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% 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page

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% Tapuscrit : Denis Vergés
% Corrigé : François Hache
%%%%   Commandes perso FH
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat de technicien - Hôtellerie}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2012}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\cfoot{\thepage}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie~\decofourright\\[5pt]
Polynésie -- juin 2012}}

%\vspace{0,25cm}

\end{center}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

\begin{center} ORGANISATION D'UNE ACTIVITÉ TOURISTIQUE\end{center}

\medskip
 
Un complexe hôtelier accueille 400 vacanciers de divers continents parmi lesquels 90 Européens. 

Lors de la réservation, chaque vacancier a dû remplir une fiche sur laquelle il lui était demandé s'il comptait participer ou non au stage de plongée organisé par l'hôtel. Suite à l'analyse des fiches, le directeur constate que :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item il y a deux fois plus d'Américains que d'Européens; 
\item 120 personnes ont choisi de participer au stage de plongée ; 
\item 20\,\% des clients Européens ont choisi de participer au stage de plongée; 
\item $\dfrac{2}{5}$ des clients Américains ont choisi de participer au stage de plongée.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item On complète le tableau récapitulatif suivant: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Clients&Européens&Américains&Autres continents&Total\\ \hline
Participent au stage de plongée& \textcolor{red}{18}	& \textcolor{red}{72}	&	\textcolor{red}{30} &120\\ \hline 
Ne participent pas au stage de plongée& \textcolor{red}{72}	& \textcolor{red}{108}	& \textcolor{red}{100} & \textcolor{red}{280}\\ \hline
Total&90& \textcolor{red}{180} & \textcolor{red}{130} &400\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
%Dans les questions qui suivent, on donnera les résultats sous forme décimale. 
\item On tire une fiche au hasard parmi les 400 fiches récupérées.% À l'aide du tableau précédent,  calculer la probabilité des évènements suivants : 

\begin{list}{\textbullet}{}

\item Soit $A$ l'événement: \og Le client est Européen \fg. \\
Il y a 90 européens sur 400 vacanciers donc
$P(A)=\dfrac{90}{400}=0,225$.
 
\item Soit $B$ l'événement: \og Le client n'est pas Européen \fg. L'événement $B$ est l'événement contraire de $A$ donc: $P(B)= P(\overline A)=1-P(A)=1-0,225 = 0,775$.
 
\item Soit $C$ l'événement: \og Le client a choisi de participer au stage de plongée \fg. Il y a 120 vacanciers qui participent au stage de plongée donc
$P(C)= \dfrac{120}{400} = 0,3$.
\end{list}
 
\item L'événement $\overline{C}$ est l'événement contraire de $C$ et correspond à: \og Le client ne participe pas au stage de plongée \fg{}.
$P(\overline{C}) = 1- P(C)=1-0,3 = 0,7$.

\item 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item
$A \cap C$ est l'événement: \og Le client est Européen et participe au stage de plongée \fg{}. Il y a 18 clients européens qui participent au stage, donc: $P(A\cap C) = \dfrac{18}{400} = 0,045$.
\item
$A \cup C$ est l'événement \og Le client est Européen ou participe au stage de plongée \fg{}. Il y a $72 + 18 + 72 + 30 = 192$ vacanciers Européens qui participent au stage donc: $P(A\cup C) = \dfrac{192}{400} = 0,48$.  
\end{list}

\item La fiche prélevée au hasard est celle d'un client ni Européen, ni Américain.% Quelle est la probabilité qu'il ait choisi de participer au stage de plongée? (On donnera le résultat sous forme d'une fraction irréductible). 

Il y a 130 vacanciers ni Européen ni Américain et parmi eux, il y en a 30 qui participent au stage donc la probabilité est $\dfrac{30}{130} = \dfrac{3}{13}$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

\begin{center}ÉTUDE DE MARCHÉ\end{center}
 
La société DOLYG a mis au point un logiciel de gestion hôtelière ; $x$ désigne le prix proposé (en \euro) et $y$ le nombre d'hôtels disposés à acheter le logiciel au prix $x$.
 
L'enquête menée auprès de 500 hôtels a donné les résultats suivants :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\hline 
Prix proposé en \euro{} $x_{i}$& \np{1000} &\np{1200} &\np{1400} &\np{2400} &\np{3000} &\np{3600} &\np{4200} &\np{4800} &\np{5400} &\np{6000}\\ \hline 
Nombre d'hôtels $y_{i}$& 500 &490 &440 &340 &280 &200 &150 &100 &70 &30\\ \hline
 \end{tabularx}
 
\medskip 

\emph{Exemple de lecture du tableau : parmi les $500$ hôtels,  $280$ sont disposés à acheter le logiciel $\np{3000}$}~\euro. 

\emph{parmi les $500$ hôtels $30$ sont disposés à acheter le logiciel $\np{6000}$}~\euro.

\bigskip
 
\subsubsection*{Partie A : étude statistique}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On représente sur une feuille de papier millimétré le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ de cette série statistique dans un repère orthogonal (O~;~I,~J) d'unités graphiques :
 sur l'axe des abscisses : 1~cm pour 400~\euro{} et 
sur l'axe des ordonnées : 1~cm pour 50~hôtels.
 
\begin{center}
%\setlength\parindent{-1cm}
\psset{xunit=0.001875cm,yunit=0.02cm,comma}
\def\xmin {0}   \def\xmax {6400}
\def\ymin {-50}   \def\ymax {550}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,560)
%\psset{yMaxValue=\ymax,yMinValue=\ymin}
%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(6400,550)
\multido{\n=0+40}{161}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,550)}
\multido{\n=0+10}{55}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](0,\n)(6400,\n)}
\psaxes[ticksize=-2pt 2pt,Dx=400,Dy=50,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(\xmax,\ymax)
%\multido{\i=0+400}{16}
%{\uput[d](\i,0){ \np{\i}}}
\psset{dotstyle=+,dotscale=1.5,linecolor=blue}
\psdots(1000,500)(1200,490)(1400,440)(2400,340)(3000,280)(3600,200)(4200,150)(4800,100)(5400,70)(6000,30)
\psdots[linecolor=black,dotstyle=x,dotscale=2](1800,410)(4800,110)
\uput[ur](1800,410){G$_1$} \uput[ur](4800,110){G$_2$}
\psplot{800}{5900}{-0.1 x mul 590 add}
\psline[ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3,arrowscale=2,linecolor=red](2800,0)(2800,310)(0,310)
\uput[160](0,310){\red 310}
\end{pspicture}
\end{center} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Les coordonnées du point moyen G$_{1}$ des 5 premiers points du nuage sont:
		
		$x_{\text{G}_1} = \dfrac{\np{1000} + \np{1200} + \np{1400} + \np{2400} + \np{3000}}{5}= \np{1800}$ et 
		$y_{\text{G}_1} = \dfrac{\np{500} + \np{490} + \np{440} + \np{340} + \np{280}}{5}= \np{410}$

 Les coordonnées du point moyen G$_{5}$ des 5 derniers points du nuage sont:
 
		$x_{\text{G}_2} = \dfrac{\np{3600} + \np{4200} + \np{4800} + \np{5400} + \np{6000}}{5} = \np{4800}$	 et 
		$y_{\text{G}_2} = \dfrac{\np{200} + \np{150} + \np{100} + \np{70} + \np{30}}{5}= \np{110}$	
		
		\item On place les points G$_{1}$ et G$_{2}$ dans le repère orthogonal et on trace la droite  $\left(\text G_{1}\text G_{2}\right)$.
		 
%Montrer que cette droite a pour équation $y= - 0,10x + 590$.

Cette droite a une équation de la forme $y=ax + b$.

Le coefficient directeur $a$ de cette droite est $ a= \dfrac{y_{\text G_2} - y_{\text G_1}}{x_{\text G_2} - x_{\text G_1}} = \dfrac{\np{4800} - \np{1800}}{110-410} = \dfrac{\np{3000}}{-300} = -0,1$.

L'équation est donc $y=-0,1 x + b$. Cette droite passe par le point G$_1$ donc
$y_{\text G_1} = -0,1 x_{\text G_1} + b$ autrement dit: $410=-0,1 \times \np{1800} + b$ donc $b=590$.

Une équation de $\left(\text G_{1}\text G_{2}\right)$ est $y=-0,1x + 590$.

	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %En utilisant la droite d'ajustement, déterminer graphiquement le nombre d'hôtels disposés à acheter le logiciel si son prix est de \np{2800}~\euro{} (on fera apparaître les constructions utiles). Vérifier votre résultat à l'aide de l'équation de la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$. 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Voir le graphique: le nombre d'hôtels disposés à acheter le logiciel si le prix est de \np{2800} euros est 310.
\item Si $x=\np{2800}$, alors $y=-0,1\times \np{2800} + 590 = 310$.
\end{list}

		\item Le prix de vente du logiciel à ne pas dépasser pour qu'il y ait au moins $400$~hôtels acheteurs est le nombre $x$ tel que $y \pg 400 \iff -0,1x +590 \pg 400 \iff 190 \pg 0,1x \iff x \pp \np{1900}$.

Donc il ne faut pas dépasser \np{1900}~\euro{} pour vendre au moins 400 logiciels.		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\bigskip
 
\subsubsection*{Partie B : maximisation du bénéfice}

\medskip
 
On suppose que le coût total de production du logiciel ne dépend pas du nombre de logiciels vendus et est fixé à \np{230000}~\euro.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %En vous aidant des résultats obtenus à la question 3.a. de la partie A, quel bénéfice la société DOLYG peut-elle espérer si le prix du logiciel est fixé à \np{2800}~\euro ?
 
%On rappelle que : bénéfice = prix du logiciel $x$ nombre de logiciels vendus $-$ coût total de production. 

Si le prix du logiciel est fixé à \np{2800}~\euro, on peut espérer en vendre 310 ce qui fait un bénéfice de:

$\np{2800}\times 310 - \np{230000} = \np{638000}$~\euro.

\item On note $f(x)$ le bénéfice que la société DOLYG tire de la vente du logiciel, où $x$ représente le prix proposé pour celui-ci. 
	\begin{enumerate}
		\item Le nombre de logiciels vendus en fonction de $x$ est $-0,1x + 590$.
		
		\item La vente de $x$ logiciels rapporte $x\times \left ( -0,1x + 590\right )$ euros ce qui génère un bénéfice de;\\		 $x\times \left ( -0,1x + 590\right ) - \np{230000}=-0,1x^2 + 590x - \np{230000}$ euros.
		
Donc		$f(x) = - 0,10x^2 + 590x - \np{230000}$.
	\end{enumerate} 
\item% On considère la fonction $f$ définie sur $\cd \np{1000}~;~\np{6000}\cg$ par $f(x) = - 0,10 x^2 + 590x - \np{230000}$.
 
	\begin{enumerate}
		\item% Déterminer $f^{\prime}(x)$ où $f^{\prime}$ désigne la fonction dérivée de $f$. 
$f'(x)=-0,10\times 2x + 590 = -0,20 x + 590$
		
		\item% Dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle [\np{1000}~;~\np{6000}].
$f'(x)>0 \iff -0,20 x + 590 >0 \iff 590 > 0,2 x \iff \dfrac{590}{0,2} > x \iff x < \np{2950}$

$f(\np{1000}) = \np{260000}$, $f(\np{2950}) = \np{640250}$ et $f(\np{6000}) = \np{-290000}$

On établit le tableau de variation de $f$ sur  $\cd \np{1000}~;~\np{6000}\cg$:
	
%\medskip	
		 
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{10pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & \np{1000}  & \esp & \np{2950} & \esp & \np{6000} \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{\np{640250}}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{\np{260000}} &   &  &  &   \Rnode{min2}{\np{-290000}} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}			 
		 
%Déterminer le prix de vente du logiciel qui rend le bénéfice prévisible maximum. Quel serait alors ce bénéfice ? 
C'est donc pour un prix de vente du logiciel de $\np{2950}$~\euro{} que le bénéfice sera maximal; il sera alors de $\np{640250}$~\euro.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}