représentations paramétriques et équations cartésiennes. \bigskip Le solide ABCDEFGH est un cube. On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$ de l'espace dans lequel les coordonnées des points B, D et E sont : \[\text{B}(3~;~0 ~;~0) , \text{D} (0~;~3~;~0)\: \text{et E}(0~;~0~;~3).\] \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6.5,5.8) \pspolygon(0.5,1)(2.9,0.5)(2.9,3.7)(0.5,4.2)%ABFE \psline(2.9,0.5)(5.6,1)(5.6,4.2)(2.9,3.7)%BCGF \psline(5.6,4.2)(3.2,4.7)(0.5,4.2)%GHE \psline[linestyle=dashed](0.5,1)(3.2,1.5)(5.6,1)%ADC \psline[linestyle=dashed](3.2,1.5)(3.2,4.7)%DH \psline[linewidth=1.3pt]{->}(0.5,1)(1.3,0.84) \psline[linewidth=1.3pt]{->}(0.5,1)(1.4,1.16) \psline[linewidth=1.3pt]{->}(0.5,1)(0.5,2.06) \uput[dl](0.5,1){A} \uput[d](2.9,0.5){B} \uput[r](5.6,1){C} \uput[d](3.2,1.5){D} \uput[l](0.5,4.2){E} \uput[u](2.9,3.7){F} \uput[r](5.6,4.2){G} \uput[u](3.2,4.7){H} \uput[d](0.7,0.9){$\vect{\imath}$} \uput[u](0.95,1.08){$\vect{\jmath}$} \uput[l](0.5,1.53){$\vect{k}$} \end{pspicture} \end{center} On considère les points P(0~;~0~;~1), Q(0~;~2~;~3) et R(1~;~0~;~3). \medskip \begin{enumerate} \item %Placer les points P{}, Q et R sur la figure en ANNEXE qui sera à rendre avec la copie. Voir l'annexe. \item %Montrer que le triangle PQR est isocèle en R. On a $\vect{\text{PR}}\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{QR}}\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$. Donc PR$^2 = \left\|\vect{\text{PR}}\right\|^2 = 1^2 + 0^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$ et QR$ = \left\|\vect{\text{QR}}\right\|^2 = 1^2 + (- 2)^2 + 0^2 = 1 + 4 = 5$. Donc PR = QR $ = \sqrt{5}$ : le triangle (PQR) est isocèle en R. \item %Justifier que les points P{}, Q et R définissent un plan. Les vecteurs $\vect{\text{PR}}$ et $\vect{\text{QR}}$ ne sont pas colinéaires donc les points P{}, Q et R ne sont pas alignés : les points P{}, Q et R définissent un plan. \item %On s'intéresse à présent à la distance entre le point E et le plan (PQR). \begin{enumerate} \item ~%Montrer que le vecteur $\vect{u}(2~;~1~;~- 1)$ est normal au plan (PQR). $\bullet~~$$\vect{\text{PR}} \cdot \vect{u} = 2 + 0 - 2 = 0$ ; $\bullet~~$$\vect{\text{QR}} \cdot \vect{u} = 2 - 2 + 0 = 0$. Donc le vecteur $\vect{u}(2~;~1~;~- 1)$ orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (PQR) est normal à ce plan. \item %En déduire une équation cartésienne du plan (PQR). On sait qu'alors $M(x~;~y~;~z) \in (\text{PQR}) \iff 2x + 1y - 1z = d$, \: $d \in \R$. En particulier $\text{P}(0~;~0~;~1) \in (\text{PQR}) \iff 2\times 0 + 1\times 0 - 1 \times 1 = d \iff - 1 = d$. On a donc $M(x~;~y~;~z) \in (\text{PQR}) \iff 2x + y - z = - 1$. \item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par le point E et orthogonale au plan (PQR). Si $d$ est orthogonale au plan (PQR) elle a pour vecteur directeur le vecteur $\vect{u}$. On a donc : $M(x~;~y~;~z) \in (d) \iff \vect{\text{E}M} = t\vect{u}\iff \left\{\begin{array}{l c l} x - 0 = 2t\\ y - 0= 1t\\ z - 3 = -1t \end{array}\right., t \in \R \iff \left\{\begin{array}{l c l} x&=& 2t\\ y&=& t\\ z &=& -t + 3 \end{array}\right., t \in \R$. \item %Montrer que le point L$\left(\dfrac23~;~\dfrac13~;~\dfrac83\right)$ est le projeté orthogonal du point E sur le plan (PQR). Si L est le projeté orthogonal du point E sur le plan (PQR), la droite (LE) est perpendiculaire à ce plan donc l appartient à $(d)$ et ce point L appartient aussi au plan (PQR). les coordonnées de L vérifient donc le système d'équations : $\left\{\begin{array}{l c l} x - 0 = 2t\\ y - 0= 1t\\ z - 3 = -1t\\ 2x + y - z &=& - 1 \end{array}\right., t \in \R \iff \left\{\begin{array}{l c l} x= 2t\\ y= t\\ z= -t + 3\\ 2x + y - z &=& - 1 \end{array}\right., t \in \R$. En remplaçant $x,\:y$ et $z$ par leurs expressions en fonction de $t$ dans la dernière équation, on obtient : $2\times 2t + t - (- t + 3) = - 1 \iff 6t - 3= - 1\iff 6t = 2 \iff t = \dfrac13$. L$\left(\dfrac23~;~\dfrac13~;~\dfrac83\right)$. On a donc $x = \dfrac23, \: y = \dfrac13$ et $z = 3 - \dfrac13 = \dfrac83$. \item %Déterminer la distance entre le point E et le plan (PQR). On a donc avec $\vect{\text{EL}}\begin{pmatrix}\dfrac23\\\dfrac13\\- \dfrac13\end{pmatrix}$, on déduit EL$^2 = \dfrac49 + \dfrac19 + \dfrac19 = \dfrac69$. La distance de E au plan (PQR) est donc égale à EL $ = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$. \end{enumerate} \item %En choisissant le triangle EQR comme base, montrer que le volume du tétraèdre EPQR est $\dfrac23$. %On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule : %\[V = \dfrac13 \times \text{aire d'une base} \times \text{hauteur correspondante}.\] Si on prend EQR comme base la hauteur est [PE]. On a $\mathcal{A}(EQR) = \dfrac{\text{EQ} \times \text{ER}}{2} = \dfrac{2 \times 1}{2} = 1$ et PE = 2, donc : $V(\text{EPQR}) = \dfrac13 \times 1 \times 2 = \dfrac23$. \item %Trouver, à l'aide des deux questions précédentes, l'aire du triangle PQR. On a aussi $V(\text{EPQR}) = \dfrac13 \times \mathcal{A}(\text{PQR}) = \times \text{EL}$, soit $\dfrac23 = \dfrac13 \times \mathcal{A}(\text{PQR}) \times \dfrac{\sqrt{6}}{3} \iff \mathcal{A}(\text{PQR}) = \dfrac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$. \emph{Rem.} On peut retrouver cette aire en calculant l'aire de ce triangle isocèle directement \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \medskip \emph{Principaux domaines abordés}: Étude de fonctions. Fonction logarithme. \bigskip Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. On considère les points A(1~;~3) et B(3~;~5). On donne ci-dessous $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan, ainsi que la tangente (AB) à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A. \medskip \begin{center} \psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-7,-2.25)(8,6.25) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt] \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-7,-2.25)(8,6.25) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-7}{8}{x dup mul 1 add ln 3 add 2 ln sub} \psplot[linestyle=dashed]{-7}{8}{x 2 add} \uput[dr](1,3){A}\uput[ul](3,5){B} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1,3)(3,5) \uput[d](-5.5,5.75){\red $\mathcal{C}_f$} \end{pspicture*} \end{center} \emph{Les trois parties de l'exercice peuvent être traitées de manière indépendante.} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item %Déterminer graphiquement les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$. On lit sur le graphique : $f(1) = 3$ et $f'(1) = 1$ (nombre dérivé égal au coefficient directeur de la droite (AB)). \item %La fonction $f$ est définie par l'expression $f(x) = \ln \left(ax^2 + 1\right) + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels positifs. \begin{enumerate} \item %Déterminer l'expression de $f'(x)$. Comme $a \geqslant 0$ et $x^2 \geqslant 0$, on a $ax^2 \geqslant 0$, donc $ax^2 + 1 \geqslant 1 > 0$ : la fonction $f$ est donc dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle $f'(x) = \dfrac{2ax}{ax^2 + 1}$. \item %Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ à l'aide des résultats précédents. Les résultats du 1. peuvent s'écrire : $\left\{\begin{array}{l c l} f(1)&=&3\\ f'(1)&=&1 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} \ln (a + 1) + b&=&3\\ \dfrac{2a}{a + 1}&=&1 \end{array}\right.$. La deuxième équation donne $2a = a + 1 \iff a = 1$ et en reportant dans la première : $\ln (1 + 1) + b = 3 \iff b = 3 - \ln 2$. On a donc sur $\R, \: f(x) = \ln \left(x^2 + 1 \right) + 3 - \ln 2$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par \[f(x) = \ln \left(x^2 + 1\right) + 3 - \ln (2).\] \medskip \begin{enumerate} \item %Montrer que $f$ est une fonction paire. Quel que soit le réel $x, \: f(- x) = \ln \left[(- x)^2 + 1\right] + 3 - \ln 2 = \ln \left(x^2 + 1\right) + 3 - \ln (2) = f(x)$. La fonction $f$ est donc paire (la représentation graphique de $f$ est donc symétrique autour de l'axe des ordonnées). \item %Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^2 = + \infty$ d'où $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^2 + 1 = + \infty$ et par composition $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln \left(ax^2 + 1 \right) = + \infty$ et enfin $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$. La fonction étant paire $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$. \item %Déterminer l'expression de $f'(x)$. Comme $x^2 + 1 > 0$ quel que soit le réel $x$, la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle : $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}.$ Le dénominateur étant supérieur à zéro le signe de $f('x)$ est donc celui de $2x$, donc : $f'(x) < 0$ sur $\R_{-}^*$ et $f'(x) > 0$ sur $\R_{+}^*$. Conclusion $f$ est décroissante sur $\R_{-}^*$ et croissante sur $\R_{+}^*$. Le nombre $f(0) = \ln 1 + 3 - \ln 2 = 3 - \ln 2$ est donc le minimum de la fonction sur $\R$. D'où le tableau de variations : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,3) \psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3) \uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.5,2.4){$- \infty$} \uput[u](4,2.4){$0$} \uput[u](6.5,2.4){$+\infty$} \uput[u](0.5,1.9){$f'(x)$}\uput[u](2.5,1.9){$-$}\uput[u](4,1.9){$0$}\uput[u](5.5,1.9){$+$} \uput[d](1.5,2){$+ \infty$}\uput[d](6.5,2){$+ \infty$}\uput[u](4,0){$3 - \ln 2$} \rput(0.5,1){$f(x)$} \psline{->}(2,1.5)(3.5,0.5) \psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5) \end{pspicture} \end{center} %Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$. %Dresser le tableau des variations de $f$ en y faisant figurer la valeur exacte du minimum ainsi que les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$. \item %À l'aide du tableau des variations de $f$, donner les valeurs du réel $k$ pour lesquelles l'équation $f(x) = k$ admet deux solutions. D'après le tableau de variations l'équation $f(x) = k$ admet deux solutions si $k > 3 - \ln 2$. \item %Résoudre l'équation $f(x) = 3 + \ln 2$. $f(x) = 3 + \ln 2 \iff \ln \left(x^2 + 1\right) + 3 - \ln (2) = 3 + \ln (2) \iff \ln \left(x^2 + 1\right) = 2\ln (2) \iff \ln \left(x^2 + 1\right) = \ln 4 \iff x^2 + 1 = 4$ (par croissance de la fonction logarithme), soit $x^2 = 3$, d'où deux solutions $S = \left\{- \sqrt{3}~;~ \sqrt{3}\right\}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On rappelle que la fonction $f$ est définie sur $R$ par $f(x) = \ln \left(x^2 + 1\right) + 3 - \ln (2)$. \medskip \begin{enumerate} \item %Conjecturer, par lecture graphique, les abscisses des éventuels points d'inflexion %de la courbe $\mathcal{C}_f$. Il semble qu'il y ait deux points d'inflexion aux points d'abscisses $- 1$ et 1. \item %Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f''(x) = \dfrac{2\left(1 - x^2\right)}{\left(x^2 + 1\right)^2}$. Comme $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ soit le quotient de deux fonctions dérivables sur $\R$, le dénominateur étant non nul ; $f'$ est donc dérivable sur $\R$ et : $f''(x) = \dfrac{2\left(x^2 + 1\right) - 2x \times 2x}{\left(x^2 + 1\right)^2} = \dfrac{2x^2 + 2 - 4x^2}{\left(x^2 + 1\right)^2} = \dfrac{2\left(1 - x^2\right)}{\left(x^2 + 1\right)^2}$. \item %En déduire le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe. On a donc $f''(x) = 0 \iff 1 - x^2 = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l} 1 +x&=&0\\ 1 - x&=& \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l} x&=&- 1\\ x&=&1 \end{array}\right.$ Donc $S = \{-1~;~1\}$. La dérivée seconde est positive quand le trinôme $1 - x^2$ est positif soit sur l'intervalle $]-1~;~1[$. Donc la fonction $f$ est convexe sur $]-1~;~1[$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\Large ANNEXE à rendre avec la copie} \vspace{5cm} \psset{unit=1.5cm} \begin{pspicture}(6.5,5.8) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,2.06)(2.3,4.55)(1.3,4.04) \pspolygon(0.5,1)(2.9,0.5)(2.9,3.7)(0.5,4.2)%ABFE \psline(2.9,0.5)(5.6,1)(5.6,4.2)(2.9,3.7)%BCGF \psline(5.6,4.2)(3.2,4.7)(0.5,4.2)%GHE \psline[linestyle=dashed](0.5,1)(3.2,1.5)(5.6,1)%ADC \psline[linestyle=dashed](3.2,1.5)(3.2,4.7)%DH \psline[linewidth=1.3pt]{->}(0.5,1)(1.3,0.84) \psline[linewidth=1.3pt]{->}(0.5,1)(1.4,1.16) \psline[linewidth=1.3pt]{->}(0.5,1)(0.5,2.06) \uput[dl](0.5,1){A} \uput[d](2.9,0.5){B} \uput[r](5.6,1){C} \uput[d](3.2,1.5){D} \uput[l](0.5,4.2){E} \uput[u](2.9,3.7){F} \uput[r](5.6,4.2){G} \uput[u](3.2,4.7){H} \uput[d](0.7,0.9){$\vect{\imath}$} \uput[u](0.95,1.08){$\vect{\jmath}$} \uput[l](0.5,1.53){$\vect{k}$} \psdots(0.5,2.06)(2.3,4.55)(1.3,4.04) \uput[l](0.5,2.06){P}\uput[u](2.3,4.55){Q}\uput[ul](1.3,4.04){R} \end{pspicture} \end{center} \end{document}