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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François hache
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\renewcommand{\d}{\,\text d}%%%              le d de l'intégration
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{4pt}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur - corrigé}
\lfoot{\small{Groupement D}}
\rfoot{\small{septembre 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Groupement D~\decofourright\\[7pt]
Métropole -- septembre 2020}

%\medskip
%
%Durée : 2 heures

\end{center}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\large{}EXERCICE 1 \hfill 12 points}

%\medskip
%
%\textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante}

\bigskip

\textbf{A. Évolution de la population de poissons au fil des mois dans certains aquariums}

\medskip

%\emph{Les deux questions suivantes sont des QCM (questionnaire à choix multiples). Dans chaque question, une seule proposition est correcte. Indiquer la bonne proposition. Aucune justification n'est demandée.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un aquarium, il y a initialement $10$ poissons. \\
On admet que la population de poissons augmente de 30\,\% chaque mois. \\
Quel est le nombre de poissons au bout de 5 mois ? 
Le résultat a été arrondi à l'unité.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~12&\textbf{b.}~~50&\textbf{c.}~~160&\textbf{d.}~~$\blue{}37$
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.9\linewidth}}
Ajouter 30\;\%, c'est multiplier par $1,3$.

Le nombre de poissons au bout de 5 mois est donc de $10\times 1,3^{5}\approx 37$.

\hfill\textbf{Réponse d.}
\end{tabular}

\item Dans un aquarium, au temps $t = 0$, on compte $10$ poissons. \\
On modélise le nombre de poissons présents dans l'aquarium par une fonction $g$. \\
On admet que la fonction $g$ est la solution de l'équation différentielle $y' + 0,3y = 0$ vérifiant la condition initiale $g(0) = 10$. Alors $g$  est définie par :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~$g(t) = 10\e^{0,3t}$&\textbf{b.}~~$\blue{}g(t) = 10\e^{-0,3t}$&
\textbf{c.}~~$g(t) = 10 + \e^{0,3t}$&\textbf{d.}~~$g(t) = 10 + \e^{-0,3t}$\hfill{}
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.9\linewidth}}
Les solutions de l'équation différentielle $y'+0,3y=0$ sont les fonctions $f$ définies par $f(t)=k\e^{-0,3t}$, où $k$ est un réel quelconque.

La solution $g$ qui vérifie $g(0)=10$ est telle que $k\e^{-0,3t
\times 0} = 10$; donc $k=10$, et donc $g(t)=10\e^{-0,3t}$.

\hfill\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Étude statistique}

\medskip

On cherche à évaluer l'effet d'un pesticide que l'on peut trouver dans les rivières, sur la diminution de la fertilité d'une population de poissons. Pour cela un laboratoire va disposer huit aquariums, contenant chacun dix poissons de la même espèce et de l'eau avec différentes quantités de ce pesticide. Au bout d'un mois on relève le nombre total d'œufs pondus par les poissons des différents aquariums et on obtient les résultats suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|m{3.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Numéro de l'aquarium		&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline
Concentration en pesticide (en mg/l)
 $\left(x_i\right)$&0 &1 &4 &5 &6 &7 &8 &10\\ \hline
Nombre d' œufs pondus dans le mois $\left(N_i\right)$&249 &248&246 &230 &130&50 &40 &35\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

On effectue le changement de variable:
$y = - \ln \left(\dfrac{250}{N} - 1\right)$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On complète le tableau.% en annexe à rendre avec la copie. On arrondira les résultats à $10^{-3}$.

\begin{center}
\small
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Concentration en pesticide (en mg/l) 
$\left(x_i\right)$							&0 		&1 	&4 		&5 	&6 		&7 		&8 	&10\\ 
\hline
Nombre d' œufs pondus dans le mois $\left(N_i\right)$			&249 	&248&246 	&230&130	&50 	&40 &35\\ 
 \hline
$y_i= - \ln \left(\dfrac{250}{N_i} - 1\right)$\rule[-10pt]{0pt}{25pt} & $5,52$	& $\blue{}4,820$	&	$\blue{}4,119$	& $\blue{}2,442$	& $0,08$	&	$\blue{}-1,386$	&	$\blue{}-1,658$ & $\blue{}-1,815$ \\ 
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item À l'aide de la calculatrice, on trouve que le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ est égal à $-0,946$.% Arrondir à $10^{-3}$. Interpréter le résultat.

$|r|>0,9$ donc on peut envisager un ajustement affine du nuage de points.

\item À l'aide de la calculatrice, on détermine une équation de la droite d'ajustement de la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ par la méthode des moindres carrés sous la forme $y = ax + b$; on trouve: $y=-0,857x+5,905$

%On arrondira $a$ et $b$ à $10^{-3}$
\item On note $N(x)$ la fonction modélisant le nombre d'œufs pondus dans un aquarium en un mois, en fonction de la concentration $x$ en pesticide (en mg/l). 

	\begin{enumerate}
		\item On utilise le changement de variables $y= - \ln \left(\dfrac{250}{N} - 1\right)$.
% vérifier que $N(x)$ est solution de l'équation $\dfrac{250}{N(x)} - 1 = \e^{0,857x - 5,905}$. 

$y=-0,857x+5,905$ donc

$- \ln \left(\dfrac{250}{N(x)} - 1\right) =-0,857x+5,905
\iff
\ln \left(\dfrac{250}{N(x)} - 1\right) =0,857x-5,905\\
\phantom{- \ln \left(\dfrac{250}{N(x)} - 1\right) =-0,857x+5,905}
\iff
\dfrac{250}{N(x)} - 1 = \e^{0,857x-5,905}$

		\item %En déduire que l'expression de la fonction $N$ est: 
$\dfrac{250}{N(x)} - 1 = \e^{0,857x-5,905}
\iff
\dfrac{250}{N(x)}  = 1+ \e^{0,857x-5,905}
\iff
\dfrac{N(x)}{250}  = \dfrac{1}{1+ \e^{0,857x-5,905}}\\
\phantom{\dfrac{250}{N(x)} - 1 = \e^{0,857x-5,905}}
\iff
N(x) = \frac{250}{1 + \e^{0,857x - 5,905}}.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
	
\textbf{C. Étude de la fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par:
$f(x) = \dfrac{250}{1+ 0,003\e^{0,9x}}.$

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
$\ds\lim_{x\to +\infty} \e^{0,9x}=+\infty$
donc $\ds\lim_{x\to +\infty}1+0,003 \e^{0,9x}=+\infty$
et donc $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{250}{1+0,003 \e^{0,9x}} =0$

Donc $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $x$ appartenant à $[0~;~+\infty[$:

$f'(x)=	\dfrac{0-250\times \left (0+ 0,003 \times 0,9\e^{0,9x}\right )}{\left(1+ 0,003\e^{0,9x} \right)^2}
=	\dfrac{-0,675\e^{0,9x}}{\left(1+ 0,003\e^{0,9x} \right)^2}$.

		\item %Étudier le signe de $f'(x)$ et donner le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
Pour tout réel $x$, $\e^{x}>0$ donc $e^{0,9x}>0$ et donc $f'(x)<0$.

On en déduit que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0~;~+\infty[$.		
	\end{enumerate}

\item On trace la courbe représentative de la fonction $f$.

\begin{figure}[t]
\centering
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.032cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(15,275)
\multido{\n=0.2+0.2}{75}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,275)}
\multido{\n=1+1}{15}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,275)}
\multido{\n=5+5}{55}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(15,\n)}
\multido{\n=25+25}{11}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(15,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=25]{->}(0,0)(0,0)(15,275)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=25](0,0)(0,0)(15,275)
%%%%%%%%%%%%%%%%
\psplot[linewidth=1.2pt, linecolor=blue]{0}{15}{250 1 0.003 2.7183 0.9 x mul exp mul add div}
\psline[linecolor=red,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=2,arrowsize=2pt 3](0,125)(6.45,125)(6.45,0)
\uput[d](6.45,0){\red $6,5$}
\end{pspicture}
\end{figure}
\end{enumerate}

Pour la suite, on admet que la fonction $f$ modélise le nombre d'œufs pondus par mois dans un aquarium, en fonction de la concentration $x$ en pesticide (en mg/l) sur l'intervalle [0~;~50).

\begin{enumerate}[resume]
\item La concentration efficace médiane notée CE50 est la concentration qui correspond à une diminution de 50\,\% du nombre d'œufs pondus par mois par rapport à une eau sans pesticide.

%Déterminer cette concentration CE50 à $10^{-1}$ près. Expliquer votre démarche.

Avec une eau sans pesticide, on a 249 \oe ufs pondus. Il faut donc chercher la concentration en pesticide qui donne une production de moitié, soit 125 \oe ufs en arrondissant à l'unité.

Graphiquement, on trouve une concentration efficace médiane en mg/l d'environ $6,5$.

Par le calcul, on cherche $x$ pour que $f(x)=125$; on résout cette équation.

$f(x)=125
\iff
\dfrac{250}{1+ 0,003\e^{0,9x}} = 125
\iff
1+ 0,003\e^{0,9x}=2
\iff
\e^{0,9x}=\dfrac{1}{0,003}\\
\phantom{f(x)=125}
\iff
0,9x = \ln\left ( \dfrac{1}{0,003}\right )
\iff
x=\dfrac{\ln\left ( \frac{1}{0,003}\right )}{0,9}$
donc $x\approx 6,45$.


\item Une primitive $F$ de $f$ est définie par 
$F(x) = - \dfrac{\np{2500}}{9}\ln \left(\e^{-0,9x} + 0,003\right).$

Le nombre moyen d'œufs pondus par mois, pour des concentrations en pesticide comprises entre $4$ et $6$ mg/l est:

$\dfrac{1}{6-4}\ds\int_4^6 f(x)\d x
= \dfrac{1}{2} \left [ F(x) \strut \right ]_{4}^{6}
= \dfrac{1}{2} \left [ F(6) - F(4) \strut \right ]\\
\phantom{\dfrac{1}{6-4}\ds\int_4^6 f(x)\d x}
= \dfrac{1}{2} \left [ \left ( - \dfrac{\np{2500}}{9}\ln \left(\e^{-0,9\times 6} + 0,003\right)\right ) - \left ( - \dfrac{\np{2500}}{9}\ln \left(\e^{-0,9\times 4} + 0,003\right)\right ) \strut \right ]$

ce qui donne 194 en arrondissant à l'unité.

%On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction $f$ sur un intervalle $[a~;~b]$ est: $\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\:\text{d}x.$

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large{}EXERCICE 2 :\hfill 8 points}

%\medskip
%  
%\textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante}

\medskip

\textbf{A. Étude du taux d'hémoglobine chez la femme en France}

\medskip

L'anémie se définit par un taux d'hémoglobine dans le sang inférieur aux valeurs normales. Une femme est en anémie lorsque son taux d'hémoglobine est inférieur ou égal à 12~g/dl.
Une femme est en polyglobulie si son taux d'hémoglobine est supérieur ou égal à 16~g/dl.

Soit $T$ la variable aléatoire qui, à chaque femme de la population française, associe son taux d'hémoglobine en grammes par décilitre (g/dl). \\
On admet que $T$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 14$ et d'écart type $\sigma = 1,15$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité qu'une femme choisie au hasard soit en anémie est
$P(T\leqslant 12)\approx 0,041$.

%On arrondira le résultat à $10^{-3}$.

\item La probabilité qu'une femme choisie au hasard soit en polyglobulie est $P(T\geqslant 16)$.

La courbe représentant la fonction de densité d'une loi normale de moyenne $\mu$, est symétrique par rapport à la droite verticale d'équation $x=\mu$.
Comme les nombres 12 et 16 sont symétriques par rapport à la moyenne 14, les aires en bleu et en rouge sont égales.

%Expliquer votre démarche. On pourra s'aider d'un schéma.

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm, yunit=4cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3}
\def\xmin {8}   \def\xmax {20}
\def\ymin {-0.1} \def\ymax {0.4}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
\psaxes[ticksize=-2pt 2pt, Dx=1, Dy=1, labels=none]{->}(0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax)

\def\m{14}% moyenne 
\def\s{1.15}% écart type
\psGauss[mue=\m,sigma=\s]{\xmin}{\xmax}

\def\inf{12} \def\sup{16}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue]
{\psGauss[mue=\m,sigma=\s]{\xmin}{\inf}
\psplot{\inf}{\xmin}{0}
\closepath}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=red]
{\psGauss[mue=\m,sigma=\s]{\sup}{\xmax}
\psplot{\xmax}{\sup}{0}
\closepath}

\uput[d](\m,0){$14$} 
\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax)
\uput[d](\inf,0){$12$}
\uput[d](\sup,0){$16$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=blue]{->}(11,0.2)(11.5,0.05)
\uput[u](11,0.2){\blue $P(T\leqslant 12)$}
\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=red]{->}(17,0.2)(16.5,0.05)
\uput[u](17,0.2){\red $P(T\geqslant 16)$}

\end{pspicture*}
\end{center}

L'aire en bleu est égale à $P(T\leqslant 12)$, et l'aire en rouge est égale à $P(T\geqslant 16)$.\\
Donc $P(T\geqslant 16) = P(T\leqslant 12)$ et donc la  probabilité qu'une femme choisie au hasard soit en polyglobulie est de $0,041$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Prévisions d'erreurs d'analyses}

\medskip

Un laboratoire procède à $300$ analyses de taux d'hémoglobine chaque mois. On suppose que la probabilité qu'une analyse soit erronée est $0,005$.
On note $X$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $300$ analyses, associe le nombre d'analyses erronées de cet échantillon. On suppose que la constitution d'un tel échantillon peut être assimilée à un tirage avec remise de $300$ analyses.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle loi suit la variable aléatoire $X$ ? En préciser les paramètres.
Pour une analyse, il y a deux issues: elle est erronée, avec une probabilité de $p=0,005$, ou elle ne l'est pas.

On suppose que la constitution d'un échantillon peut être assimilée à un tirage avec remise de $300$ analyses.

Donc la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $300$ analyses, associe le nombre d'analyses erronées de cet échantillon suit la loi binomiale de paramètres $n=300$ et $p=0,005$.


\item Un tableur fournit les résultats suivants :

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\cellcolor{lightgray}}c|r|r|}%>{\centering \arraybackslash}
\hline
 & \cellcolor{lightgray}{A \hspace*{0.3cm}} & \cellcolor{lightgray}{B \hspace*{1.2cm}}\\
\hline
1	&$k$\hspace*{0.6cm}	&$P(X = k)$\hspace*{1.5cm}\\ \hline
2	&0		&\np{0,2222922}\\ \hline
3	&1		&\np{0,335113869}\\ \hline
4	&2		&\np{0,251756399}\\ \hline
5	&3		&\np{0,125667348}\\ \hline 
6	&4		&\np{0,046888445}\\ \hline
7	&5		&\np{0,013948723} \\ \hline
8	&6		&\np{0,00344529}\\ \hline
9	&7		&\np{0,000727358}\\ \hline
10	&8		&\np{0,000133867}\\ \hline
11	&9		&2, 18253\texttt{E}-05\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

%En utilisant cet extrait, déterminer en arrondissant les valeurs demandées à $10^{-2}$ :

\begin{enumerate}
\item  La probabilité qu'aucune des $300$ analyses de l'échantillon ne soit erronée est\\
 $P(X=0) = \np{0,2222922} \approx 0,22$.
 
\item  $P(2 \leqslant X  \leqslant 4)
= P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)\\
\phantom{P(2 \leqslant X  \leqslant 4)}
= \np{0,251756399}+\np{0,125667348}+ \np{0,046888445}
= \np{0,424312792}
\approx 0,42$ 

Il y a donc une probabilité de $0,42$ que dans l'échantillon de 300 analyses, il y en ait entre 2 et 4 d'erronées.

%Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{C. Délai des résultats des analyses du taux d'hémoglobine}

\medskip

Un laboratoire qui pratique des analyses affirme que le délai moyen pour fournir les résultats d'une analyse du taux d'hémoglobine est de 60 minutes.
On souhaite tester cette hypothèse à l'aide d'un test bilatéral au seuil de confiance de 95\,\%.

On note $m$ le délai moyen pour fournir le résultat d'une analyse et on définit les hypothèses nulle et alternative suivantes :
$H_0$ \: \og $m = 60$ \fg{} et $H_1$  \og $m \ne 60$ \fg.

%\end{enumerate}

Soit $\overline{Y}$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de $100$ analyses associe le délai moyen pour fournir les résultats de ces analyses.

On admet que $\overline{Y}$ suit la loi normale d'espérance $m$ et d'écart type $1,5$.
Donc sous l'hypothèse \og $H_0$ est vraie \fg, $\overline{Y}$ suit la loi normale d'espérance $60$ et d'écart type $1,5$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer l'arrondi au centième du nombre réel $h$ vérifiant $P(60 - h \leqslant  \overline{Y} \leqslant 60 + h) = 0,95$.
Sous l'hypothèse $H_0$, la variable aléatoire $\overline{Y}$ suit la loi normale de moyenne $m = 60$ et d'écart-type $\sigma = 1,5$.
On sait qu'alors: $P(m-2\sigma \leqslant \overline{Y} \leqslant m+2\sigma)\approx 0,95$, autrement dit: \\
$P(60-3 \leqslant \overline{Y} \leqslant 60+3)\approx 0,95$.

Donc, sous l'hypothèse $H_0$, le réel positif $h$ tel que $P(60- h \leqslant \overline{Y} \leqslant 60 + h) = 0,95$ est $h= 3$.

Cela veut dire que: $P\left ( \overline{Y} \in \left [ 57\;;\;63 \strut \right ] \right )\approx 0,95$.

\item% Énoncer la règle de décision du test.
\begin{list}{\textbullet}{On peut énoncer la règle de décision de ce test:}
\item si le délai moyen pour fournir les résultats des analyse de l'échantillon  n'appartient pas à l'intervalle
$\left [ 57\;;\;63 \strut \right ]$, alors on rejette l'hypothèse nulle, au risque de 5\,\%;
\item sinon, on ne peut pas rejeter l'hypothèse nulle.
\end{list}

\item On prélève un échantillon de $100$ analyses et on trouve un délai moyen pour fournir les résultats de $\overline{y} = 62,5$ minutes. %Que peut-on en conclure ?

$\overline{y} \in \left [ 57\;;\;63 \strut \right ]$ donc il n'y a pas de raison, au risque de 5\;\%, de rejeter l'hypothèse nulle, ce qui veut dire qu'on a aucune raison,  au risque de 5\;\%, de mettre en doute l'affirmation du laboratoire sur le délai de fourniture des résultats des analyses.

\end{enumerate}

\end{document}