\documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{diagbox} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{dcolumn} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{graphicx} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \tracingtabularx \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {B.E.P{}.C.}, pdftitle = {Bordeaux juin 1962}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} %********************************** \newcommand{\pa}{parallèle} \newcommand{\Par}{parallélogramme} \newcommand{\Th}{Thalès} \newcommand{\mi}{milieu} \newcommand{\Py}{Pythagore} \newcommand{\pe}{perpendiculaire} \newcommand{\eq}{équilatéral} \newcommand{\is}{isocèle} \newcommand{\bi}{bissectrice} \newcommand{\tr}{triangle} \newcommand{\ce}{cercle} \newcommand{\dr}{droite} \newcommand{\se}{segment} \newcommand{\eo}{théorème} \newcommand{\ha}{hauteur} \newcommand{\me}{médiatrice} \newcommand{\med}{médiane} \newcommand{\an}{angle} \newcommand{\po}{point} \newcommand{\su}{supplémentaires} \newcommand{\co}{complémentaires} \newcommand{\coc}{cocycliques} \newcommand{\Sem}{semblable} \newcommand{\re}{rectangle} \newcommand{\p}[1]{\text{ #1 } } \newcommand{\qu}{qudrilatère} \newcommand{\hy}{hypothénuse} \newcommand{\hyp}{hypothèse} \newcommand{\e}[1]{\widehat{#1}} \newcommand{\ar}[1]{\wideparen{#1}} \newcommand{\coo}[3]%coordonnées { #1 $\left ( \begin{array}{c} #2\\ #3 \end{array} \right ) $ } \newcommand{\eg}[1]{\overset{#1}{=}}%egalité surmontée \newcommand*{\df}[2]{\dfrac{#1}{#2}} \newcommand {\di}{diamètre} \newcommand{\ve}[1]{$\overrightarrow{#1}$} %********************************** \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small B.E.P{}.C.} \lfoot{\small{Bordeaux}} \rfoot{\small{juin 1962}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt] Bordeaux juin 1962}} \medskip ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT. \bigskip \end{center} \smallskip \bigskip \begin{center} {\large\textbf{GÉOMÉTRIE}} \end{center} \smallskip Un point M décrit un demi-cercle de diamètre [AB], de centre O. Par un point D du diamètre [AB] on mène la perpendiculaire (DX- à ce diamètre. (DX) coupe le demi-cercle en K. On trace (AM) et (BM), qui coupent la perpendiculaire (DX) respectivement en I et J. \begin{enumerate} \item Que peut-on dire des triangles DAI, MAB et DJB ? En déduire les relations \begin{center}DA $\cdot$ AB = AM $\cdot$ AI \quad\text{et }\quad DA $\cdot$ DB = DI $\cdot$ DJ.\end{center} \item Que deviennent les relations précédentes lorsque M est en K ? Quels sont les théorèmes connus qui se trouvent vérifiés ? \item (AJ) coupe (BI) en N. Démontrer que le quadrilatère MINJ est inscriptible dans un cercle. Sur quelle ligne se déplace le point N ? \end{enumerate} \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=2.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-4.64,-3.3)(11.84,7.6) \pspolygon[linewidth=0.pt,fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=1](2.060619255055565,-2.034784689469955)(1.9191991846773617,-2.034181618807361)(1.918596114014768,-2.175601689185564)(2.060016184392971,-2.176204759848158) \pspolygon[linewidth=0.pt,fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=1](0.3305177254559977,1.6310273060078957)(0.4546339404650381,1.563239658373318)(0.5224215880996158,1.6873558733823584)(0.39830537309057545,1.7551435210169362) \pspolygon[linewidth=0.pt,fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=1](3.9220770706382524,2.2957809088877132)(4.009535232083349,2.184645540995024)(4.120670599976038,2.2721037024401203)(4.033212438530942,2.38323907033281) \psline[linewidth=1.2pt](-1.74,-2.16)(7.64,-2.2) \parametricplot[linewidth=1.2pt]{-0.004264366474991732}{3.137328287114802}{1.*4.690042643729372*cos(t)+0.*4.690042643729372*sin(t)+2.95|0.*4.690042643729372*cos(t)+1.*4.690042643729372*sin(t)+-2.18} \psplot[linewidth=0.8pt]{-1.74}{11.84}{(--2.1936101206938257--3.9151435210169363*x)/2.1383053730905752} \psplot[linewidth=0.8pt]{-4.64}{7.64}{(-14.285568321368658--3.9551435210169363*x)/-7.241694626909425} \psplot[linewidth=0.8pt]{-4.64}{11.84}{(-19.41--9.38*x)/0.04} \psplot[linewidth=0.8pt]{-1.74}{11.84}{(-3.014860591276329--3.0005528650693596*x)/3.812880822452321} \psplot[linewidth=0.8pt]{-4.64}{7.64}{(-41.67140650838973--7.0525431358457515*x)/-5.550010477032641} \begin{scriptsize} \psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](-1.74,-2.16) \rput[bl](-1.82,-2.6){$\mathbf{A}$} \psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](7.64,-2.2) \rput[bl](7.62,-2.74){$\mathbf{B}$} \psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](0.39830537309057545,1.7551435210169362) \rput[bl](0.14,1.86){$\mathbf{M}$} \psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](2.060016184392971,-2.176204759848158) \rput[bl](1.68,-2.72){$\mathbf{D}$} \rput[bl](2.24,6.88){$\mathbf{X}$} \psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=black](2.089989522967359,4.852543135845751) \rput[bl](2.48,4.72){$\mathbf{I}$} \psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=black](2.0728808224523214,0.8405528650693596) \rput[bl](2.52,0.74){$\mathbf{J}$} \psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=black](4.033212438530942,2.38323907033281) \rput[bl](4.,2.6){$\mathbf{N}$} \psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=black](2.079652786751573,2.428578493243952) \rput[bl](2.4,2.72){$\mathbf{K}$} \end{scriptsize} \end{pspicture*} \begin{enumerate} \item Que peut-on dire des triangles DAI, MAB et DJB ?\\ DAI et MAB sont semblables.\\ En effet , ce sont des \tr s \re\ ayant un \an\ aigu en cpmmun car $\e {DAI}=\e {BAM}$ le \po\ D appartenant au \se\ AB et M au \se\ AI. MAB est \re\ car il est inscrit sans le \ce\ de \d\ i AB. MAB et DIB sont semblables. Même raisonnement, les \an s aigus égaix sont $\e{ABM}\p {et} \e{DBI}$, les \po s D et I appartenant respectivement au \se\ AB et BM.\\ En déduire les relations \begin{center}DA $\cdot$ AB = AM $\cdot$ AI \quad\text{et }\quad DA $\cdot$ DB = DI $\cdot$ DJ.\end{center} La similitude des \tr \ DAI et MAB entraîne l'égalité des rapports : $\df{DA}{MA}=\df{AI}{AB} $ et celle de DAI et DJB entraîne $\df{DA}{DJ}=\df{DI}{DB} $.\\ et donc les produits \og en croix \fg{} sont égaux ce qui donne les égalités demandées. Remarque : les \tr s DAI et DJB sont \Sem s car ils sont \Sem s tous les deux à MAB. On utilise le fait que dans deux \tr s \Sem s les côtés de l'un sont proportionnels aux côtés de l'autre qui sont en face d'\an s égaux. Moyen pratique : Pour les \tr s DAI et MAB on écrit : $\begin{array}{c} DAI\\ MAB\end{array}$ avec les sommets des angles égaux en colonnes, on obtient alors les égalités $\df {DA}{MA} = \df {DI}{MB} = \df {AI}{AB}$ \item Que deviennent les relations précédentes lorsque M est en K ? Si M est en K $M=K=I=J$ et les relations deviennent : AD . AB$=\mathtt{AK}^2$ et DA . DB$=\mathtt{DK}^2$ Quels sont les théorèmes connus qui se trouvent vérifiés ?\\ AD . AB$=\mathtt{AK}^2$ : dans un \tr\ \re\ un petit côté est moyenne géométrique de sa projection sut l'\hy\ et de cette \hy.\\ DA . DB$=\mathtt{DK}^2$ : dans un \tr\ \re\ la hauteur issue du sommet de l'\an\ droit est moyenne géométrique des \se s qu'elle définit sur l' \hy. \item (AJ) coupe (BI) en N.\\ Démontrer que le quadrilatère MINJ est inscriptible dans un cercle.\\ Le \po\ J est l'orthocentre du \tr\ ABI, c'est le \po\ d'intersection ds deux hauteurs ID et BM par hypothèse donc AJ est la troisième car les hauteurs d'un \tr\ sont concourantes, ici au \po\ J, et la \dr\ AJ est \pe\ à BJ, le \tr\ IJN est \re, les \po s , I, N, J sont cocycliques sur le \ce\ de diamètre [IJ]. Le \tr \ MIJ est \re\ en M donc les \po s M, I, J sont sur le \ce\ précédent, les \qu\ MIJN est donc inscriptible dans le \ce de \di\ IJ.\\ Sur quelle ligne se déplace le point N ?\\ Le \tr{} ABN est \re\ en N donc inscriptible dans le \ce\ de \di\ AB, N se déplace sur le \ce\ de diamètre [AB]. \end{enumerate} \end{document}