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%Corrigé et Tapuscrit : Ronan Charpentier
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\footnotesize Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\footnotesize{Opticien-lunetier -- corrigé}}
\rfoot{\footnotesize{18 mai 2026}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Opticien--lunetier~\decofourright\\[5pt]18 mai 2026}  
\end{center}

%\textbf{L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
%L'usage de la calculatrice sans mémoire, \og   type collège \fg{} est autorisé.}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\Large{}Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\subsection*{Partie A. Série statistique}

\begin{enumerate}
\item Au vu de ce graphique, un ajustement linéaire de $N$ en $t$ n'est pas pertinent puisque l'allure du nuage de points n'est pas rectiligne.
\item
	\begin{enumerate}
		\item[a.] La valeur de $z$ pour le mois de mars 2026 est $z=\ln\left(\dfrac{\np{4000}}{3120}-1\right)\approx -1,266$.
		\item[b.] Les $z$ décroissent lorsque $t$ augmente donc on peut être certain que $r<0$.
		\item[c.] Avec la calculatrice, $r \approx -0,999$.

Cette valeur est proche de $-1$ donc un ajustement linéaire de $z$ en $t$ est pertinent.
		\item[d.] Une équation de la droite de régression linéaire de $z$ en $t$ est $z=-1,6t+2$.
		\item[e.] L'égalité $N=\dfrac{\np{4000}}{1+\text{e}^{-1,6t+2}}$ s'écrit $N=\dfrac{\np{4000}}{1+C\text{e}^{-1,6t}}$ avec $C=\text{e}^2 \approx 7$ 

puisque $\text{e}^{-1,6t+2} = \text{e}^{-1,6t} \times \text{e}^2= \text{e}^2 \times \text{e}^{-1,6t}$ pour tout $t$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{Partie B. Équation différentielle}

\begin{enumerate}
\item Les solutions de l'équation différentielle $(E_0) : y' + 1,6 y = 0$ sont les fonctions de la forme $y=k \text{e}^{-1,6t}$ où $k \in \mathbb{R}$ est une constante.
\item La fonction $g$ est solution de l'équation différentielle $y' +1,6 y =1,6$ si $g'(t)+1,6 g(t)=1,6$ pour tout $t$ soit $0+1,6 A=1,6$ d'où $A=1$ et $g(t)=1$.
\item Les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont les fonctions de la forme $y=k \text{e}^{-1,6t}+1$ où $k \in \mathbb{R}$ est une constante.
\item  $h(0)=8 \iff k \text{e} ^{-1,6 \times 0}+1 = 8 \iff k \times 1 +1= 8 \iff k=7$ 

donc la solution cherchée est $h(t)=7 \text{e}^{-1,6t}+1$.
\end{enumerate}

\newpage

\subsection*{Partie C. Étude d'une fonction}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre de verres vendus en avril 2026 est 
$f(3)=\dfrac{\np{4000}}{1+7\text{e}^{-1,6 \times 3}}\approx 3782$.

\item \begin{enumerate}
\item[a.] L'indication 1 implique que la courbe $\mathcal{C}$ possède en $+\infty$ une asymptote d'équation $y=\np{4000}$.

\item[b.] Avec l'indication 2 on a $\np{44800} \text{e}^{-1,6t} >0$ puisqu'une exponentielle est strictement positive, et $\left(1+7 \text{e}^{-1,6 t}\right)^2 > 0$ puisque le carré d'un réel non nul est strictement positif,

donc par quotient $f'(t)>0$ donc la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

On donne le tableau des variations de $f$.

\begin{tikzpicture}
\draw(0,0)--(12,0)--(12,3.2)--(0,3.2)--cycle;
\draw(0,2.4)--(12,2.4);
\draw(0,1.6)--(12,1.6);
\draw(1.6,0)--(1.6,3.2);
\draw(0.8,2.8)node{$t$};
\draw(0.8,2)node{$f'(t)$};
\draw(0.8,.8)node{$f$};
\draw(1.8,2.8)node{$0$};
\draw(11.6,2.8)node{$+\infty$};
\draw(6.75,2)node{$+$};
\draw(2,0.2)node{$500$};
\draw(11.6,1.4)node{$4000$};
\draw[->](2.5,0.2)--(11,1.4);
\end{tikzpicture}

\item[c.] D'après l'indication 3, une équation de la tangente $\mathcal{T}$ est $y=500+700t$ et la courbe $\mathcal{C}$ est située au-dessus de la tangente $\mathcal{T}$ au voisinage de $t=0$ puisque $420 t^2 \geqslant 0$.
\end{enumerate}

\item Le chef a toujours raison. 

C'est donc le modèle qui a tort, puisque selon ce modèle la fonction $f$ croît vers une limite de \np{4000} et ne peut donc pas dépasser \np{4000} et ne peut donc pas atteindre \np{5000}.

\item On donne l'allure de la courbe, en utilisant la tangente en zéro, en respectant la position de la courbe par rapport à cette tangente au voisinage de zéro, en utilisant la croissance de la fonction, et l'asymptote.

\medskip

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\draw[->](-0.5,0)--(6.5,0)node[right]{$t$};
\draw[->](0,-.5)--(0,4.5)node[above]{$y$};
\draw(0,0.5)--(6,4.7)node[right]{$\mathcal{T}$};
\draw(0,0.5)node{$\bullet$}node[left]{$500$};
\draw[->>](2,4)--(7,4)node[above]{$y=4000$};
\draw[line width=1.5pt] plot[smooth,samples=500,domain=0:6](\x,{4/(1+7*exp(-1.6*\x))})node[below]{$\mathcal{C}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\Large{}Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\subsection*{Partie A. Probabilités conditionnelles}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On recopie et on complète le tableau.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
 & Montures présentant un & Montures ne présentant pas  & Total \\
 & défaut de charnières & un défaut de charnières & \\
\hline 
Montures présentant un & 10 & \textbf{50} & 60 \\
défaut de batterie & & & \\ 
\hline 
Montures ne présentant & 20 & \textbf{920} &  \textbf{940}\\ 
pas un défaut de batterie&&&\\
\hline 
Total & \textbf{30} & \textbf{970} & \np{1000} \\ 
\hline
\end{tabular}

\item La probabilité que la monture choisie présente un défaut de charnières 

est $P(C)=\dfrac{30}{\np{1000}}=0,03$.

\item La probabilité que la monture choisie ne présente aucun défaut est $P(\overline{B} \cap \overline{C})=\dfrac{920}{\np{1000}}=0,92$.

\item La probabilité de $C$ sachant $B$ est $P_B(C)=\dfrac{10}{60}\approx 0,167$.
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{Partie B. Loi binomiale}

\begin{enumerate}
\item Les paramètres de la loi de $X$ sont $n=150$ et $p=0,06$.
\item La probabilité qu'il y ait au maximum 9 montures présentant un défaut de batterie dans le colis est $P(X \leqslant 9) \approx 0,587$, d'après la calculatrice.
\item La probabilité que le colis ne soit pas expédié est $P(X>12)\approx 0,117$, d'après la calculatrice.
\item L'espérance de $X$ est $E(X)=np=150 \times 0,06=9$  donc en moyenne dans un colis 9 montures présentent un défaut de batterie.
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{Partie C. Loi normale}

\begin{enumerate}
\item Graphiquement la moyenne est $\mu = 720$.
\item L'intervalle à plus ou moins deux écart types est $[670~;~770]$ de rayon $2 \sigma=50$ donc l'écart-type est environ égal à 25.
\item $P(Y \geqslant 720)=0,5$, $P(Y \leqslant 770)=0,025$ et $P(Y \leqslant 670)=0,025$, en utilisant la calculatrice, ou plus simplement la symétrie de la gaussienne.
\end{enumerate}

\newpage

\subsection*{Partie D. Intervalle de confiance}

\begin{enumerate}
\item Une estimation ponctuelle de la proportion inconnue $p$ est $f=\dfrac{616}{800}= 0,77$.
\item Un intervalle de confiance centré sur $f$ de la proportion inconnue $p$ avec le niveau de confiance de 95 \,\% est
$\left[ 0,77-1,96\sqrt{\dfrac{0,77\times0,23}{800}}~;~0,77+1,96\sqrt{\dfrac{0,77\times0,23}{800}}\right] \approx [0,74;0,80]$.

\item Si l'enquête est réalisée auprès de 200 clients, et que 154 d'entre eux se déclarent satisfaits, l'estimation ponctuelle $f=\dfrac{154}{200}= 0,77$ ne change pas, par contre l'IC est modifié $[0,71~;~0,83]$ (la formule fait intervenir l'effectif de l'échantillon).
\end{enumerate}
\end{document}