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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
%Corrigé :  François Hache
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\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small BTS Métropole -- Corrigé}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion}}
\rfoot{\small{13 mai  2019}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS  - Comptabilité et gestion~\decofourright\\[7pt]Métropole -- 13 mai 2019}}

\end{center}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 9 points}

\bigskip

%\begin{center}\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes}.\end{center}

%\smallskip

L'entreprise SASSEMBON est spécialisée dans la fabrication de savons. Dans cet exercice, on s'intéresse aux différents défauts que peuvent présenter les savons.

\bigskip

\textbf{Partie A : Défaut de forme}

\medskip

L'entreprise propose des savons senteur vanille ou noix de coco qui peuvent présenter des défauts de forme lors de la fabrication.

\begin{list}{\textbullet}{Après avoir réalisé une étude sur $200$ savons, l'entreprise constate que:}
\item 130 savons sont à la vanille,
\item parmi les savons à la vanille, 2\,\% présentent un défaut de forme,
\item parmi les savons à la noix de coco, 96\,\% ne présentent aucun défaut de forme.
\end{list}

On prend un savon au hasard.

\begin{list}{\textbullet}{On considère les évènements suivants:}
\item $V$ : \og le savon est à la vanille \fg{} ;
\item $F$ : \og le savon présente un défaut de forme \fg.
\end{list}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner la valeur des probabilités $P(V)$, $P_V(F)$ et $P_{\overline{V}}\left(\overline{F}\right)$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Sur 200 savons, 130 sont à la vanille donc $P(V)=\frac{130}{200}=0,65$.
\item Parmi les savons à la vanille, 2\,\% présentent un défaut de forme donc $P_{V}(F)=0,02$.
\item Parmi les savons à la noix de coco, 96\,\% ne présentent aucun défaut de forme donc $P_{\overline{V}}\left(\overline{F}\right)=0,96$.
\end{list}

\item On réalise un arbre pondéré de probabilité représentant la situation.

\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$V$}\naput{$0,65$}}
 	  { 
 		  \TR{$F$}\naput{$0,02$}
 		  \TR{$\overline{F}$}\nbput{\blue $1-0,02=0,98$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{V}$}\nbput{\blue $1-0,65=0,35$}}
 	  {
 		  \TR{$F$}\naput{\blue $1-0,96=0,04$}
          \TR{$\overline{F}$}\nbput{$0,96$} 
     }
}
\bigskip
\end{center}

\item \og Le savon est à la noix de coco et présente un défaut de forme\fg{} est l'événement $\overline{V} \cap F$.

$P\left (\overline{V}\cap F\right ) = P\left (\overline{V}\right )\times P_{\overline{V}}(F)=0,35\times 0,04 = 0,014$.

\item La probabilité qu'un savon pris au hasard présente un défaut de forme est $P(F)$.% $0,027$.

D'après la formule des probabilités totales:\\
$P(F)= P\left (V\cap F\right ) + P\left (\overline{V}\cap F\right )
= 0,65\times 0,02 + 0,014 = 0,027$.

\item Sachant que le savon présente un défaut de forme, la probabilité, arrondie au millième,  qu'il soit à la vanille est:
$P_{F}(V)= \dfrac{P(V\cap F)}{P(F)} = \dfrac{0,65\times 0,02}{0,027}\approx 0,481$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Défaut de masse}

\medskip

Pour être jugé conforme, un savon doit peser entre $98$ et $102$~g.
On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque savon associe sa masse en grammes.
On suppose que $X$ suit la loi normale d'espérance $100$ et d'écart type 1.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour fournir ses magasins, l'entreprise prépare des colis de $150$ savons. %Quelle est la masse moyenne, en kilogrammes, d'un colis ?

La masse moyenne d'un savon est de 100~g, donc la masse moyenne d'un colis de 150 savons  est, en grammes, de $150\times 100=\np{15000}$, soit 15~kg.

\item
	\begin{enumerate}
		\item À la calculatrice, on trouve:  $P(X \leqslant 98)\approx 0,023$.% Arrondir le résultat au millième.
		\item La probabilité que la masse du savon soit inférieure à 98~g est de $0,023$.
	\end{enumerate}
	
\item% Déterminer la probabilité que le savon ne soit pas conforme. Arrondir le résultat au centième.
La probabilité que le savon soit conforme est $P(98\leqslant X \leqslant 102) \approx 0,95$.

Donc la probabilité que le savon ne soit pas conforme est $1-P(98\leqslant X \leqslant 102) \approx 0,05$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Deux défauts}

\medskip

Chaque savon peut présenter deux défauts: un défaut de forme ou un défaut de masse.
On prélève un savon au hasard dans le stock de l'entreprise.

\begin{list}{\textbullet}{On note:}
\item $F$ : \og le savon présente un défaut de forme \fg;
\item $M$ : \og le savon présente un défaut de masse \fg.
\end{list}

On sait que 2,7\,\% des savons présentent un défaut de forme et 4,6\,\% des savons présentent un défaut de masse.
On suppose que ces deux évènements sont indépendants.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On sait que 2,7\,\% des savons présentent un défaut de forme donc $P(F)=0,027$, et que 4,6\,\% des savons présentent un défaut de masse donc $P(M)=0,046$.
		
Les événements $F$ et $M$ sont indépendants donc $P(F \cap M)=P(F)\times P(M) = 0,027\times 0,046 = \np{001242}$, soit $\np{0,0124}$ en arrondissant à $10^{-4}$.· 
		
		%Arrondir le résultat à $10^{-4}$ près.
		\item $P(F\cap M)$ représente la  probabilité qu'un savon présente les deux défauts. 
	\end{enumerate}

\item La probabilité que le savon présente au moins un des deux défauts est 

$P(F\cup M)=P(F) + P(M) - P(F\cap M) = 0,027 + 0,046 - \np{0,001242} \approx \np{0,0718}$.

%Arrondir le résultat à $10^{-4}$ près
\item L'événement \og le savon ne présente aucun défaut\fg{} est l'événement contraire de l'événement \og le savon présente au moins un des deux défauts \fg{}; donc sa probabilité est, arrondie à $10^{-4}$:

$1-P(F\cup M) = 1-\np{0,0718} =  \np{0,9282}$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 11 points}

\bigskip

%\begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes}\end{center}

\textbf{Partie A : Achat d'un appartement}

\medskip

Un couple souhaite demander un emprunt afin d'acquérir un appartement d'une valeur de \np{140000}~\euro.

Une première banque leur propose un crédit de \np{140000}~\euro{} au taux mensuel de 0,12\,\% sur 180 mois remboursable par mensualités constantes.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item La banque établit le tableau d'amortissement suivant où la cellule C1 est au format pourcentage:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A	&B&C&D&E\\ \hline
1	&	&taux mensuel&0,12\,\%&&\\ \hline
2	&	&&&&\\ \hline
3	&Mois&Capital restant dû en début de mois&Intérêts du mois&Amortissement
du capital&Mensualité
constante\\ \hline
4&1&\np{140000,00}&&&865,26\\ \hline
5	&2	&&&&865,26\\ \hline
6	&3	&&&&865,26\\ \hline
7	&4	&&&&865,26\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item %Donner les trois formules à saisir en cellules C4, D4 et B5, qui, recopiées vers le bas, permettent de compléter ce tableau.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item En cellule \texttt{C4}, on calcule la part d'intérêts mensuels donc on entre:
\fbox{\texttt{= B4 * \$C\$1}}
\item En cellule \texttt{C5}, on calcule la part d'amortissement donc on entre:
\fbox{\texttt{= E4 - C4}}
\item En cellule \texttt{B5}, on calcule le montant de ce qui reste à rembourser, donc on entre:
\fbox{\texttt{= B4 - D4}}
\end{list}		
		
		\item %Calculer les valeurs obtenues en cellules C4, D4 et B5.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\np{140000}\times \dfrac{0,12}{100}=168$ donc on obtient 168 en \texttt{C4}.
\item $865,26 - 168 = 697,26$ donc on obtient $697,26$ en \texttt{D4}.
\item $\np{140000}- 697,26 = \np{139302,74}$ donc on obtient  \np{139302,74} en \texttt{B5}.
\end{list}		
		
	\end{enumerate}
	
\item  %Quel est le coût total de ce crédit ?
On paie 180 mensualités de $865,26$~\euro, ce qui fait une dépense totale de $180\times 865,26 = \np{155746,80}$~\euro.

Le  coût total du crédit est alors de $\np{155746,80} - \np{140000}=\np{15746,80}$~\euro.

\end{enumerate}

Une seconde banque propose au couple des conditions plus avantageuses avec un emprunt de \np{140000}~\euro{} au taux annuel de 1,35\,\% sur 12 ans.

\begin{enumerate}[start=3]
\item %Montrer que le taux moyen mensuel équivalent à ce taux annuel, arrondi au millième, est 0,112\,\%.
Le taux annuel de $1,35$\,\% par an correspond à un coefficient multiplicateur de $1+\dfrac{1,35}{100}= \np{1,0135}$.

Le coefficient multiplicateur mensuel est de $\displaystyle\sqrt[12]{\np{1,0135}}= \np{1,0135}^{\frac{1}{12}}\approx \np{1,001118}$, ce qui correspond  à un taux moyen d'environ $100\times (\np{1,001118}-1)$ c'est-à-dire environ $0,112\,\%$.

\item La formule de calcul d'une mensualité $m$ constante : $m = C \times \dfrac{t}{1 - (1 + t)^{-n}}$ où $C=\np{140000}$ est le capital emprunté, $t=0,00112$ le taux mensuel et $n=12\times 12=144$ est le nombre de mensualités.

Donc $m=\np{140000} \times \dfrac{0,00112}{1-(1+0,00112)^{-144}} \approx \np{1053,27}$.

Sachant que le couple ne peut pas rembourser une mensualité supérieure à $\np{1000}$ ~\euro{} par mois, il ne va pas pouvoir souscrire cet emprunt.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Assurance}

%\begin{center}\emph{Un formulaire est présent à la fin de cette partie.}  \end{center}

\medskip

Afin d'assurer son appartement, le couple compare deux propositions:

Proposition A : le montant de l'assurance est de $200$~\euro{} la première année puis augmente de 10~\euro{} par an,

Proposition B : le montant de l'assurance est de $180$~\euro{} la première année puis augmente de $6$\,\% par an.

On note $a_n$ le montant de l'assurance avec la proposition A et $b_n$ celui avec la proposition B la $n$-ième année. Ainsi $a_1 = 200$ et $b_1 = 180$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude de la proposition A.
	\begin{enumerate}
		\item $a_2= a_1+10= 200+10=210$ et 
		$a_3=a_2+10=210+10=220 $
		\item La suite $\left(a_n\right)$ est arithmétique de premier terme $a_1=200$ et de raison $r=10$.
		\item Donc, pour tout entier naturel $n$ non nul,  $a_n=a_1+ (n-1)\times r = 200 + 10(n-1)=190+10n$
	\end{enumerate}	
	
\item Étude de la proposition B.
	\begin{enumerate}
		\item $b_2=b_1\times \left ( 1+\dfrac{6}{100}\right ) = 180\times 1,06=190,80$ et $b_3 = b_2\times 1,06 = 190,80\times 1,06 \approx 202,25$
		
		\item %Donner la nature de la suite $\left(b_n\right)$ en précisant sa raison.
Ajouter 6\,\%, c'est multiplier  par $1+\dfrac{6}{100}$ soit $1,06$, donc la suite $(b_n)$ est géométrique de raison $q=1,06$ et de premier terme $b_1=180$.		
		
		\item On en déduit que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $b_n = b_1\times q^{n-1} = 180\times 1,06^{n-1}$.
		
	\end{enumerate} 
\item Pour déterminer quelle est la proposition  la plus avantageuse si le couple conserve son assurance pendant 10 ans, il faut calculer ce que coûte chaque assurance sur 10 ans.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Proposition A

$a_1+a_2+a_3 + \cdots + a_{10} = 10\times \dfrac{a_1+a_{10}}{2}$

$a_{10}=190+10\times 10=290$ donc
$a_1+a_2+a_3 + \cdots + a_{10} = 10\times \dfrac{200+290}{2}=\np{2450}$

\item Proposition B

$b_1+b_2+b_3 + \cdots + b_{10} = b_1\times \dfrac{1-q^n}{1-q}=180\times \dfrac{1-1,06^{10}}{1-1,06}\approx \np{2372,54}$
\end{list}

Sur 10 ans, la proposition A coûte $\np{2450}$~\euro{} et la proposition B coûte $\np{2372,54}$~\euro; la proposition B est donc la plus avantageuse.

%Justifier la réponse.
%	
%Toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte.
\end{enumerate}

%\begin{center}
%\fbox{
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X}
%\multicolumn{1}{c}{Formulaire :}\\
%Somme des termes d'une suite arithmétique :
%\[u_1 + u_2 + \ldots + + u_n = n \times \dfrac{u_1 + u_n}{2}.\]
%
%Somme des termes d'une suite géométrique où $q$ est la raison de la suite et $q \ne 1$ :\\
%
%\[u_1 + u_2 + \ldots + + u_n =  u_1 \times \dfrac{1 - q^n}{1 - q}\]\\
%\end{tabularx}
%}%%% fin du fbox
%\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie C : Location}

\medskip

Le couple envisage de louer son appartement dans quelques années. Il s'intéresse au montant mensuel des loyers dans sa région pour un appartement équivalent au sien.

Ces montants sont donnés dans le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &2012 &2013 &2014 &2015 &2016 &2017\\ \hline
Rang : $x_i$& 0 &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline
Loyer mensuel (en euros) : $y_i$& 610 &612 &619 &628 &634 &640\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

où $x_i$ désigne le rang de l'année mesuré à partir de l'année 2012 et $y_i$ le montant mensuel moyen du loyer (en euros) des appartements entre 2012 et 2017.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique $\left(x_i~;~ y_i\right)$ arrondi au millième et expliquer pourquoi ce résultat permet d'envisager un ajustement affine.
D'après la calculatrice, le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique $\left(x_i~;~ y_i\right)$ arrondi au millième est $r=0,991$ qui est très proche de 1; on peut donc envisager un ajustement affine.

\item%  Donner l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$ sous la forme $y = ax + b$, où $a$ et $b$ sont à arrondir au centième.
D'après la calculatrice, l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$, avec les coefficients arrondis au centième, est:
$y=6,43 x + 607,76$.

\item  On décide d'ajuster le nuage de points de cette série $\left(x_i~;~ y_i\right)$ par la droite d'équation $y = 6,4x + 608$.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le montant du loyer mensuel que peut espérer ce couple en  2020.
L'année 2020 correspond à $x=8$; pour $x=8$, on $y=6,4\times 8+ 608 = 659,2$.

En 2020, le couple peut espérer un loyer mensuel de $659,20$~\euro.		
		
		\item Le couple peut espérer louer son appartement plus de $700$~\euro{} quand on aura $x$ tel que $y>700$. On résout cette inéquation.
		
$y>700 \iff  6,4x +608>700 \iff 6,4x > 92 \iff x>\dfrac{92}{6,4} \iff x>14,375$

Cela correspond à $x=15$ donc à l'année 2027.
%\emph{Toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}