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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Merci à Brigitte Bourgoin pour le sujet 
%Corrigé ; François Hache
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {BTS groupement E},
pdftitle = {14 mai 2019 Concepteur en art et industrie céramique,Design de communication espace et volume, Design d'espace, Design de produits},
allbordercolors = white,
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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\footnotesize{Groupement E -- corrigé}}
\rfoot{\small{13 mai 2019}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du Brevet de technicien supérieur~\decofourright}\\[7pt]
\textbf{Groupement E -- 13 mai 2019}}

%\vspace{0,25cm}
%
%Le sujet contient deux annexes à rendre avec la copie

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large{}Exercice 1 \hfill 10 points}

\vspace{0,5cm}

\parbox{0.48\linewidth}{Un hôtelier souhaite installer une terrasse sur le
toit de son hôtel et, pour protéger et orner l'accès
à celle-ci, faire construire une pyramide de verre
sur une partie du toit.

Une représentation du bâtiment en perspective
parallèle est fournie ci-contre.

Cet hôtel est formé d'un pavé droit ABCDEFGH
avec AB = 14 m, AD = 7 m et AE = 10 m.

On souhaite installer sur le toit une pyramide dont
la base est le triangle GLM et la hauteur est GS,
où les points L et M sont les milieux respectifs de
[FG] et [GH] et $\text{GS} = \dfrac{1}{2}\,\text{CG}$
}%%% fin du \parbox
\hfill 
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.6,8.8)
\pspolygon(0.4,1.3)(2.3,0.3)(2.3,3.4)(0.4,4.4)%DAEH
\psline(2.3,0.3)(6.1,2.3)(6.1,5.4)(2.3,3.4)%ABFE
\psline(6.1,5.4)(5.15,5.9)%FL
\psline(2.3,5.4)(0.4,4.4)%MH
\psline[linestyle=dashed](5.15,5.9)(4.2,6.4)(2.3,5.4)%LGM
\pspolygon(5.15,5.9)(4.2,8.4)(2.3,5.4)%LSM
\psline[linestyle=dashed](6.1,2.3)(4.2,3.3)(4.2,8.4)%BCS
\psline[linestyle=dashed](4.2,3.3)(0.4,1.3)%CD
\uput[d](2.3,0.3){A} \uput[r](6.1,2.3){B} \uput[ul](4.2,3.3){C} 
\uput[l](0.4,1.3){D} \uput[u](2.3,3.4){E} \uput[ur](6.1,5.4){F} 
\uput[ul](4.2,6.4){G} \uput[l](0.4,4.4){H} \uput[ur](5.15,5.9){L} 
\uput[ul](2.3,5.4){M} \uput[ur](4.2,8.4){S} 
\end{pspicture}
}

\bigskip

\textbf{Partie A. Représentation du solide en perspective centrale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a commencé, sur l'annexe 1, une représentation en perspective centrale de l'hôtel.
L'image de chaque point de l'espace par cette perspective centrale est notée en minuscule.
Par exemple, $a$ est l'image du point A. La droite horizontale représente la ligne d'horizon. On note $\omega$ le point de fuite principal.

Le point $\omega$ est à l'intersection de la droite $(bc)$ et de la ligne d'horizon; on place ce point sur la figure.

\item On complète sur l'annexe 1 la représentation de l'hôtel en perspective centrale.

%Les traits de construction doivent être apparents.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B. Une contrainte angulaire}

\medskip

Afin que la pyramide satisfasse à certaines normes esthétiques, la mesure de l'angle 
$\widehat{\text{LSM}}$ doit dépasser $60$\degres.

On considère les points I, J et K, respectivement situés sur [CD], [CB] et [CG] tels que

CI = CJ = CK $= 1$~m. On munit ainsi l'espace d'un repère orthonormal $\left(\text{C}~;~ \vect{\text{CI}},~\vect{\text{CJ}},~\vect{\text{CK}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique, on donne  les coordonnées des points F{}, G et H dans ce repère: 
		
F\,(0~;~7~;~10), G\,(0~;~0~;~10) et H\,(14~;~0~;~0).		
		
		\item %On rappelle que L et M sont les milieux respectifs des segments [FG] et [GH].
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Le milieu L de [FG] a pour coordonnées
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l !{=} l !{=} l}
x_{\text{L}} & \dfrac{x_{\text{F}} + x_{\text{G}}}{2} & \dfrac{0+0}{2} & 0\\[7pt]
y_{\text{L}} & \dfrac{y_{\text{F}} + y_{\text{G}}}{2} & \dfrac{7+0}{2} & 3,5\\[7pt]
z_{\text{L}} & \dfrac{z_{\text{F}} + z_{\text{G}}}{2} & \dfrac{10+10}{2}& 10
\end{array}
\right .
$
\item Le milieu M de [GH] a pour coordonnées
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l !{=} l !{=} l}
x_{\text{M}} & \dfrac{x_{\text{G}} + x_{\text{H}}}{2} & \dfrac{0+14}{2} & 7\\[7pt]
y_{\text{M}} & \dfrac{y_{\text{G}} + y_{\text{H}}}{2} & \dfrac{0+0}{2} & 0\\[7pt]
z_{\text{M}} & \dfrac{z_{\text{G}} + z_{\text{H}}}{2} & \dfrac{10+10}{2}& 10
\end{array}
\right .
$
\end{list}		
%Montrer que les coordonnées de L sont (0~;~3,5~;~10).\\
% Donner de même les coordonnées de M.
	\end{enumerate}
\item On admet que le point S a pour coordonnées (0~;~0~;~15).
	\begin{enumerate}
		\item% Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{SL}}$ et 		$\vect{\text{SM}}$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Le vecteur $\vectt{SL}$ a pour coordonnées:
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l !{=} l }
x_{\text{L}} - x_{\text{S}} & 0-0 & 0\\
y_{\text{L}} - y_{\text{S}} & 3,5-0 & 3,5\\
z_{\text{L}} - z_{\text{S}} & 10-15 & -5
\end{array}
\right .
$
\item Le vecteur $\vectt{SM}$ a pour coordonnées:
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l !{=} l }
x_{\text{M}} - x_{\text{S}} & 7-0 & 7\\
y_{\text{M}} - y_{\text{S}} & 0-0 & 0\\
z_{\text{M}} - z_{\text{S}} & 10-15 & -5
\end{array}
\right .
$
\end{list}		
		
		\item $\vect{\text{SL}} \cdot \vect{\text{SM}} 
		= 0\times 7 + 3,5\times 0 + (-5)\times (-5) = 25$

		\item% Calculer les valeurs exactes des distances SL et SM.
$\text{SL} = \ds\sqrt{0^2 + 3,5^2 + (-5)^2} = \ds\sqrt{37,25}$ et
$\text{SM} = \ds\sqrt{7^2+0^2+(-5)^2} = \ds\sqrt{74}$ 

		\item %En déduire la valeur approchée, arrondie au degré, de la mesure de l'angle $\widehat{\text{LSM}}$. La contrainte esthétique est-elle vérifiée?
$\vect{\text{SL}} \cdot \vect{\text{SM}} = \text{SL}\times \text{SM}\times \cos \left ( \widehat{\text{LSM}}\right )$
donc		
$\cos \left ( \widehat{\text{LSM}}\right ) =
\dfrac{\vect{\text{SL}} \cdot \vect{\text{SM}}}{\text{SL}\times \text{SM}}
= \dfrac{25}{\ds\sqrt{37,25}\times \ds\sqrt{74}}$

On trouve à la calculatrice que $\widehat{\text{LSM}} \approx 62$\degres, donc la contrainte esthétique est vérifiée.		
		
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C. Étude d'aires et de volume}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le constructeur de la pyramide en verre doit déterminer la surface de verre nécessaire à la réalisation de cet ouvrage.
	\begin{enumerate}
		\item %Donner, sans justification, la nature des triangles GMS et GLS.
Le triangle GMS est rectangle en G, et le triangle GLS est rectangle en G.		
				
		\item %On rappelle la formule suivante : 
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|c|}\hline
%\begin{pspicture}(5.5,2.8)
%\pspolygon(0.6,0.4)(4.7,0.4)(1.7,1.8)%BCA
%\uput[l](0.6,0.4){B} \uput[r](4.7,0.4){C} \uput[u](1.7,1.8){A} 
%\uput[d](2.65,0.4){$a$}\uput[ur](3.2,1.1){$b$}\uput[ul](1.15,1.1){$c$}
%\end{pspicture}\\
%\hspace{0.4cm}L'aire $\mathcal{A}$ du triangle ABC est donnée par : $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2\rule[-5pt]{0pt}{0pt}} bc \sin \widehat{\text{A}}$\phantom{espac}\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%
%\medskip

$\text{CG}=10$ et $\text{GS} = \dfrac{1}{2}\text{CG}$ donc $\text{GS}=5$

$\text{GM}= \dfrac{1}{2}\text{GH} = \dfrac{1}{2}\times 14=7$ et
$\text{GL}= \dfrac{1}{2}\text{GF} = \dfrac{1}{2}\times 7=3,5$

\begin{list}{\textbullet}{}
\item L'aire du triangle GLS est, en m$^2$:
$\dfrac{1}{2}\times\text{GL}\times\text{GS}= \dfrac{1}{2}\times 3,5 \times 5 = 8,75$
\item L'aire du triangle GMS est, en m$^2$:
$\dfrac{1}{2}\times\text{GM}\times\text{GS}= \dfrac{1}{2}\times 7 \times 5 = 17,5$
\item L'aire du triangle LSM est, en m$^2$:\\
$\dfrac{1}{2}\times\text{SL}\times\text{SM}\times \sin \left (\widehat{\text{LSM}} \right )
= \dfrac{1}{2}\times \ds\sqrt{37,25} \times  \ds\sqrt{74} \times \sin \left (62\degres \right ) \approx 23,2$
\end{list}

%Calculer l'aire des triangles LSM, GLS et GMS. Arrondir l'aire de LSM au dixième de m$^2$.
		\item  $8,75+17,5+23,2=49,45$ donc, en arrondissant au m$^2$ supérieur,  la surface de verre nécessaire à la réalisation de cette pyramide de verre est de 50~m$^2$.
	\end{enumerate}
\item %Cette question est un questionnaire à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse qui vous parait exacte. On ne demande aucune justification. La réponse juste apporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de points.
%On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par $\dfrac{1}{3} \times B \times h$, où $B$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur.
Le volume, arrondi au m$^3$, de l'hôtel muni de la pyramide de verre est de \np{1000}~m$^3$.
	
%	\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%980~m$^3$& 995~m$^3$&$\blue\np{1000}~\text{m}^3$&\np{1025}~m$^3$\rule[-2mm]{0mm}{7mm}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

En effet, le volume du pavé est égal à $\text{CD} \times \text{CB} \times \text{CG}$ soit $980$~m$^3$, et le volume de la pyramide est
$\dfrac{1}{3}\left ( \dfrac{1}{2}\times \text{GL}\times \text{GM} \right )\times \text{GS}$ soit environ $20,4$~m$^3$.

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\large{}EXERCICE 2 \hfill 10 points}

\medskip

Une enseigne de prêt-à-porter souhaite, à l'occasion des jeux olympiques de Paris en 2024, créer une gamme de vêtements identifiable grâce à un logo inspiré de la tour Eiffel.

L'objet de cet exercice est de modéliser ce logo en utilisant trois courbes de Bézier : $C_1$,\: $C_2$ et $C_3$.

%\smallskip

Dans tout l'exercice, le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij. Une représentation du plan est fournie en annexe 2 sur laquelle la courbe $C_1$ est déjà tracée.

\bigskip

\textbf{Partie A. Étude de la courbe }\boldmath$C_1$\unboldmath

\medskip

La courbe $C_1$ est la courbe de Bézier définie par les trois points de contrôle O, P$_1$(2~;~1) et P$_2$(1~;~5).

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %En quels points de la courbe $C_1$ peut-on connaître sans calcul les tangentes ?
D'après la définition d'une courbe de Bézier à trois points de contrôle, la courbe $C_1$ passe par le point O et admet en ce point la droite (OP$_1$) pour tangente, et la courbe $C_1$ passe par le point P$_2$ et admet en ce point la droite (P$_2$P$_1$) pour tangente.

\item Sur la figure donnée en annexe 2, on place les points P$_1$ et P$_2$ et on trace les tangentes à la courbe $C_1$ déterminées dans la question précédente.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B. Étude et tracé de la courbe } \boldmath$C_2$\unboldmath

\medskip

La courbe $C_2$ est la courbe de Bézier définie par les trois points de contrôle P$_2$, P$_1$ et P$_3$(6~;~0).

La courbe $C_2$ est l'ensemble des points M$_2(t)$ du plan tels que, pour tout $t$ de l'intervalle [0~;~1], les coordonnées $x_2$ et $y_2$ de M$_2(t)$ sont données par :
$x_2(t) = f_2(t)$ et $y_2(t) = g_2(t)$,
où $f_2$ et $g_2$ sont deux fonctions dont les variations sont données par le tableau suivant.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
\psset{radius=0pt,arrowscale=1.5,nodesep=5pt}
$\begin{array}{|c | l *{3}{c} r |} 
\hline
t  & 0 & \esp & 0,5 & \esp  & 1 \\
\hline
f'_2(t) & 2  &  &  \pmb{+} &  & 8\\
\hline
%%%
 &  &  &  &  & \Rnode{C}{6} \\
f_2(t) &  & & \Rnode{B}{2,75}  & &\\
 & \Rnode{A}{1} &   &  &  &
 \ncline{->}{A}{B} \ncline{->}{B}{C}\\
\hline
g'_2(t) & -8 &  & \pmb{-} &  & -2\\
\hline
 &    \Rnode{D}{5}&   & &  &\\
g_2(t) &  & & \Rnode{E}{1,75}   &  & \\
  &  & &  &   &\Rnode{F}{0}
 \ncline{->}{D}{E} \ncline{->}{E}{F}\\
  \hline
\end{array}$
\end{center}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Par simple lecture du tableau ci-dessus, on complète les phrases suivantes.
\begin{enumerate}
\item \og La tangente à la courbe $C_2$ au point de coordonnées $\blue (1~;~5)$, obtenu pour $t = 0$, a pour vecteur directeur le vecteur $\vect{u}$ de coordonnées $\blue (2~;~-8)$  \fg.
\item  \og La tangente à la courbe $C_2$ au point de coordonnées $\blue (6~;~0)$, obtenu pour $t = 1$, a pour vecteur directeur le vecteur $\vect{v}$ de coordonnées $\blue (8~;~-2)$ \fg.
\end{enumerate}
\item % Les courbes $C_1$ et $C_2$ ont-elles la même tangente au point P$_2$ ? Justifier.
La courbe $C_1$ admet pour tangente au point P$_2$ la droite (P$_2$P$_1$) de vecteur directeur $\vectt{P$_2$P$_1$}$ qui a pour coordonnées $(1~;~-4)$.

La courbe $C_2$ admet pour tangente au point P$_2$ la droite $d$ passant par P$_2$ et de vecteur directeur $\vect u$ qui a pour coordonnées $(2~;~-8)$.

$\vect u = 2.\vectt{P$_2$P$_1$}$ donc les vecteurs directeurs des droites $d$ et (P$_2$P$_1$)  sont colinéaires; de plus ces deux droites passent par le point P$_2$. Elles sont donc confondues.

On en déduit que les courbes $C_1$ et $C_2$ ont la même tangente au point P$_2$.

\item  Sur la figure donnée en annexe 2, on trace  les tangentes à la courbe $C_2$ aux points obtenus pour $t = 0$ (point P$_2$) et $t = 1$ (point P$_3$), on place le point A de $C_2$ obtenu pour $t = 0,5$ donc de coordonnées $(2,75~;~1,75)$, puis on trace la courbe $C_2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C. Étude et tracé de la courbe }\boldmath $C_3$\unboldmath

\medskip

La courbe $C_3$ est la courbe de Bézier définie par les trois points de contrôle P$_4$(1~;~0), P$_1$ et P$_5$(5~;~0).

On admet que cette courbe est l'ensemble des points M$_3(t)$ tels que, pour tout $t$ de l'intervalle [0~;~1] :

\hfill$\vect{\text{OM}_3}(t) = (1 - t)^2 \vect{\text{OP}_4} + 2t(1 - t) \vect{\text{OP}_1} + t^2 \vect{\text{OP}_5}.$\hfill{}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On calcule les coordonnées $x_3$ et $y_3$ des points M$_3(t)$ de la courbe $C_3$.

$\vect{\text{OM}_3}(t) = (1 - t)^2 \vect{\text{OP}_4} + 2t(1 - t) \vect{\text{OP}_1} + t^2 \vect{\text{OP}_5}\\
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x_3 & (1-t)^2 \times x_{\text{P}_4} +2t(1-t)\times x_{\text{P}_1} + t^2 \times x_{\text{P}_5}\\
y_3 & (1-t)^2 \times y_{\text{P}_4} +2t(1-t)\times y_{\text{P}_1} + t^2 \times y_{\text{P}_5}
\end{array}
\right .\\
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x_3 & (1-2t+t^2) \times 1 +(2t-2t^2) \times 2 + t^2 \times 5\\
y_3 & (1-2t+t^2) \times 0 + (2t-2t^2) \times 1 + t^2 \times 0
\end{array}
\right .\\
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x_3 & 1-2t+t^2 + 4t-4t^2 + 5t^2\\
y_3 & 2t-2t^2
\end{array}
\right .\\
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x_3 & 2t^2 + 2t+1\\
y_3 & -2t^2 + 2t
\end{array}
\right .$

\item  On étudie les variations des fonctions $f_3$ et $g_3$ définies pour $t\in [0~;~1]$ par: $f_3(t) = 2 t^2 + 2 t + 1$ et $g_3(t) = - 2 t^2 + 2 t.$

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $g_3(t)=-2t^2+2t$ donc $g'_3(t)=-4t+2$ qui s'annule et passe de positif à négatif pour $t=0,5$; la fonction $g_3$ est donc strictement croissante sur $[0~;~0,5]$, et strictement décroissante sur $[0,5~;~1]$.

$g'_3(0)= 2$, $g'_3(0,5)= 0$ et $g'_3(1)=-2$;
$g_3(0)= 0$, $g_3(0,5)= 0,5$ et $g_3(1)=0$

\item $f_3(t) = 2 t^2 + 2 t + 1$ donc $f'_3(t)=4t+2>0$ sur [0~;~1];  $f_3$ est donc strictement croissante sur [0~;~1].

$f'_3(0)= 2$ et $f'_3(1)=6$;
$f_3(0)= 1$, $f_3(0,5)= 2,5$ et $f_3(1)=5$
\end{list}

On rassemble les résultats dans un tableau unique.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
\psset{radius=0pt,arrowscale=1.5,nodesep=5pt}
$\begin{array}{|c | l *{3}{c} r |} 
\hline
t  & 0 & \esp & 0,5 & \esp  & 1 \\
\hline
f'_3(t)=4t+2 & 2  &  &  \pmb{+} &  & 6\\
\hline
%%%
 &  &  &  &  & \Rnode{C}{5} \\
f_3(t) &  & & \Rnode{B}{2,5}  & &\\
 & \Rnode{A}{1} &   &  &  &
 \ncline{->}{A}{B} \ncline{->}{B}{C}\\
\hline
g'_3(t)=-4t+2 & 2 & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & -2\\
\hline
 &   &   & \Rnode{E}{0,5} &  &\\
g_3(t) &  & &   &  & \\
  &   \Rnode{D}{0} & &  &   &\Rnode{F}{0}
 \ncline{->}{D}{E} \ncline{->}{E}{F}\\
  \hline
\end{array}$
\end{center}

\item % Sur la figure donnée en annexe 2, placer le point B de $C_3$ obtenu pour $t = 0,5$, faire apparaître les tangentes à la courbe $C_3$ aux points obtenus pour $t = 0$, $t = 0,5$ et $t = 1$, puis tracer la courbe $C_3$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Pour $t=0,5$, $f_3(t)=2,5$ et $g_3(t)=0,5$ donc B a pour coordonnées $(2,5~;~0,5)$.

$g'_3(0,5)=0$ et $f'_3(0,5)\neq 0$ donc la courbe $C_3$ admet au point B une tangente horizontale.
\item Pour $t=0$, la courbe $C_3$ passe par P$_4\,(1~;~0)$ et admet la droite (P$_4$P$_1$) comme tangente.
\item Pour $t=1$, la courbe $C_3$ passe par P$_5\,(5~;~0)$ et admet la droite (P$_5$P$_1$) comme tangente.
\end{list}

On place le point B, on trace les trois tangentes puis la courbe $C_3$.

\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{3cm}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(14.5,9.5)
%\uput[u](1.5,9){Ligne d'horizon}
%\psline(0,9)(14.5,9)
%\psframe(1.5,2.5)(5.7,5.5)%abfe
%\psline(5.7,2.5)(7.2,3.8)%bc
%\uput[dl](1.5,5.5){e} \uput[dl](5.7,5.5){f}
%\uput[dr](7.2,3.8){c}
%\uput[dl](1.5,2.5){a} \uput[d](5.7,2.5){b}
%\end{pspicture}

\psset{unit=1cm,radius=0pt}
\begin{pspicture}(0,0)(14.5,9.5)
%\psgrid[gridcolor=gray,subgriddiv=2]
%%%
\psline(0,9)(14.5,9) \uput[u](1.5,9){Ligne d'horizon}
%%%
\Cnode*(1.5,2.5){A} \uput[dl](A){$a$}
\Cnode*(5.7,2.5){B}  \uput[d](B){$b$}
\Cnode*(7.2,3.8){C} \uput[dr](C){$c$}
\Cnode*(3.84,3.8){D} \uput[ul](D){$d$}
\Cnode*(1.5,5.5){E}  \uput[ul](E){$e$} 
\Cnode*(5.7,5.5){F} \uput[dl](F){$f$}
\Cnode*(7.2,6.2){G} \uput[-20](G){$g$}
\Cnode*(3.84,6.2){H} \uput[ul](H){$h$}
\Cnode*(7.2,7.4){S} \uput[u](S){$s$}
\Cnode*(6.45,5.85){L} \uput[dr](L){$l$}
\Cnode*(5.52,6.2){M} \uput[ul](M){$m$}
\Cnode*(13.2,9){W} \uput[u](W){$\omega$}
%%%
\psframe(A)(F)%ABFE
\psline(B)(C) \psline(M)(H)(E) \psline(F)(G)
\psline(C)(S) \psline(M)(S) \psline(S)(L)
\psline(M)(L) 
%%%
\psset{linestyle=dashed}
\psline(A)(D)(H) \psline(D)(C)
\psline(M)(G) 
%%%
\psset{linecolor=blue}
\psline(C)(W) \psline(G)(W) \psline(H)(W)
%\psline(S)(W) 
\psline(H)(W)  \psline(D)(W)
\end{pspicture}



\newpage
\textbf{ANNEXE 2 À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{2cm}

\psset{unit=2cm,radius=2pt}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(6,6)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0pt,gridcolor=gray](0,0)(6,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(6,5)
%\parametricplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=2000]{0}{1}{4 t mul t dup mul 3 mul sub 2 t mul t dup mul 3 mul add}
\Cnode*(0,0){O} \uput[dl](O){O} 
\Cnode*(2,1){P1}  \uput[ul](P1){P$_1$} 
\Cnode*(1,5){P2} \uput[u](P2){P$_2$}
\psBezier2[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=2000](O)(P1)(P2)%%% courbe C_1
%%% corrigé
\Cnode*(6,0){P3}  \Cnode*(1,0){P4}  \Cnode*(5,0){P5} 
\psset{linewidth=1.25pt,linecolor=red,plotpoints=2000,showpoints=false}
\uput[dl](P4){P$_4$} \uput[dl](P5){P$_5$} \uput[dl](P3){P$_3$} 
\psBezier2(P2)(P1)(P3) \uput[ur](3,1.5){\red $C_2$}
\psBezier2(P4)(P1)(P5) \uput[d](2.5,0.5){\red $C_3$}
\uput[ul](0.6,0.4){\blue $C_1$}
\Cnode*[radius=2pt](2.75,1.75){A} \uput[dl](A){A}
%%% 
\psset{linestyle=dashed,linecolor=black,nodesepB=-0.6cm,linewidth=1pt}
\ncline{O}{P1} \ncline{P2}{P1} \ncline[nodesep=0]{P3}{P1} 
\ncline[nodesep=0]{P5}{P1} \ncline{P4}{P1} 
\psline(1.2,0.5)(3.8,0.5)
\Cnode*(2.5,0.5){B} \uput[u](B){B}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\end{document}