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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : 
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\renewcommand{\sfdefault}{phv}% police helvetica pour les blocs scratch.
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%pdfauthor = {APMEP},
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%pdftitle = {Amérique du Sud 27 novembre 2025},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Sujet 0 2026}}
\rfoot{\small{}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges 0 Sujet A pour 2026
 ~\decofourright}}

\bigskip

\textbf{Durée : 2 heures}

\end{center}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
Partie 1 — automatismes &6 points\\ \hline
20 min (\textbf{calculatrice interdite})& \\ \hline
Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes& 14 points\\ \hline
1 h 40 (\textbf{calculatrice autorisée})&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie 1 - Automatismes - 6 points - 20 minutes}

\medskip

%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|}\hline
%\textbf{Pour chaque question, recopier sur la copie son numéro et la réponse
%correspondante.}\\
%\textbf{Pour cette partie, aucune justification n’est demandée.}\\
%\textbf{Pour les questions a choix multiple, une seule réponse est exacte.}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\medskip

\textbf{Question 1}

%Quel est le tiers de 18 ?
On a $\dfrac13 \times 18 = \dfrac{18}{3} = 6$.

\medskip

\textbf{Question 2}

%Un film dure $240$~min. Quelle est sa durée en heures ?
1 h égale 60 minutes, donc $\dfrac{240}{60} = 4$~(h).
\medskip

\textbf{Question 3}

Rangées dans l'ordre croissant les notes sont :

6~;~8~;~12~;~15~;~19 : la médiane est la troisième note soit 12.

\medskip

\textbf{Question 4}

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(0,-1)(9.,1)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.25pt,subgridwidth=0.25pt]
%\psline(9.2,0)
%\qdisk(2,0){2pt}\qdisk(6,0){2pt}\qdisk(9,0){2pt}
%\uput[d](2,0){0}\uput[d](6,0){1}\uput[u](9,0){E}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%Sur cette droite graduée, l’abscisse du point E est
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{A.~} $\dfrac54$ &\textbf{B.~} $\dfrac32$ &\textbf{C.~} $\dfrac74$ &\textbf{D.~} $\dfrac52$\\ 
%\end{tabularx}
%\end{center}
En partant de l'origine point d'abscisse $0$, la point d'abscisse 1 est au 4\up{e} carreau, donc le point E a pour abscisse $\dfrac74$.
\medskip

\textbf{Question 5}

Les angles en A et C sont complémentaires (la somme en degré des trois angles vaut 180 et l'angle droit en B mesure 90\degres), on a donc $35 + \widehat{\text{C}} = 90$, soit $\widehat{\text{C}} = 90 - 35 = 55(\degres)$.
\medskip

\textbf{Question 6}
Par définition : $\widehat{\text{B}} = \dfrac{\text{mesure du côté adjacent}}{\text{mesure de l'hypoténuse}} = \dfrac{\text{BA}}{\text{BC}}$.

\medskip

\textbf{Question 7}

%\begin{minipage}{0.45\linewidth}
%Sur la figure ci-contre, dans le triangle ADE les droites (DE) et (CB) sont parallèles.
%
%Déterminer la longueur AD.
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.52\linewidth}
%\psset{unit=0.9cm}
%\begin{pspicture}(8,3.5)
%\pspolygon(0.2,0.2)(7.7,0.2)(6.2,3.2)%AED
%\psline(2.4,0.2)(2,1.1)%BC
%\uput[ul](0.2,0.2){A} \uput[ur](7.7,0.2){E} \uput[ur](6.2,3.2){D} 
%\uput[d](2.4,0.2){B}\uput[ul](2,1.1){C}
%\uput[ur](2.2,0.6){2 cm} \uput[ul](1.2,0.7){4 cm} \uput[ur](6.95,1.7){7 cm}
%\end{pspicture}
%\end{minipage}
A, B et E sont alignés dans cet ordre ;

A, C et D sont alignés dans cet ordre ; et

les droites (DE) et (CB) sont parallèles.

On a donc une configuration de Thalès : les mesures des côtés des triangles ABC et AED sont proportionnelles, d'où en particulier $\dfrac{\text{AC}}{\text{AD}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AE}}$, soit avec les longueurs connues $\dfrac{4}{\text{AD}} = \dfrac27$, d'où $2\text{AD} = 4 \times 7$ ; on a donc $\text{AD} = 2 \times 7 = 14$~(cm).

\textbf{Question 8}

%Dans un collège, 25\,\% des 300 élèves participent à une olympiade de mathématiques.
%
%Combien d’élèves ne participent pas a cette olympiade ?
25\,\% des 300 élèves représentent $\dfrac{25}{100} \times 300 = \dfrac{25 \times 300}{100} = 25 \times 3 = 75$ (élèves).

$300 - 75 = 225$, donc 225 élèves ne participent pas à cette olympiade
\medskip


%\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\textbf{Question 9}

%Une élève souhaite réaliser un programme avec un logiciel de
%programmation pour dessiner un carré.
%
%Par quelles valeurs doit-on compléter les lignes 3 et 5 
%pour obtenir un carré ?
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.34\linewidth}
%\begin{scratch}[scale=0.8,num blocks, num start=1,baseline=2]]
%\initmoreblocks{definir carré}
%\blockpen{stylo en position d'écriture}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{\phantom{aa}} fois}
%{
%\blockmove{avancer de \ovalvariable{50} pas}
%\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{\phantom{aa}} degrés}
%}
%\end{scratch}
%\end{minipage}
Il faut répéter 4 fois et tourner de 90 degrés.
\newpage

%%%%%% Partie avec calculatrice
\begin{center}
\textbf{Partie 2 — Raisonnement et résolution de problèmes — 14 points — 1 h 40}
\end{center}

\medskip

%\begin{tabular}{|p{14cm}|}\hline
%\textbf{Dans cette partie, toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication
%contraire est donnée.}\\
%\textbf{La clarté et la précision des raisonnements ainsi que la rédaction sont évaluées sur
%2 points.}\\
%\textbf{Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la
%recherche ; les essais et les démarches engagées, même non aboutis, seront pris en
%compte dans la notation.}\\ \hline
%\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 : \hfill 3 points}

\medskip

%Dans le cadre d’un projet de labellisation \og Éducation au développement durable \fg, un collège
%réalise deux enquêtes sur une période donnée.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %La première enquête porte sur le gaspillage alimentaire à la cantine.

%Pendant sept semaines, on relève la masse totale, en kilogramme, d'aliments jetés chaque
%semaine :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Semaine &	1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline
%Masse (kg) &62 &59 &74 &68 &55 &61 &71\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%Ce collège s'est donné comme objectif que la moyenne, par semaine, de déchets
%alimentaires sur les 7 semaines ne dépasse pas 65~kg.
%
%Montrer que ce collège a atteint son objectif.

Moyenne des déchets sur la semaine : 

$\dfrac{62 + 59 + + 74 + 68 + 55 + 61 + 71}{7} = \dfrac{450}{7} \approx 64,3 < 65.$
\item %La seconde enquête porte sur les déplacements des élèves à vélo entre le domicile et le
%collège.

%Le diagramme ci-dessous représente, pour chaque distance, l'effectif des élèves qui
%parcourent cette distance en vélo pour aller au collège. (Les élèves qui n’utilisent pas le vélo
%pour se rendre au collège parcourent 0 km à vélo.)
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=1cm,yunit=0.15cm}
%\begin{pspicture}(-1.6,-3)(9.3,50)
%\rput(4,48){\textbf{Distance parcourue à vélo par les élèves du collège}}
%\uput[d](4,-2){\small Distance parcourue en km}
%\rput{90}(-1,23){\small Effectif}
%\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(9.3,46)
%\multido{\n=0+1,\na=1+1}{9}{\uput[d](\na,0){\footnotesize \n}}
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=purple](0.7,0)(1.3,33)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=purple](1.7,0)(2.3,32)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=purple](2.7,0)(3.3,42)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=purple](3.7,0)(4.3,31)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=purple](4.7,0)(5.3,36)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=purple](5.7,0)(6.3,28)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=purple](6.7,0)(7.3,24)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=purple](7.7,0)(8.3,22)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=purple](8.7,0)(9.3,14)
%\end{pspicture}
%\end{center}

	\begin{enumerate}
	\item %Déterminer l'effectif total d'élèves de ce collège.
	L'effectif total du collège est égal à :
	
	$33 + 32 + 42 + + 30 + 36 +  + 28 +  24 + 22 + 14 = 243$.
	\item %Pour ce collège, l'affirmation \og Plus de 30\,\% des élèves ont parcouru au moins 5~km à vélo
%pour se rendre au collège \fg est-elle vraie ?

Ont parcouru 5 km ou plus à vélo : 

$28 + 24 + 22 + 14 = 88$ élèves.

D'autre part 30\,\% des 243 élèves représentent : $\dfrac{30}{100} \times 243 = 72,3$.

Le premier entier supérieur à ce nombre est 73,et comme $88 > 73$, l'affirmation est vraie.

%\textbf{Justifier la réponse en précisant la démarche.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 : \hfill3 points}

\medskip

%On donne un programme de calcul :
%
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-3,0)(3,4.2)
%%\psgrid
%\rput(0,4){\fbox{choisir un nombre}}\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,3.7)(0,3.2)
%\rput(0,3){\fbox{le multiplier par 2}}\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,2.7)(0,2.2)
%\rput(0,2){\fbox{élever le résultat au carré}}\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,1.7)(0,1.2)
%\rput(0,1){\fbox{retrancher 9}}\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0.7)(0,0.2)
%\rput(0,0){\fbox{afficher le résultat}}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Lorsque le nombre choisi est 4, vérifier le programme affiche 55, en précisant chacune des
%étapes de calcul.
On a successivement : $4 \longmapsto 8 \longmapsto 64 \longmapsto 55$.
\item On appelle $x$ le nombre choisi au départ.
	\begin{enumerate}
		\item %Écrire, en fonction de $x$, le résultat obtenu par le programme.
		En partant de $x$, on obtient successivement :
		
		$x \longmapsto 2x \longmapsto (2x)^2 = 2^2 \times x^2 = 4x^2 \longmapsto 4x^2 - 9$.
		\item %Parmi les quatre expressions suivantes, laquelle correspond au résultat obtenu par le
%programme ?
	\end{enumerate}
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%$A = 55$ &$B= (2x +3)^2$ &$C= (2x - 3)(2x +3)$ &$D = (2x — 3)^2$\\
%\end{tabularx}
%\end{center}
On reconnait en $4x^2 - 9$ une différence de deux carrés qui peut se factoriser :

$4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x + 3)(2x - 3) = (2x - 3)(2x + 3)$ : c'est l'expression $C$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 : \hfill 3 points}

\medskip

%On considère les fonctions $f$ et $g$ suivantes :
%
%\[\begin{array}{l l}
%f \,: &x \longmapsto 4x + 3\\
%g \,:&x \longmapsto 6x
%\end{array}\]
%
%Leurs représentations graphiques $(d_1)$ et $(d_2)$ sont tracées ci-dessous :

\begin{enumerate}
\item %Parmi ces deux fonctions, laquelle représente une situation de proportionnalité ?
C'est l'application linéaire $x \longmapsto g(x) = 6x$ qui représente une situation de proportionnalité.
\item %Calculer l'image de 0 par la fonction $g$.
L'image de 0 par $g$ est $g(0) = 6 \times 0 = 0$ : la droite $(d_1)$ contient l'origine.
\item L'antécédent de $0$ par la fonction $f$ est le nombre $x$ tel que $f(x) = 0$, soit $4x + 3 = 0$ ou $4x = -3$ et $x = -3 \times \dfrac14 = - \dfrac34$.
%Déterminer l’antécédent de $0$ par la fonction $f$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.7cm,yunit=0.325cm,arrowsize=2pt 3,comma}
\begin{pspicture*}(-1.5,-1.9)(5.5,20)
\multido{\n=-1.5+0.5}{16}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,-1.9)(\n,20)}
\multido{\n=-0+2}{11}{\psline[linewidth=0.25pt](-1.5,\n)(5.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1.5,-1.9)(5.5,20)
\psplot[plotpoints=800,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1.5}{4.5}{x 4 mul 3 add}
\psplot[plotpoints=800,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.5}{4.5}{x 6 mul}
\uput[ul](3,18){\blue $(d_1)$}\uput[dr](3.75,18){\red $(d_2)$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item %Associer à chaque droite la fonction qu'elle représente. Justifier la réponse.
La droite $d_1$représente l'application linéaire donc la droit $d_2$ représente l'application affine $f$.
\item %Déterminer graphiquement les coordonnées du point d’intersection des droites $(d_1)$ et $(d_2)$.
Graphiquement on lit les coordonnées du point commun aux deux droites : (1,5~;~9).

Ceci signifie que $f(1,5) = 4 \times 1,5 +3 = 6 + 3 = 9$ et que $g(1,5) = 6 \times 1,5 = 9$ : les images par $f$ et par $g$ de 1,5 dnt égales à 9.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 :\hfill 3 points}
\medskip

%\begin{minipage}{0.58\linewidth}
%Sur la figure ci-contre :
%
%\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
%\item ABCD est un carré de côté 9 cm; 
%\item les segments de même longueur sont codés.
%\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Le polygone IJKLMNOP est-il régulier, c'est-à-dire a-t-il
%tous ses côtés de même longueur ?
Les côtés obliques du polygone (c'est un octogone) IJKLMNOP sont tous les hypoténuses de triangles rectangles isocèles dont les côtés de l'angle droit mesurent $\dfrac93 = 3$~(cm).

Par exemple dans le triangle rectangle en A, AIP, on a 

\[\text{AI}^2 + \text{AP}^2 = \text{IP}^2\:\text{ou } 3^2 + 3^2 = \text{IP}^2\]

On a donc IP$^2 = 9 + 9 = 18$ ; on en déduit que 

IP $ = \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt 2 = 3\sqrt 2\ne 3$.

L'octogone a 4 côtés de longueurs 3 et 4 côtés de longueur $3\sqrt{2} \approx 4,24$. : il n'estpas régulier

\textbf{Justifier la réponse.}
		\item %Justifier que l’aire de la surface IJKLMNOP grisée sur
%la figure ci-contre est égale à 63~cm$^2$.
l'aire grisée est égale à différence entre l'aire du carré ABCD et les quatre triangles rectangles isocèles en blanc :

$\bullet~$ aire du carré ABCD : $9^2 = 81$~(cm$^2$)

$\bullet~$ aire des quatre triangles : $4 \times \dfrac{3 \times 3}{2} = 2 \times 9 = 18$~(cm$^2$).

L'aire cherchée est égale à :

\[81 - 18 = 63~(\text{cm}^2.\]

	\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.38\linewidth}
%\psset{unit=0.9cm}
%\begin{pspicture}(0,-1)(5.8,5.8)
%%\psgrid
%\psframe(0.2,0.2)(5.6,5.6)
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,5.6)(3.8,5.6)(5.6,3.8)(5.6,2)(3.8,0.2)(2,0.2)(0.2,2)(0.2,3.8)%IJKLMNOP
%\def\dblv{\psline(-0.05,0.1)(-0.05,-0.1)\psline(0.05,0.1)(0.05,-0.1)}
%\rput(2.9,5.6){\dblv}\rput(1,5.6){\dblv}\rput(4.7,5.6){\dblv}
%\rput(2.9,0.2){\dblv}\rput(1,0.2){\dblv}\rput(4.7,0.2){\dblv}
%\def\dblh{\psline(-0.1,0.05)(0.1,0.05)\psline(-0.1,-0.05)(0.1,-0.05)}
%\rput(0.2,4.7){\dblh}\rput(0.2,2.9){\dblh}\rput(0.2,1.1){\dblh}
%\rput(5.6,4.7){\dblh}\rput(5.6,2.9){\dblh}\rput(5.6,1.1){\dblh}
%\uput[ul](0.2,5.6){A} \uput[ur](5.6,5.6){B} \uput[dr](5.6,0.2){C} \uput[dl](0.2,0.2){D}
%\uput[u](2,5.6){I} \uput[u](3.8,5.6){J} \uput[r](5.6,3.8){K} \uput[r](5.6,2){L}
%\uput[d](3.8,0.2){M} \uput[d](2,0.2){N} \uput[l](0.2,2){O} \uput[l](0.2,3.8){P}
%\end{pspicture}
%\end{minipage}

%\begin{minipage}{0.58\linewidth}
%\begin{enumerate}%[start=2]
\item %Les diagonales du carré ABCD se coupent en S.

%\smallskip

%On a tracé le cercle de centre S et de diamètre 9 cm.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'aire du disque de centre S et de
%diamètre 9 cm.
Le disque a un rayon de $\dfrac92 = 4,5$ ; son aire est donc égale à $\pi R^2 = \pi \times 4,5^2 = 20,25\pi$.
		\item %Montrer que la différence entre l'aire du polygone
%IJKLMNOP et l'aire du disque représente moins de
%1\,\% de l’aire du disque.
Comme (calculette) $20,25\pi \approx 63,62$~(cm$^2$) c'est le disque qui a la plus grande aire.

On calcule le pourcentage de la différence entre l'aire du polygone
-IJKLMNOP et l'aire du disque par rapport à l'aire du disque en calculant:

$\dfrac{\text{aire du disque} - \text{aire du polygone}}{\text{aire du disque}}\times 100$, soit 

$\dfrac{20,25\pi - 63}{20,25\pi} \times 100 \approx 0,97 < 1$.

Ce pourcent est bien inférieur à 1.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.38\linewidth}
%\psset{unit=0.9cm}
%\begin{pspicture}(0,0)(5.8,5.8)
%%\psgrid
%\psframe(0.2,0.2)(5.6,5.6)
%\pspolygon(2,5.6)(3.8,5.6)(5.6,3.8)(5.6,2)(3.8,0.2)(2,0.2)(0.2,2)(0.2,3.8)%IJKLMNOP
%\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.9,2.9){2.7}
%\def\dblv{\psline(-0.05,0.1)(-0.05,-0.1)\psline(0.05,0.1)(0.05,-0.1)}
%\rput(2.9,5.6){\dblv}\rput(1,5.6){\dblv}\rput(4.7,5.6){\dblv}
%\rput(2.9,0.2){\dblv}\rput(1,0.2){\dblv}\rput(4.7,0.2){\dblv}
%\def\dblh{\psline(-0.1,0.05)(0.1,0.05)\psline(-0.1,-0.05)(0.1,-0.05)}
%\rput(0.2,4.7){\dblh}\rput(0.2,2.9){\dblh}\rput(0.2,1.1){\dblh}
%\rput(5.6,4.7){\dblh}\rput(5.6,2.9){\dblh}\rput(5.6,1.1){\dblh}
%\uput[ul](0.2,5.6){A} \uput[ur](5.6,5.6){B} \uput[dr](5.6,0.2){C} \uput[dl](0.2,0.2){D}
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%\uput[d](3.8,0.2){M} \uput[d](2,0.2){N} \uput[l](0.2,2){O} \uput[l](0.2,3.8){P}\uput[l](2.9,2.9){S}
%\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](0.2,5.6)(5.6,0.2)
%\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](5.6,5.6)(0.2,0.2)
%\pspolygon(2,5.6)(3.8,5.6)(5.6,3.8)(5.6,2)(3.8,0.2)(2,0.2)(0.2,2)(0.2,3.8)%IJKLMNOP
%\end{pspicture}
%\end{minipage}

\emph{Remarque} : quand on ne connaissait pas la formule donnant l'aire du disque on cherchait à approcher cette aire par celle d'un polygone dont le contour voisinait le cercle.

On voit avec cet exercice que l'octogone ci-dessus donne une aire (63) du disque avec une erreur inférieure à $1\,\%$.
\end{document}