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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{3pt}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du BTS Polynésie}
\lfoot{\small{SIO Épreuve obligatoire}}
\rfoot{\small{mai 2021}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Polynésie mai 2021 -- Épreuve obligatoire~\decofourright\\[7pt]Services informatiques aux organisations }}

%\vspace{0,25cm}
%
%\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé} 
%
%\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1\hfill 15 points}

%\medskip
%
%Les trois parties de cet exercice sont complètement indépendantes. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une entreprise utilise depuis 2005 pour son parc informatique, un système d'exploitation personnalisé. En 2005, ce système d'exploitation nécessitait une configuration minimale de 4 méga-octets (Mo) de mémoire vive.
Une nouvelle version du système d'exploitation est mise en place chaque année depuis 2005. Et avec chaque nouvelle version (donc chaque année), la configuration minimale en mémoire vive augmente de 34\,\%.

On note $u_n$ la configuration minimale en mémoire vive requise par le système d'exploitation, exprimée en méga-octets, en $2005 +n$. Ainsi $u_0 = 4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer les valeurs exactes de $u_1$ et $u_2$.
$u_1=u_0+u_0\times \dfrac{34}{100}= u_0\times \left (1+\dfrac{34}{100}\right ) = 4\times 1,34= 5,36$

$u_2=u_1+u_1\times \dfrac{34}{100}= u_1\times \left (1+\dfrac{34}{100}\right ) = 5,36 \times 1,34 = \np{7,1824}$

\item% Donner, en justifiant, la nature et la raison de la suite $\left(u_n\right)$.
Ajouter 34\,\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{34}{100}$ soit $1,34$.

Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $1,34$.

\item% Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=1,34$ et de premier terme $u_0=4$ donc pour tout $n$, on a: $u_n=u_0\times  q^n = 4\times 1,34^n$.

\item $u_{10}=4\times 1,34^{10} \approx 75$% et interpréter le résultat. On arrondira le résultat à l'entier.

Donc en $2005+10$, soit en 2015, la configuration minimale en mémoire vive requise par le système d'exploitation doit être de 75 Mo.

\item La configuration minimale en mémoire vive requise par le système dépasse le giga-octets (c'est-à-dire \np{1000} méga-octets) quand $u_n>\np{1000}$. On résout cette inéquation.

$u_n> \np{1000}
\iff 4\times 1,34^{n} > \np{1000}
\iff  1,34^{n} > 250
\iff \ln\left (1,34^{n}\right ) > \ln\left (250\right )\\
\phantom{u_n> \np{1000}}
\iff n\times \ln(1,34) > \ln(250)
\iff n > \dfrac{\ln(250)}{\ln(1,34}$

Or $\dfrac{\ln(250)}{\ln(1,34}\approx 18,9$, donc c'est au bout de 19 ans, soit en 2024, que la configuration minimale en mémoire vive requise sera supérieure à 1~Go. 
%Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'entreprise veut ouvrir un nouvel espace de bureaux dans ses locaux. Pour cela, elle désire acheter de nouveaux ordinateurs et essaye de déterminer le modèle adapté. Ce modèle doit satisfaire au moins l'un des critères suivants:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item le modèle doit disposer de $16$~giga-octets (Go) ou plus de mémoire vive et d'un disque dur d'un minimum de un téra-octet (To) ;
\item le disque dur du modèle a une capacité inférieure à 1 To, mais le modèle dispose d'un disque SSD ;
\item le modèle ne dispose pas d'un disque SSD et a un disque dur de moins de 1~To mais possède 16~Go ou plus de mémoire vive ;
\item le modèle possède un disque SSD et un disque dur d'une mémoire supérieure à 1~To.
\end{list}


\begin{list}{\textbullet}{On définit les variables booléennes suivantes:}
\item $a = 1$ si le modèle possède une mémoire vive de 16 Go ou plus,
$a = 0$ sinon ; 
\item $b = 1$ si le modèle possède un disque dur de 1 To ou plus, $b = 0$ sinon ;
\item $c = 1$ si le modèle possède un disque SSD, $c = 0$ sinon.
\end{list}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $(E)$ l'expression booléenne traduisant les critères de sélection d'un modèle.

On traduit chaque critère au moyen des variables booléennes données; le \og et \fg{} se traduit par un produit, et le \og ou \fg{} par une somme.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item le modèle doit disposer de $16$~giga-octets (Go) ou plus de mémoire vive et d'un disque dur d'un minimum de un téra-octet (To):  $\blue (a.b)$;
\item ou: $\blue (+)$;
\item le disque dur du modèle a une capacité inférieure à 1 To, mais le modèle dispose d'un disque SSD: $\blue (\barre{b}.c)$;
\item ou: $\blue (+)$;
\item le modèle ne dispose pas d'un disque SSD et a un disque dur de moins de 1~To mais possède 16~Go ou plus de mémoire vive: $\blue (a .\barre{b}. \barre{c})$;
\item ou: $\blue (+)$;
\item le modèle possède un disque SSD et un disque dur d'une mémoire supérieure à 1~To: $\blue (b.c)$
\end{list}

Donc $E=a.b + \barre{b}.c + a .\barre{b}. \barre{c} + b.c$.

\item  On représente l'expression $E$ dans un tableau de Karnaugh.

\begin{multicols}{2}
\begin{center}
$a.b$

\medskip

\scalebox{1}{
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10 \\
 \hline
0 & & &  &  \\
 \hline
1 & & & \blue 1 & \blue 1 \\
 \hline
\end{tabular}
}
\end{center}

\columnbreak

\begin{center}
$\barre{b}.c$

\medskip

\scalebox{1}{
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10 \\
 \hline
0 & &  \blue 1 & & \\
 \hline
1 &   &  \blue 1 & & \\
 \hline
\end{tabular}
}
\end{center}
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
\begin{center}
$a.\barre b.\barre c$

\medskip

\scalebox{1}{
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10 \\
 \hline
0 & & &  & \\
 \hline
1 &  \blue 1&   &   &   \\
 \hline
\end{tabular}
}
\end{center}

\columnbreak

\begin{center}
$b.c$

\medskip

\scalebox{1}{
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10 \\
 \hline
0 & && \blue 1  & \\
 \hline
1 &  &  & \blue 1  &   \\
 \hline
\end{tabular}
}
\end{center}
\end{multicols}

\begin{center}
$E=a.b + \barre{b}.c + a .\barre{b}. \barre{c} + b.c$

\medskip

\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10 \\
 \hline
0 & &  \blue 1 & \blue 1 & \\
 \hline
1 & \blue 1  &  \blue 1 & \blue 1 & \blue 1 \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}

On en déduit une écriture simplifiée de l'expression booléenne sous la forme d'une somme de deux termes.

\begin{pspicture}(-4,-2.7)(6,2.5)
%\psgrid[subgriddiv=5,gridcolor=orange]
\psframe[linecolor=blue,linearc=5pt,cornersize=absolute](1.8,-1.3)(4.8,-0.5)%%% a.b
\psline[linecolor=blue](4.8,-0.9)(5.6,-0.9) \uput[r](5.6,-0.9){\blue $a$}
\psframe[linearc=5pt,cornersize=absolute](2.6,-1.6)(4,0.6)%%% c
\psline(3,-1.6)(3,-2.1) \uput[d](3,-2.1){$c$}
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10  \\
 \hline
0 & &  \blue 1 & \blue 1 &   \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\
 \hline
1 & \blue 1  & \blue 1  & \blue 1  & \blue 1  \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\
 \hline
\end{tabular}
\end{pspicture}

Donc $F=a+c$.

%On simplifie l'expression $E$ de la question précédente sous la forme d'une somme de deux termes à l'aide d'un tableau de Karnaugh, et on note $F$ l'expression booléenne simplifiée.

\item %Traduire en français l'expression booléenne $F$ obtenue à la question précédente.
L'expression booléenne $F$ se traduit par:
\og  Le modèle possède une mémoire vive de 16 Go ou plus, ou  le modèle possède un disque SSD. \fg{} 

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Pour créer le nouvel espace de bureaux, plusieurs tâches doivent être réalisées. Leurs caractéristiques sont résumées dans le tableau ci-après.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|m{5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Tâche &Description&Durée en jours&Tâche à réaliser au préalable\\ \hline
A&Choix des ordinateurs&1&--\\ \hline
B&Commande des ordinateurs et attente de la livraison&7&A\\ \hline
C&Pose des câbles et prises&2&--\\ \hline
D& Peinture de la salle&3&C\\ \hline
E&Commande des meubles (tables et chaises) et attente de la livraison&5&--\\ \hline
F&Installation des tables et ordinateurs dans la salle&1&B, D, E\\ \hline
G&Installation du système d'exploitation et configuration des ordinateurs&2&F\\ \hline
H&Mise en place des chaises&1&E\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le but de cet exercice est de réaliser le graphe d'ordonnancement du projet.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On détermine le niveau de chacun des sommets dans le graphe.

\medskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
On part du tableau des prédécesseurs.\\
\\
On cherche les sommets qui n'ont pas de prédécesseur; il s'agit de A, de C et de E.\\
\\
Les sommets A, C et E sont donc de niveau 0.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{center}
\psset{cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=blue}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Sommets &Prédécesseurs\\ 
\hline
A &--\\ 
\hline
 B &A\\ 
\hline
 C&--\\ 
\hline
D&C\\ 
\hline
E&--\\ 
\hline
F&B - D - E\\ 
\hline
G&F\\ 
\hline
H&E\\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}

\medskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
On supprime dans le tableau les sommets de niveau 0, puis on cherche dans le nouveau  tableau les sommets qui n'ont pas de prédécesseur; il s'agit de B, D et H.\\
\\
Les sommets B, D et H sont donc de niveau 1.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{center}
\psset{cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=blue}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Sommets &Prédécesseurs\\ 
\hline
\psCancel A &--\\ 
\hline
 B & \psCancel A\\ 
\hline
\psCancel  C &--\\ 
\hline
D& \psCancel C\\ 
\hline
\psCancel E&--\\ 
\hline
F&B - D - \psCancel E\\ 
\hline
G&F\\ 
\hline
H& \psCancel E\\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}

\medskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
On supprime dans le tableau les sommets de niveau 1, puis on cherche dans le nouveau  tableau les sommets qui n'ont pas de prédécesseur; il s'agit de F{}.\\
\\
Le sommet  F est donc de niveau 2.\\
\\
Il reste le sommet G qui est donc de niveau 3.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{center}
\psset{cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=blue}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Sommets &Prédécesseurs\\ 
\hline
\psCancel A &--\\ 
\hline
\psCancel  B & \psCancel A\\ 
\hline
\psCancel  C &--\\ 
\hline
\psCancel D& \psCancel C\\ 
\hline
\psCancel E&--\\ 
\hline
F&\psCancel B - \psCancel D - \psCancel E\\ 
\hline
G&F\\ 
\hline
\psCancel H& \psCancel E\\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Niveaux & 0 & 1 & 2 & 3\\
\hline
Sommets & A - C - E & B - D - H &  F & G \\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On construit le graphe d'ordonnancement du projet selon la méthode M. P. M.

%%%%% 1
\begin{center}
\psset{unit=0.56cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(1,-1.5)(24,8.5)
\psset{linewidth=.75pt,nodesep=0.7cm}
%\psgrid[gridcolor=orange]
%%% boîte
\newcommand{\boxh}[3]{%%%
\psframe(-1,-1)(1,1) \psline(-1,0)(1,0) \psline(0,0)(0,1)
\rput(0,-0.5){#1} \rput(-0.5,0.5){#2} \rput(0.5,0.5){#3}}
%%% niveaux
%\multido{\i=0+1}{6}{
%\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](\i,-1.5)(\i,1.5)\uput[d](\i,-1.5){\blue \i}%{\blue $C_{\i}$}
%}
%\rput(-2,-2){\boxh{A}}
%\rput(0,2){\boxh{B}}
%%% sommets
\def\ray{5}
\cnodeput*(2,7){A}{\boxh{A}{}{}} 
\cnodeput*(2,4){C}{\boxh{C}{}{}}  
\cnodeput*(2,1){E}{\boxh{E}{}{}}  
%%
\cnodeput*(9,7){B}{\boxh{B}{}{}}  
\cnodeput*(9,4){D}{\boxh{D}{}{}}
\cnodeput*(9,0){H}{\boxh{H}{}{}} 
%%
\cnodeput*(16,3){F}{\boxh{F}{}{}}  
%%
\cnodeput*(23,7){G}{\boxh{G}{}{}}  
%%
\cnodeput*(23,1){FIN}{\boxh{fin}{}{}}  
%%% arcs
\ncline{->}{A}{B} \ncput*{1}  
\ncline{->}{C}{D}  \ncput*{2}  
\ncline{->}{E}{H} \ncput*{5}  
\ncline{->}{B}{F}  \ncput*{7}  
\ncline{->}{D}{F} \ncput*{3}  
\ncline{->}{E}{F}  \ncput*{5}  
\ncline{->}{F}{G}  \ncput*{1}  
\ncline{->}{G}{FIN} \ncput*{2}
\ncline{->}{H}{FIN}  \ncput*{1}    
\end{pspicture} 
\end{center}

Pour déterminer pour chaque tâche la \og date au plus tôt \fg{}, on traite les sommets par niveaux en partant du début. Puis pour chaque sommet, on note la date qui est la longueur du plus \textbf{long} chemin depuis le début.

%%%%% 2
\begin{center}
\psset{unit=0.56cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(1,-1.5)(24,8.5)
\psset{linewidth=.75pt,nodesep=0.7cm}
%\psgrid[gridcolor=orange]
%%% boîte
\newcommand{\boxh}[3]{%%%
\psframe(-1,-1)(1,1) \psline(-1,0)(1,0) \psline(0,0)(0,1)
\rput(0,-0.5){#1} \rput(-0.5,0.5){\blue #2} \rput(0.5,0.5){\red #3}}
%%% niveaux
%\multido{\i=0+1}{6}{
%\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](\i,-1.5)(\i,1.5)\uput[d](\i,-1.5){\blue \i}%{\blue $C_{\i}$}
%}
%\rput(-2,-2){\boxh{A}}
%\rput(0,2){\boxh{B}}
%%% sommets
\def\ray{5}
\cnodeput*(2,7){A}{\boxh{A}{0}{}} 
\cnodeput*(2,4){C}{\boxh{C}{0}{}}  
\cnodeput*(2,1){E}{\boxh{E}{0}{}}  
%%
\cnodeput*(9,7){B}{\boxh{B}{1}{}}  
\cnodeput*(9,4){D}{\boxh{D}{2}{}}
\cnodeput*(9,0){H}{\boxh{H}{5}{}} 
%%
\cnodeput*(16,3){F}{\boxh{F}{8}{}}  
%%
\cnodeput*(23,7){G}{\boxh{G}{9}{}}  
%%
\cnodeput*(23,1){FIN}{\boxh{fin}{11}{}}  
%%% arcs
\ncline{->}{A}{B} \ncput*{1}  
\ncline{->}{C}{D}  \ncput*{2}  
\ncline{->}{E}{H} \ncput*{5}  
\ncline{->}{B}{F}  \ncput*{7}  
\ncline{->}{D}{F} \ncput*{3}  
\ncline{->}{E}{F}  \ncput*{5}  
\ncline{->}{F}{G}  \ncput*{1}  
\ncline{->}{G}{FIN} \ncput*{2}  
\ncline{->}{H}{FIN}  \ncput*{1}    
\end{pspicture} 
\end{center}

Pour déterminer pour chaque tâche la \og date au plus tard \fg{}, on traite les sommets par niveaux en partant de la fin et en marquant 11 pour le sommet \og fin \fg{}.
La date \og au plus tard \fg{} d'une tâche s'obtient en retirant de la date au plus tard de la tâche qui lui succède sa propre durée.
S'il y a plusieurs successeurs, on garde la date la plus \textbf{petite}.

%%%%% 3
\begin{center}
\psset{unit=0.56cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(1,-1.5)(24,8.5)
\psset{linewidth=.75pt,nodesep=0.7cm}
%\psgrid[gridcolor=orange]
%%% boîte
\newcommand{\boxh}[3]{%%%
\psframe(-1,-1)(1,1) \psline(-1,0)(1,0) \psline(0,0)(0,1)
\rput(0,-0.5){#1} \rput(-0.5,0.5){\blue #2} \rput(0.5,0.5){\red #3}}
%%% niveaux
%\multido{\i=0+1}{6}{
%\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](\i,-1.5)(\i,1.5)\uput[d](\i,-1.5){\blue \i}%{\blue $C_{\i}$}
%}
%\rput(-2,-2){\boxh{A}}
%\rput(0,2){\boxh{B}}
%%% sommets
\def\ray{5}
\cnodeput*(2,7){A}{\boxh{A}{0}{0}} 
\cnodeput*(2,4){C}{\boxh{C}{0}{3}}  
\cnodeput*(2,1){E}{\boxh{E}{0}{3}}  
%%
\cnodeput*(9,7){B}{\boxh{B}{1}{1}}  
\cnodeput*(9,4){D}{\boxh{D}{2}{5}}
\cnodeput*(9,0){H}{\boxh{H}{5}{10}} 
%%
\cnodeput*(16,3){F}{\boxh{F}{8}{8}}  
%%
\cnodeput*(23,7){G}{\boxh{G}{9}{9}}  
%%
\cnodeput*(23,1){FIN}{\boxh{fin}{11}{11}}  
%%% arcs
\ncline{->}{A}{B} \ncput*{1}  
\ncline{->}{C}{D}  \ncput*{2}  
\ncline{->}{E}{H} \ncput*{5}  
\ncline{->}{B}{F}  \ncput*{7}  
\ncline{->}{D}{F} \ncput*{3}  
\ncline{->}{E}{F}  \ncput*{5}  
\ncline{->}{F}{G}  \ncput*{1}  
\ncline{->}{G}{FIN} \ncput*{2}  
\ncline{->}{H}{FIN}  \ncput*{1}    
\end{pspicture} 
\end{center}

\item% Quelle est la durée minimale du projet ?
D'après le graphe précédent, la durée minimale du projet est de 11 jours

\item Le chemin critique du graphe d'ordonnancement est:
A -- B -- F -- G

\item Le fournisseur de meuble a mal géré ses stocks. La livraison des tables et des chaises aura 2 jours de retard.

%Quelle est la conséquence de ce retard sur le projet ? Justifier.

Voici donc le nouveau graphe d'ordonnancement en supposant que la tâche E dure 7 jours au lieu de 5 jours.

%%%%% 3
\begin{center}
\psset{unit=0.56cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(1,-1.5)(24,8.5)
\psset{linewidth=.75pt,nodesep=0.7cm}
%\psgrid[gridcolor=orange]
%%% boîte
\newcommand{\boxh}[3]{%%%
\psframe(-1,-1)(1,1) \psline(-1,0)(1,0) \psline(0,0)(0,1)
\rput(0,-0.5){#1} \rput(-0.5,0.5){\blue #2} \rput(0.5,0.5){\red #3}}
%%% niveaux
%\multido{\i=0+1}{6}{
%\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](\i,-1.5)(\i,1.5)\uput[d](\i,-1.5){\blue \i}%{\blue $C_{\i}$}
%}
%\rput(-2,-2){\boxh{A}}
%\rput(0,2){\boxh{B}}
%%% sommets
\def\ray{5}
\cnodeput*(2,7){A}{\boxh{A}{0}{0}} 
\cnodeput*(2,4){C}{\boxh{C}{0}{3}}  
\cnodeput*(2,1){E}{\boxh{E}{0}{1}}  
%%
\cnodeput*(9,7){B}{\boxh{B}{1}{1}}  
\cnodeput*(9,4){D}{\boxh{D}{2}{5}}
\cnodeput*(9,0){H}{\boxh{H}{7}{10}} 
%%
\cnodeput*(16,3){F}{\boxh{F}{8}{8}}  
%%
\cnodeput*(23,7){G}{\boxh{G}{9}{9}}  
%%
\cnodeput*(23,1){FIN}{\boxh{fin}{11}{11}}  
%%% arcs
\ncline[linecolor=blue,doubleline]{->}{A}{B} \ncput*{1}  
\ncline{->}{C}{D}  \ncput*{2}  
\ncline{->}{E}{H} \ncput*{\red 7}  
\ncline[linecolor=blue,doubleline]{->}{B}{F}  \ncput*{7}  
\ncline{->}{D}{F} \ncput*{3}  
\ncline{->}{E}{F}  \ncput*{\red 7}  
\ncline[linecolor=blue,doubleline]{->}{F}{G}  \ncput*{1}  
\ncline[linecolor=blue,doubleline]{->}{G}{FIN} \ncput*{2}  
\ncline{->}{H}{FIN}  \ncput*{1}    
\end{pspicture} 
\end{center}

Le chemin critique (en bleu) n'est pas modifié par ce retard, donc il n'a aucune incidence sur le projet.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2\hfill 5 points}

\medskip

Dans cet exercice, on s'intéresse à un réseau social. Les comptes du réseau social sont répartis en trois types :

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item le type $a$ regroupe les comptes ayant entre 0 et \np{20000} abonnés;
\item le type $b$ regroupe les comptes ayant entre \np{20000} et \np{200000} abonnés ; 
\item le type $c$ regroupe les comptes ayant plus de \np{200000} abonnés.
\end{itemize}
\medskip

Pour fidéliser les comptes ayant le plus d'abonnés, le réseau social leur attribue une prime annuelle. Cette prime est financée par des annonces publicitaires. Le nombre d'annonces publicitaires publiées sur la page d'un compte dépend de son type. De plus, le réseau social sponsorise chaque année les projets des comptes ayant le plus d'abonnés.

%\medskip

Les données relatives aux différents types de comptes sont résumées dans le tableau:

\smallskip

%\begin{center}
\hfill
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Type $a$ &Type $b$&Type $c$\\ \hline
Prime annuelle (en euros)&0& 510&\np{1200}\\ \hline
Nombre d'annonces publicitaires&1 &2&5\\ \hline
Nombre de projets sponsorisés chaque année&0& 1&2\\ \hline
\end{tabularx}
\hfill{}

\smallskip

En 2018, il y avait \np{1928340} comptes de type $a$, \np{1220} comptes de type $b$ et $246$ comptes de type $c$.

Soit les matrices:
$A= \begin{pmatrix}0 &510& \np{1200}\\1& 2& 5\\0&1&2\end{pmatrix}, \: B = \begin{pmatrix}\np{1928340}\\\np{1220}\\246\end{pmatrix}$ \: et \: $C = \dfrac{1}{180}\begin{pmatrix}-1&180&150\\-2&0&\np{1200}\\1&0&-510\end{pmatrix}$

%\smallskip

\begin{enumerate}
\item% Calculer le produit $A \times B$ puis interpréter le résultat obtenu.
$A \times B
= \begin{pmatrix}0 &510& \np{1200}\\1& 2& 5\\0&1&2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}\np{1928340}\\\np{1220}\\246\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
0\times \np{1928340} + 510 \times \np{1220} + \np{1200} \times  245 \\
1\times \np{1928340} + 2 \times \np{1220} + 5 \times  245  \\
0\times \np{1928340} + 1 \times \np{1220} + 2 \times  245 
\end{pmatrix}\\
\phantom{A \times B}
=\begin{pmatrix}
\np{917400}  \\ \np{1932010} \\ \np{1712}
\end{pmatrix}$

\begin{list}{\textbullet}{Cela signifie que:}
\item le total des primes à verser est de \np{917400} euros;
\item  le nombre total d'annonces publicitaires est de  \np{1932010};
\item le nombre de projetx sponsorisés chaque année est \np{1712}.
\end{list}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le produit $C \times A$ et exprimer le résultat en fonction de la matrice identité.
$C\times A 
= \dfrac{1}{180}\begin{pmatrix}-1&180&150\\-2&0&\np{1200}\\1&0&-510\end{pmatrix}
\times \begin{pmatrix}0 &510& \np{1200}\\1& 2& 5\\0&1&2\end{pmatrix}\\
= {\footnotesize
\dfrac{1}{180}
\begin{pmatrix}
-1\times 0 + 180 \times 1 + 150 \times 0 &
-1\times 510 + 180 \times 2 + 150 \times 1 &
-1\times \np{1200} + 180 \times 5 + 150 \times 2 \\
-2\times 0 + 0 \times 1 + \np{1200} \times 0 &
-2\times 510 + 0 \times 2 + \np{1200} \times 1&
-2\times \np{1200} + 0 \times 5 + \np{1200} \times 2\\
1\times 0 + 0 \times 1 + (-510) \times 0 &
1\times 510 + 0 \times 2 + (-510) \times 1&
1\times \np{1200} + 0 \times 5 + (-510) \times 2\\
\end{pmatrix}}\\
= \dfrac{1}{180}
\begin{pmatrix}
180 & 0 & 0\\
0 & 180 & 0\\
0 & 0 & 180
\end{pmatrix}		
= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
=I_3$ \quad matrice identité $3\times 3$.
		
		\item 
$A \times X = Y
\implies C\times \left (A \times X\right ) = C\times Y
\iff \left (C\times A\right ) \times X = C\times Y\\
\phantom{A \times X = Y}
\iff I_3 \times X = C\times Y
\iff  X = C\times Y$ 

Donc si $A\times X=Y$, alors $X=C\times Y$.

Pour démontrer que $X =C\times Y$ est solution de l'équation $A\times X = Y$, il faut vérifier aussi que $A\times C=I_3$.
Dans ce cas:

$X =C\times Y
\implies A\times X = A\times \left ( C\times Y\right )
\iff A\times X = \left (A\times  C \right )\times Y\\
\phantom{X =C\times Y}
\iff A\times X = I_3 \times Y
\iff A\times X = Y$

Il y a donc équivalence entre $A\times X=Y$ et $X=C\times Y$, donc $X=C\times Y$ est solution de l'équation $A\times X = Y$.

	\end{enumerate}
\item  En 2019, on suppose que le nombre de comptes est resté constant tout au long de l'année.
Cette année-là, le réseau social a distribué \np{1197600} euros de primes, publiait simultanément \np{2146820} annonces publicitaires sur l'ensemble de ses pages et a financé au total \np{2200} projets.

Pour déterminer le nombre de comptes de chaque type pour l'année 2019, on cherche une matrice colonne $X$ telle que $A\times X = Y$, où
$Y=\begin{pmatrix}
\np{1197600} \\ \np{2146820} \\ \np{2200}
\end{pmatrix}$.

D'après la question précédente:
$X=C\times Y
= \begin{pmatrix}
\np{2142000} \\ \np{1360} \\ 420
\end{pmatrix}$.

En 2019 il y a donc \np{2142000} comptes de type $a$,  \np{1360} comptes de type $b$, et  420 comptes de type $c$.
\end{enumerate}
\end{document}