\documentclass[10pt]{article}

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%Tapuscrit : Denis Vergès

%\setlength\paperheight{297mm}
%\setlength\paperwidth{210mm}
%\setlength{\textheight}{23,5cm}

\usepackage{vmargin}
\setmarginsrb{3cm}{2.5cm}{3cm}{2.5cm}{0cm}{1cm}{0cm}{1.5cm}
% 1 est la marge gauche
% 2 est la marge en haut
% 3 est la marge droite
% 4 est la marge en bas
% 5 fixe la hauteur de l'entéte
% 6 fixe la distance entre l'entéte et le texte
% 7 fixe la hauteur du pied de page
% 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page

\newcommand{\cg}{\texttt{]}}%    crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}%    crochet droit
\newcommand{\pg}{\geqslant}%     supérieur ou égal à
\newcommand{\pp}{\leqslant}%     inférieur ou égal à
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

%\setlength{\voffset}{-1,5cm}

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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Métropole La Réunion Mayotte 2009},
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Métropole La Réunion Mayotte}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~{\red Corrigé} du brevet des collèges septembre 2009~\decofourright\\
Métropole La Réunion Mayotte}}
    
%\vspace{0,5cm}
%    
%\textbf{Durée : 2 heures} 

\end{center}

%\vspace{0,25cm}

\section*{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 1}

\medskip

%Simplifier par 3 la fraction $\dfrac{\nombre{1404}}{\nombre{3465}}$. La fraction obtenue est-elle irréductible ? Justifier.

$\dfrac{\np{1404}}{\np{3465}}
=\dfrac{3\times 468}{3\times \np{1155}}
= \dfrac{468}{ \np{1155}}$

\smallskip

Cette fraction n'est pas irréductible car les deux nombres 468 et \np{1155} sont tous les deux divisibles par 3:

\smallskip

$\dfrac{468}{\np{1155}}
=\dfrac{3\times 156}{3\times 385}
= \dfrac{156}{385}$

%\bigskip

\subsection*{Exercice 2}

Pour un tirage au hasard, on a placé dans une urne 25 boules de même taille, les unes blanches, les autres noires. La probabilité de tirer une boule blanche est 0,32.% Quelles sont les boules les plus nombreuses dans l'urne : les blanches ou les noires ? Expliquer.

S'il y avait autant de boules blanches que noires, la probabilité de tirer une boule blanche serait de 0,5; la probabilité de tirer une boule blanche est inférieure à 0,5 donc il y a moins de boules blanches que de boules noires dans l'urne.

%\bigskip

\subsection*{Exercice 3}

La recette pour fabriquer une boisson sucrée, demande de mélanger 3 doses de sirop avec 5 doses d'eau.

%Quelle quantité de sirop, exprimée en litre, faut-il utiliser pour obtenir 6 litres de cette boisson ?

Sur un total de 8 doses, il y a 3 doses de sirop; il faut donc $\dfrac{3}{8}$ de sirop dans le mélange.

$\dfrac{3}{8}\times 6 = 2,25$; il faut donc 2,25 litres de sirop pour faire 6 litres de mélange.

%\bigskip

\subsection*{Exercice 4}

On propose deux programmes de calcul:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\multicolumn{1}{c}{Programme A}&\multicolumn{1}{c}{Programme B}\\
\begin{itemize}
\item Choisir un nombre
\item Multiplier ce nombre par 3
\item Ajouter 7
\end{itemize}&
\begin{itemize}
\item Choisir un nombre
\item Multiplier ce nombre par 5
\item Retrancher 4
\item Multiplier par 2
\end{itemize}\\
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On choisit 3 comme nombre de départ.
%Montrer que le résultat du programme B est $22$.

\hspace*{1cm}
On applique le programme B.
\begin{tabular}[t]{lr}
Choisir un nombre:           & 3 \\
Multiplier ce nombre par 5:  & $3\times 5 = 15$\\
Retrancher 4:			    & $15 - 4 = 11$\\
Multiplier par 2:            & $11\times 2 = 22$
\end{tabular}

Le résultat du programme B est 22.


\item On choisit $(-2)$ comme nombre de départ.% Quel est le résultat avec le programme A ?

\hspace*{1cm}
On applique le programme A.
\begin{tabular}[t]{lr}
Choisir un nombre:           & $-2$ \\
Multiplier ce nombre par 3:  & $3\times (-2) = -6$\\
Ajouter 7:                   & $-6+7=1$
\end{tabular}

Le résultat du programme A est 1.

\item
	\begin{enumerate}

		\item% Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme A soit $(-2)$ ?
On cherche le nombre de départ pour que le programme A donne pour résultat $-2$.

On effectue le programme A par la fin.

Quel nombre faut-il prendre pour qu'en ajoutant 7 on obtienne $-2$? \\
Il suffit de soustraire 7 à $-2$ donc c'est $-9$.

Quel nombre faut-il prendre pour qu'en multipliant par 3 on obtienne $-9$? \\
Il suffit de diviser par 3 le nombre $-9$ et on obtient $-3$.

En partant de $-3$, on obtient $-2$ avec le programme A.


		\item% Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme B soit $0$ ?
On cherche le nombre de départ pour que le programme B donne pour résultat $0$.

On procède comme à la question précédente:

\begin{tabular}{l r}
On choisit le nombre: & 0\\
On divise par 2: & $0/2=0$\\
On ajoute 4: & $0+4=4$ \\
On divise par 5: & $4/5=0,8$
\end{tabular}

Pour obtenir 0 avec le programme B, il faut partir de 0,8.

	\end{enumerate} 

\item% Quel nombre doit-on choisir pour obtenir le même résultat avec les deux programmes ?
	
%Faire apparaître sur la copie la démarche utilisée.
	
%\emph{Même si cette démarche est incomplète il en sera tenu compte dans l'évaluation.}

On applique les programmes A et B à un nombre quelconque que l'on appelle $x$.

\begin{tabular}[t]{ll}
\multicolumn{2}{c}{Programme A}\\
Choisir un nombre:          & $x$\\
Multiplier ce nombre par 3: & $3x$\\
Ajouter 7:                  & $3x+7$
\end{tabular}
\hfill
\begin{tabular}[t]{ll}
\multicolumn{2}{c}{Programme B}\\
Choisir un nombre:          & $x$\\
Multiplier ce nombre par 5: & $5x$\\
Retrancher 4:               & $5x-4$\\
Multiplier par 2:           & $2(5x-4)$
\end{tabular}

\smallskip

On veut obtenir le même résultat avec les deux programmes.\\
Il faut donc trouver $x$ pour que $3x+7 = 2(5x-4)$.

\begin{tabular}{l r !{=} l}
On résout l'équation: & $3x+7$ & $2(5x-4)$ \\
                     & $3x+7$ & $10x - 8$\\
On retranche $3x$ aux deux membres: & $7$ & $7x - 8$\\
On ajoute 8 aux deux membres: & $15$ & $7x$\\
On divise les deux membres par 7: & $\dfrac{15}{7}$ & $x$                    
\end{tabular}

Le nombre que l'on doit choisir pour obtenir le même résultat avec les deux programmes est $\dfrac{15}{7}$.

\emph{Vérification}

\begin{tabular}[t]{p{3cm} ll}
Programme A & Choisir un nombre:          & $\dfrac{15}{7}$\\[8pt]
 & Multiplier ce nombre par 3: & $3\times \dfrac{15}{7}=\dfrac{45}{7}$\\[8pt]
 & Ajouter 7:                  & $\dfrac{45}{7}+7=\dfrac{45}{7}+ \dfrac{49}{7}=$ \fcolorbox{red}{white}{$\dfrac{94}{7}$}
\end{tabular}

\medskip

\begin{tabular}[t]{p{3cm} ll}
Programme B & Choisir un nombre:          & $\dfrac{15}{7}$\\[8pt]
 & Multiplier ce nombre par 5: & $5\times \dfrac{15}{7}=\dfrac{75}{7}$\\[8pt]
 & Retrancher 4:               & $\dfrac{75}{7}-4= \dfrac{75}{7} - \dfrac{28}{7} = \dfrac{47}{7}$\\[8pt]
 & Multiplier par 2:           & $2\times \dfrac{47}{7} = $\fcolorbox{red}{white}{$\dfrac{94}{7}$}
\end{tabular}

\end{enumerate}

\newpage

\section*{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} 

\medskip

\subsection*{Exercice 1}

%\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}\begin{pspicture}(9,4.5)
\psline(0,0)(1.8,3.8)(9,0.5)%xCy
\psline(1.3,2.75)(4.1,2.75)%AB
\psline(0.35,0.75)(8.45,0.75)%DE
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1.3,2.75)(4.1,2.75)(1.8,3.8)(0.35,0.75)(8.45,0.75)(1.55,3.275)(2.7,2.75)(3.85,2.225)%ABCDEFOG
\uput[l](1.3,2.75){A} \uput[r](4.1,2.75){B} \uput[ur](1.8,3.8){C} \uput[l](0.35,0.75){D} 
\uput[ur](8.45,0.75){E} \uput[l](1.55,3.275){F} \uput[d](3.85,2.225){G} \uput[d](2.7,2.75){O}
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\textbf{Données de la figure ci-contre :}

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] CDE est un triangle rectangle en C
\item[$\bullet~$] A appartient au segment [CD], B appartient au segment [CE] et la droite (AB) est parallèle à la droite (DE).
\item[$\bullet~$] Le point F est le milieu du segment [AC] 
et le point  O est le milieu de [AB].
\item[$\bullet~$] Le point G est le symétrique de F par
rapport à O.
\item[$\bullet~$] DE = 12~cm ; AB = 4,5~cm et AC = 1,8~cm
\end{itemize}}

%\medskip
%
%Parmi les quatre questions suivantes en choisir deux et rédiger avec soin leur solution. Les deux questions non choisies n'ont pas à être traitées.

\begin{enumerate}


\item%  Quelle est la nature du quadrilatère AFBG ?
D'après le texte, G est le symétrique de F par rapport à O; donc O est le milieu de [FG].

D'après le texte, on sait que O est le milieu de [AB].

Le quadrilatère AFBG a donc ses diagonales [FG] et [AB] qui ont le même milieu O, donc le quadrilatère AFBG est un parallélogramme.

\item% Montrer que la droite (FO) est parallèle à la droite (CB).

Dans le triangle ABC, F est le milieu de [AC] et O est le milieu de [AB]. Donc, d'après le théorème des milieux, on peut dire que les droites (FO) et (CB) sont parallèles.
 
\item% Calculer la longueur CD.
D'après le texte, on sait que A appartient au segment [CD], B appartient au segment [CE] et la droite (AB) est parallèle à la droite (DE)

On peut donc appliquer le théorème de Thalès aux triangles CDE et CAB:
$\dfrac{\text{CD}}{\text{CA}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{AB}}$

On sait que $\text{AC}=1,8$, $\text{DE}=12$ et $\text{AB}=4,5$.

Donc 
$\dfrac{\text{CD}}{1,8} = \dfrac{12}{4,5}$
et donc
$\text{CD}=\dfrac {1,8\times 12}{4,5} = 4,8$~cm

\item% Calculer une valeur approchée au degré près de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$.
Dans le triangle ABC rectangle en C, 
$\cos \widehat{\text{BAC}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{AB}}$.

D'après le texte: $\text{AC}=1,8$ et $\text{AB}=4,5$; donc
$\cos \widehat{\text{BAC}} = \dfrac{1,8}{4,5}$

On trouve à la calculatrice: $\widehat{\text{BAC}} \approx 66\degres$ 


\end{enumerate}
 
%\bigskip

\subsection*{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5.5,6)
\psellipse(2.6,5)(2.55,0.85)
\psline(0.1,4.85)(2.6,0.6)(5.1,4.85)
\psline(2.6,5)(5.15,5)
\psline[linestyle=dashed](2.6,5)(2.6,0.6)
\uput[u](2.6,5){H} \uput[r](5.15,5){M} \uput[d](2.6,0.6){O}
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}{La figure ci-contre représente un cône de
révolution d'axe (OH).

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] OH = 5~cm
\item[$\bullet~$] l'angle $\widehat{\text{HOM}}$ mesure 30\degres.
\end{itemize}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On dessine le triangle HOM en vraie grandeur; voir ci-dessous.
\item  On dessine la base du cône en vraie grandeur; voir ci-dessous.

\psset{unit=1cm}
\def\xmin {-1}   \def\xmax {3}
\def\ymin {-1}   \def\ymax {6}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psset{dotstyle=x,dotscale=1.5}
%\psgrid[subgriddiv=0]
\psframe[linewidth=0.8pt](0,5)(0.5,4.5)
\pspolygon(0,0)(0,5)(2.89,5)
\psarc(0,0){1}{60}{90} \uput[75](1;75){30°}
\uput[d](0,0){O} 
\uput[ur](2.89,5){M} \uput[ul](0,5){H}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=1cm}
\def\xmin {-3}   \def\xmax {3}
\def\ymin {-3.5}   \def\ymax {2.9}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=0]
\pscircle(0,0){2,89}
\psset{dotstyle=x,dotscale=1.5}
\psline[showpoints=true](0,0)(2.89,0) 
\uput[d](0,0){H} \uput[r](2.89,0){M}
\end{pspicture}

\item% Calculer la longueur HM. Donner le résultat arrondi au mm.
Le triangle OHM est rectangle en H donc
$\tan \widehat{\text{HOM}}=\dfrac{\text{HM}}{\text{OH}}$
donc $\text{HM}= \tan \widehat{\text{HOM}} \times \text{OH}$

$\widehat{\text{HOM}} = 30 \degres$ donc $\tan \widehat{\text{HOM}}=\dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}$; on sait que $\text{OH}=5$~cm.

On en déduit que $\text{HM}=\dfrac{5\ds\sqrt{3}}{3}\approx 2,9$~cm.

\item On verse de l'eau dans le cône jusqu'au quart de sa hauteur.% Quel pourcentage du volume total du cône est occupé par l'eau ?

\medskip

\parbox{0.3\linewidth}{
\psset{unit=1cm}
\def\xmin {-0.5}   \def\xmax {3}
\def\ymin {-1}   \def\ymax {6}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psset{dotstyle=x,dotscale=1.5}
%\psgrid[subgriddiv=0]
\psframe[linewidth=0.8pt](0,5)(0.5,4.5)
\pspolygon(0,0)(0,5)(2.89,5)
%\psarc(0,0){1}{60}{90} \uput[75](1;75){30°}
\uput[d](0,0){O} 
\uput[ur](2.89,5){M} \uput[ul](0,5){H}
\psline[showpoints,linecolor=red](0,1.25)(0.7225,1.25)
\uput[dr](0.7225,1.25){\red M'} \uput[l](0,1.25){\red H'}
\end{pspicture}
}
\hfill
\parbox{0.68\linewidth}{
On appelle $h=\text{OH}$ la hauteur du cône et $r=\text{HM}$ le rayon de sa base.
Son volume est donné par la formule $V=\dfrac{1}{3}\times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$, autrement dit $V=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$.

\medskip

On appelle $h'=\text{OH'}$ la hauteur de l'eau dans le cône et $r'=\text{H'M'}$ le rayon de la base du cône formé par l'eau.

D'après le texte, $h'=\dfrac{h}{4}$. D'après le théorème de Thalès dans les triangles OH'M' et OHM, on peut dire que $r'=\dfrac{r}{4}$.

\medskip

Le volume du cône formé par l'eau est

$V'= \dfrac{1}{3}\pi r'^2 h' = \dfrac{1}{3}\pi \left (\dfrac{r}{4}\right )^2 \left (\dfrac{h}{4}\right ) 
= \dfrac{1}{3}\pi \dfrac{r^2}{16}\times \dfrac{h}{4}
= \dfrac{1}{3} \dfrac{\pi r^2 h}{64} = \dfrac{V}{64}$

Donc $\dfrac{V'}{V}=\dfrac{1}{64}$ ce qui fait $\dfrac{100}{64}=\np{1,5625}$\,\%

\medskip

L'eau occupe donc \np{1,5625}\,\% du volume total du cône.
}


\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\newpage

\section*{PROBLÈME \hfill 12 points} 

%\medskip

\subsection*{Partie I : Format d'un rectangle}

Sur la feuille annexe 1, cinq rectangles sont dessinés. Pour chacun, la longueur et la largeur sont indiquées. L'unité est le mm.

\begin{enumerate}
\item  On complète le tableau de la feuille annexe 2.% (Dans la dernière ligne du tableau, toutes les fractions devront être irréductibles).

\item Cette écriture irréductible de la fraction $\dfrac{L}{\ell}$ obtenue pour chaque rectangle est appelée format du rectangle.

	\begin{enumerate}

		\item  Les rectangles du tableau qui ont le même format que le 1 sont les rectangles 4 et 5.

		\item Le rectangle du tableau qui a le même format que le rectangle 2 est le rectangle 3.

 	\end{enumerate}

\item Un rectangle est au format $\dfrac{16}{9}$.

	\begin{enumerate}

		\item  La largeur de ce rectangle est 54~mm.%, calculer sa longueur.

Sa longueur $L$ vérifie
$\dfrac{L}{54}=\dfrac{16}{9}$ donc $L=\dfrac{54\times 16}{9}=96$~mm

		\item Voir annexe 1.

		\item% Si on ne connaît ni la longueur $L$ ni la largeur $\ell$, exprimer $L$ en fonction de $\ell$
Pour un rectangle de format $\dfrac{16}{9}$, on a $\dfrac{L}{\ell} = \dfrac{16}{9}$ autrement dit: $9L=16\,\ell$

	\end{enumerate}

\end{enumerate}
 
%\bigskip
 
\subsection*{Partie II : Étude graphique}
 
\medskip
 
À chaque rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$, on associe sur le graphique de la feuille annexe 2, le point de coordonnées $(\ell~;~L)$.
 
Les points $P_{1}$ et $P_{2}$  correspondant aux deux premiers rectangles sont déjà placés.
 
\begin{enumerate}
\item  On place les trois autres points: voir annexe 2.

\item%  Quelle conjecture peut-on faire sur la position des points correspondant aux rectangles dont le format est $\dfrac{16}{9}$ ?
Les points correspondant aux rectangles dont le format est $\dfrac{16}{9}$ semblent appartenir à la droite (O$P_1$).

\item  On considère un rectangle de largeur $\ell$ et de longueur $L$ dont le format est $\dfrac{16}{9}$.

On appelle $M$ le point du graphique correspondant à ce rectangle.% Expliquer pourquoi M appartient à la droite O$P_{1}$.

Le point $M$ a pour abscisse $x_M$ qui est la largeur du rectangle, et pour ordonnée $y_M$ qui en est sa longueur. Comme ce rectangle est de format $\dfrac{16}{9}$, on sait que $\dfrac{y_M}{x_M}=\dfrac{16}{9}$ donc $y_M=\dfrac{16}{9}\,x_M$.

Le point $M$ appartient donc à la droite représentant la fonction linéaire qui à $x$ associe $\dfrac{16}{9}\,x$.

La droite (O$P_1$) passe par O donc elle est la représentation graphique d'une fonction linéaire qui à $x$ associe $mx$.
Elle passe par le point $P_1$ de coordonnées (18\,,\,32); donc l'image de 18 est 32 donc $32=m\times 18$ donc $m=\dfrac{16}{9}$.

Donc la droite (O$P_1$) est la représentation graphique de la fonction qui à $x$ associe $\dfrac{16}{9}\,x$.

On a vu que le point $M$ appartenait à cette droite donc $M$ appartient à la droite (O$P_1$). 

\end{enumerate}

%\bigskip
 
\subsection*{Partie III : Étude graphique : diagonale des rectangles}
 
\medskip

Les écrans de télévision sont des rectangles qui sont en général au format $\dfrac{16}{9}$ ou $\dfrac{4}{3}$. Les fabricants
indiquent souvent, comme caractéristique de la taille de l'écran, la longueur de sa diagonale.

\begin{enumerate}
\item% Calculer la longueur de la diagonale du rectangle 1.
Le rectangle 1 a pour dimensions 18 sur 32; on calcule sa diagonale en appliquant le théorème de Pythagore:
$18^2 + 32^2 = 324 + \np{1024}= \np{1348}$; la diagonale mesure donc $\ds\sqrt{\np{1348}}\approx 37$~cm

\item Pour les écrans de télévision au format $\dfrac{16}{9}$, les fabricants considèrent que la longueur de la diagonale vaut approximativement le double de la largeur.% Justifier cette approximation.

La diagonale d'un rectangle de dimensions $L$ et $\ell$ et de format $\dfrac{16}{9}$ vaut:
$\Delta = \ds\sqrt{L^2 + \ell^2}$

Mais $\dfrac{L}{\ell}=\dfrac{16}{9}$ donc $L=\dfrac{16}{9}\times \ell$

$\Delta = \ds\sqrt{ \left ( \dfrac{16}{9}\,\ell \right )^2 + \ell^2}
= \ds\sqrt{ \dfrac{256}{81}\,\ell^2 + \ell^2}
= \ds\sqrt{ \left ( \dfrac{256}{81} + 1\right )\ell^2}
= \ds\sqrt{\dfrac{256+81}{81}} \times \ds\sqrt{\ell^2}
= \ds\sqrt{\dfrac{337}{81}}\,\ell$

Or $\ds\sqrt{\dfrac{337}{81}} \approx 2$ donc $\Delta \approx 2\ell$.

La diagonale du rectangle vaut approximativement le double de sa largeur. 

\end{enumerate}

\newpage


\section*{Annexe 1}

%\medskip

\begin{center}

\textbf{À rendre avec la copie}

\medskip

\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(16,18)
\psframe(1.9,0)(15,7.3)\uput[u](8.45,7.3){$L = 128$}\uput[r](15,3.65){$l = 72$}\rput(8.45,3.65){Rectangle 5}
\psframe(0,8.9)(6,13.5)\uput[u](3.4,13.5){$L = 60$} \uput[r](6,11.2){$\ell = 45$}\rput(3,11.2){Rectangle 3}
\psframe(8.3,8.7)(16.7,13.4)\uput[u](12.5,13.4){$L = 80$} \uput[r](16.7,11.05){$\ell = 45$}\rput(12.5,11.05){Rectangle 4}
\psframe(1,14.7)(4.3,16.6)\uput[u](2.65,16.6){$L = 32$} \uput[r](4.3,15.65){$\ell = 18$}\rput(2.65,15.65){Rectangle 1}
\psframe(10.6,14.5)(14.2,17.5)\uput[u](12.4,17.5){$L = 36$} \uput[r](14.2,16){$\ell = 27$}\rput(12.4,16){Rectangle 2}
\end{pspicture}

\vfill

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\def\xmin {-1}   \def\xmax {10}
\def\ymin {-1}   \def\ymax {6}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psset{dotstyle=x,dotscale=1.5}
%\psgrid[subgriddiv=0]
\psframe(0,0)(9.6,5.4)
\uput[u](4.8,5.4){$L=96$}
\uput[r](9.6,2.7){$\ell = 54$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vfill

\newpage

\section*{Annexe 2}

\medskip

\textbf{À rendre avec la copie}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Rectangle 1& Rectangle 2& Rectangle 3& Rectangle 4& Rectangle 5\\ \hline
Longueur $L$&32&36& \textcolor{red}{60}& \textcolor{red}{80}& \textcolor{red}{128}\\ \hline
Largeur $\ell$&18&27& \textcolor{red}{45}&\textcolor{red}{45}& \textcolor{red}{72}\\ \hline
$\dfrac{L}{\ell}$ sous forme irréductible&$\dfrac{16}{9}$&$\dfrac{4}{3}$
&\textcolor{red}{$\dfrac{60}{45}=\dfrac{4}{3}$}
&\textcolor{red}{$\dfrac{80}{45}=\dfrac{16}{9}$}
&\textcolor{red}{$\dfrac{128}{72}=\dfrac{16}{9}$}
\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

\psset{xunit=0.134cm,yunit=0.07cm}
\begin{pspicture}(-6,-12)(84,146)

\multido{\n=0+2}{43}
        {\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=gray](\n,0)(\n,146)}
\multido{\n=0+10}{9}
        {\psline[linewidth=1pt,linecolor=gray](\n,0)(\n,146)}
\multido{\n=0+4}{37}
        {\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=gray](0,\n)(84,\n)}
\multido{\n=0+20}{8}
        {\psline[linewidth=1pt,linecolor=gray](0,\n)(84,\n)}
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(81,144)
\rput{90}(-8,70){Longueur $L$} \uput[d](40,-12){largeur $\ell$}
\psdots[dotstyle=*,dotscale=1.5](18,32)(27,36)
\uput[dr](18,32){$P_{1}$}
\uput[dr](27,36){$P_{2}$}
\uput[dr](0,0){O}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=20](0,0)(-6,-12)(84,146)
\psdots[dotstyle=*,dotscale=1.5,linecolor=red](45,60)(45,80)(72,128)
\uput[dr](45,60){$\red P_{3}$}
\uput[dr](45,80){$\red P_{4}$}
\uput[dr](72,128){$\red P_{5}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}