\documentclass[11pt]{article} %%% Tapuscrit : Denis Vergès %%% Corrigé : François Hache %%% Relecture : Denis Vergès \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{arrows.meta,positioning,calc} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-func, pst-tree} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \setlist[itemize]{label=\textbullet} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {Denis Vergès}, pdfsubject = {BTS}, pdftitle = {BTS SIO Session 2026 EF2 Mathematiques approfondies}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \usepackage{array} \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}% le d de différentiation \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ts}{\textstyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du BTS Polynésie} \lfoot{\small Services informatiques aux organisations\\Épreuve de mathématiques approfondies} \rfoot{\small mai 2026} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Polynésie mai 2026~\decofourright\\[7pt] Services informatiques aux organisations}}\\ [7pt] \textbf{Épreuve de mathématiques approfondies}\\[4pt] %\medskip % %\textbf{Durée : 2 heures} \end{center} %\smallskip % %\begin{center} %\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé} % %\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé} %\end{center} \bigskip \textbf{\Large Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip %Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante. % %\medskip Une entreprise utilise un système d'information pour traiter les commandes de ses clients. L'entreprise dispose de deux serveurs (notés A et B) qui traitent les commandes, celles-ci peuvent être traitées avec succès ou échouer à différentes étapes . On souhaite modéliser le fonctionnement du système et analyser les temps de traitement. %\emph{Les résultats seront arrondis si nécessaire au millième} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Le serveur A traite 60\,\% des commandes dont 90\,\% sont traitées avec succès. 95\,\% des commandes du serveur B sont traitées avec succès. \begin{list}{\textbullet}{On considère les événements:} \item $A$ : « La commande a été traitée par le serveur A ». \item $B$ : « La commande a été traitée par le serveur B ». \item $R$: « La commande a été passée avec succès ». \end{list} On choisit au hasard une commande parmi celles qui ont été traités par les serveurs de l'entreprise. \medskip \begin{enumerate} \item On représente la situation à l'aide d'un arbre pondéré. \begin{center} %\bigskip \pstree[treemode=R, nodesepA=0pt, nodesepB=4pt, levelsep=3.5cm, nrot=:U]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\naput{$0,6$}} { \TR{$R$}\naput{$0,9$} \TR{$\overline{R}$}\nbput{\blue $1-0,9=0,1$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$B$}\nbput{\blue $1-0,6=0,4$}} { \TR{$R$}\naput{$0,95$} \TR{$\overline{R}$}\nbput{\blue $1-0,95=0,05$} } } \bigskip \end{center} \item La probabilité que la commande ait été traitée par le serveur A et ait été passée avec succès est: $P\left ( A\cap R\right )= P(A)\times P_A(R) = 0,6\times 0,9=0,54$. \item %Montrer que $P(R) = 0,92$. D'après la formule des probabilités totales: $P(R)= P\left ( A\cap R\right ) + P\left ( \overline A\cap R\right ) = 0,54 + 0,4\times 0,95 = 0,92$. \item Le directeur de l'entreprise affirme que le serveur A a traité plus de la moitié des commandes passées avec succès. %A-t-il raison ? Justifier la réponse par un calcul. Il faut donc chercher la probabilité que la commande ait été traitée par le serveur A, sachant qu'elle a été traitée avec succès. $P_R(A) = \dfrac{P\left ( A\cap R\right )}{P(R)} = \dfrac{0,54}{0,92} \approx 0,587$ $P(A)>0,5$ donc le directeur a raison. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Le temps (en minutes) écoulé entre deux commandes arrivant dans le système est modélisé par une variable aléatoire, notée $T$, qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ $(\lambda > 0)$. %\medskip % %On rappelle que pour tout réel $t$ positif, $P(T \leqslant t) = P(T < t) = 1 - \e^{- \lambda t}$. % %On rappelle également la propriété de non-vieillissement de la loi exponentielle : pour tous nombres réels positifs $t$ et $h$, $P_{(T > t)}(T > t + h) = P(T > h)$. \medskip \begin{enumerate} \item On sait que la probabilité qu'il s'écoule moins de 10 minutes entre deux commandes vaut $0,45$. %Déterminer la valeur exacte de $\lambda$. $\aligned P\left (T<10\right )=0,45 & \iff 1-\e^{-\lambda \times 10}= 0,45 \iff 0,55=\e^{-10\lambda} \iff \ln(0,55) = -10\lambda\\ & \iff \lambda = - \dfrac{\ln(0,55)}{10} \endaligned$ \end{enumerate} \textbf{On prendra $\boldsymbol{\lambda = 0,06}$ pour la suite de l’exercice.} \begin{enumerate}[resume] \item La probabilité qu'il s'écoule au moins 15 minutes entre deux commandes est: $P\left (T\geqslant 15\right ) = 1-P\left (T < 15\right ) = 1-\left (1-\e^{-0,06\times 15}\right ) = \e^{-0,9} \approx 0,407$ \item La probabilité que le temps entre deux commandes soit supérieur ou égal à 15~minutes sachant qu'il y a déjà au moins 5~minutes d'écoulées est: $P_{(T\geqslant 5)}\left (T\geqslant 15\right )$. D'après la propriété de non viellissement de la loi exponentielle: $P_{(T\geqslant 5)}\left (T\geqslant 15\right ) = P_{(T\geqslant 5)}\left (T\geqslant 5+10 \right ) = P\left (T\geqslant 10 \right )$ La probabilité cherchée est: $P\left (T\geqslant 10 \right ) = 1-P\left (T<10\right )=1-0,45=0,55$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Le temps de traitement d'une commande (en secondes) du serveur A (respectivement B), est modélisé par une variable aléatoire notée $X_A$ (respectivement $X_B$), qui suit une loi normale d'espérance $\mu_A$ (respectivement $\mu_B$) et d'écart-type $\sigma_A = 6$ (respectivement $\sigma_{B} = 15$). \medskip On nomme $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ les courbes représentatives des fonctions de densité des variables aléatoires $X_A$ et $X_B$ représentées dans la figure ci-dessous. \begin{center} \psset{xunit=0.15cm, yunit=50cm, comma=true, arrowsize=3pt 3} \begin{pspicture*}(55,-0.02)(145,0.075) \psline[linewidth=0.5pt, linecolor=blue](100,0)(100,0.1) \psGauss[linewidth=2pt, linestyle=dotted,dotsep=4pt, linecolor=blue, mue=100, sigma=15]{55}{145} \psline[linecolor=red, linewidth=0.5pt](110,0)(110,1) \psGauss[linewidth=1.25pt, linecolor=red, mue=110,sigma=6]{55}{145} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5, Ox=55, labels=x, showorigin=false, yAxis=false]{->}(55,0)(55,0)(145,0) \rput(125,-0.016){\emph{temps de traitement en secondes}} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item % À quelle variable aléatoire correspond la courbe en pointillés ? %Justifier votre réponse. Si une variable aléatoire suit une loi normale d'espérance $\mu$, alors la courbe représentant sa fonction de densité est symétrique par rapport à la droite verticale d'équation $x=\mu$. La courbe en pointillés est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=100$, donc elle correspond à la variable aléatoire d'espérance 100, donc $X_B$. \\ Donc $\mu_B=100$. \item $\mu_B = 100$ donc $\mu_A = 110$ \end{enumerate} \item La probabilité que le temps de traitement d'une commande traitée par le serveur A soit de moins de deux minutes (donc 120 secondes) est: $P\left ( X_A <120\right ) \approx 0,952$. \item Le temps de traitement nécessaire $t$, pour qu'au moins 95\,\% des commandes soient traitées par le serveur B en moins de $t$ secondes est tel que: $P\left (X_B < t\right ) \geqslant 0,95$. On trouve à la calculatrice environ 125 secondes. En effet, on a $P\left (X_B < 124\right ) \approx 0,945 < 0,95$ et $P\left (X_B < 125\right ) \approx 0,952 > 0,95$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\Large Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip %Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante. % %\medskip Une entreprise développe une application qui collecte et stocke automatiquement des données utilisateurs sur un serveur local d'une capacité totale de 2 To (\np{2000} Go). \medskip \textbf{Partie A} \medskip On modélise l'évolution du volume total de données par une suite $(u_n)$ géométrique de raison $q = 1,24$ et de premier terme $u_0 = 3,15$. $u_n$ désigne la quantité de données (en Go) stockées sur le serveur le jour $n$, où $n$ désigne un entier naturel. Ainsi le premier jour correspond à $n = 0$ et la quantité de données est alors $u_0 = 3,15$ Go. %\medskip \begin{enumerate} \item %Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q = 1,24$ et de premier terme $u_0 = 3,15$ donc, pour tout $n$, on a: $u_n=u_0\times q^n = 3,15\times 1,24^{n}$. \item Pour $n = 24$, on a: $u_{24} = 3,15\times 1,24^{24} \approx 550$ Donc la quantité de données stockées le 24\up{e} jour est d'environ 550 GO. \item Déterminer à partir de quel jour la capacité de stockage aura atteint la capacité maximale de stockage, c'est-à-dire 2~TO soit \np{2000}~GO, c'est chercher $n$ pour que $u_n>\np{2000}$. On résout cette inéquation. $\aligned u_n>\np{2000} & \iff 3,15\times 1,24^{n}> \np{2000} \iff 1,24^{n} > \dfrac{\np{2000}}{3,15} \iff \ln\left (1,24^{n}\right ) > \ln\left (\dfrac{\np{2000}}{3,15}\right )\\ & \iff n\times \ln\left (1,24\right ) > \ln\left (\dfrac{\np{2000}}{3,15}\right ) \iff n > \dfrac{ \ln\left (\frac{\np{2000}}{3,15}\right )}{ \ln\left (1,24\right )} \endaligned$ $ \dfrac{ \ln\left (\frac{\np{2000}}{3,15}\right )}{ \ln\left (1,24\right )} \approx 30,001$ donc on atteint la capacité de stockage au bout de 30 jours. \end{enumerate} À partir du 24\up{e} jour, l’entreprise décide de mettre en place un système automatique pour nettoyer le serveur. Deux procédés sont proposés par l'informaticien, décrits chacun dans les parties B et C suivantes. \medskip \textbf{Partie B : 1\up{er} procédé} \medskip Chaque nuit, 5\,\% des données stockées sont supprimées (données obsolètes). En parallèle, l’application continue de collecter chaque jour une quantité fixe de $100$~Go de nouvelles données. On modélise l'évolution de la quantité de données (en Go), stockées sur le serveur, par la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 23$, par : $v_{n + 1} = 0,95v_n + 100$ et $v_{23} = 444.$ \begin{enumerate} \item %Expliquer en quoi cette modélisation correspond à la situation étudiée. On passe d'un terme de la suite au suivant en retirant 5\,\% puis en ajoutant 100. Retirer 5\,\%, c'est multiplier par $1-\dfrac{5}{100}=0,95$. Donc on passe du terme de rang $n$ au terme de rang $n+1$ en multipliant par $0,95$ puis en ajoutant 100 donc, pour tout $n$, $v_{n+1}=0,95v_n +100$. \end{enumerate} On admet que le terme général de la suite $(v_n)$ est défini pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 23 par : $v_n = \np{2000} - \np{5063} \times 0,95^n.$ \begin{enumerate}[resume] \item % Justifier qu'avec ce procédé, la quantité de données augmente mais que la capacité maximale de stockage ne sera pas atteinte. \begin{list}{\textbullet}{} \item $\aligned[t] 0,95 < 1 & \iff 0,95^{n}\times 0,95 < 0,95^{n}\times 1 \iff 0,95^{n+1} < 0,95^{n}\\ & \iff -\np{5063} \times 0,95^{n+1} > -\np{5063} \times 0,95^{n}\\ & \iff \np{2000} -\np{5063} \times 0,95^{n+1} > \np{2000}-\np{5063} \times 0,95^{n}\\ & \iff v_{n+1} > v_n \endaligned$ Donc la suite $(v_n)$ est croissante. \item $\np{5063} \times 0,95^{n}>0$ donc $ -\np{5063} \times 0,95^{n} <0$ donc $ \np{2000}-\np{5063} \times 0,95^{n}<\np{2000}$ \end{list} Donc, avec ce procédé, la quantité de données augmente mais la capacité maximale de stockage ne sera pas atteinte. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C : 2\up{e} procédé} \medskip Un programme nettoie de manière continue le serveur. La quantité de données, à chaque instant $t$, est modélisée par la fonction $f$ définie pour tout réel $t \geqslant 23$, par : $f(t) = \np{2000} - \np{4914} \e^{-0,05t}.$ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Montrer que pour tout réel $t \geqslant 23,\:\: f'(t) = 245,7\e^{-0,05t}$. $f'(t)=0-\np{4914}\times (-0,05)\e^{-0,05t} = 245,7 \e^{-0,05t}$ \item% Que peut-on en déduire sur les variations de la quantité de données ? Pour tout $t$, on a $\e^{-0,05t}>0$ donc $f'(t)>0$; on en déduit que la fonction $f$ est croissante, donc que la quantité de données augmente quand $t$ augmente. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On résout l'inéquation $\np{2000} - \np{4914} \e^{-0,05t} > \np{2000}$. $\np{2000} - \np{4914} \e^{-0,05t} > \np{2000} \iff - \np{4914} \e^{-0,05t} > 0$ Or, pour tout $t$, $\e^{-0,05t}>0$ donc $- \np{4914} \e^{-0,05t}<0$; on en déduit que l'inéquation n'a aucune solution. \item %Que peut-on en conclure ? On peut en conclure qu'avec ce procédé, la quantité de données augmente mais la capacité maximale de stockage ne sera pas atteinte. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}