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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\renewcommand{\d}{\,\text d}%%%      le d de l'intégration
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\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur -- corrigé }
\lfoot{\small{Groupement D2}}
\rfoot{\small{mai 2021}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Groupement D2  -- mai 2021~\decofourright\\[7pt]Métropole -- Antilles--Guyane -- Polynésie}

%\footnote{Analyses de biologie médicale,
%Bio analyses et contrôles,
%Biotechnologies,
%europlastics et composites,
%Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries, Métiers de l'eau }
%
%\medskip
%
%Durée : 2 heures

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large EXERCICE 1 \hfill 10 points}

\medskip


Une usine agroalimentaire produit de la viande de bœuf hachée. On souhaite évaluer la durée de conservation de la viande de bœuf une fois hachée et conservée dans une chambre froide réglée à 0~\degres C.

%\begin{center}
%\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante}
%\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

Voici le relevé du nombre de germes putréfiants par centimètre carré $\left(\text{cm}^2\right)$ tous les cinq jours  à la surface d'un échantillon de viande de bœuf hachée conservée dans la chambre froide.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de jours de 
conservation $t_i$		&0 			&5 			&10			&15&20\\ \hline
Nombre $N_i$ de germes 
putréfiants par cm$^2$	&\np{1000}	&\np{4000}	&\np{199000}&\np{5960000}&\np{48600000}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On effectue un changement de variable logarithmique : $z_i = \ln \left(N_i\right)$.

On complète le tableau suivant en arrondissant  les valeurs au dixième.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}%
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de jours de
conservation $t_i$		&0		  &5		&10		    &15			&20\\\hline
Nombre $N_i$ de germes
putréfiants par cm$^2$	&\np{1000}&\np{4000}&\np{199000}&\np{5960000}&\np{48600000}\\ \hline
$z_i = \ln{N_i}$		 &		$\blue 6,9$	&	$\blue 8,3$	 & $\blue 12,2$	 &	 $\blue 15,6$	& $\blue 17,7$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item À l'aide de la  calculatrice, on détermine une équation de la  droite d'ajustement du nuage de points $M_i\left(t_i~;~z_i\right)$ par la méthode  des moindres  carrés, sous la forme $z =at + b$.

En arrondissant les réels $a$ et $b$ au centième, on trouve $z=0,58 t + 6,36$.

\item%  Sur le graphique donné en \textbf{annexe 2 à rendre avec la copie} :
	\begin{enumerate}
		\item On place les points $M_i\left(t_i~;~z_i\right)$ sur le graphique.
		
\begin{figure}[h!]
\centering
\psset{unit=0.4cm,arrowscale=1.7}
\begin{pspicture}(-2,-2)(30,27)
\psgrid[unit=2cm,gridlabels=0pt,subgriddiv=1,subgriddiv=5,](0,0)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(30,25)
\uput[d](22.5,-1.4){$t_i$ nombre de jours de conservation}
\uput[r](0,26){$z_i = \ln N_i$}
\psset{linecolor=blue}
\psdots(0,6.9)(5,8.3)(10,12.2)(15,15.6)(20,17.7)
\psset{linecolor=red}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](1,7)(21,19)
\psplot{0}{28}{0.6 x mul 6.4 add}
\uput[ul](8,11.2){\red $D$}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=2pt](25,0)(25,21.4)(0,21.4)
\uput[l](0,21.4){\red $21,4$}
\end{pspicture}
\end{figure}		
		
		\item Pour tracer la droite $D$ d'équation $z = 0,6t + 6,4$, on calcule les coordonnées de deux points.
		
\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c| *{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
		\hline
		$t$ & 1 & 21\\
		\hline
		$z=0,6t+6,4$ & 7 & 19\\
		\hline
		point & (1~;~7) & (21~;~19)\\
		\hline
		\end{tabularx}
\end{center}		
		
	\end{enumerate}
	
\item On considère que la droite $D$ est une droite d'ajustement du nuage de points $M_i\left(t_i~;~z_i\right)$ et que ce modèle reste valable jusqu'au 30\up{e} jour de conservation dans la chambre froide.

%Donner une estimation du nombre de germes putréfiants par cm$^2$ sur l'échantillon de viande hachée si celui-ci est stocké et conservé pendant 25 jours dans la chambre froide. Arrondir au million

On conserve un échantillon 25 jours donc $t=25$.
On déduit $z=0,6\times 25+6.4 = 21,4$.

Or $z=\ln(N)$ donc $\ln(N)=21,4$ et donc $N=\e^{21,4} \approx \np{1967441884}$.

Donc \np{1967441884} est une estimation du nombre de germes putréfiants par cm$^2$ sur l'échantillon de viande hachée si celui-ci est stocké et conservé pendant 25 jours dans la chambre froide.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 
$f(t) = 600\e^{0,6t}.$

On admet que la fonction  modélise le nombre de germes, par cm$^2$ sur la surface de la viande hachée conservée en chambre froide. Plus précisément, $f(t)$ est le nombre de germes par cm$^2$ sur la viande hachée après $t$ jours de conservation dans la chambre froide à 0~\degres C

%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Déterminer la limite de la fonction $f$ en  $+ \infty$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
$\ds\lim_{t \to +\infty} 0,6t = +\infty$ et $\ds\lim_{T\to +\infty} \e^{T}=+\infty$ donc, en posant $T=0,6t$ on peut dire que  $\ds\lim_{t \to +\infty} \e^{0,6t}=+\infty$ et donc que $\ds\lim_{t \to +\infty} f(t)=+\infty$.

Le nombre de germes par cm$^2$ sur la viande hachée tend vers l'infini quand $t$ augmente indéfiniment..

\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Pour tout réel $t \in [0~;~+\infty[$, $f'(t)= 600\times 0,6\times \e^{0,6t}= 360 \e^{0,6t}$.

\item %Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Pour tout réel $t \in [0~;~+\infty[$, $\e^{0,6t}>0$ donc $f'(t)>0$.

Le nombre de germes par cm$^2$ sur la viande hachée augmente quand $t$ augmente.

\item On définit le réel $m$ par $m = \dfrac{1}{10 - 5}\displaystyle\int_5^{10} f(t)\:\text{d}t$.
	\begin{enumerate}
		\item% Sans la calculer interpréter la valeur du réel $m$ dans le contexte de l'exercice.
Le réel $m$ représente la valeur moyenne de la fonction $f$ entre 5 et 10, donc le nombre moyen de germes entre le jour 5 et le jour 10.		
		
		\item %Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
Pour $a\neq 0$, le fonction $t\longmapsto \e^{at}$ a pour primitive la fonction $t\longmapsto \dfrac{1}{a} \e^{at}$, donc la fonction $t\longmapsto \e^{0,6t}$ a pour primitive la fonction $t\longmapsto \dfrac{1}{0,6} \e^{0,6t}$; on déduit que la fonction $f$ a pour primitive la fonction $F$ définie par  $F(t)= 600\times \dfrac{1}{0,6} \e^{0,6t}$, c'est-à-dire $F(t)=\np{1000}\e^{0,6t}$.
		
		\item %En déduire que $m = 200\text{e}^6 - 200\text{e}^3$.
$m=\ds\dfrac{1}{10-5}\int_{5}^{10} f(t) \d t
=\dfrac{1}{5}\left [ F(10) - F(5)\rule[-5pt]{0pt}{15pt}\right ]		
= \dfrac{1}{5}\left [ \np{1000}\e^{0,6\times 10} - \np{1000}\e^{0,6\times 5} \right ]
=200 \e^{6} - 200\e^{3}$

	\end{enumerate}

\item On admet que la viande hachée peut être commercialisée si, lorsqu'elle quitte l'usine, la concentration de germes putréfiants à sa surface est strictement inférieure à \np{3000} germes par cm$^2$.

\begin{enumerate}
		\item On résout l'inéquation $f(t) < \np{3000}$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

$f(t) < \np{3000}
\iff
600 \e^{0,6t} < \np{3000}
\iff
\e^{0,6t} < 5
\iff
0,6t < \ln(5)
\iff
t < \dfrac{\ln(5)}{0,6}$

Donc l'inéquation a pour ensemble solution $S=\left [ 0~;~\dfrac{\ln(5)}{0,6} \right [$.

		\item $\dfrac{\ln(5)}{0,6}\approx 2,7$ donc  l'usine ne peut pas conserver la viande de bœuf hachée produite en chambre froide plus de deux jours avant de la commercialiser.
	\end{enumerate}
\item  La viande hachée pourra ensuite être  vendue à des particuliers tant que le nombre de germes par cm$^2$ ne dépassera pas \np{27000}.

On appelle durée limite de consommation le nombre maximal de jours pendant lesquels cette viande peut être vendue à des particuliers.
	\begin{enumerate}
		\item Soit l'algorithme ci-dessous :
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$J \gets 0$\\
$N \gets 600$\\
Tant Que $N \leqslant \np{27000}$\\
\hspace{1cm} $J \gets J + 1$\\
\hspace{1cm} $N \gets 600*\text{e}^{0,6*J}$\\
Fin Tant Que\\
Afficher $J$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

La valeur de $J$ affichée en sortie est le premier jour à partir duquel le nombre de germes sera strictement supérieur à $\np{27000}$, donc tel que $f(J-1)\leqslant \np{27000}$ et $f(J)> \np{27000}$.

En utilisant le tableau de valeurs de la fonction $f$ donné par la calculatrice, on trouve:
$f(6) \approx \np{21959}\leqslant \np{27000}$ et $f(7) \approx \np{40012} > \np{27000}$. La valeur de $J$ affichée en sortie est 7.

		\item %Interpréter celle valeur dans le contexte de l'exercice
On en déduit que la durée limite de consommation est de 6 jours.		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large EXERCICE 2 \hfill 10 points}

\medskip

%\textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante}
%
%\medskip

Pour améliorer l'hygiène de baignade dans un spa, il est possible de traiter l'eau aux ultra-violets (UV). La lampe UV, placée dans une chambre de désinfection, diffuse des rayons ultra-violets en continu. En passant devant cette lampe, dans le système de filtration, l'eau est désinfectée et débarrassée des micro-organismes.

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm,arrowsize=1.5pt 2}
%\begin{pspicture}(7,5)
%%\psgrid
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!30 ](0,0.8)(1.1,3.9)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!30 ](5.9,0.8)(7,3.9)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!50](1.1,1.1)(5.9,3.5)
%\rput(1.7,4.3){ENTRÉE}\rput(5.1,4.3){ CHAMBRE DE DÉSINFECTION}
%\rput(4.8,3.2){RAYONS UV}\rput(5.3,0.4){SORTIE}
%\rput(5.3,0.1){(EAU DÉSINFECTÉE)}
%\psframe[linewidth=0pt,fillstyle=solid,fillcolor=white](1.6,2)(5.9,2.5)
%\pswedge[linewidth=0pt,fillstyle=solid,fillcolor=white](1.6,2.25){0.25}{90}{270}
%\pslineByHand[linewidth=1.5pt](5.9,2.7)(1.8,2.7)(1.5,2.6)(1.2,2.5)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!50](5.9,2)(6.2,2.5)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!85](6.2,2)(6.5,2.5)
%\pslineByHand[linewidth=1.5pt](5.9,1.8)(1.8,1.8)(1.5,1.9)(1.2,2)(1.2,2.6)
%\multido{\n=3.5+0.1}{4}{\psline(1.4,\n)(2,\n)}
%\psframe(1.4,3.5)(2,3.9)
%\multido{\n=0.7+0.1}{4}{\psline(5.1,\n)(5.7,\n)}
%\psframe(5.1,0.7)(5.7,1.1)
%\psline[linewidth=2pt]{->}(1.7,3.3)(1.7,2.8)
%\psline[linewidth=2pt]{->}(3,3)(4,3)
%\psline[linewidth=2pt]{->}(3,1.4)(4,1.4)
%\psline[linewidth=2pt]{->}(5.4,1.5)(5.4,1.1)
%\end{pspicture}
%
%Figure 1. Schéma d'une chambre de désinfection équipée d'une lampe UV
%\end{center}

%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%\emph{Les résultats seront donnés à } $10^{-3}$ \emph{ près.}
%
%\medskip

\begin{list}{\textbullet}{Une étude effectuée sur l'ensemble des spas installés par un fabricant indique que :}
\item 40\,\% des spas sont équipés de lampe UV et, parmi eux, 2\,\% présentent un problème de filtration ;
\item Parmi les spas, non-équipés de lampe UV, 15\,\%  présentent un problème de filtration.
\end{list}

On choisit un spa au hasard parmi ceux installés par le fabricant. 

\begin{list}{\textbullet}{On note :}
\item $L$ l'évènement \og le spa est équipé d'une lampe UV\fg{} ;
\item $F$ l'évènement \og le spa présente un problème de filtration \fg ;
\item $\overline{L}$ et $\overline{F}$ les évènements contraires respectifs des évènements $L$ et $F$.
\end{list}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On complète l'arbre pondéré.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=4cm,nrot=:U]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$L$~~}\naput{$\blue 0,40$}}
		{
		\TR{$F$}\naput{$\blue 0,02$}
		\TR{$\blue\overline{F}$}\nbput{$\blue 1-0,02=0,98$}
 		}
	\pstree{\TR{$\overline{L}$~~}\nbput{$\blue 1-0,40=0,60$}}
		{
		\TR{\blue $F$}\naput{$\blue 0,15$}
		\TR{$\overline{F}$}\nbput{$\blue 1-0,15=0,85$}
 		}
}
\end{center}

\item %Montrer que la probabilité de l'évènement $F$ est égale à $0,098$.
D'après la formule des probabilités totales:

$P(F)= P\left (L\cap F\vphantom{\overline{L}}\right ) + P\left (\overline{L}\cap F\right )
= P(L)\times P_{L}(F) +P\left (\overline{L}\right )\times  P_{\overline{L}}(F)
= 0,40\times 0,02 + 0,69\times 0,15 = 0,098$

\item Le spa choisi au hasard présente un problème de filtration.

La probabilité que ce spa ne possède pas de lampe UV est:

$P_{F}\left (\overline{L}\right ) = \dfrac{P\left (\overline{L} \cap F\right )}{P(F)}
= \dfrac{0,60\times 0,15}{0,098}\approx 0,918$

\item Lors d'une opération de maintenance sur un parc de $78$ spas installés par le fabriquant, un technicien comptabilise $12$ spas présentant un problème de filtration.

	\begin{enumerate}
		\item Une estimation ponctuelle $f$ de la proportion inconnue $p$ des spas installés par ce fabricant qui présentent un problème de filtration est $f=\dfrac{12}{78}=\dfrac{2}{13}\approx 0,154$.
		
		\item Un intervalle de confiance au seuil de 95\,\% cette proportion $p$ est:
		
$\left [ f-1,96 \ds\sqrt{\dfrac{f\left (1-f\right )}{n}}~;~ f+1,96 \ds\sqrt{\dfrac{f\left (1-f\right )}{n}}\right]	
=\left [ \dfrac{2}{13}-1,96 \ds\sqrt{\dfrac{\ts\frac{2}{13}\times\frac{11}{13}}{78}}~;~ \dfrac{2}{13}+1,96 \ds\sqrt{\dfrac{\frac{2}{13}\times\frac{11}{13}}{78}}\right]\\		
\approx \left [ 0,073~;~0,234 \rule[-5pt]{0pt}{15pt}\right ]$
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On constate statistiquement que la probabilité que la lampe UV d'un spa choisi au hasard tombe en panne au cours des trois premiers mois d'utilisation est $p = 0,03$.
On prélève au hasard un lot de $200$ lampes UV dans la production de ce fabricant, jugée suffisamment importante pour assimiler ce choix à un tirage avec remise.
On appelle $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de $200$ lampes UV de la production, associe le nombre de lampes UV de cet échantillon qui tomberont en panne lors des trois premiers mois d'utilisation.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
Une lampe peut tomber en panne (avec une probabilité de $p=0,03$), ou pas; il y a donc deux issues possibles.
On prélève au hasard un lot de $200$ lampes et ce choix peut être assimilé à un tirage avec remise; on a donc une répétitions d'épreuves à deux issues qui sont indépendantes.

Donc la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de lampes défectueuses suit la loi binomiale de paramètres $n=200$ et $p=0,03$.

\item %Déterminer un arrondi à $10^{-3}$ de la probabilité $P(X \leqslant 10)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
La calculatrice donne $P(X \leqslant 10)\approx 0,960$.

La probabilité que, dans le lot de 200, le nombre  de lampes défectueuses soit inférieur ou égal à 10 est environ égale à $0,960$.

\item L'espérance  de la variable aléatoire $X$ est $E(X)=np = 200\times 0,03 = 6$.

Dans un lot de 200 lampes, il y en a en moyenne 6 de défectueuses.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On admet que la loi binomiale suivie par la variable aléatoire $X$ peut être approchée par une loi de Poisson de paramètre $\lambda$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que $\lambda = 6$. 
La loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ peut, sous certaines conditions, être approchée par la loi de Poisson de paramètre $\lambda = np$; donc $\lambda = 6$.

On note alors, $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda = 6$.

\item La valeur arrondie à $10^{-3}$ de la probabilité $P(Y = 1)$ est $0,015$.

\item On admet que pour tout entier naturel $k \geqslant 1$, $P(Y = k) =\dfrac{\lambda^k \text{e}^{- \lambda}}{1\times 2 \times \ldots \times k}$.

$P(Y = 200) =  \dfrac{6^{200}\times \e^{-6}}{200\,!}$ n'est pas égal à 0 car le numérateur de la fraction n'est pas nul; néanmoins la calculatrice donne $P(Y = 200)  \approx 1,34\times 10^{-222}$, qui est très voisin de 0.

%La proposition \og $P(Y = 200) =0$ \fg{} est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
\end{enumerate}
\end{document}