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%Merci à David Hamet
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat spécialité}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{18 mai 2022}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Asie 17 mai 2022 Jour 1~\decofourright\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}

\vspace{0,25cm}

Le sujet propose 4 exercices.

Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et \textbf{ne doit traiter que ces 3 exercices.}

\medskip

Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points). 

\medskip

Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

\hrule
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}

\medskip

\emph{Principaux domaines abordés}: Manipulation des vecteurs, des droites et des plans de l'espace. Orthogonalité et distances dans l'espace.
Représentations paramétriques et équations cartésiennes.

\bigskip

Dans un repère orthonormé \Oijk{} de l'espace,
on considère les points 

\[\text{A}(-3~;~1~;~3), \text{B}(2~;~2~;~3), \text{C}(1~;~7~;~-1), \text{D}(-4~;~6~;~-1)\: \text{et 
K}(-3~;~14~;~14).\]

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{OC}}$ et $\vect{\text{AD}}$.
On a $\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}5\\1\\0\end{pmatrix}, \: \vect{\text{DC}}\begin{pmatrix}5\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{AD}}\begin{pmatrix}-1\\5\\-4\end{pmatrix}$.
		\item% Montrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle.
D'après la question précédente, $\vectt{AB}=\vectt{DC}$ donc ABCD est un parallélogramme.

De plus le produit scalaire $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AD}} = 5\times(-1) + 1\times 5 + 0\times(-4) = 0$.

Le parallélogramme ABCD ayant deux côtés consécutifs perpendiculaires est un rectangle.

		\item %Calculer l'aire du rectangle ABCD.
On a AB$^2 = 25 + 1 = 26$, d'où AB $= \sqrt{26}$ ; \\
de même AD$^2 =  1  + 25 + 16= 42$, d'où AD $= \sqrt{42}$.

L'aire du rectangle ABCD est égale à \\
$\text{AB} \times \text{AD} = \sqrt{26 }\times\sqrt{42} = \sqrt{26 \times 42} = \sqrt{2 \times 13 \times 2 \times 21} = 2\sqrt{13 \times 21} = 2\sqrt{273}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que les points A, B et D définissent un plan.
D'après la question 1., les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AD}}$ ne sont pas colinéaires, donc les points A, B et D ne sont pas alignés : ils définissent donc bien un plan.
		\item Soit le vecteur $\vect{n}(-2~;~10~;~13)$.% est un vecteur normal au plan (ABD).
		
$\vect{n} \cdot \vect{\text{AB}} = - 10 + 10 + 0 = 0$ et $\vect{n} \cdot \vect{\text{AD}} = 2 + 50 - 52 = 0$.

Conclusion : le vecteur $\vect{n}$, orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABD), est normal à ce plan.
		\item %En déduire une équation cartésienne du plan (ABD).
Le résultat précédent montre que le plan (ABD) a une équation de la forme\\
$-2x + 10y + 13z = d$, avec $d \in \R$.

Or par exemple $\text{B}(2~;~2~;~3) \in (\text{ABD})$ donc \\
$-2 \times 2  + 10 \times 2  + 13\times 3 = d \iff - 4 + 20 + 39 = d \iff d = 55$.

Donc le plan (ABD) a pour équation $ -2x + 10y + 13z = 55$.
	\end{enumerate}
	
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ orthogonale au plan (ABD) et qui passe par le point K.
Si $\Delta$ est orthogonale au plan (ABD) elle a pour vecteur directeur le vecteur $\vect{n}$. Comme elle contient K, on a donc :

$M(x~,~y~;~z) \in \Delta \iff \vect{\text{K}M} = t\vect{n}$, \: $t \in \R$. 

Avec $\vect{\text{K}M}\begin{pmatrix}x - (-3)\\y - 14\\z - 14\end{pmatrix}$ ceci se traduit par le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x + 3&=&- 2t\\
y - 14&=&10t\\
z - 14&=&13t
\end{array}\right., t \in \R \iff \left\{\begin{array}{l c r}
x &=&- 2t - 3\\
y &=&10t + 14\\
z &=&13t + 14
\end{array}\right., t \in \R $
		\item %Déterminer les coordonnées du point I, projeté orthogonal du point K sur le plan (ABD).
Si I est le projeté orthogonal de K sur le plan (ABD), le point I est un point de $\Delta$; comme c'est aussi un point de (ABD) ; ses coordonnées vérifient  le système

$\left\{\begin{array}{l c r}
x &=&- 2t - 3\\
y &=&10t + 14\\
z &=&13t + 14\\
- 2x + 10y + 13z &=& 55
\end{array}\right., t \in \R $.

En remplaçant dans la dernière équation $x,\:y$ et $z$ par leurs expressions en fonction de $t$, on obtient :

$- 2(- 2t - 3) + 10(10t + 14) + 13(13t + 14) = 55 \\
\iff 4t + 6 + 100t + 140 + 169t + 182 = 55 \iff 273t = - 273 \iff t = - 1$.

Les premières équations donnent alors\\
 $x = 2 - 3 = - 1$, \: $y = - 10 + 14 = 4$ et $z = - 13 + 14 = 1$. 

Le point I a donc pour coordonnées $(- 1~;~4~;~1)$.


		\item %Montrer que la hauteur de la pyramide KABCD de base ABCD et de sommet K vaut $\sqrt{273}$.
ABCD étant un rectangle le point D appartient au plan (ABD). Donc la hauteur  de la pyramide KABCD de base ABCD est [KI].

$\vect{\text{KI}}\begin{pmatrix}2\\-10\\-13\end{pmatrix}$ donne KI$^2 = 4 + 100 + 169 = 273$ et enfin KI $= \sqrt{273}$.
	\end{enumerate}
\item %Calculer le volume $V$ de la pyramide KABCD.

%On rappelle que le volume V d'une pyramide est donné par la formule:

%\[V= \dfrac13 \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}.\]
On a $V = \dfrac13 \times \mathcal{A}(\text{ABCD}) \times \text{KI} = \dfrac13 \times 2\sqrt{273} \times \sqrt{273} = \dfrac{2 \times 273}{3} = \dfrac{2 \times 3 \times 91}{3} = 182$.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\medskip

\emph{Principaux domaines abordés}: Étude des fonctions.
Fonction logarithme.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-4,-5)(15.5,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-5)(15.5,8)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{3.001}{15.5}{x dup mul x sub 6 sub ln}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{3.001}{15.5}{x 2 mul 1 sub x dup mul x sub 6 sub div}
\uput[r](3.1,7.7){\red $\mathcal{C}_2$}\uput[r](3.1,-4){\blue $\mathcal{C}_1$}
\psline[ArrowInside=->](0,3)(5.63,3)(5.62,0)
\end{pspicture*}
\end{center}

Dans le repère orthonormé ci-dessus, sont tracées les courbes représentatives d'une fonction $f$ et de sa fonction dérivée, notée $f'$, toutes deux définies sur $]3~;~+\infty[$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Associer à chaque courbe la fonction qu'elle représente. Justifier.
Si $\mathcal{C}_1$ était la représentation de la dérivée, celle-ci serait négative puis positive , donc la fonction serait décroissante puis croissante ce qui n'est pas le cas de la fonction représente par la courbe  $\mathcal{C}_2$.

Donc $\mathcal{C}_2$ est la représentation de la fonction dérivée et $\mathcal{C}_1$ celle de la fonction.
\item %Déterminer graphiquement la ou les solutions éventuelles de l'équation $f(x) = 3$.
On lit approximativement $f(5,6) \approx 3$. 
\item %Indiquer, par lecture graphique, la convexité de la fonction $f$.
$f$ semble concave sur $]3~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que la quantité $\ln \left(x^2- x- 6\right)$ est bien définie pour les valeurs $x$ de l'intervalle $]3~;~ +\infty[$, que l'on nommera $I$ dans la suite.
$\bullet~~$ $x^2 - x - 6 = \left(x - \frac12\right)^2 - \frac14 - 6 = \left(x - \frac12\right)^2 - \frac{25}{4} = \left(x - \frac12\right)^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \left(x - \frac12 + \frac52 \right)\left(x - \frac12 - \frac52 \right) = (x + 2)(x - 3)$.

On sait que ce trinôme est positif sauf sur l'intervalle $[-2~;~3]$. Donc $\ln \left(x^2- x- 6\right)$ est bien définie sur $I = ]3~;~+ \infty[$ ;

$\bullet~~$On peut calculer $\Delta = 1 + 24 = 25 = 5^2$ et en déduire les racines du trinôme $x^2- x- 6$ : $x_1 = \dfrac{1 + 5}{2} = 3$ et $x_2 = \dfrac{1-5}{2} = - 2$ et faire ensuite la même conclusion.
\item On admet que la fonction $f$ de la Partie A est définie par $f(x) = \ln \left(x^2- x- 6\right)$ sur $I$.

%Calculer les limites de la fonction $f$ aux deux bornes de l'intervalle $I$.

%En déduire une équation d'une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ sur $I$.
$\bullet~~$Limite en $+ \infty$  : $\ln \left(x^2- x- 6\right) = \ln x^2\left(1 - \dfrac{1}{x} - \dfrac{6}{x^2} \right)$.

On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x} = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{6}{x^2} = 0$, donc 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 - \dfrac{1}{x} - \dfrac{6}{x^2} = 1$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^2 = + \infty$, par composition de la fonction logarithme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.

$\bullet~~$Limite en 3 : $f(x) = \ln (x + 2)(x - 3)$.

On a $\displaystyle\lim_{x \to + 3}(x + 2)(x - 3) = 5 \times 0 = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + 3} \ln (x + 2)(x - 3) = - \infty$. Ceci signifie que la droite verticale d'équation $x = 3$ est asymptote à courbe représentative de la fonction $f$ sur $I$ (soit $\mathcal{C}_1$)
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ appartenant à $I$.
		Sur $I$, on a vu que $x^2 - x - 6 > 0$, donc la fonction $f$ est dérivable et sur $I$, on a $f'(x) = \dfrac{2x - 1}{x^2 - x - 6}$.
		\item %Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $I$.
$f'(x)$ a le signe du numérateur $2x - 1$ :

pour $x>3$, on a $2x-1>5$ donc $2x-1>0$ et donc $f'(x>0$.

Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$ de moins l'infini à plus l'infini.	

On dresse le tableau des variations de la fonction $f$.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
     % augmentation de la hauteur de toutes les lignes
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}
     % paramètres
\def\esp{\hspace*{3cm}}
     % pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}
     % mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| l *2{c}|}
\hline
 x & 3   & \esp & +\infty \\
 \hline
f'(x) & \vline\;\vline  & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \vline\;\vline  &    & \Rnode{max}{+\infty}   \\
f(x) & \vline\;\vline&  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &\vline\;\vline     \Rnode{min}{~-\infty} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{min}{max}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}


	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que l'équation $f(x) = 3$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle ]5~;~ 6[.
		La fonction $f$ est strictement croissante sur $I$ et en particulier sur ]5~;~6[.
		
De plus $f(5) = \ln (25 - 5 - 6) = \ln 14 \approx 2,64<3$ et $f(6) = \ln (36 - 6 - 6) = \ln 24 \approx 3,18>3$.

La fonction $f$ étant continue car dérivable sur l'intervalle ]5~;~6[, d'après la propriété des valeurs intermédiaires il existe un réel unique $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 3$, avec $5 < \alpha < 6$.

		\item %Déterminer, à l'aide de la calculatrice, un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
		La calculatrice donne :
		
$f(5,6) \approx 2,984$ et $f(5,7) \approx 3,035$, donc $5,6 < \alpha < 5,7$ puis 

$f(5,63) \approx 2,999$ et $f(5,64) \approx 3,004$ donc $5,63 < \alpha < 5,64$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $f''(x)  = \dfrac{- 2x^2 + 2x - 13}{\left(x^2 - x - 6\right)^2}$.
		La fonction $f'$ quotient de fonctions dérivables sur $I$, le dénominateur ne s'annulant pas est elle-même dérivable sur $I$ et sur cet intervalle :
		
		$f''(x) = \dfrac{2\left (x^2 - x - 6\right) - (2x - 1)(2x - 1)}{\left (x^2 - x - 6\right)^2} = \dfrac{2x^2  - 2x - 12 - 4x^2 - 1 - 4x}{\left (x^2 - x - 6\right)^2}  = \dfrac{- 2x^2 + 2x - 13}{\left(x^2 - x - 6\right)^2}$.
		\item %Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $I$.
Le signe de la dérivée seconde est celui du numérateur puisque $\left(x^2 - x - 6\right)^2 > 0$.

Or ce trinôme $- 2x^2 + 2x - 13$ n'a pas de racine ($\Delta = 4 - 8 \times 13 = - 100 < 0$), donc est négatif en particulier sur $I$.

Sur $I$, $f''(x) < 0$ : la fonction est concave sur cet intervalle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}

\medskip

\emph{Principaux domaines abordés}: Probabilités conditionnelles et indépendance. Variables aléatoires.

\bigskip

\begin{center}\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}\end{center}

\textbf{Partie 1}

\medskip

%Julien doit prendre l'avion; il a prévu de prendre le bus pour se rendre à l'aéroport. 
%
%S'il prend le bus de 8 h, il est sûr d'être à l'aéroport à temps pour son vol.
%
%Par contre, le bus suivant ne lui permettrait pas d'arriver à temps à l'aéroport.
%
%Julien est parti en retard de son appartement et la probabilité qu'il manque son bus est de $0,8$.
%
%S'il manque son bus, il se rend à l'aéroport en prenant une compagnie de voitures privées; il a alors une probabilité de $0,5$ d'être à l'heure à l'aéroport.
%
%\smallskip
%
%On notera :
%
%\setlength\parindent{12mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] $B$ l'évènement: \og Julien réussit à prendre son bus \fg ;
%\item[$\bullet~~$] $V$ l'évènement: \og Julien est à l'heure à l'aéroport pour son vol \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner la valeur de $P_B(V)$.
S'il a pris le bus il est à l'heure pour son vol, donc $P_B(V) = 1$.

\item On représente la situation par un arbre pondéré.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$B$~~} \taput{$0,2$}}
	{\TR{$V$}\taput{1}
	\TR{$\overline{V}$}\tbput{0}
	}
\pstree{\TR{$\overline{B}$~~} \tbput{$0,8$}}
	{\TR{$V$}\taput{0,5}
	\TR{$\overline{V}$}\tbput{0,5}
	}	
}
\end{center}

\item %Montrer que $P(V) = 0,6$.
D'après la loi des probabilités totales :

$P(V) = P(B \cap V) + P\left(\overline{B} \cap V\right) = 0,2 \times 1 + 0,8 \times 0,5 = 0,2 + 0,4 = 0,6$.

\item %Si Julien est à l'heure à l'aéroport pour son vol, quelle est la probabilité qu'il soit arrivé à l'aéroport en bus ? Justifier.
On calcule $P_V(B) = \dfrac{P(V \cap B)}{P(V)} = \dfrac{P(B \cap V)}{P(V)} = \dfrac{0,2}{0,6} = \dfrac13$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

%Les compagnies aériennes vendent plus de billets qu'il n'y a de places dans les avions car certains passagers ne se présentent pas à l'embarquement du vol sur lequel ils ont réservé.
%On appelle cette pratique le surbooking.
%
%Au vu des statistiques des vols précédents, la compagnie aérienne estime que chaque passager a 5\,\% de chance de ne pas se présenter à l'embarquement.
%
%Considérons un vol dans un avion de $200$~places pour lequel $206$~billets ont été vendus.
%On suppose que la présence à l'embarquement de chaque passager est indépendante des autres passagers et on appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de passagers se présentant à l'embarquement.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
La présence à l'embarquement de chaque passager est indépendante des autres et chaque passager a la même probabilité 0,95 d'être présent, donc la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 206$ et $p = 0,95$.
\item %En moyenne, combien de passagers vont-ils se présenter à l'embarquement ?
On a E $ = n \times p = 206 \times 0,95 = 195,7 \approx 196$.

En moyenne sur 206 titulaires d'un billet à peu près 196 vont se présenter.
\item %Calculer la probabilité que $201$ passagers se présentent à l'embarquement. Le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près.
On a $P(X = 201) = \binom{206}{201} \times 0,95^{201} \times 0,05^{5} \approx \np{0,03063}$, soit 0,031 au millième près.
\item %Calculer $P(X \leqslant 200)$, le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
La calculatrice donne $P(X \leqslant 200) \approx \np{0,9477}$, soit 0,948 au millième près.

 Il est donc à peu près certain que l'avion sera au mieux juste rempli.
\item %La compagnie aérienne vend chaque billet à $250$ euros.

%Si plus de $200$ passagers se présentent à l'embarquement, la compagnie doit rembourser le billet d'avion et payer une pénalité de $600$ euros à chaque passager lésé.

%On appelle :

%\setlength\parindent{12mm}
%\begin{description}
%\item[ ] $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de passagers qui ne peuvent pas embarquer
%bien qu'ayant acheté un billet;
%\item[ ] $C$ la variable aléatoire qui totalise le chiffre d'affaire de la compagnie aérienne sur ce vol.
%\end{description}

On admet que $Y$ suit la loi de probabilité donnée par le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$y_i$					&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6\\ \hline
$P\left(Y = y_i\right)$	&\np{0,94775}&\np{0,03063}&\np{0,01441}&\np{0,00539}&\np{0,00151}&\np{0,00028}&$\blue\np{0,00003}$\\ \hline
$c_i$&$\blue\np{51500}$&$\blue\np{50650}$&$\blue\np{49800}$&$\blue\np{48950}$&$\blue\np{48100}$&$\blue\np{47250}$&$\blue\np{46400}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item %Compléter la loi de probabilité donnée ci-dessus en calculant $P(Y = 6)$.
En complétant à 1 la somme des probabilités données dans le tableau on trouve:\\
 $P(Y = 6) =1 - \left ( P(Y=0) + P(Y=1) + \cdots + P(Y=5)\strut\right )= \np{0,00003}$.
 
		\item %Justifier que: $C = \np{51500} - 850Y$.
La compagnie a encaissé $206 \times 250 = \np{51500}$~\euro{} et elle devra rembourser 850~\euro{} à chaque client ne pouvant embarquer, donc $C = \np{51500} - 850Y$
		\item %Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $C$ sous forme d'un tableau.
Voir le tableau ci-dessus.

%Calculer l'espérance de la variable aléatoire $C$ à l'euro près.
On a E$(C) = \np{51500} \times \np{0,94775} + \ldots \np{46400} \times \np{0,00003} \approx \np{51429,2}$, soit \np{51429}~\euro{} à l'euro près

		\item %Comparer le chiffre d'affaires obtenu en vendant exactement $200$ billets et le chiffre d'affaires moyen obtenu en pratiquant le surbooking.
En vendant exactement 200 billets, la compagnie fera un chiffre d'affaires de $200\times 250$ soit $\np{50000}$ euros.

En pratiquant le surbooking, la compagnie peut espérer un chiffre d'affaires de \np{51429} euros.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\medskip

\emph{Principaux domaines abordés} : Suites numériques.
Algorithmique et programmation.

\bigskip

%On s'intéresse au développement d'une bactérie. 
%
Dans cet exercice, on modélise le développement d'une bactérie avec les hypothèses suivantes : cette bactérie a une probabilité $0,3$ de mourir sans descendance et une probabilité $0,7$ de se diviser en deux bactéries filles.
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%Dans le cadre de cette expérience, on admet que les lois de reproduction des bactéries sont les mêmes pour toutes les générations de bactéries qu'elles soient mère ou fille.
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Pour tout entier naturel $n$, on appelle $p_n$ la probabilité d'obtenir au plus $n$ descendances pour une bactérie. 

On admet que, d'après ce modèle, la suite $\left(p_n\right)$ est définie de la façon suivante :

$p_0 = 0,3$ et, pour tout entier naturel $n$, $p_{n+1} = 0,3 + 0,7p_n^2$.

%\begin{minipage}{0.68\linewidth}
\begin{enumerate}
\item La feuille de calcul ci-dessous donne des valeurs approchées de la suite $\left(p_n\right)$
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les valeurs exactes de $p_1$ et $p_2$ (masquées dans la feuille de calcul) et interpréter ces valeurs dans le contexte de l'énoncé.
$\bullet~~$ $p_1 = 0,3 + 0,7 \times 0,3^2 = 0,3 + 0,7 \times 0,09 = 0,3 + 0,063 = 0,363$ ;

$\bullet~~$ $p_2 = 0,3 + 0,7 \times 0,363^2 = 0,3 + 0,7 \times \np{0,131769} = 0,3 + \np{0,0922383} = \np{0,3922383}$.

		\item %Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, d'obtenir au moins 11 générations de bactéries à partir d'une bactérie de ce type ?
		La probabilité d'obtenir au moins 11 générations de bactéries à partir d'une bactérie de ce type est égale à $1 - p_{10} \approx 1 - \np{0,42802018} \approx \np{0,571980} \approx 0,572$ au millième près.
		
		\item %Formuler des conjectures sur les variations et la convergence de la suite $\left(p_n\right)$.
D'après le tableau la suite $\left(p_n\right)$ semble être croissante et semble aussi avoir une limite puisque les quatre derniers résultats commencent par \np{0,4285}...
	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item On veut démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n,\: 0 \leqslant p_n \leqslant p_{n+1} \leqslant0,5$.
		
\emph{Initialisation}  : On a $0 \leqslant 0,3 \leqslant 0,363 \leqslant 0,5$, soit $0 \leqslant p_0 \leqslant p_1 \leqslant 0,5$ : la relation est vraie au rang 0.

\emph{Hérédité} : soit $n \in \N$ et supposons que $0 \leqslant p_n \leqslant p_{n+1} \leqslant 0,5$.

Si ces nombres positifs sont rangés dans dans cet ordre, leurs carrés aussi, soit 

$0 \leqslant p_n^2 \leqslant p_{n+1}^2 \leqslant 0,5^2$, puis en multipliant par 0,7 :

$0 \leqslant 0,7 \times p_n^2 \leqslant 0,7 \times p_{n+1}^2 \leqslant 0,7 \times 0,5^2$ et enfin en ajoutant à chaque membre 0,3 :

$0,3 \leqslant 0,3 + 0,7 \times p_n^2 \leqslant 0,3 + 0,7 \times p_{n+1}^2 \leqslant 0,3 + 0,7 \times 0,5^2$, soit 

$0,3 \leqslant p_{n+1} \leqslant p_{n+2} \leqslant 0,475$. On peut donc écrire :

$0 \leqslant p_{n+1} \leqslant p_{n+2} \leqslant 0,5$ : la relation est vraie au rang $n + 1$.

\emph{Conclusion} : la relation est vraie au rang 0 et si elle vraie au rang $n \in \N$, elle est encore vraie au rang $n + 1$ : d'après la principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, on a  $0 \leqslant p_n \leqslant p_{n+1} \leqslant0,5$
		\item %Justifier que la suite $\left(p_n\right)$ est convergente.
Le résultat précédent montre que la suite $\left(p_n\right)$ est croissante et majorée par 0,5 : elle est donc convergente vers une limite $L$ telle que $L \leqslant 0,5$.
	\end{enumerate}
\item %On appelle $L$ la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $L$ est solution de l'équation 
		
%		\[0,7x^2 - x  + 0,3 = 0\]
Puisque $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_n = \displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_{n+1} = L$, la relation de récurrence donne :

\[L = 0,3 + 0,7L^2 \iff 0,7L^2 - L + 0,3 = 0\]

$L$ est solution de l'équation $0,7x^2 - x  + 0,3 = 0$.
		\item %Déterminer alors la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
		On a $\Delta = 1 - 4 \times 0,7 \times 0,3 = 1 - 0,84 = 0,16 = 0,4^2 > 0$. Il y a donc deux solutions :
		
\[L_1 = \dfrac{1 + 0,4}{2\times 0,7} = 1, \quad \text{et}\quad L_2 = \dfrac{1 - 0,4}{2\times 0,7} = \frac{0,6}{1,4} = \dfrac{6}{14} = \dfrac37 \approx \np{0,43}\]
		
On ne peut retenir la solution $L_1$ puisque $\left(p_n\right)$ est majorée par 0,5. Il reste donc $L_2$ : 
$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_n = \dfrac37$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{enumerate}[resume]
\item La fonction suivante, écrite en langage Python, a pour objectif de renvoyer les $n$ premiers termes de la suite $\left(p_n\right)$.

On complète, les lignes 2, 4 et 5 de cette fonction de façon à ce que la fonction \texttt{suite (n)} retourne, sous forme de liste, les $n$ premiers termes de la suite.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{c |l|}\cline{2-2}
1 &\texttt{\textbf{def} suite(n) :}\\
2 &\quad \texttt{p = {\blue 0.3}}\\
3 &\quad \texttt{s = [p]}\\
4 &\quad \texttt{for i in range ({\blue n - 1})}\\
5 &\quad \qquad \texttt{p = {\blue 0.3+0.7*p**2}}\\
6 &\quad \qquad \texttt{s.append(p)}\\
7 &\quad \texttt{\textbf{return} (s)}\\ \cline{2-2}
\end{tabularx}
\end{center}

%Recopier, sur votre copie, cette fonction en complétant les lignes 2, 4 et 5 de façon à ce que la fonction \texttt{suite (n)} retourne, sous forme de liste, les $n$ premiers termes de la suite.
\end{enumerate}
\end{document}