\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Merci à David Hamet %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : François Hache \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\e}{\text{e}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat spécialité}, pdftitle = {Asie 18 mai 2022}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat spécialité} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{18 mai 2022}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Asie 17 mai 2022 Jour 1~\decofourright\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}} \vspace{0,25cm} Le sujet propose 4 exercices. Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et \textbf{ne doit traiter que ces 3 exercices.} \medskip Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points). \medskip Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte. \hrule \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points} \medskip \emph{Principaux domaines abordés}: Manipulation des vecteurs, des droites et des plans de l'espace. Orthogonalité et distances dans l'espace. Représentations paramétriques et équations cartésiennes. \bigskip Dans un repère orthonormé \Oijk{} de l'espace, on considère les points \[\text{A}(-3~;~1~;~3), \text{B}(2~;~2~;~3), \text{C}(1~;~7~;~-1), \text{D}(-4~;~6~;~-1)\: \text{et K}(-3~;~14~;~14).\] %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{OC}}$ et $\vect{\text{AD}}$. On a $\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}5\\1\\0\end{pmatrix}, \: \vect{\text{DC}}\begin{pmatrix}5\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{AD}}\begin{pmatrix}-1\\5\\-4\end{pmatrix}$. \item% Montrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle. D'après la question précédente, $\vectt{AB}=\vectt{DC}$ donc ABCD est un parallélogramme. De plus le produit scalaire $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AD}} = 5\times(-1) + 1\times 5 + 0\times(-4) = 0$. Le parallélogramme ABCD ayant deux côtés consécutifs perpendiculaires est un rectangle. \item %Calculer l'aire du rectangle ABCD. On a AB$^2 = 25 + 1 = 26$, d'où AB $= \sqrt{26}$ ; \\ de même AD$^2 = 1 + 25 + 16= 42$, d'où AD $= \sqrt{42}$. L'aire du rectangle ABCD est égale à \\ $\text{AB} \times \text{AD} = \sqrt{26 }\times\sqrt{42} = \sqrt{26 \times 42} = \sqrt{2 \times 13 \times 2 \times 21} = 2\sqrt{13 \times 21} = 2\sqrt{273}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Justifier que les points A, B et D définissent un plan. D'après la question 1., les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AD}}$ ne sont pas colinéaires, donc les points A, B et D ne sont pas alignés : ils définissent donc bien un plan. \item Soit le vecteur $\vect{n}(-2~;~10~;~13)$.% est un vecteur normal au plan (ABD). $\vect{n} \cdot \vect{\text{AB}} = - 10 + 10 + 0 = 0$ et $\vect{n} \cdot \vect{\text{AD}} = 2 + 50 - 52 = 0$. Conclusion : le vecteur $\vect{n}$, orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABD), est normal à ce plan. \item %En déduire une équation cartésienne du plan (ABD). Le résultat précédent montre que le plan (ABD) a une équation de la forme\\ $-2x + 10y + 13z = d$, avec $d \in \R$. Or par exemple $\text{B}(2~;~2~;~3) \in (\text{ABD})$ donc \\ $-2 \times 2 + 10 \times 2 + 13\times 3 = d \iff - 4 + 20 + 39 = d \iff d = 55$. Donc le plan (ABD) a pour équation $ -2x + 10y + 13z = 55$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ orthogonale au plan (ABD) et qui passe par le point K. Si $\Delta$ est orthogonale au plan (ABD) elle a pour vecteur directeur le vecteur $\vect{n}$. Comme elle contient K, on a donc : $M(x~,~y~;~z) \in \Delta \iff \vect{\text{K}M} = t\vect{n}$, \: $t \in \R$. Avec $\vect{\text{K}M}\begin{pmatrix}x - (-3)\\y - 14\\z - 14\end{pmatrix}$ ceci se traduit par le système : $\left\{\begin{array}{l c l} x + 3&=&- 2t\\ y - 14&=&10t\\ z - 14&=&13t \end{array}\right., t \in \R \iff \left\{\begin{array}{l c r} x &=&- 2t - 3\\ y &=&10t + 14\\ z &=&13t + 14 \end{array}\right., t \in \R $ \item %Déterminer les coordonnées du point I, projeté orthogonal du point K sur le plan (ABD). Si I est le projeté orthogonal de K sur le plan (ABD), le point I est un point de $\Delta$; comme c'est aussi un point de (ABD) ; ses coordonnées vérifient le système $\left\{\begin{array}{l c r} x &=&- 2t - 3\\ y &=&10t + 14\\ z &=&13t + 14\\ - 2x + 10y + 13z &=& 55 \end{array}\right., t \in \R $. En remplaçant dans la dernière équation $x,\:y$ et $z$ par leurs expressions en fonction de $t$, on obtient : $- 2(- 2t - 3) + 10(10t + 14) + 13(13t + 14) = 55 \\ \iff 4t + 6 + 100t + 140 + 169t + 182 = 55 \iff 273t = - 273 \iff t = - 1$. Les premières équations donnent alors\\ $x = 2 - 3 = - 1$, \: $y = - 10 + 14 = 4$ et $z = - 13 + 14 = 1$. Le point I a donc pour coordonnées $(- 1~;~4~;~1)$. \item %Montrer que la hauteur de la pyramide KABCD de base ABCD et de sommet K vaut $\sqrt{273}$. ABCD étant un rectangle le point D appartient au plan (ABD). Donc la hauteur de la pyramide KABCD de base ABCD est [KI]. $\vect{\text{KI}}\begin{pmatrix}2\\-10\\-13\end{pmatrix}$ donne KI$^2 = 4 + 100 + 169 = 273$ et enfin KI $= \sqrt{273}$. \end{enumerate} \item %Calculer le volume $V$ de la pyramide KABCD. %On rappelle que le volume V d'une pyramide est donné par la formule: %\[V= \dfrac13 \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}.\] On a $V = \dfrac13 \times \mathcal{A}(\text{ABCD}) \times \text{KI} = \dfrac13 \times 2\sqrt{273} \times \sqrt{273} = \dfrac{2 \times 273}{3} = \dfrac{2 \times 3 \times 91}{3} = 182$. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points} \medskip \emph{Principaux domaines abordés}: Étude des fonctions. Fonction logarithme. \bigskip \textbf{Partie A} \begin{center} \psset{unit=0.6cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-4,-5)(15.5,8) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt] \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-5)(15.5,8) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{3.001}{15.5}{x dup mul x sub 6 sub ln} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{3.001}{15.5}{x 2 mul 1 sub x dup mul x sub 6 sub div} \uput[r](3.1,7.7){\red $\mathcal{C}_2$}\uput[r](3.1,-4){\blue $\mathcal{C}_1$} \psline[ArrowInside=->](0,3)(5.63,3)(5.62,0) \end{pspicture*} \end{center} Dans le repère orthonormé ci-dessus, sont tracées les courbes représentatives d'une fonction $f$ et de sa fonction dérivée, notée $f'$, toutes deux définies sur $]3~;~+\infty[$. \medskip \begin{enumerate} \item %Associer à chaque courbe la fonction qu'elle représente. Justifier. Si $\mathcal{C}_1$ était la représentation de la dérivée, celle-ci serait négative puis positive , donc la fonction serait décroissante puis croissante ce qui n'est pas le cas de la fonction représente par la courbe $\mathcal{C}_2$. Donc $\mathcal{C}_2$ est la représentation de la fonction dérivée et $\mathcal{C}_1$ celle de la fonction. \item %Déterminer graphiquement la ou les solutions éventuelles de l'équation $f(x) = 3$. On lit approximativement $f(5,6) \approx 3$. \item %Indiquer, par lecture graphique, la convexité de la fonction $f$. $f$ semble concave sur $]3~;~+\infty[$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item %Justifier que la quantité $\ln \left(x^2- x- 6\right)$ est bien définie pour les valeurs $x$ de l'intervalle $]3~;~ +\infty[$, que l'on nommera $I$ dans la suite. $\bullet~~$ $x^2 - x - 6 = \left(x - \frac12\right)^2 - \frac14 - 6 = \left(x - \frac12\right)^2 - \frac{25}{4} = \left(x - \frac12\right)^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \left(x - \frac12 + \frac52 \right)\left(x - \frac12 - \frac52 \right) = (x + 2)(x - 3)$. On sait que ce trinôme est positif sauf sur l'intervalle $[-2~;~3]$. Donc $\ln \left(x^2- x- 6\right)$ est bien définie sur $I = ]3~;~+ \infty[$ ; $\bullet~~$On peut calculer $\Delta = 1 + 24 = 25 = 5^2$ et en déduire les racines du trinôme $x^2- x- 6$ : $x_1 = \dfrac{1 + 5}{2} = 3$ et $x_2 = \dfrac{1-5}{2} = - 2$ et faire ensuite la même conclusion. \item On admet que la fonction $f$ de la Partie A est définie par $f(x) = \ln \left(x^2- x- 6\right)$ sur $I$. %Calculer les limites de la fonction $f$ aux deux bornes de l'intervalle $I$. %En déduire une équation d'une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ sur $I$. $\bullet~~$Limite en $+ \infty$ : $\ln \left(x^2- x- 6\right) = \ln x^2\left(1 - \dfrac{1}{x} - \dfrac{6}{x^2} \right)$. On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x} = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{6}{x^2} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 - \dfrac{1}{x} - \dfrac{6}{x^2} = 1$. Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^2 = + \infty$, par composition de la fonction logarithme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$. $\bullet~~$Limite en 3 : $f(x) = \ln (x + 2)(x - 3)$. On a $\displaystyle\lim_{x \to + 3}(x + 2)(x - 3) = 5 \times 0 = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + 3} \ln (x + 2)(x - 3) = - \infty$. Ceci signifie que la droite verticale d'équation $x = 3$ est asymptote à courbe représentative de la fonction $f$ sur $I$ (soit $\mathcal{C}_1$) \item \begin{enumerate} \item %Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ appartenant à $I$. Sur $I$, on a vu que $x^2 - x - 6 > 0$, donc la fonction $f$ est dérivable et sur $I$, on a $f'(x) = \dfrac{2x - 1}{x^2 - x - 6}$. \item %Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $I$. $f'(x)$ a le signe du numérateur $2x - 1$ : pour $x>3$, on a $2x-1>5$ donc $2x-1>0$ et donc $f'(x>0$. Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$ de moins l'infini à plus l'infini. On dresse le tableau des variations de la fonction $f$. \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} % augmentation de la hauteur de toutes les lignes \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{\hspace*{3cm}} % pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{0pt} % mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| l *2{c}|} \hline x & 3 & \esp & +\infty \\ \hline f'(x) & \vline\;\vline & \pmb{+} & \\ \hline & \vline\;\vline & & \Rnode{max}{+\infty} \\ f(x) & \vline\;\vline& & \rule{0pt}{\hauteur} \\ &\vline\;\vline \Rnode{min}{~-\infty} & & \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min}{max}\\ \hline \end{array}$ } \end{center} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Justifier que l'équation $f(x) = 3$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle ]5~;~ 6[. La fonction $f$ est strictement croissante sur $I$ et en particulier sur ]5~;~6[. De plus $f(5) = \ln (25 - 5 - 6) = \ln 14 \approx 2,64<3$ et $f(6) = \ln (36 - 6 - 6) = \ln 24 \approx 3,18>3$. La fonction $f$ étant continue car dérivable sur l'intervalle ]5~;~6[, d'après la propriété des valeurs intermédiaires il existe un réel unique $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 3$, avec $5 < \alpha < 6$. \item %Déterminer, à l'aide de la calculatrice, un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. La calculatrice donne : $f(5,6) \approx 2,984$ et $f(5,7) \approx 3,035$, donc $5,6 < \alpha < 5,7$ puis $f(5,63) \approx 2,999$ et $f(5,64) \approx 3,004$ donc $5,63 < \alpha < 5,64$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Justifier que $f''(x) = \dfrac{- 2x^2 + 2x - 13}{\left(x^2 - x - 6\right)^2}$. La fonction $f'$ quotient de fonctions dérivables sur $I$, le dénominateur ne s'annulant pas est elle-même dérivable sur $I$ et sur cet intervalle : $f''(x) = \dfrac{2\left (x^2 - x - 6\right) - (2x - 1)(2x - 1)}{\left (x^2 - x - 6\right)^2} = \dfrac{2x^2 - 2x - 12 - 4x^2 - 1 - 4x}{\left (x^2 - x - 6\right)^2} = \dfrac{- 2x^2 + 2x - 13}{\left(x^2 - x - 6\right)^2}$. \item %Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $I$. Le signe de la dérivée seconde est celui du numérateur puisque $\left(x^2 - x - 6\right)^2 > 0$. Or ce trinôme $- 2x^2 + 2x - 13$ n'a pas de racine ($\Delta = 4 - 8 \times 13 = - 100 < 0$), donc est négatif en particulier sur $I$. Sur $I$, $f''(x) < 0$ : la fonction est concave sur cet intervalle. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points} \medskip \emph{Principaux domaines abordés}: Probabilités conditionnelles et indépendance. Variables aléatoires. \bigskip \begin{center}\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}\end{center} \textbf{Partie 1} \medskip %Julien doit prendre l'avion; il a prévu de prendre le bus pour se rendre à l'aéroport. % %S'il prend le bus de 8 h, il est sûr d'être à l'aéroport à temps pour son vol. % %Par contre, le bus suivant ne lui permettrait pas d'arriver à temps à l'aéroport. % %Julien est parti en retard de son appartement et la probabilité qu'il manque son bus est de $0,8$. % %S'il manque son bus, il se rend à l'aéroport en prenant une compagnie de voitures privées; il a alors une probabilité de $0,5$ d'être à l'heure à l'aéroport. % %\smallskip % %On notera : % %\setlength\parindent{12mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$] $B$ l'évènement: \og Julien réussit à prendre son bus \fg ; %\item[$\bullet~~$] $V$ l'évènement: \og Julien est à l'heure à l'aéroport pour son vol \fg. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Donner la valeur de $P_B(V)$. S'il a pris le bus il est à l'heure pour son vol, donc $P_B(V) = 1$. \item On représente la situation par un arbre pondéré. \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=3cm]{\TR{}} {\pstree{\TR{$B$~~} \taput{$0,2$}} {\TR{$V$}\taput{1} \TR{$\overline{V}$}\tbput{0} } \pstree{\TR{$\overline{B}$~~} \tbput{$0,8$}} {\TR{$V$}\taput{0,5} \TR{$\overline{V}$}\tbput{0,5} } } \end{center} \item %Montrer que $P(V) = 0,6$. D'après la loi des probabilités totales : $P(V) = P(B \cap V) + P\left(\overline{B} \cap V\right) = 0,2 \times 1 + 0,8 \times 0,5 = 0,2 + 0,4 = 0,6$. \item %Si Julien est à l'heure à l'aéroport pour son vol, quelle est la probabilité qu'il soit arrivé à l'aéroport en bus ? Justifier. On calcule $P_V(B) = \dfrac{P(V \cap B)}{P(V)} = \dfrac{P(B \cap V)}{P(V)} = \dfrac{0,2}{0,6} = \dfrac13$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip %Les compagnies aériennes vendent plus de billets qu'il n'y a de places dans les avions car certains passagers ne se présentent pas à l'embarquement du vol sur lequel ils ont réservé. %On appelle cette pratique le surbooking. % %Au vu des statistiques des vols précédents, la compagnie aérienne estime que chaque passager a 5\,\% de chance de ne pas se présenter à l'embarquement. % %Considérons un vol dans un avion de $200$~places pour lequel $206$~billets ont été vendus. %On suppose que la présence à l'embarquement de chaque passager est indépendante des autres passagers et on appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de passagers se présentant à l'embarquement. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. La présence à l'embarquement de chaque passager est indépendante des autres et chaque passager a la même probabilité 0,95 d'être présent, donc la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 206$ et $p = 0,95$. \item %En moyenne, combien de passagers vont-ils se présenter à l'embarquement ? On a E $ = n \times p = 206 \times 0,95 = 195,7 \approx 196$. En moyenne sur 206 titulaires d'un billet à peu près 196 vont se présenter. \item %Calculer la probabilité que $201$ passagers se présentent à l'embarquement. Le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près. On a $P(X = 201) = \binom{206}{201} \times 0,95^{201} \times 0,05^{5} \approx \np{0,03063}$, soit 0,031 au millième près. \item %Calculer $P(X \leqslant 200)$, le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. La calculatrice donne $P(X \leqslant 200) \approx \np{0,9477}$, soit 0,948 au millième près. Il est donc à peu près certain que l'avion sera au mieux juste rempli. \item %La compagnie aérienne vend chaque billet à $250$ euros. %Si plus de $200$ passagers se présentent à l'embarquement, la compagnie doit rembourser le billet d'avion et payer une pénalité de $600$ euros à chaque passager lésé. %On appelle : %\setlength\parindent{12mm} %\begin{description} %\item[ ] $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de passagers qui ne peuvent pas embarquer %bien qu'ayant acheté un billet; %\item[ ] $C$ la variable aléatoire qui totalise le chiffre d'affaire de la compagnie aérienne sur ce vol. %\end{description} On admet que $Y$ suit la loi de probabilité donnée par le tableau suivant: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $y_i$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline $P\left(Y = y_i\right)$ &\np{0,94775}&\np{0,03063}&\np{0,01441}&\np{0,00539}&\np{0,00151}&\np{0,00028}&$\blue\np{0,00003}$\\ \hline $c_i$&$\blue\np{51500}$&$\blue\np{50650}$&$\blue\np{49800}$&$\blue\np{48950}$&$\blue\np{48100}$&$\blue\np{47250}$&$\blue\np{46400}$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item %Compléter la loi de probabilité donnée ci-dessus en calculant $P(Y = 6)$. En complétant à 1 la somme des probabilités données dans le tableau on trouve:\\ $P(Y = 6) =1 - \left ( P(Y=0) + P(Y=1) + \cdots + P(Y=5)\strut\right )= \np{0,00003}$. \item %Justifier que: $C = \np{51500} - 850Y$. La compagnie a encaissé $206 \times 250 = \np{51500}$~\euro{} et elle devra rembourser 850~\euro{} à chaque client ne pouvant embarquer, donc $C = \np{51500} - 850Y$ \item %Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $C$ sous forme d'un tableau. Voir le tableau ci-dessus. %Calculer l'espérance de la variable aléatoire $C$ à l'euro près. On a E$(C) = \np{51500} \times \np{0,94775} + \ldots \np{46400} \times \np{0,00003} \approx \np{51429,2}$, soit \np{51429}~\euro{} à l'euro près \item %Comparer le chiffre d'affaires obtenu en vendant exactement $200$ billets et le chiffre d'affaires moyen obtenu en pratiquant le surbooking. En vendant exactement 200 billets, la compagnie fera un chiffre d'affaires de $200\times 250$ soit $\np{50000}$ euros. En pratiquant le surbooking, la compagnie peut espérer un chiffre d'affaires de \np{51429} euros. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \medskip \emph{Principaux domaines abordés} : Suites numériques. Algorithmique et programmation. \bigskip %On s'intéresse au développement d'une bactérie. % Dans cet exercice, on modélise le développement d'une bactérie avec les hypothèses suivantes : cette bactérie a une probabilité $0,3$ de mourir sans descendance et une probabilité $0,7$ de se diviser en deux bactéries filles. % %Dans le cadre de cette expérience, on admet que les lois de reproduction des bactéries sont les mêmes pour toutes les générations de bactéries qu'elles soient mère ou fille. % Pour tout entier naturel $n$, on appelle $p_n$ la probabilité d'obtenir au plus $n$ descendances pour une bactérie. On admet que, d'après ce modèle, la suite $\left(p_n\right)$ est définie de la façon suivante : $p_0 = 0,3$ et, pour tout entier naturel $n$, $p_{n+1} = 0,3 + 0,7p_n^2$. %\begin{minipage}{0.68\linewidth} \begin{enumerate} \item La feuille de calcul ci-dessous donne des valeurs approchées de la suite $\left(p_n\right)$ \begin{enumerate} \item %Déterminer les valeurs exactes de $p_1$ et $p_2$ (masquées dans la feuille de calcul) et interpréter ces valeurs dans le contexte de l'énoncé. $\bullet~~$ $p_1 = 0,3 + 0,7 \times 0,3^2 = 0,3 + 0,7 \times 0,09 = 0,3 + 0,063 = 0,363$ ; $\bullet~~$ $p_2 = 0,3 + 0,7 \times 0,363^2 = 0,3 + 0,7 \times \np{0,131769} = 0,3 + \np{0,0922383} = \np{0,3922383}$. \item %Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, d'obtenir au moins 11 générations de bactéries à partir d'une bactérie de ce type ? La probabilité d'obtenir au moins 11 générations de bactéries à partir d'une bactérie de ce type est égale à $1 - p_{10} \approx 1 - \np{0,42802018} \approx \np{0,571980} \approx 0,572$ au millième près. \item %Formuler des conjectures sur les variations et la convergence de la suite $\left(p_n\right)$. D'après le tableau la suite $\left(p_n\right)$ semble être croissante et semble aussi avoir une limite puisque les quatre derniers résultats commencent par \np{0,4285}... \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On veut démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n,\: 0 \leqslant p_n \leqslant p_{n+1} \leqslant0,5$. \emph{Initialisation} : On a $0 \leqslant 0,3 \leqslant 0,363 \leqslant 0,5$, soit $0 \leqslant p_0 \leqslant p_1 \leqslant 0,5$ : la relation est vraie au rang 0. \emph{Hérédité} : soit $n \in \N$ et supposons que $0 \leqslant p_n \leqslant p_{n+1} \leqslant 0,5$. Si ces nombres positifs sont rangés dans dans cet ordre, leurs carrés aussi, soit $0 \leqslant p_n^2 \leqslant p_{n+1}^2 \leqslant 0,5^2$, puis en multipliant par 0,7 : $0 \leqslant 0,7 \times p_n^2 \leqslant 0,7 \times p_{n+1}^2 \leqslant 0,7 \times 0,5^2$ et enfin en ajoutant à chaque membre 0,3 : $0,3 \leqslant 0,3 + 0,7 \times p_n^2 \leqslant 0,3 + 0,7 \times p_{n+1}^2 \leqslant 0,3 + 0,7 \times 0,5^2$, soit $0,3 \leqslant p_{n+1} \leqslant p_{n+2} \leqslant 0,475$. On peut donc écrire : $0 \leqslant p_{n+1} \leqslant p_{n+2} \leqslant 0,5$ : la relation est vraie au rang $n + 1$. \emph{Conclusion} : la relation est vraie au rang 0 et si elle vraie au rang $n \in \N$, elle est encore vraie au rang $n + 1$ : d'après la principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, on a $0 \leqslant p_n \leqslant p_{n+1} \leqslant0,5$ \item %Justifier que la suite $\left(p_n\right)$ est convergente. Le résultat précédent montre que la suite $\left(p_n\right)$ est croissante et majorée par 0,5 : elle est donc convergente vers une limite $L$ telle que $L \leqslant 0,5$. \end{enumerate} \item %On appelle $L$ la limite de la suite $\left(p_n\right)$. \begin{enumerate} \item %Justifier que $L$ est solution de l'équation % \[0,7x^2 - x + 0,3 = 0\] Puisque $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_n = \displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_{n+1} = L$, la relation de récurrence donne : \[L = 0,3 + 0,7L^2 \iff 0,7L^2 - L + 0,3 = 0\] $L$ est solution de l'équation $0,7x^2 - x + 0,3 = 0$. \item %Déterminer alors la limite de la suite $\left(p_n\right)$. On a $\Delta = 1 - 4 \times 0,7 \times 0,3 = 1 - 0,84 = 0,16 = 0,4^2 > 0$. Il y a donc deux solutions : \[L_1 = \dfrac{1 + 0,4}{2\times 0,7} = 1, \quad \text{et}\quad L_2 = \dfrac{1 - 0,4}{2\times 0,7} = \frac{0,6}{1,4} = \dfrac{6}{14} = \dfrac37 \approx \np{0,43}\] On ne peut retenir la solution $L_1$ puisque $\left(p_n\right)$ est majorée par 0,5. Il reste donc $L_2$ : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_n = \dfrac37$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{enumerate}[resume] \item La fonction suivante, écrite en langage Python, a pour objectif de renvoyer les $n$ premiers termes de la suite $\left(p_n\right)$. On complète, les lignes 2, 4 et 5 de cette fonction de façon à ce que la fonction \texttt{suite (n)} retourne, sous forme de liste, les $n$ premiers termes de la suite. \begin{center} \begin{tabularx}{0.4\linewidth}{c |l|}\cline{2-2} 1 &\texttt{\textbf{def} suite(n) :}\\ 2 &\quad \texttt{p = {\blue 0.3}}\\ 3 &\quad \texttt{s = [p]}\\ 4 &\quad \texttt{for i in range ({\blue n - 1})}\\ 5 &\quad \qquad \texttt{p = {\blue 0.3+0.7*p**2}}\\ 6 &\quad \qquad \texttt{s.append(p)}\\ 7 &\quad \texttt{\textbf{return} (s)}\\ \cline{2-2} \end{tabularx} \end{center} %Recopier, sur votre copie, cette fonction en complétant les lignes 2, 4 et 5 de façon à ce que la fonction \texttt{suite (n)} retourne, sous forme de liste, les $n$ premiers termes de la suite. \end{enumerate} \end{document}