\documentclass[10pt,a4paper]{article}

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\usepackage{pst-all,pst-eucl}
% Tapuscrit : Denis Vergès
% Corrigé par  : François Hache
%\setlength\paperheight{297mm}
%\setlength\paperwidth{210mm}
%\setlength{\textheight}{23,5cm}

\usepackage{vmargin}
\setmarginsrb{3cm}{2.5cm}{3cm}{2.5cm}{0cm}{1cm}{0cm}{1.5cm}
% 1 est la marge gauche
% 2 est la marge en haut
% 3 est la marge droite
% 4 est la marge en bas
% 5 fixe la hauteur de l'entéte
% 6 fixe la distance entre l'entéte et le texte
% 7 fixe la hauteur du pied de page
% 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page

\newcommand{\cg}{\texttt{]}}%    crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}%    crochet droit
\newcommand{\pg}{\geqslant}%     supérieur ou égal à
\newcommand{\pp}{\leqslant}%     inférieur ou égal à
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
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\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Amérique du Sud novembre 2010},
allbordercolors = white}   
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{novembre 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~{\red Corrigé} du brevet des collèges Amérique du Sud ~\decofourright\\ Novembre 2009}}
    
%\vspace{0,5cm}
%    
%\textbf{Durée : 2 heures} 
\end{center}
%
%\vspace{0,25cm}

\section*{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

%\vspace{0,25cm}

\subsection*{Exercice 1}

%\medskip

%Recopier et compléter le tableau colonne par colonne ($x$ est un nombre positif) :
%
%\medskip

\begin{center}
{
\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$			&9	     & \textcolor{red}{4}  & \textcolor{red}{25} \\
\hline% 
$x^2$		&\textcolor{red}{81} & 16	   & \textcolor{red}{625} \\
\hline% 
$\sqrt{x}$	&\textcolor{red}{3}	 & \textcolor{red}{2}  & 5  \\ \hline% 
\end{tabularx}
}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 2}

\medskip
 
On considère la fraction $\dfrac{190}{114}$.

\begin{enumerate}
\item% Expliquer pourquoi cette fraction n'est pas irréductible, 
Les deux nombres 190 et 114 sont pairs donc divisibles par 2, donc la fraction $\dfrac{190}{114}$ n'est pas irréductible.

\item% Déterminer le PGCD des nombres $190$ et $114$ par la méthode de votre choix (faire apparaître les calculs utilisés), 
$190 = 114 \times 1 + 76$;
$114 = 76 \times 1 + 38$;
$76 = 38 \times 2 + 0$

Le dernier reste non nul est 38 donc le PGCD de 190 et 114 est 38.

\item% En déduire la forme irréductible de la fraction $\dfrac{190}{114}$.
$190 = 5\times 38$ et $114 = 3\times 38$ donc
$\dfrac{190}{114} = \dfrac{5\times 38}{3\times 38}=\dfrac{5}{3}$

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 3}

%\medskip
% 
%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (\textbf{Q. C. M.}).
%
%Aucune justification n'est demandée.
% 
%Pour chacune des expressions numériques, trois résultats sont proposés. Un seul est exact.
%
%Chaque réponse exacte donne $0,5$ point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.
%
%\bigskip
% 
%\textbf{Recopier sur la copie chaque expression numérique et la réponse exacte.}

%\medskip
%
%\begin{center}
%
%\renewcommand{\arraystretch}{1.6} 
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%			&Réponse A &Réponse B &Réponse C \\ \hline%
%\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\dfrac{3}{2} + \dfrac{7}{5}$ &$\dfrac{10}{7}$&$\dfrac{10}{10}$&$\dfrac{29}{10}$ \\ \hline%
%\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\dfrac{10^5}{10^2}$ &$10^3$&$10^7$& $10^{-3}$\\ \hline%
%\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{3} : \dfrac{1}{4}$&$\dfrac{1}{12}$&$- \dfrac{26}{3}$&$- \dfrac{20}{3}$\\ \hline% 
%\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\left(10^5 \right)^2$&$10^7$&$10^3$&$10^{10}$\\ \hline%
%\end{tabularx}
%
%\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{lll}
$\dfrac{3}{2}+\dfrac{7}{5}$
 &  \textbf{Réponse C} 
 & $\dfrac{3}{2}+\dfrac{7}{5}=\dfrac{14}{10}+ \dfrac{14}{10} = \dfrac{29}{10}$\\[8pt]
$\dfrac{10^5}{10^2}$ 
 & \textbf{Réponse A}
 & $\dfrac{10^5}{10^2} = \dfrac{10^2\times 10^3}{10^2}= 10^3$\\[8pt]
$\dfrac{2}{3}-\dfrac{7}{3}:\dfrac{1}{4}$
 & \textbf{Réponse B}
 & $\dfrac{2}{3}-\dfrac{7}{3}:\dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{3}- \dfrac{7}{3}\times \dfrac{4}{1}= \dfrac{2}{3} - \dfrac{28}{3} = -\dfrac{26}{3}$\\[8pt]
$\left (10^5\right )^2$ 
 & \textbf{Réponse C}
 & $\left (10^5\right )^2 = 10^{5\times 2}=10^{10}$
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 4}

\medskip
 
On donne A $= (x - 5)^2$ et B $= x^2 - 10x + 25$.
 
\begin{enumerate}
\item 
\begin{list}{\textbullet}{Pour $x = 5$ }

\item $\text A = (5-5)^2=0$

\item $\text B = 5^2 - 10\times 5 + 25 = 25-50+25 = 0$

\end{list}

\item% Calculer A et B pour $x = -1$. 
\begin{list}{\textbullet}{Pour $x = -1$ }

\item $\text A = (-1-5)^2=(-6)^2=36$

\item $\text B = (-1)^2 - 10\times (-1) + 25 = 1 +10+25 = 36$

\end{list}

\item% Peut-on affirmer que A = B quelle que soit la valeur de $x$ ? Justifier. 
Pour tout $x$:
$\text A = (x-5)^2 = x^2 - 2\times x\times 5 + 5^2 = x^2 -10x+25 = \text B$


\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\section*{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\medskip
  
\subsection*{Exercice 1}

\medskip
 
Simon joue avec son cerf-volant au bord de la plage. La ficelle est déroulée au maximum et elle est tendue, elle mesure 50~m.

\medskip

\parbox{0.13\linewidth}{
\psset{unit=0.1cm}
\def\xmin {-5}   \def\xmax {20}
\def\ymin {-5}   \def\ymax {60}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=0]
\psframe(8.68,0)(6.68,2)
\psline(0,0)(50;80)(8.68,0)(0,0)
\psline(-5,0)(15,0)
\uput[d](0,0){S} \uput[d](8.68,0){H}
\uput[r](50;80){C}
\uput[l](25;80){50 m}
\psarc(0,0){3}{0}{80} \uput{3pt}[60](3;40){\small 80°}    
\end{pspicture*}
}% fin du parbox 
\hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\begin{enumerate}
\item La ficelle fait avec l'horizontale un angle $\widehat{\text{CSH}}$ qui mesure 80 \degres.

Dans le triangle SCH rectangle en H: 

$\sin \widehat{\text{SCH}} = \dfrac{\text{CH}}{\text{SC}}$ donc
$\text{CH} = \text{SC}\times \sin 80\degres \approx 49$~m.

% Calculer la hauteur à laquelle vole le cerf-volant, c'est-à-dire CH (on donnera la réponse arrondie au mètre). 

\item Lorsque la ficelle fait avec l'horizontale un angle de 40~\degres, la distance CH vaut\\
$\text{SC}\times \sin 40\degres \approx 32$~m.

Ce n'est donc pas la moitié de la distance calculée au \textbf{1.}

\end{enumerate}}
\hfill
\parbox{0.33\linewidth}{
\psset{unit=0.08cm}
\def\xmin {-5}   \def\xmax {45}
\def\ymin {-35}   \def\ymax {60}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=0]
\psframe(38.3,0)(36.3,2)
\psline(0,0)(50;40)(38.3,0)(0,0)
\psline(-5,0)(45,0)
\uput[d](0,0){S} \uput[d](38.3,0){H}
\uput[r](50;40){C}
\uput[l](25;40){50 m}
\psarc(0,0){5}{0}{40} \uput[30](5;20){\small 40°}    
\end{pspicture}
}% fin du parbox 



\vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{Le cube représenté ci-contre est un cube d'arête 6~cm.

% (\emph{la figure n'est pas aux dimensions réelles})
  
On considère :
 
le point M milieu de l'arête [BB$'$],

le point N milieu de l'arête [CC$'$],
 
le point P milieu de l'arête [DC],

le point R milieu de l'arête [AB].} \hfill
\parbox{0.53\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,0)(6,5)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.5,0)(3.5,0.5)(3.5,3.5)(1.5,3)
\psframe(3,3)
\psline(3,0)(4,1)(4,4)(3,3)
\psline(0,3)(1,4) \psline(1,4)(4,4)
\uput[ul](0,3){A} \uput[ul](3,3){B} \uput[d](3,0){C} 
\uput[d](0,0){D} \uput[u](1,4){A$'$} \uput[u](4,4){B$'$} 
\uput[r](4,1){C$'$} \uput[l](1,1){D$'$} \uput[u](3.5,3.5){M} 
\uput[r](3.5,0.5){N} \uput[d](1.5,0){P}  \uput[u](1.5,3){R}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1,1)(1,4)
\psline[linestyle=dashed](1,1)(4,1)

\end{pspicture}}

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item% Quelle est la nature du triangle BRM ?
~\\[-20pt]
%Construire ce triangle en vraie grandeur.

\parbox{0.59\linewidth}
{
ABB'A' est un carré donc l'angle $\widehat{\text{RBM}}$ est droit; le triangle BRM est rectangle en B.

De plus R est le milieu de \cd{}AB\cg{} et $\text{AB}=6$ donc $\text{BR}=3$. \\
De même M est le milieu de \cd{}BB'\cg{} donc $\text{BM}=3$. \\
On en déduit que le triangle BRM est isocèle.

Le triangle BRM est donc isocèle rectangle en B. 

D'après le théorème de Pythagore:\\
$\text{RM}^2 = \text{BR}^2+\text{BM}^2=3^2+3^2=18$ donc $\text{RM}=\ds\sqrt{18} = 3\ds\sqrt{2}$
}
\hfill
\parbox{0.4\linewidth}
{
\psset{unit=1cm}
\def\xmin {-0.5}   \def\xmax {3.5}
\def\ymin {-0.5}   \def\ymax {3.5}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){R} \uput[ur](3,3){M}
\pnode(0,0){R} \pnode(3,0){B} \pnode(3,3){M}
\psframe[linewidth=0.8pt](3,0)(2.7,0.3)
\uput[dr](3,0){B}  
%\pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)
\ncline{R}{M}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslashh]{B}{R}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslashh]{B}{M}
\end{pspicture}
}

%Calculer la valeur exacte de RM. 
 
\item On coupe le cube par le plan passant par R et parallèle à l'arête [BC].
 
%La section est le quadrilatère RMNP.
% 
%Quelle est la nature de la section RMNP ? Construire RMNP en vraie grandeur.

\parbox{0.4\linewidth}
{ 
\psset{unit=1cm}
\def\xmin {-1}   \def\xmax {4.5}
\def\ymin {-1}   \def\ymax {7}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psframe(0,0)(4.24,6)
\uput[dl](0,0){P} \uput[dr](4.24,0){N} 
\uput[ul](0,6){R} \uput[ur](4.24,6){M}
\uput[u](2.12,6){$3\ds\sqrt{2}$}
\uput[l](0,3){6}
\end{pspicture}
}
\hfill
\parbox{0.5\linewidth}{
La section RMPN est un rectangle dont la longueur vaut 6~cm et la largeur vaut $3\ds\sqrt{2}$~cm.
} 
  
%Donner ses dimensions exactes. 

\item% Calculer l'aire du triangle RBM.
Le triangle BRM est rectangle isocèle en B donc c'est la moitié d'un carré; \\
son aire est: $\dfrac{\text{BR}\times \text{BM}}{2} = \dfrac{3\times 3}{2}=4,5$~cm$^2$.

Le prisme droit de base RBM et de hauteur \cd{}BC\cg{} a pour volume:\\
$\text{aire de la base} \times \text{hauteur}=4,5\times 6 = 27$~cm$^3$.
 
%Calculer le volume du prisme droit de base le triangle RBM et de hauteur [BC]. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{Problème  \hfill 12 points}

\bigskip

\subsubsection*{Première partie : étude de la figure donnée en annexe 1}

OABC est un carré de côté 7~cm;
 O, A et E sont alignés et AE = 2 cm.
 
\begin{enumerate}
\item% Calculer l'aire du carré OABC.
L'aire du carré OABC est $\text{OA}\times \text{OC}=7\times 7 = 49$~cm$^2$

\item% Calculer $\tan \widehat{\text{OEC}}$ ; en déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{OEC}}$, arrondie au degré. 
Dans le triangle OEC rectangle en O:
$\tan \widehat{\text{OEC}}=\dfrac{\text{OC}}{\text{OE}}= \dfrac{7}{7+2}=\dfrac{7}{9}$

On trouve à la calculatrice, $\widehat{\text{OEC}} \approx 38\degres$

\item% Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{ECB}}$ ? Justifier.
Les droites (BC) et (OE) sont parallèles et elles sont coupées par la droite (CE); les angles  $\widehat{\text{OEC}}$ et $\widehat{\text{ECB}}$ sont donc alternes internes et ils ont donc la même mesure: $\widehat{\text{ECB}} \approx 38\degres$.

\end{enumerate}

\bigskip
 
\subsubsection*{Deuxième partie: construction d'un rectangle sur la figure de l'annexe 1 :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item% Compléter la figure donnée en annexe 1 (à rendre avec la copie) en effectuant le programme de construction suivant : 
%	\begin{enumerate}
%		\item construire avec soin la droite parallèle à la droite (CE) passant par A ; cette droite coupe le segment [OC] en M. Placer M. 
%		\item construire le rectangle OMNE.
%	\end{enumerate} 
Voir figure en annexe.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Prouver que $\dfrac{\text{OM}}{\text{OC}} = \dfrac{\text{OA}}{\text{OE}}$.
Par construction, les droites (AM) et (CE) sont parallèles; donc on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles OAM et OEC:
$\dfrac{\text{OM}}{\text{OC}} = \dfrac{\text{OA}}{\text{OE}}$		
				
		\item% Calculer la valeur exacte de OM. 
On sait que $\dfrac{\text{OM}}{\text{OC}} = \dfrac{\text{OA}}{\text{OE}}$;
or $\text{OC}=\text{OA}=7$ et $\text{OE}=9$.\\[5pt]
Donc $\dfrac{\text{OM}}{\text{OC}} = \dfrac{\text{OA}}{\text{OE}}
\iff
\dfrac{\text{OM}}{7} = \dfrac{7}{9}
\iff 
\text{OM} = \dfrac{49}{9}$

		\item% Montrer que l'aire du rectangle OMNE est égale à l'aire du carré OABC. 
L'aire du rectangle OMNE est égale à $\text{OM}\times \text{OE} 
= \dfrac{49}{9}\times 9 = 49$~cm$^2$.

Donc l'aire du rectangle OMNE est égale à l'aire du carré OABC.  

	\end{enumerate}

\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\subsubsection*{Troisième partie: construction d'un rectangle de même aire qu'un carré}
 
%\textbf{ :}

\medskip
 
On utilisera la figure donnée en \textbf{annexe 2 (à rendre avec la copie)} :
 
OABC est maintenant un carré de côté 5~cm ; O, A et E sont alignés ; AE = 5~cm.

 Construire le rectangle OMNE de même aire que le carré OABC, avec M appartenant au segment [OC]. 
 
\bigskip 
 
On prendra M milieu de \cd{}OC\cg; ce point M peut être obtenu comme intersection de (OC) avec la parallèle à (CE) passant par A.

L'aire du carré OABC est égale à $5\times 5=25$~cm$^2$.

L'aire du rectangle OMNE est égale à $2,5\times 10=25$~cm$^2$.

\newpage

\section*{ANNEXES À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft} \textbf{Annexe 1} \end{flushleft}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,8)
\psframe(7,7)
\psline(7,0)(9,0)
\uput[d](0,0){O} \uput[d](7,0){A} \uput[u](7,7){B} 
\uput[u](0,7){C} \uput[d](9,0){E}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,0)(7,0)(7,7)(0,7)(9,0)
%%% corrigé
\psset{linecolor=red}
\psline(0,7)(9,0)
\psplot{-1}{8}{-7 x mul 49 add 9 div}
\uput[-150](0,5.44){\red M}
\psframe(0,0)(9,5.44) \uput[ur](9,5.44){\red N}
\end{pspicture}  
\end{center}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft} \textbf{Annexe 2} \end{flushleft}

\medskip

\begin{center} 
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,8)
\psframe(5,5)
\psline(5,0)(10,0)
\uput[d](0,0){O} \uput[d](5,0){A} \uput[u](5,5){B} 
\uput[u](0,5){C} \uput[d](10,0){E}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,0)(5,0)(5,5)(0,5)(10,0) 
%%% Corrigé
\psset{linecolor=red}
\psframe(0,0)(10,2.5)
\uput[l](0,2.5){\red M} \uput[ur](10,2.5){\red N} 
\psset{linestyle=dashed}
\psline(0,2.5)(5,0)
\psline(0,5)(10,0)
\end{pspicture}  
\end{center}

\end{document}