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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\renewcommand{\d}{\,\text d}	%%%le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}	%%%le i des complexes
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\begin{document}

\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur - corrigé}
\lfoot{\small{Étude et réalisation d'agencement}}
\rfoot{\small{10 mai 2021}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{Corrigé du Brevet de technicien supérieur -- 10 mai 2021\\[5pt] Étude et réalisation d'agencement}}
\end{center}

%\bigskip
%
%\textbf{Exercice 1  \hfill 10 points}

\medskip 

Une piscine municipale doit subir une réhabilitation. Le conseil municipal a donc décidé d'installer un faux-plafond acoustique et a choisi pour cela un modèle de \og panneaux courbes\fg{} reproduisant une vague.
%
%\medskip
%
%\textbf{Document 1 : Informations sur la salle}
%
%\medskip
%
%Le bassin de 25 m et sa pataugeoire sont situés dans une salle parallépipèdique de 35 m de largeur, 40 m de longueur et 20 m de hauteur.
%
%\bigskip
%
%\textbf{Document 2 : Plan des \og panneaux courbes \fg{} choisis}
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
%\begin{center}
%\includegraphics[width=6cm]{plafond}
%
%Vue du plafond en perspective
%\end{center}&\begin{center}
%Profil d'un \og panneau courbe\fg{} de longueur curviligne $L$ 
%\psset{unit=0.0035cm}
%\begin{pspicture}(-100,-500)(1880,2200)
%\psframe[linewidth=2pt](0,0)(1785,1700)
%\multido{\n=0.000+121.429}{15}{\psline[linewidth=2pt](0,\n)(1785,\n)}
%\psframe*(565,0)(638,1700)
%\psframe*(1147,0)(1220,1700)
%\psline{<->}(0,-50)(565,-50)\psline{<->}(638,-50)(1147,-50)\psline{<->}(1220,-50)(1785,-50)
%\uput[d](282.5,-50){565}\uput[d](869.5,-50){509} \uput[d](1406.5,-50){565}
%\psline{<->}(-50,0)(-50,1700)\psline{<->}(1820,1578.5)(1820,1457.1) 
%\rput{90}(1880,1500){100}\rput{90}(-100,850){1700}
%\psline{<->}(0,1750)(1785,1750)
%\rput(892.5,-200){\og Panneau courbe \fg}. 
%\rput(892.5,-300){L'unité est le millimètre}
%\uput[u](892.5,1785){1785}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1pt]{0}{1785}{0.41855 x mul x dup mul 0.00023 mul sub 1800 add}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1pt]{0}{1785}{0.41855 x mul x dup mul 0.00023 mul sub 1820 add}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1pt]{0}{1785}{0.41855 x mul x dup mul 0.00023 mul sub 1850 add}
%\psline{->}(80,1880)(0,1850)\psline{->}(1705,1900)(1785,1868)
%\uput[u](892.5,2030){$L$}
%\end{pspicture}
%\end{center}\\
%\end{tabularx}
%
%\bigskip
%
%Document 3 : Assemblage de 3 \og panneaux courbes \fg
%
%\begin{center}
%\includegraphics[width=8cm]{ERA_2_2021}
%\end{center}
%
%\bigskip
%
%\textbf{Document 4 : Document technique}
%
%\medskip
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(7.5,2.4)
%\psframe[linewidth=1.25pt,framearc=0.5](4.5,2.4)
%\uput[r](0,2.1){\Large Grill technique}
%\uput[r](0,1.4){\Large acoustique }
%\uput[r](0,0.7){\Large courbe SLOOP}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\hspace{3.5cm}\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{X}
%\textbf{Dimensions:} 1700 x 1785 mm\\ 
%\textbf{Epaisseur:} 34 mm\\
%\textbf{Pourcentage moyen de vide:} 80\,\% permettant une excellente circulation de l'air pour des conditions d'aération et d'hygiène accrues.\\
%\textbf{Poids/m$^2$:} 19 kg.\\
%\textbf{Procédé industriel de fabrication:}\\
%Entaillage. Technologie d'assemblage tenons-mortaises garantissant une tenue parfaite des grills techniques courbes.\\ 
%\end{tabularx}
%
%\bigskip
%
%\begin{center}Les exercices 1 et 2 ci-après sont indépendants\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill Étude des \og panneaux courbes \fg \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A : Détermination du nombre de panneaux nécessaires}

\medskip

En disposant la partie linéaire des \og panneaux courbes\fg{} dans le sens de la largeur, un nombre entier de ces panneaux suffit afin d'équiper le plafond, laissant ainsi un espace le long des murs.% Justifier que cette installation nécessite 440 \og panneaux courbes \fg.

Les dimensions d'un panneau, en mètre, sont de $1,785$ et $1,7$. La salle a pour dimensions, en mètre, $40$ et $35$.

$\dfrac{40}{1,785} \approx 22,4$, donc on aura 22 panneaux dans la longueur.

$\dfrac{35}{1,7} \approx 20,6$, donc on aura 20 panneaux dans la largeur.

$22\times 20=440$ donc  cette installation nécessite 440 \og panneaux courbes \fg.

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude analytique de la courbe}

\medskip

On modélise le profil d'un \og panneau courbe\fg{} à l'aide d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $I = [0~;~\np{1785}]$ et dont la courbe représentative $\mathcal{C}$ dans un repère orthonormé est donnée ci- dessous:

%\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.00625cm}
\begin{pspicture}(-200,-200)(2000,500)
\multido{\n=-200+200}{12}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,-200)(\n,500)}
\multido{\n=-200+200}{4}{\psline[linewidth=0.1pt](-200,\n)(2000,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=200,Dy=200]{->}(0,0)(-200,-200)(2000,500)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1785}{0.4056 x mul x dup mul 0.0002272 mul sub }
\uput*{8pt}[d](892.5,-65){\blue \boldmath $892,5$}
\uput[dl](0,181){\blue \boldmath $181$}
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,linecolor=blue](0,183)(892.5,183)(892.5,0)
\uput[u](1700,75){\red \boldmath $y=f(x)$}
\uput[ur](1785,0){\blue \boldmath $\np{1785}$}
\end{pspicture}
\end{center}

%\bigskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{list}{\textbullet}{On admet}
\item[$\bullet~~$] que la courbe $\mathcal{C}$ correspond à une portion de parabole de sommet B(892,5~;~181) ;
\item[$\bullet~~$] les résultats suivants: $f(0) = 0$ ; $f(892,5) = 181$ ; $f(\np{1785}) = 0$.
\end{list} 

	\begin{enumerate}
		\item 
\begin{list}{\textbullet}{Interprétation graphique:}
\item $f(0)=0$ signifie que la courbe passe par le point de coordonnées	 $(0\;;\;0)$:
\item $f(892,5)=181$ signifie que la courbe passe par le point de coordonnées	 $(892,5\;;\;181)$;
\item $f(\np{1785})=0$ signifie que la courbe passe par le point de coordonnées	 $(\np{1785} \;;\;0)$
\end{list}		 
		\item Le document \no{}4  permet de connaître la valeur $181$; en effet on a: $\dfrac{362}{2}=181$.
		\item On cherche les valeurs des réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout $x \in I$,\,  $f(x) = ax^2 + bx + c$. 
		
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $f(0)=0 \iff a\times 0 + b\times 0 + c=0$ donc $c=0$. On en déduit que $f(x) = ax^2 + bx$;
\item $f(892,5)=181 \iff a\times 892,5^2+b\times 892,5 = 182 \iff \np{796556,25}a + 892,5b=181$;
\item $f(\np{1785})=0 \iff a\times \np{1785}^2+b\times \np{1785} = 0 \iff \np{1785}a+b=0$.
\end{list}
		
%On pourra donner la valeur arrondie du réel $a$ à $10^{-5}$ et celle du réel $b$ à $10^{-2}$.

De la 3\ieme{} égalité, on tire: $b=-\np{1785}a$.

En remplaçant dans la 2\ieme{} égalité, on obtient:\\
$\np{796556,25} a + 892,5\left (- \np{1785}\right ) a =181$
soit
$-\np{796556,25}a  =181$
donc
$a \approx -\np{0,00023}$.

$b=-\np{1785}a \approx 0,41$
\end{enumerate}

\item Dans la suite, on décide de considérer que la fonction $f$ s'exprime désormais pour tout $x \in I$, par $f(x) = - \np{0,0002272} \left(x^2 - \np{1785}x\right)$.

	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in I$.
$f'(x)= - \np{0,0002272} \left(2x - \np{1785}\right)
= - \np{0,0004544} x + \np{0,405552}$

		\item %Comparer $f'(0)$ et $f'(\np{1785})$. 
$f'(0)= \np{0,405552}$ et
$f'(\np{1785})= - \np{0,0004544} \times \np{1785} + \np{0,405552} = -\np{0,405552}$
		
On en déduit que $f'(0)=-f'(\np{1785})$.

Ce résultat était prévisible car le panneau est symétrique (document 2).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Détermination de la surface et de la masse totale}

\medskip

Une fois les \og panneaux courbes\fg{} assemblés, un tissu acoustique en fil de verre est tendu et collé à chaud sur les panneaux. On souhaite connaître la surface totale de tissu nécessaire. Pour cela, il faut calculer la longueur curviligne $L$ de l'arc de chaque panneau.

On admet que $L = \displaystyle\int_0^{\np{1785}} \sqrt{1 + \left[f'(t)\right]^2}\d t$.

Un logiciel de calcul formel nous donne les résultats suivants:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|l|}\hline
1					&$f(x): = \np{0.00023}*(x^2 - \np{1785}*x)$\\
$\bullet$			& $\to f(x) := \dfrac{23}{\np{100000}}\left(x^2 - \np{1785}x\right)$\rule[-12pt]{0pt}{0pt}\\ 
\hline
2					& Dérivée$(f(x))$\\
\pscircle(0,0){0.1}&$\to \dfrac{23}{\np{100000}}(2x - \np{1785})$\rule[-12pt]{0pt}{0pt}\\ 
\hline
3					&$g(x) : =\text{sqrt}(1 + (f'(x)^2))$\\
$\bullet$			&$\to g(x) := \dfrac{1}{\np{100000}}\sqrt{\np{2116}x^2 - \np{3777060} x + \np{11685513025}}$\rule[-12pt]{0pt}{0pt}\\ 
\hline
4					&Intégrale$(g(x),0, \np{1785})$\\
\pscircle(0,0){0.1}&\np{1833.95}\rule[-12pt]{0pt}{0pt}\\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}

La valeur arrondie de $L$ à $10^{-2}$ est donc, en mètre, de $\np{1,83}$. 

La surface totale de tissu nécessaire, en m$^2$, au m$^2$ près, est de $1,83\times 1,7 \approx 3$.\\
C'est donc la surface de chaque panneau.

D'après le document 4, le poids de la structure de chaque panneau est de 19\,kg/m$^2$, donc chaque panneau a un poids, en kg, de $3\times 19 = 57$.

Il y a 440 panneaux, donc la masse totale des $440$ \og panneaux courbes\fg{} est, en kg, de $440\times 57= \np{25080}$.

%En déduire la masse totale des $440$ \og panneaux courbes\fg. (on précisera le numéro du document utilisé)

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 2\hfill Étude statistique des suspentes \hfill 10 points}

\medskip

%\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées séparément}
%
%\medskip
%
%Dans ce qui suit, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$.

Le système de suspente de chaque panneau est composé de deux tiges filetées, l'une de longueur $500$ mm, l'autre de longueur $862$ mm et de deux écrous combifix.
La ville possède un stock important de chacun de ces éléments dans lequel vont être prélevées les quantités nécessaires.

\bigskip

\textbf{Partie A : Loi normale}

\medskip

Une tige filetée dite \og de 500 mm \fg{} est considérée comme conforme lorsque sa longueur appartient à l'intervalle $[499,45~;~500,55]$.
On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tige de ce type prélevée au hasard dans le stock, associe sa longueur en mm.
On admet que $X$ suit une loi normale de moyenne $500$ et d'écart-type $0,25$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité qu'une tige prélevée au hasard dans le stock soit conforme pour la longueur est:
$P(499,45 \leqslant X \leqslant 500,55) \approx 0,97$.

\item% Déterminer un nombre réel $h$ positif tel que $P(500 - h \leqslant X \leqslant 500 + h) \approx 0,95$.
On sait que si $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, alors on a\\
 $P(\mu - 2\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2\sigma) \approx 0,95$. \\
 On en déduit que le réel $h$ positif tel que $P(500 - h \leqslant X \leqslant 500 + h) \approx 0,95$ est $h=2\sigma =0,5$.

Il y a donc en moyenne 95\;\%  des tiges dont la longueur en mm est comprise entre $499,5$ et $500,5$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Loi binomiale}

\medskip

Dans le stock, 1\,\% des tiges filetées dites \og de 862 mm \fg{} sont non conformes.
Pour mettre en œuvre le plafond suspendu choisi, on prélève $440$ tiges. 
Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $440$ tiges. 
On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de $440$ tiges, associe le nombre de tiges non conformes pour la longueur.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
Il n'y a que deux possibilités pour une tige: elle est non conforme, avec une probabilité de $p=0,01$, ou elle est conforme.

On prélève $440$ tiges et le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $440$ tiges. 

Donc la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de $440$ tiges, associe le nombre de tiges non conformes pour la longueur suit une loi binomiale de paramètres $n=440$ et $p=0,01$.

\item La probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux tiges ne soient pas conformes pour la longueur est:
$P(Y\leqslant 2)\approx 0,184$.

\item $P(Y = 0) = 0,012$.

%Interpréter ce résultat dans le contexte.
On peut estimer à $1,2\;\%$ la probabilité que toutes les tiges de l'échantillon soient conformes.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Intervalle de confiance}

\medskip

Dans cette question, on s'intéresse au diamètre des écrous, exprimé en millimètres. Un écrou est jugé conforme si son diamètre appartient à l'intervalle $[5,98~;~6,01]$. 
On souhaite estimer la proportion inconnue notée $p$ d'écrous non conformes dans le stock.
Pour la déterminer, on prélève au hasard et avec remise un échantillon de $50$ écrous dans le stock et on mesure leur diamètre. Les résultats sont donnés ci-dessous :
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Diamètre en mm &5,97 &5,98 &5,997& 6,00 &6,01 &6,02 &6,03\\ \hline
Effectif &1 &3 &9 &22 &13 &1 &1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

%\smallskip

\begin{enumerate}
\item% À partir des informations portant sur cet échantillon, donner une estimation ponctuelle $f$ de la proportion inconnue $p$ d'écrous non conformes.
D'après le tableau, sur 50 écrous, il y en a 3 en dehors de l'intervalle $[5,98~;~6,01]$. Donc $f=\dfrac{3}{50}=0,06$ est une estimation ponctuelle  de la proportion inconnue $p$ d'écrous non conformes.

\item On déduit un intervalle de confiance de la proportion $p$ au risque de 5\,\%. 

$\begin{aligned}[t]
I  & = \left[f - 1,96\sqrt{\dfrac{f(1 -f)}{n-1}}~;~f + 1,96\sqrt{\dfrac{f(1 -f)}{n -1}}\right]\\
& = \left[0,06 - 1,96\sqrt{\dfrac{0,06\left (1-0,06\right )}{50-1}}~;~0,06 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,06\left (1-0,06\right )}{50-1}}\right]\\
& \approx \left [ 0\;;\; 0,126\strut\right ]
\end{aligned}$

\item On considère l'affirmation suivante: \og la proportion $p$ est obligatoirement dans l'intervalle de confiance $I$ obtenu à la question C. 2 \fg. 

Cette affirmation n'est pas vraie: en fait, il y a 95\;\% de chance que l'intervalle $I$ contienne la proportion $p$.
\end{enumerate}
\end{document}