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%Corrigé : François Hache
%Relecture : Denis Vergès
% Merci à Philippe Vercruysse et Ronan Charpentier pour le sujet
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\newcommand{\e}{\,\text{e}}%%%               le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}%%%              le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%%           le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{4pt}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur -- Corrigé}
\lfoot{\small{Groupement B}}
\rfoot{\small{septembre 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\[5pt]Métropole -- septembre 2020 -- Groupement B}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points}

\bigskip

%\begin{minipage}{0.75\linewidth}
Un jouet pour enfant prévu pour être utilisé en extérieur, est un bonhomme de neige monté sur un ressort. Le principe de fonctionnement est le suivant : on comprime le jouet au sol et une fois relâché, celui-ci est propulsé dans les airs à une certaine hauteur et retombe ensuite au sol. On suppose que le mouvement du jouet est vertical.

On souhaite étudier la hauteur atteinte par le jouet en fonction du nombre d'années
d'utilisation.
%\end{minipage}
%\hfill
%\begin{minipage}{0.18\linewidth}
%\includegraphics[scale=0.35]{BTS_B_2020}
%\end{minipage}

%\medskip

On modélise la hauteur que peut atteindre le jouet par une solution de l'équation différentielle $(E)$:

\hfill $y''+2y'+y=3$; \hfill\,

$y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\left [0~;\,+\infty\strut\right [$;\\
$x$ représente la durée d'utilisation, exprimée en années ;\\
$y'$ désigne la fonction dérivée de $y$ et $y''$ désigne la fonction dérivée seconde de $y$.

\bigskip

\textbf{Partie A: Résolution de l'équation différentielle}

\medskip

%On fournit les formules suivantes:
%
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|p{0.38\linewidth}|p{0.55\linewidth}|}
%\hline
%\centering\arraybackslash\textbf{Équations} & \centering\arraybackslash\textbf{Solutions sur un intervalle \emph{I}}\\
%\hline
%&\\
% Équation différentielle:\newline $ay''+by'+cy=0$ & 
% Si $\Delta >0$, $f(x)=\lambda \e^{r_1 x} + \mu \e^{r_2 x}$ où $r_1$ et $r_2$ sont les\newline  solutions de l'équation caractéristique.\newline\\
% & Si $\Delta=0$, $f(x) = (\lambda x + \mu)\e^{rx}$ où $r$ est la solution double de l'équation caractéristique.\\
% Équation caractéristique:\newline $ar^2+br+c=0$ de discriminant $\Delta$. &
%\ \newline  Si $\Delta < 0$, $f(x)= \left [ \lambda \cos (\beta x) +\mu \sin(\beta x)\right ]\e^{\alpha x}$ \newline  où $r_1 = \alpha + \i\beta$ et $r_2=\alpha - \i\beta$ sont les solutions complexes conjuguées de l'équation caractéristique.\\
% & \\
% \hline
% \end{tabular}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item L'équation différentielle $(E_0)$: $y''+2y'+y=0$ a pour équation caractéristique: $r^2+2r+1=0$, soit: $(r+1)^2=0$, qui a pour solution double: $r=-1$.

D'après le cours, les solutions de $(E_0)$ sont les fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(x) = (\lambda x + \mu)\e^{-x}$, où $\lambda$ et $\mu$ sont deux réels quelconques.

\item Soit un nombre réel $k$, on définit sur $\R$ la fonction constante $g$ telle que $g(x)=k$.
%Déterminer la valeur de $k$ pour que la fonction $g$ soit une solution de l'équation différentielle $(E)$.

La fonction $g$ est solution de $(E)$ veut dire que $g''(x)+2g'(x)+g(x)=3$.

$g(x)=k$ donc $g'(x)=0$ et $g''(x)=0$; on en déduit que $k=3$ et donc que $g(x)=3$.

\item %En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E)$.
D'après le cours, les solutions de $(E)$ sont les fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(x) = (\lambda x + \mu)\e^{-x}+3$, où $\lambda$ et $\mu$ sont deux réels quelconques.

\item Soit $f$ la fonction solution de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant les conditions suivantes: $f(0)=4$ et $f(2)=5\e^{-2}+3$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $f(0)=4 \iff (0 + \mu)\e^{0}+3=4 \iff \mu=1$; donc $f(x) = (\lambda x + 1)\e^{-x}+3$.
\item $f(2)=5\e^{-2}+3 \iff (\lambda \times 2 + 1)\e^{-2}+3 =5\e^{-2}+3 \iff  2\lambda +1=5 \iff \lambda=2$.
\end{list}

Donc $f(x)=(2x+1)\e^{-x}+3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B: Étude de la fonction $\boldsymbol f$}

\medskip

La hauteur exprimée en décimètres que peut atteindre le jouet après $x$ années d'utilisation est donnée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left [0~;\,+\infty\strut\right [$ par 
$f(x) = (2x+1)\e^{-x}+3.$

On note $\mathcal C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij{}  d'unité graphique 2~cm.  (Voir annexe)
%%% C'est 1 cm sur l'original en contradiction avec le graphique fourni

\begin{enumerate}
\item $f(0)=(0+1)\e^{0}+3=4$; la hauteur que peut atteindre le jouet lors de la toute première utilisation est de 4 décimètres.

\item $f(0,5)=(2\times 0,5 +1)\e^{-0,5}+3= 2\e^{-0,5}+3 \approx 4,21$

Après 6 mois d'utilisation,  soit une demi-année, la hauteur que peut atteindre le jouet est d'environ $4,21$~décimètres.

%\emph{Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-2}$.}

\item On admet que $\ds\lim_{x\to +\infty} x\e^{-x}=0$ et que $f(x)=2x\e^{-x}+ \e^{-x}+3$.

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
$\ds\lim_{x\to +\infty} x\e^{-x}=0$ et $\ds\lim_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$, donc $\ds\lim_{x\to +\infty} 2x\e^{-x}+ \e^{-x}+3=3$ et donc $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=3$.

\item On en déduit que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote horizontale $\mathcal{D}$ en $+\infty$, d'équation $y=3$. (Voir annexe)

\item% Interpréter cette limite dans le contexte de la situation étudiée.
On peut donc dire qu'à long terme, la hauteur que pourra atteindre le jouet sera de  $3$~décimètres.

\end{enumerate}

\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

\begin{enumerate}
\item Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left [0~;\,+\infty\strut\right [$:

 $f'(x)= 2\times \e^{-x} + (2x+1)\times (-1)\e^{-x} +0
 = (2-2x-1)\e^{-x} = (1-2x)\e^{-x}$.

\item %Pour tout $x$, $\e^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $1-2x$.
%Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $\left [0~;\,+\infty\strut\right [$ et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
On détermine le signe de $f'(x)$ et le tableau des variations de $f$ sur $\left [0~;\,+\infty\strut\right [$.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \esp & 0,5 & \esp & +\infty \\ 
\hline
1-2x &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
\e^{-x} &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}\phantom{0} & \pmb{+} & \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{\approx 4,21}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{4} &   &  &  &   \Rnode{min2}{3} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	
\end{enumerate}

\item On admet que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $\left [0~;\,+\infty\strut\right [$ par : $F(x)=(-2x-3)\e^{-x}+3x$ est une primitive de la fonction $f$.

L'aire en unité d'aire, de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$ est:

$\ds\int_{0}^{2} f(x) \d x
= \left [ F(x)\strut \right ]_{0}^{2}
= F(2)-F(0)
= \left [ (-2\times 2-3)\e^{-2} + 3\times 2 \strut \right ] - \left [ (-2\times 0-3)\e^{0} + 3\times 0\strut \right ]\\
\hphantom{\ds\int_{0}^{2} f(x) \d x}
= \left ( 6-7\e^{-2}\strut \right )  - \left (  -3\strut \right )
= 9 - 7\e^{-2}$.

Une unité d'aire vaut 4~cm$^2$, donc l'aire  $\mathcal{A}$, en cm$^2$,  est de $36- 28\e^{-2}$ soit environ $32,2106$, donc 32,21 au centième près. (Voir annexe)

%\emph{Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-2}$.}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 10 points}

%\begin{center}
%\textbf{Les parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
%\end{center}

Dans le cadre du développement d'un de ses prototypes, une marque a demandé à ses équipementiers de développer des technologies et des composants l'aidant à créer un véhicule prototype consommant moins de 1 L au 100~km. Un équipementier a conçu des billes en céramique plus légères pour les roulements du prototype. Ces billes doivent avoir un diamètre de $12,7$~mm.

\bigskip

\textbf{Partie A: Loi normale}

\medskip

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque bille en céramique produite par l'équipementier, associe son diamètre exprimé en mm. On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu=12,7$ et d'écart-type $\sigma$.

\begin{enumerate}
\item %\emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de points.}
On admet que:  $P(12,6 \leqslant X \leqslant 12,8) \approx 0,95$.

La valeur de l'écart-type $\sigma$ est: 

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*4{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
$\blue 0,05$ & $0,1$ & $0,15$ & $0,2$\\ 
\hline
\end{tabularx}
}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
On sait que si $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, on a:\\
$P(\mu-2\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2\sigma)\approx 0,95$.

Or $\mu=12,7$ et on sait que $P(12,6 \leqslant X \leqslant 12,8) \approx 0,95$, que l'on peut écrire:\\
 $P(12,7-2\times 0,05 \leqslant X \leqslant 12,7+2\times 0,05) \approx 0,95$.

En comparant les deux approximations, on peut déduire que $\sigma = 0,05$.
\end{tabular}

\item $P(12,6 \leqslant X \leqslant 12,8) \approx 0,95$ donc
$P( X < 12,6) + P(X > 12,8) \approx 1- 0,95$ donc\\
$P( X < 12,6) + P(X > 12,8) \approx 0,05$

Pour des raisons de symétrie,  $P( X < 12,6) = P(X > 12,8)$ donc
la probabilité  qu'une bille prélevée au hasard dans la
production de l'équipementier ait un diamètre strictement supérieur à $12,8$~mm est de $\frac{1}{2}\times 0,05$ soit $0,03$ en arrondissant au centième.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B: Probabilités conditionnelles}

\medskip

L'équipementier propose ses billes en céramique plus légères à deux marques automobiles A et B.\\
On choisit au hasard une bille en céramique dans la production de l'équipementier.

\begin{list}{\textbullet}{On  admet que:}
\item La probabilité que la bille soit achetée par la marque A est $0,3$.
\item La probabilité qu'elle soit achetée par la marque B est $0,7$.
\item Sachant qu'elle a été achetée par la marque A, la probabilité que la bille soit utilisée dans le roulement d'un nouveau prototype est $0,75$.
\end{list}

\begin{list}{\textbullet}{On note:}
\item L'évènement $A$: \og   La bille en céramique est achetée par la marque A \fg{}.
\item L'évènement $B$: \og La bille en céramique est achetée par la marque B\fg{}.
\item L'évènement $R$: \og la bille en céramique vendue par l'équipementier est utilisée dans le roulement d'un nouveau prototype\fg{}.
\end{list}

%\emph{$E$ et $F$ étant des évènements d'une expérience aléatoire, on désigne par $P(E)$ la probabilité que l'évènement $E$ soit réalisé; on suppose que $P(F)\neq 0$ et on note par $P_F(E)$ la probabilité que l'évènement $E$ soit réalisé sachant $F$.}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
 \item Sachant qu'elle a été achetée par la marque A, la probabilité que la bille soit utilisée dans le roulement d'un nouveau prototype est $0,75$, donc $P_A(R)= 0,75$.
\item $P(A\cap R)= P(A) \times  P_A(R) = 0,3 \times 0,75 = 0,225$
 \end{enumerate}
 
\item On admet que la probabilité qu'une bille en céramique vendue par l'équipementier soit utilisée dans le roulement d'un nouveau prototype est : $P(R)=0,9$.
\begin{enumerate}
\item%  Justifier que $P(B\cap R)=0,675$.
D'après la formule des probabilités totales: 
$P(R)=P(A \cap R) + P(B \cap R)$.

On sait que $P(R)=0,9$ et que $P(A\cap R) = 0,225$, donc $P(B \cap R)=0,9-0,225=0,675$.

\item %En déduire la valeur arrondie au centième de $P_B(R)$.
$P_B(R)=\dfrac{P(B\cap R)}{P(B)}=\dfrac{0,675}{0,7}\approx 0,96$.
\end{enumerate}

\item La probabilité qu'une bille en céramique ait été achetée par la marque A sachant qu'elle est utilisée dans le roulement d'un nouveau prototype est:
$P_R(A)=\dfrac{P(A\cap R)}{P(R)} = \dfrac{0,225}{0,9}=0,25$.

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie C: Test d'hypothèse}

\medskip

L'équipementier veut vérifier que les billes en céramique ont un diamètre de $12,7$~mm avant de les proposer à une marque et il commande un test d'hypothèse bilatéral au seuil de signification de 5\,\%.
On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque bille céramique produite par l'équipementier, associe son diamètre exprimé en mm. La variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma=0,045$.
On prélève au hasard un échantillon de 200 billes en céramique dans la production de l'équipementier. Celle-ci est suffisamment grande pour assimiler ce prélèvement à un tirage
successif avec remise de 200 billes.

On rappelle que la variable aléatoire $\overline Y$ qui, à tout échantillon prélevé au hasard de $n$ billes en céramique dans la production de l'équipementier, associe la moyenne des diamètres des billes, suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item L'hypothèse nulle du test est: $H_0\;:\;\mu=12,7$;
\item l'hypothèse alternative est : $H_1\;:\;\mu\neq 12,7$.
\end{list}

\emph{Les résultats sont arrondis au millième.}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
 \item  Sous l'hypothèse $H_0$, la variable aléatoire $\overline{Y}$ suit la loi normale de paramètres $\mu=12,7$ et d'écart-type $\overline{\sigma} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{0,045}{\sqrt{200}}$ soit $0,003$ en arrondissant au millième.
 
\item %Calculer la valeur du réel $h$ tel que, sous l'hypothèse $H_0$, on ait:\\
%$P(12,7-h \leqslant \overline{Y} \leqslant 12,7+h) = 0,95$.
La variable aléatoire $\overline{Y}$ suit la loi normale de paramètres $\mu=12,7$ et d'écart-type $\overline{\sigma} = 0,003$ donc, d'après le cours, on a:\\
$P(\mu - 2\overline{\sigma} \leqslant \overline{Y} \leqslant \mu + 2\overline{\sigma})=0,95$
soit
$P(12,7- 2\times 0,003 \leqslant \overline{Y} \leqslant 12,7 +  2\times 0,003)=0,95$

La valeur du réel $h$ tel que, sous l'hypothèse $H_0$, on ait: $P(12,7-h \leqslant \overline{Y} \leqslant 12,7+h) = 0,95$ est donc $h=0,006$.

Autrement dit: $P\left ( \overline{Y}\in \left [ 12,694\;;\; 12,706\strut \right ] \right )=0,95$.

 \end{enumerate}
 
\item %Énoncer la règle de décision du test.
\begin{list}{\textbullet}{On peut énoncer la règle de décision:}
\item si la moyenne des diamètres des billes de l'échantillon  n'appartient pas à l'intervalle\\
$\left [12,694\;;\; 12,706\strut \right ]$, alors on rejette l'hypothèse nulle, au risque de 5\,\%;
\item sinon, on ne peut pas rejeter l'hypothèse nulle.
\end{list}

\item Sur un échantillon de 200 billes en céramique prélevé au hasard dans la production de
l'équipementier, on a relevé un diamètre moyen de 12,71 mm.

$12,71 \not\in \left [ 12,694\;;\; 12,706\strut \right ]$ donc
l'équipementier peut remettre en cause le diamètre annoncé des billes en céramique, au risque de 5\;\%.

%Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large Annexe à rendre avec la copie}
\end{center}

\begin{center}
\textbf{\large Exercice 1. Partie B}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=2cm, yunit=2cm,comma}
\def\xmin {-0.5}   \def\xmax {5.5}
\def\ymin {-0.5}   \def\ymax {4.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=5,  gridlabels=0, gridcolor=gray](0,0)(11,9)
\psaxes[arrowsize=3pt 3,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(0,0)(\xmax,\ymax) 
\def\f{2 x mul 1 add 2.71828 x neg exp mul 3 add}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue]{0}{\xmax}{\f}
%%%%%%%%%%%%%%%
\psline[linecolor=red,linewidth=1.2pt](0,3)(\xmax,3)
\uput[d](2.75,3){\red \boldmath $y=3$}
\uput[d](4.75,3){\red \boldmath $\mathcal{D}$}
\def\inf{0} \def\sup{2}
\pscustom[fillstyle=vlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\psplot{\sup}{\inf}{0}
\closepath % indispensable !
}
\end{pspicture*}
\end{center}


\end{document}
