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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : 
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{8 juin 2021}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Asie 8 juin 2021 Jour 2~\decofourright\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM)}
%
%\medskip

%\emph{Pour chaque question, trois affirmations sont proposées, une seule de ces affirmations est exacte.\\
%Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de chaque question et la lettre de la réponse choisie pour celle-ci.\\
% AUCUNE JUSTIFICATION n'est demandée. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \left(x^2 - 2x - 1\right)\e^x.\]

%\textbf{A.} La fonction dérivée de $f$ est la fonction définie par $f'(x) = (2x - 2)\e^x$.
%
%\textbf{B.} La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $]-\infty~;~2]$.
%
%\textbf{C.} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$.
On a $f(x) = x^2\e^x - 2x\e^x - \e^x$.

\starredbullet~ On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \e^x = 0$, puis que 

\starredbullet~$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} 2x\e^x = 0$

\starredbullet~$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x^2\e^x = 0$, d'où par somme de limites : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$. Réponse C.
\item  On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{3}{5 + \e^x}$.

%Sa courbe représentative dans un repère admet :
%
%\textbf{A.} une seule asymptote horizontale;
%
%\textbf{B.} une asymptote horizontale et une asymptote verticale; 
%
%\textbf{C.} deux asymptotes horizontales.

\starredbullet~On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = \dfrac{3}{5}$ : la droite d'équation $y = \dfrac{3}{5}$ est asymptote horizontale au voisinage de moins l'infini ;

\starredbullet~On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$ : l'axe des abscisses est asymptote horizontale au voisinage de plus l'infini. Réponse C.
\item  %On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f''}$ représentant la fonction dérivée seconde $f''$  d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $[-3,5~;~6]$.

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-4,-3)(7,5)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.1pt]
%\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-3)(7,5)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{6}{x 3 exp 0.1 mul  x dup mul 0.4 mul sub 1.1 x mul sub 3 add}
%\uput[u](6.8,0){$x$} \uput[r](0,4.8){$y$}
%\uput[u](1.5,4){Courbe de la fonction dérivée seconde $f''$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\textbf{A.} La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $[-3~;~3]$.
%
%\textbf{B.}  La fonction $f$ admet trois points d'inflexion.
%
%\textbf{C.} La fonction dérivée $f'$ de $f$ est décroissante sur l'intervalle [0~;~2].
On voit sur la figure que $f''(- 3) = f''(2) = f''(5) = 0$ : la dérivée seconde s'annule trois fois donc la fonction $f$ admet trois points d'inflexion. Réponse B.

%\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = n^2 - 17n + 20$. 
%
%\textbf{A.} La suite $\left(u_n\right)$ est minorée.
%
%\textbf{B.} La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
%
%\textbf{C.} L'un des termes de la suite $\left(u_n\right)$ est égal à \np{2021}.
$n^2 - 17n + 20 = \left(n - \frac{17}{2} \right)^2 - \left(\frac{17}{2}\right)^2 + 20 = \left(n - \frac{17}{2} \right)^2 - \frac{289}{4} + \frac{80}{4} = \left(n - \frac{17}{2} \right)^2 - \frac{209}{4} = \left(n - \frac{17 - \sqrt{209}}{2} \right)\left(n - \frac{17 + \sqrt{209}}{2}\right).$

On a donc quel que soit $n$, \, $u_n \geqslant - \frac{209}{4}$ : la suite est donc minorée. Réponse A.
\item %On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$,\,

%$u_{n+1} = 0,75u_n +5$.
%
%On considère la fonction \og seuil \fg{} suivante écrite en Python :
%
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|l|}\hline
%def seuil {} :\\
%\quad u = 2\\
%\quad n = 0\\
%\quad while u < 45 :\\
%\qquad u = 0,75*u + 5\\
%\qquad n = n+1\\
%\quad return n\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%
%Cette fonction renvoie :
%
%\textbf{A.} la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n \geqslant  45$ ;
% 
%\textbf{B.} la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n  < 45$ ;
% 
%\textbf{C.} la plus grande valeur de $n$ telle que $u_n \geqslant 45$.
Réponse A.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%On considère un pavé droit ABCDEFGH tel que AB = AD = 1 et AE = 2, représenté ci- dessous.
%
%Le point I est le milieu du segment [AE]. Le point K est le milieu du segment [DC]. Le point L
%est défini par: $\vect{\text{DL}} = \dfrac{3}{2}\vect{\text{AI}}$. N est le projeté orthogonal du point D sur le plan (AKL).

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(6,10)
\pspolygon(0.5,0.5)(4,0)(4,7.2)(0.5,7.7)%BCGF
\uput[d](0.5,0.5){B} \uput[d](4,0){C} \uput[ul](4,7.2){G} \uput[ul](0.5,7.7){F} 
\psline(4,0)(5,1.4)(5,8.6)(4,7.2)%CDHG
\uput[r](5,1.4){D} \uput[ur](5,8.6){H} \uput[d](1.5,1.9){A} \uput[dr](4.5,0.7){K}\uput[l](1.5,5.5){I}
\uput[r](5,7.3){L}
\psline(5,8.6)(1.5,9.1)(0.5,7.7)%HEF
\uput[u](1.5,9.1){E}
\psline[linestyle=dashed]{->}(1.5,1.9)(1.5,5.5)%AI
\psline[linestyle=dashed]{->}(1.5,1.9)(0.5,0.5)%AB
\psline[linestyle=dashed]{->}(1.5,1.9)(5,1.4)%AD
\psline[linestyle=dashed](4.5,0.7)(1.5,1.9)(5,7.3)%KAL
\psline[linestyle=dashed](1.5,5.5)(1.5,9.1)
\psline(4.5,0.7)(5,7.3)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

%On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AI}}\right)$. 
%
%On admet que le point L a pour coordonnées $\left(0~;~1~;~\dfrac{3}{2}\right)$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AK}}$ et $\vect{\text{AL}}$.
Avec C(1~;~1~;~0) et D(0~;~1~;~0), on obtient K$\left(\frac{1}{2}~;~1~;~0\right)$, donc $\vect{\text{AK}}\left(\frac{1}{2}~;~1~;~0\right)$ et on a $\vect{\text{AL}}\left(0~;~1~;~\dfrac{3}{2}\right)$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(6~;~-3~;~2)$ est un vecteur normal au plan (AKL).
\starredbullet~$\vect{n} \cdot \vect{\text{AK}} = 3 - 3 + 0 = 0$ ;

\starredbullet~$\vect{n} \cdot \vect{\text{AL}} = 0 - 3 + 3 = 0$ : le vecteur $\vect{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan AKL, il est donc orthogonal à ce plan ; c'est donc un vecteur normal à ce plan.
		\item %En déduire une équation cartésienne du plan (AKL).
On a donc $M(x~;~y~;~z) \in (\text{AKL}) \iff \vect{\text{A}M} \cdot \vect{n} = 0 \iff 6x - 3y + 2z + d = 0$, \, avec $d \in \R$  et comme A appartient à ce plan on a : $ 0 + 0 + 0 + d = 0$.

Conclusion : $M(x~;~y~;~z) \in (\text{AKL}) \iff 6x - 3y + 2z = 0$.
		\item %Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$ passant par D et perpendiculaire au plan (AKL).
La droite $\Delta$ contient D et a pour vecteur directeur $\vect{n}$, donc :

$M(x~;~y~;~z) \in \Delta \iff \text{il existe }\, t \in \R, \, \vect{\text{D}M} = t\vect{n} \iff \left\{\begin{array}{l c r}
x		&=&6t\\
y - 1	&=&-3t\\
z		&=&2t
\end{array}\right.,\, t \in \R \iff \left\{\begin{array}{l c r}
x		&=&6t\\
y		&=&1-3t\\
z		&=&2t
\end{array}\right.,\, t \in \R$.
		\item %En déduire que le point N de coordonnées $\left(\dfrac{18}{49}~;~\dfrac{40}{49}~;~\dfrac{6}{49}\right)$ est le projeté orthogonal du point D sur le plan (AKL).
		Le point N est donc le point commun au plan (AKL) et à la droite $\Delta$, donc ses coordonnées $(x~;~y~;~z)$ vérifient le système :
		
		$\left\{\begin{array}{l c r}
x		&=&6t\\
y		&=&1-3t\\
z		&=&2t\\
6x - 3y + 2z = 0
\end{array}\right.,\, t \in \R \Rightarrow 6 \times 6t + (-3)\times (1 - 3t) + 2\times 2t = 0 \iff$

$36t - 3 + 9t + 4t = 0 \iff 49t = 3 \iff t = \dfrac{3}{49}$ ; en remplaçant dans les trois premières équations du système, on obtient :

\renewcommand\arraystretch{1.8}
$\left\{\begin{array}{l c r}
x		&=&6\times \dfrac{3}{49}\\
y		&=&1-3\times\dfrac{3}{49}\\
z		&=&2\times \dfrac{3}{49}
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r}
x		&=&\dfrac{18}{49}\\
y		&=&\dfrac{40}{49}\\
z		&=&\dfrac{6}{49}
\end{array}\right.$.
\renewcommand\arraystretch{1}
Conclusion : N$\left(\dfrac{18}{49}~;~\dfrac{40}{49}~;~\dfrac{6}{49} \right)$.
	\end{enumerate}

%On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par la formule : 
%
%\[\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times  (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}.\]
%
%\begin{enumerate}[resume]

\item %Calculer le volume du tétraèdre ADKL en utilisant le triangle ADK comme base.
	\begin{enumerate}
		\item Le triangle ADK est rectangle en D ; on a par définition AD = 1 et DK $=  \frac{1}{2}$.

Donc $\mathcal{A}(\text{ADK}) = \dfrac{\text{AD} \times \text{DK}}{2} = \frac{1}{4}$.

D'autre part $\text{DL} = \frac{3}{2}$, donc 

$\mathcal{V}(\text{ADKL}) = \dfrac{\frac{1}{4} \times \frac{3}{2}}{3} = \dfrac{1}{8}$.
		\item %Calculer la distance du point D au plan (AKL).
On a $\vect{\text{DN}}\left(\frac{18}{49}~;~\frac{40}{49} - 1~;~\dfrac{6}{49} \right)$, soit  $\vect{\text{DN}}\left(\frac{18}{49}~;~\frac{- 9}{49}~;~\dfrac{6}{49} \right)$, donc :

$\text{DN}^2 = \left(\frac{18}{49}\right)^2 + \left(\frac{-9}{49}\right)^2  + \left(\frac{6}{49}\right)^2 = \frac{18^2 + 9^2  6^2}{49^2} = \frac{324 + 81 + 36}{49^2} = \frac{441}{49^2} = \frac{21^2}{49^2} = \left(\frac{21}{49}\right)^2$. 

Donc DN $ = \dfrac{21}{49} = \dfrac{3}{7}$.
		\item %Déduire des questions précédentes l'aire du triangle AKL.
	En prenant comme base le triangle AKL, on a :
	
$\mathcal{V}(\text{ADKL}) = \dfrac{\mathcal{A}(\text{AKL}) \times \text{DN}}{3}$, soit $\dfrac{1}{8} = \dfrac{\mathcal{A}(\text{AKL}) \times \frac{3}{7}}{3}$, d'où 

$\mathcal{A}(\text{AKL}) = 7 \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$~(u. a.).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Une société de jeu en ligne propose une nouvelle application pour smartphone nommée \og Tickets coeurs! \fg.
%
%Chaque participant génère sur son smartphone un ticket comportant une grille de taille $3 \times 3$ sur laquelle sont placés trois cœurs répartis au hasard, comme par exemple ci-dessous.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(3,3)
%\multido{\n=0+1}{4}{\psline(\n,0)(\n,3)}
%\multido{\n=0+1}{4}{\psline(0,\n)(3,\n)}
%\rput(1.5,2.5){$\heartsuit$}\rput(0.5,1.5){$\heartsuit$}\rput(2.5,0.5){$\heartsuit$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%Le ticket est gagnant si les trois cœurs sont positionnés côte à côte sur une même ligne, sur une
%même colonne ou sur une même diagonale.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier qu'il y a exactement $84$ façons différentes de positionner les trois cœurs sur une grille.
Il y a C$_9^3 = \dfrac{9!}{3! \times (9 - 3)!} = \dfrac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2}3 \times 4 \times 7 = 84$ façons différentes de choisir 3 cases différentes parmi 9.
\item %Montrer que la probabilité qu'un ticket soit gagnant est égale à $\dfrac{2}{21}$.
Il y a 3 lignes, 3 colonnes et 2 diagonales donc 8 combinaisons gagnantes.

La probabilité qu'un ticket soit gagnant est égale à $\dfrac{8}{84} = \dfrac{4\times 2}{4 \times 21} = \dfrac{2}{21}$.
\item %Lorsqu'un joueur génère un ticket, la société prélève 1~\euro{}sur son compte en banque. Si le ticket est gagnant, la société verse alors au joueur $5$~\euro. Le jeu est-il favorable au joueur ?
Soit $X$ la variable aléatoire égale au montant algébrique de la somme gagnée.

On a $P(X  = 4) = \dfrac{2}{21}$ et $P(X = - 1) = \dfrac{19}{21}$.

On a donc $E(X) = 4 \times \dfrac{2}{21} + (- 1) \times \dfrac{19}{21} = \dfrac{8 - 19}{21} = - \dfrac{11}{19} \approx - 0,58$.

En moyenne sur un grand nombre de parties un joueur perd 58 centimes d'euro par partie. Le jeu est défavorable au joueur.
\item %Un joueur décide de générer $20$ tickets sur cette application. On suppose que les générations des tickets sont indépendantes entre elles.
	\begin{enumerate}
		\item %Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de tickets gagnants parmi les $20$ tickets générés.
La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de tickets gagnants parmi les $20$ tickets générés suit une loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p = \dfrac{2}{21}$.
		\item %Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, de l'évènement ($X  =  5$).
On a $p(X = 5) = \binom{20}{5}\times \left(\dfrac{2}{21}\right)^5\times \left(\dfrac{19}{21}\right)^{20-5} \approx 0,0271$, soit 0,027 à $10^{-3}$ près.
		\item %Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, de l'évènement $(X \geqslant 1)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
On a $p(X \geqslant 1) = 1 - p(X = 0) = 1 - \left(\dfrac{2}{21}\right)^{0}\times \left(\dfrac{19}{21}\right)^{20}  \approx (1 - \np{0,1351}) \approx \np{0,9649}$ soit 0,965 à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE au choix du candidat \hfill5 points}

\medskip

\textbf{Le candidat doit traiter UN SEUL des deux exercices A ou B}

\medskip

\textbf{Il indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B}

\medskip

\textbf{EXERCICE -- A}

\medskip

\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Principaux domaines abordés}\\
-- Suites\\
-- Équations différentielles\\ \hline
\end{tabular}

%\medskip

%Dans cet exercice, on s'intéresse à la croissance du bambou Moso de taille maximale 20 mètres. 
%
%Le modèle de croissance de Ludwig von Bertalanffy suppose que la vitesse de croissance pour un tel bambou est proportionnelle à l'écart entre sa taille et la taille maximale.

\bigskip

\textbf{Partie I : modèle discret}

\medskip

%Dans cette partie, on observe un bambou de taille initiale $1$~mètre.
%
%Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la taille, en mètre, du bambou $n$ jours après le début de l'observation. On a ainsi $u_0 = 1$.
%
%Le modèle de von Bertalanffy pour la croissance du bambou entre deux jours consécutifs se traduit par l'égalité :
%
%\[u_{n+1} = u_n + 0,05\left(20 - u_n\right)\,  \text{pour tout entier naturel}\,  n.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que $u_1 = 1,95$.
On a pour $n = 0$, \, $u_1 = u_0 + 0,05(20 - u_0) = 1 + 0,05 \times 19 = 1 + 0,95 = 1,95$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout entier naturel $n$,\,  $u_{n+1} = 0,95u_n + 1$.
Pour tout naturel $n$, \, $u_{n+1} = u_n + 0,05\left(20 - u_n\right) = u_n  + 1 - 0,05u_n = u_n(1 - 0,05) + 1 = 0,95u_n + 1$.
		\item %On pose pour tout entier naturel $n$,\,  $v_n = 20 - u_n$. 
		
%Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le terme initial $v_0$ et la raison.
Pour tout naturel $n$, \, $v_{n+1} = 20 - u_{n+1} = 20 - \left(0,95u_n + 1\right) = 20 - 0,95u_n - 1 = $

$19 - 0,95u_n = 0,95 \times  20 - 0,95u_n = 0,95\left(20 - u_n \right) = 0,95v_n$.

Conclusion : pour tout naturel $n$,\, $v_{n+1} = 0,95v_n$ : cette égalité montre que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de terme initial $v_0 =  20 - u_0 =  20 - 1 = 19$ et de raison 0,95.
		\item %En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\,  $u_n = 20 - 19 \times 0,95^n$.
On sait que pour tout $n \in n\N$, \, $v_n = v_0 \times q^n$, $q$ étant la raison, soit $v_n = 19  \times 0,95^n$.

Or $v_n = 20 - u_n \iff u_n = 20 - v_n = 20 - 19 \times 0,95^n$.
	\end{enumerate}
\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
On vient de démontrer que pour tout naturel $n$, \, $u_n = 20 - 19\times 0,95^n$.

Comme $0 < 0,95 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,95^n = 0$, d'où par somme de limites :

\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 20.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II : modèle continu}

\medskip

%Dans cette partie, on souhaite modéliser la taille du même bambou Moso par une fonction donnant sa taille, en mètre, en fonction du temps $t$ exprimé en jour. 
%
%D'après le modèle de von Bertalanffy, cette fonction est solution de l'équation différentielle

\[(E) \qquad y' = 0,05(20 - y)\]

%où $y$ désigne une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et $y'$ désigne sa fonction dérivée.
%
%Soit la fonction $L$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 
%
%\[L(t) = 20 - 19\e^{-0,05t}.\]
%
%\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que la fonction $L$ est une solution de (E) et qu'on a également $L(O) = 1$.
$L$ est la somme  de fonctions dérivables sur $[0~;~+\infty[$ et sur cet intervalle :

$L'(t) = - 0,05 \times \left(- 19\e^{-0,05t}\right) = 0,95\e^{-0,05t}$.

Donc $L$ est solution de $(E)$ si :

$y' = 0,05(20 - y) \iff 0,95\e^{-0,05t} = 0,05\left(20 - (\left(20 - 19\e^{-0,05t}\right)\right) \iff  0,95\e^{-0,05t}  = 0,05\left (19\e^{-0,05t}\right) \iff  0,95\e^{-0,05t}  =  0,95\e^{-0,05t}$ qui est vraie.

De plus $L(0) = 20 - 19\e^{-0,05\times 0} = 20 - 19\times 1 = 1$.
\item %On prend cette fonction $L$ comme modèle et on admet que, si on note $L'$ sa fonction dérivée, $L'(t)$ représente la vitesse de croissance du bambou à l'instant $t$.
	\begin{enumerate}
		\item %Comparer $L'(0)$ et $L'(5)$.
		
\starredbullet~$L'(0) = 0,95\e^{-0,05\times 0} =  0,95 \times 1 =  0,95$.

\starredbullet~$L'(5) = 0,95\e^{-0,05\times 5} =  0,95 \times \e^{-0,25} = \approx  0,74$.

Donc $L'(0) > L'(5)$.
		\item %Calculer la limite de la fonction dérivée $L'$ en $+\infty$. 
		
%Ce résultat est-il en cohérence avec la description du modèle de croissance exposé au début de l'exercice ?
On sait que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \e^{-0,05t} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} L'(t) = 0$.

Ce résultat est bien en cohérence avec la description du modèle de croissance du bambou : celui-ci a une taille croissante ($L'(t) > 0$) de 1~m (taille initiale)  à 20~m (taille finale), la dérivée  donc la vitesse de croissance se rapprochant de zéro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE -- B}

\medskip

\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Principaux domaines abordés}\\
-- Suites, étude de fonction\\
-- Fonction logarithme\\ \hline
\end{tabular}

\medskip

%Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]1~;~ +\infty[$ par 

\[f(x) = x - \ln (x - 1).\]

On considère la suite $\left(u_n\right)$ de terme initial $u_0 = 10$ et telle que $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ pour tout entier naturel $n$.

\bigskip

\textbf{Partie I :}

\medskip

%La feuille de calcul ci-dessous a permis d'obtenir des valeurs approchées des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A &B\\ \hline
%1 &$n$&$u_n$\\ \hline
%2 &0&10\\ \hline
%3& 1&\np{7,80277542}\\ \hline
%4& 2&\np{5,88544474}\\ \hline
%5& 3&\np{4,29918442}\\ \hline
%6& 4&\np{3,10550913}\\ \hline
%7& 5&\np{2,36095182}\\ \hline
%8& 6&\np{2,0527675}\\ \hline
%9& 7&\np{2,00134509}\\ \hline
%10& 8&\np{2,0000009}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle formule a été saisie dans la cellule B3 pour permettre le calcul des valeurs approchées de $\left(u_n\right)$ par recopie vers le bas ?
Il faut écrire dans la cellule B3 : $\fbox{=B2 - ln(B2 - 1)}$.
\item %À l'aide de ces valeurs, conjecturer le sens de variation et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
On peut penser que la suite est décroissante et a pour limite $2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II :}

\medskip

%On rappelle que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]1~;~ +\infty[$ par 
%
%\[f(x) = x - \ln (x - 1).\]
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)$. On admettra que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to 1} x - 1 = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 1} \ln (x - 1) = - \infty$ et enfin par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = + \infty$.

\emph{Rem.} : la droite d'équation $x = 1$ est asymptote verticale à la représentation graphique de la fonction $f$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que pour tout $x \in ]1~;~ +\infty[$,\,  $f'(x) = \dfrac{x - 2}{x - 1}$.
		Sachant que $\left(\ln u\right)' = \dfrac{u'}{u}$, $u(x)$ étant une fonction de $x$ ne s'annulant pas sur l'intervalle $]1~;~ +\infty[$, on a donc :
		
$f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x - 1} = \dfrac{x - 1 - 1}{x - 1} = \dfrac{x - 2}{x - 1}$ sur l'intervalle $]1~;~ +\infty[$.
		\item %En déduire le tableau des variations de $f$ sur l'intervalle $]1~;~ +\infty[$, complété par les limites.
Sur l'intervalle $]1~;~ +\infty[$ on a bien entendu $ x > 1$, donc le signe de $f'(x)$ est celui du dénominateur $x - 2$ :

\starredbullet~$x - 2 > 0 \iff x > 2$ : $f'(x) > 0$ sur $]2~;~+ \infty[$ ; la fonction $f$ est croissante sur $]2~;~+ \infty[$ ;

\starredbullet~$x - 2 < 0 \iff x < 2$ : $f'(x) > 0$ sur $]1~;~2[$ ; la fonction $f$ est décroissante sur $]1~;~2[$ ;

\starredbullet~$x - 2 = 0 \iff x = 2$ : $f'(2) = 0$ la fonction $f$ a un minimum $f(2) = 2 - \ln 1 = 2 - 0 = 2$ sur $]1~;~+ \infty[$. D'où le tableau de variations :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,3)
\psframe(6,3)\psline(0,2)(6,2)\psline(0,2.5)(6,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](2.25,2.4){$1$} \uput[u](3.5,2.4){$2$} \uput[u](5.5,2.4){$+ \infty$} 
\uput[u](0.5,1.9){$f'(x)$} \uput[u](2.25,1.9){$-$} \uput[u](3.5,1.9){$0$} \uput[u](4.75,1.9){$+$} 
\psline{->}(1.5,1.5)(3,0.5)\psline{->}(4,0.5)(5.5,1.5)
\uput[d](1.5,2){$+\infty$}\uput[u](3.5,0){$2$}\uput[d](5.5,2){$+\infty$}
\rput(0.5,1){$f$}
\end{pspicture}
\end{center}
		\item %Justifier que pour tout $x \geqslant  2$,\,  $f(x) \geqslant  2$.
La question précédente a montré que $f(2)= 2$ est le minimum de la fonction $f$ sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$, donc a fortiori sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$.
		
On a donc pour tout $x \geqslant  2$,\,  $f(x) \geqslant  2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %En utilisant les résultats de la partie II, démontrer par récurrence que $u_n \geqslant  2$ pour tout entier naturel $n$.
\emph{Initialisation} : on a $u_0 = 10 \geqslant 2$
 : la proposition est vraie au rang $0$.

\emph{Hérédité} : supposons que pour $n \in \N$, on ait : $u_n \geqslant 2$.

Par croissance de la fonction $f$, on a donc $f\left(u_n\right) \geqslant f(2)$, c'est-à-dire :

$u_{n+1} \geqslant 2$ : la proposition est donc vraie au rang $n + 1$.

Conclusion : La proposition est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n \in \N$ elle est vraie au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence la proposition :

\og $u_n \geqslant  2$ pour tout entier naturel $n$\fg{} est vraie.
 \item %Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
Pour $n \in \N$, calculons $u_{n+1} - u_n  = f\left(u_n \right) - u_n = u_n - \ln \left(u_n - 1 \right) - u_n = - \ln \left(u_n - 1 \right)$.

Or d'après la question précédente, quel que soit $n \in \N$, \, $u_n \geqslant 2$, donc $u_n - 1 \geqslant 2 - 1$, ou $u_n - 1 \geqslant 1$, donc $\ln \left(u_n - 1 \right) \geqslant 0$ et enfin $- \ln \left(u_n - 1 \right) \leqslant 0$.

Conclusion : quel que soit $n \in \N$, \, $u_{n+1} - u_n \leqslant 0$ ou $_{n+1} \leqslant u_n$ : la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
\item %En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
On a donc démontré dans les deux questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par 2 : elle converge donc vers une limite $\ell$, telle $\ell \geqslant 2$.
\item %On admet que $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$. Donner la valeur de $\ell$.
$f(\ell) = \ell \iff \ell - \ln (\ell - 1) = \ell \iff 0 = \ln (\ell- 1) \iff 1 = \ell - 1$ (par croissance de la fonction logarithme népérien), d'où $2 = \ell$.

La suite $\left(u_n\right)$ converge vers le nombre $2$.
\end{enumerate}
\end{document}