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%\DeclareUnicodeCharacter{0301}{~}
%Merci à Nicolas Pamphile pour le sujet
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small L'année 2024}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Martinique}
\lfoot{\small 3 juillet 2024}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges Martinique 3 juillet 2024 \decofourright}}
\bigskip


%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Indications portant sur l'ensemble du sujet.}}\\
%Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.\\
%Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.\\ \hline
%\end{tabularx}


\end{center}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 1 \hfill 20 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Anne et Jean ont acheté $630$ dragées roses et $810$~dragées blanches qu'ils ont mises dans un sachet. On suppose que les dragées sont indiscernables au toucher.
	\begin{enumerate}
		\item %Combien Anne et Jean ont-ils acheté de dragées au total ?
Anne et Jean ont  acheté à eux deux $630 + 810 = \np{1440}$~dragées.
		\item %Anne prend au hasard une dragée dans le sachet. Quelle est la probabilité qu'elle obtienne une dragée blanche ?
		Il y a 810 dragées blanches parmi les \np{1440} dragées ; la probabilité est donc égale à : $\dfrac{810}{\np{1440}} = \dfrac{81}{144} = \dfrac{9 \times 9}{9 \times 16} = \dfrac{9}{16} = \np{0,5625}$.
	\end{enumerate}
\item %Avec ces dragées, ils réalisent des ballotins pour leur mariage de sorte que: 
%\begin{itemize}
%\item le nombre de dragées roses est le même dans chaque ballotin ;
%\item le nombre de dragées blanches est le même dans chaque ballotin ;
%\item toutes les dragées soient utilisées.
%\end{itemize}

	\begin{enumerate}
		\item %Peuvent-ils réaliser $21$ ballotins?
		On a $\dfrac{630}{21} = \dfrac{9 \times 7 \times 10}{3 \times 7} 
 = 3 \times 10 = 30$ et $\dfrac{810}{21} = \dfrac{3 \times 270}{3 \times 7} = \dfrac{270}{7}$ qui n'est pas un entier  : ils ne peuvent réaliser 21 ballotins identiques
 		\item %Décomposer $630$ et $810$ en produits de facteurs premiers.
	$630 = 9 \times 7 \times 10 = 9 \times 7 \times 2 \times 5 = 2 \times 3^2 \times 5 \times7$ et 
	
	$810 = 81 \times 10 = 9 \times 9 \times 2 \times 5 = 2\times 3^4 \times 5$
		\item %En déduire le nombre maximum de ballotins qu'Anne et Jean pourront réaliser.
%Donner alors la composition de chaque ballotin.

Les facteurs communs à 630 et 810 les plus nombreux sont : un facteur 2, deux facteurs 3 et un facteur 5  : autrement dit le plus grand diviseur de 630 et de 810 est le produit $2 \times 3^2 \times 5 = 9 \times 10 = 90$.

On a $630 = 90 \times 7$ et $810 = 90 \times 9$.

Conclusion : Anne et Jean pourront faire 90 ballotins identiques de 7 dragées roses et 9 dragées blanches.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 2 \hfill 18 points}}

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
%
%\textbf{Aucune justification n'est demandée}.
%
%Pour chaque question, trois réponses (A, B et C) sont proposées.
%
%\textbf{Une seule réponse est exacte.}
%
%Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.4cm}|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\multicolumn{2}{|m{6.4cm}|}{}&Réponse A & Réponse B & Réponse C \\ \hline
%\multicolumn{2}{|m{6.4cm}|}{\textbf{Question 1}
%
%Quelle est l'écriture scientifique de \np{13420} ?} &
%$1,342 \times 10^{-4}$ & $1,342 \times 10^4$ & $\np{1342} \times 10^1$\\ \hline
%\multicolumn{2}{|m{6.4cm}|}{\textbf{Question 2}
%
%On a relevé, en mètres, les onze meilleures performances du lancer de marteau chez les hommes: 
%
%85,14~;~85,14~;~85,20~;~85,60~;~85,68~;~85,74~;
%
%86,04~;~86,34~;~86,51~;~86,66~;~86,74.
%
%Quelle est la médiane de cette série ?}&85,74&85,86&85,89\\ \hline
%
%\multirow{2}{3.2cm}{\psset{unit=0.8cm}
%\begin{pspicture}(-2.2,-2.4)(2.2,2.4)
%\pscircle(0,0){2.1}
%\def\ange{\pspolygon(0;0)(1.6;0)(2.1;11.25)(1.6;22.5)}
%\multido{\n=0.0+22.5}{16}{\rput{\n}(0;0){\ange}}
%\psline[linewidth=1.25pt](2.3;112.5)(2.3;292.5)\uput[ur](2.3;115){\small$(d)$}
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0;0)(1.6;157.5)(2.1;168.75)(1.6;180)
%\multido{\n=1+1,\na=146.25+-22.50}{15}{\rput(1.2;\na){\footnotesize \n}}
%\end{pspicture}}&\textbf{Question 3} 
%Quelle est l'image du motif gris par la symétrie d'axe $(d)$ ?&Le motif 8&Le motif 15&Le motif 5
%\\ \cline{2-5}
%&\textbf{Question 4} 
%Quelle est l'image du motif gris par la rotation de centre O et d'angle $90\degres$ dans le sens antihoraire ?&Le motif 4&Le motif 12&Le motif 13\\ \hline
%\multirow{2}{3.2cm}{\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.35cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture*}(-1.9,-2.9)(4,6)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]
%\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.9,-2.9)(4,6)
%\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-2}{4}{4 2 x mul sub}
%\uput[dl](2.9,-1.3){\small $(d)$}
%\end{pspicture*}}&\textbf{Question 5} 
%
%Quelle est l'image de 2 par la fonction $f$ ? &0&1&4\\ \cline{2-5}
%&\textbf{Question 6}
%
%Quel est le coefficient directeur de la droite $(d)$ ?&2 &$-0,5$&$- 2$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
\textbf{Question 1} $\np{13420} = \np{1,432} \times 10^4$ : réponse B

\textbf{Question 2} La médiane est la sixième valeur qui partage les 10 performances en deux séries de 5 nombres : la médiane est donc 85,74 ; réponse A.

\textbf{Question 3} Le motif gris a pour symétrique le motif 5 : réponse C

\textbf{Question 4} Le motif gris a pour image le motif 12 : réponse B.

\textbf{Question 5} $f$ étant représentée par la droite $(d)$, 2 a pour image 0 : réponse A.

\textbf{Question 6} Le coefficient directeur de la droite peut se calculer avec les points de coordonnées (0~;~4) et (2~;~0), soit comme le quotient $\dfrac{0 - 4}{2 - 0} = \dfrac{-4}{2} = - 2$ : réponse C.
\bigskip

{\large \textbf{Exercice 3 \hfill 22 points}}

\medskip

%Sur la figure ci-après, qui n'est pas à l'échelle, on a représenté le trajet de la course que doit faire Oscar.
%
%\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
Dans le triangle DLA rectangle en L, le point J appartient au segment [DA] et le
point K appartient au segment [DL].

On donne : 
\phantom{On donne :}
\begin{tabular}{l}
DL = 600~m ;\\
KJ = 200~m ;\\
DJ = 520 m ;\\
KL = 120 m.
\end{tabular}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=0.85cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(8,6.8)
%\psgrid
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(1.5,0.5)(3.5,3.5)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(3.5,3.5)(5.2,2.3)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(5.2,2.3)(7.9,3.6)
\uput[d](1.5,0.5){D} \uput[ul](3.5,3.5){K} \uput[dr](5.2,2.3){J} \uput[r](7.9,3.6){A}
\uput[u](5,5.8){L}
\rput{-128}(5,5.8){\psframe(0.3,0.3)}
\psline[linestyle=dashed](3.5,3.5)(5,5.8)(7.9,3.6)
\psline[linestyle=dashed](1.5,0.5)(5.2,2.3)
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.5,1.3)(4,6.6)\rput{55}(2.1,4.1){600 m}
\rput{57}(4.5,4.65){120 m}\rput{-38}(4.55,3.1){200 m}\rput{28}(3.55,1.3){520 m}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que la longueur DK est égale à 480~m.
On a DK + KL = DL soit $\text{DK} + 120 = 600$, d'où DK $= 600 - 120 = 480$~(m).
\item %Montrer que le triangle DKJ est rectangle en K.
On a $\text{DK}^2 + \text{KJ}^2 = 480^2 + 200^2 = \np{230400} + \np{40000} = \np{270400}$ et DJ$^2 = 520^2 = \np{270400}$.

On a donc $\text{DK}^2 + \text{KJ}^2 = \text{DJ}^2$ : d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle DKJ est rectangle en K.
\item %Justifier que les droites (KJ) et (LA) sont parallèles.
Les droites (LA) et (KJ) sont perpendiculaires à la même droite (DL) : elles sont donc parallèles.
\item %Montrer que le segment [DA] mesure 650~m.
Les droites (LA) et (KJ) sont  parallèles, les points D, K et sont alignés et les points D, J et A le sont aussi : on a donc une configuration de Thalès  : on peut donc écrire l'égalité :

$\dfrac{\text{DR}}{\text{DI}} = \dfrac{\text{DJ}}{\text{DA}}$, soit $\dfrac{480}{600} = \dfrac{520}{\text{DA}}$, d'où $\text{DA}\times 480 = 600 \times 520$ puis $\text{DA} = \dfrac{600 \times 520}{480} = 650$~(m).
\item %Calculer la longueur du trajet DKJA, fléché sur la figure.
La longueur du trajet fléché est :

DK + KJ + JA $= 480 + 200 + (650 - 520) = 810$.
\item %Un photographe place une caméra au point D. Afin de filmer l'ensemble de la course
%sans bouger la caméra, l'angle $\widehat{\text{LDA}}$ doit être inférieur à $25\degres$.

% Est-ce le cas ?
Dans le triangle rectangle LDA, on a DA $ = \text{DJ}  + \text{JA} = 520 + 130 = 650$ et par exemple : $\cos \widehat{\text{LDA}} = \dfrac{\text{long. côté adjacent}}{\text{long. hypoténuse}} = \dfrac{600}{650} = \dfrac{60}{65} = \dfrac{12}{13}$

La calculatrice donne $\widehat{\text{LDA}} \approx 22,6$ (en degres).

Cette valeur est inférieure à 25 : le photographe pourra tout filmer sans bouger sa caméra.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 4 \hfill 18 points}}

\medskip

On considère le programme de calcul ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$\bullet~$Choisir un nombre\\
$\bullet~$Mettre ce nombre au carré\\
$\bullet~$Soustraire le triple du nombre de départ\\
$\bullet~$Soustraire 4\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que si on choisit 5 comme nombre de départ, le résultat du programme est 6.
On a successivement : $5 \to 5^2 = 25 \to 25 - 3 \times 5 = 10  \to, 10 - 4 = 6$.
\item %On choisit $x$ comme nombre de départ.
De même avec $x$ au départ : 

$x \to x^2 \to x^2 - 3x \to x^2 - 3x - 4$.
%Exprimer le résultat du programme en fonction de $x$.
\item %Vérifier que l'on peut écrire ce résultat sous la forme $(x+ 1)(x - 4)$
On développe $(x+ 1)(x - 4) = x^2 - 4x + x  - 4 = x^2 - 3x - 4 $. On retrouve l'expression de la question 2.

On a donc $x^2 - 3x - 4 = (x + 1)(x - 4)$.
\item %Déterminer les nombres à choisir au départ pour que le résultat du programme soit 0.
Il faut trouver un ou des nombres $x$ tels que $x^2 - 3x - 4 = 0$ ou d'après la question précédente tels que :

$(x + 1)(x - 4) = 0$.

Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul , soit 

$\left\{\begin{array}{l c l}
x +1&=&0\\
&\text{ou}&\\
x - 4&=&0
\end{array}\right.$ d'où $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&- 1\\
&\text{ou}&\\
x &=& 4
\end{array}\right.$.

Il y a donc deux nombres qui donnent finalement 0 : ce sont $- 1$ et 4.
\item %Juliette a écrit le programme ci-dessous :

%\begin{scratch}[num blocks]
%\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
%\blockmove{demander \ovalnum{Choisir un nombre} et attendre}
%\blockvariable{mettre \selectmenu{x} à \ovalmove{réponse}}
%\blockvariable{mettre \selectmenu{y} à \ovaloperator{\ovalnum{\ldots}*\ovalnum{\ldots}}}
%\blockvariable{mettre \selectmenu{z} à \ovaloperator{\ovalnum{3}*\ovalnum{x}}}
%\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalnum{\ldots}-\ovalnum{\ldots} - 4}}
%\blocklook{dire \ovalnum{Résultat } pendant \ovalnum{5}secondes}
%\end{scratch}
Juliette doit compléter en ligne 4 et 6 :

\begin{scratch}
\blockvariable{mettre \selectmenu{y} à \ovaloperator{\ovalnum{x}*\ovalnum{x}}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalnum{y}-\ovalnum{z} - 4}}
\end{scratch}
\end{enumerate}

\medskip

%Recopier et compléter sur la copie les lignes 4 et 6 du programme afin que celui-ci corresponde au programme de calcul encadré.

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 5 \hfill 22 points}}

\medskip

%\begin{minipage}{0.48\linewidth}
%Pour obtenir l'octogone  EFGHIJKL ci-contre, on retire quatre triangles rectangles isocèles identiques des coins d'un carré ABCD de côté 5 m.
%
%On donne :
%
%AD $= 5$ m ; EF $= 2,2$ m.
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.5\linewidth}
%\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture}(8.6,8.6)
%%\psgrid
%\def\barc{\psline(0,-0.1)(0,0.1)}
%\def\bara{\psline(-0.05,-0.1)(-0.05,0.1)\psline(0.05,-0.1)(0.05,0.1)}
%\def\barb{\psline(-0.05,-0.1)(-0.05,0.1)\psline(0,-0.1)(0,0.1)\psline(0.05,-0.1)(0.05,0.1)}
%\psframe(1.4,0.5)(8.4,7.5)%DCBA
%\pspolygon[linewidth=1.25pt](3.4,0.5)(6.4,0.5)(8.4,2.5)(8.4,5.5)(6.4,7.5)(3.4,7.5)(1.4,5.5)(1.4,2.5)
%\rput(5,7.5){\bara}\rput(5,0.5){\bara}\rput{90}(8.4,4){\bara}\rput{90}(1.4,4){\bara}
%\rput{45}(2.4,6.5){\barb}\rput{-45}(7.4,6.5){\barb}\rput{45}(7.4,1.5){\barb}\rput{-45}(2.4,1.5){\barb}
%\rput(2.4,7.5){\barc}\rput(7.4,7.5){\barc}
%\rput(2.4,0.5){\barc}\rput(7.4,0.5){\barc}
%\rput{90}(1.4,6.5){\barc}\rput{90}(8.4,6.5){\barc}
%\rput{90}(1.4,1.5){\barc}\rput{90}(8.4,1.5){\barc}
%\psframe(1.4,0.5)(1.65,0.75)\psframe(1.4,7.5)(1.65,7.25)\psframe(8.4,7.5)(8.15,7.25)\psframe(8.4,0.5)(8.15,0.75)
%\uput[ul](0.4,7.5){A} \uput[ur](8.4,7.5){B} \uput[dr](8.4,0.5){C} \uput[dl](1.4,0.5){D}
%\uput[u](3.4,7.5){E} \uput[u](6.4,7.5){F} \uput[r](8.4,5.5){G} \uput[r](8.4,2.5){H}
%\uput[d](6.4,0.5){I} \uput[d](3.4,0.5){J} \uput[l](1.4,2.5){K} \uput[l](1.4,5.5){L}
%\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(3.4,8)(6.4,8)\uput[u](5,8){2,2 m}
%\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(1,0.5)(1,7.5)\rput{90}(0.8,4){5 m}
%\end{pspicture}
%\end{minipage}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la longueur AE est égale à 1,4 m.
		D'après l'énoncé AB = AE + EF + FB = AE + EF + AE = 2AE + EF ou encore :
		
		$5 = 2\text{AE} + 2,2$ d'où $2\text{AE} = 5 - 2,2 = 2,8$ et enfin AE $ = \dfrac{2,8}{2} = 1,4$~(m).
		\item %Montrer que l'aire du triangle AEL est égale à 0,98 m$^2$.
L'aire du triangle AEL est :

$\mathcal{A}(\text{AEL}) = \dfrac{\text{AE}\times \text{EL}}{2} = \dfrac{1,4 \times 1,4}{2} = 1,4 \times 0,7 = 0,98~\left(\text{m}^2\right)$.
		\item %En déduire que l'aire de l'octogone grisé est égale à 21,08 m$^2$
		L'aire de l'octogone est égale à la différence entre l'aire du carré de côté AB = 5~(m) et l'aire des quatre coins d'aire $0,980,98~\left(\text{m}^2\right)$, soit :
		
$\mathcal{A}(\text{EFGHIJKL}) = 5^2 - 4 \times 0,98 = 25 - 3,92 = 21,08\left(\text{m}^2\right)$.
	\end{enumerate}
%\begin{minipage}{0.62\linewidth}
\item  %Cet octogone a les mêmes dimensions que la surface d'une piscine de hauteur 1,50 m.

%On souhaite remplir cette piscine aux trois quarts de sa hauteur.

%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.25\linewidth}
%\includegraphics[width=3.5cm]{piscine}
%\end{minipage}

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que le volume d'eau nécessaire est environ égal à $24~\text{m}^3$.
Le volume du prisme droit ayant pour base l'octogone d'aire $21,08\left(\text{m}^2\right)$ et pour hauteur $\dfrac34 \times 1,5~\text{m}$ est :

$V = 21,08 \times \dfrac34 \times 1,5 = 23,715~\left(\text{m}^3\right)$ soit un peu moins de $24~\left(\text{m}^3\right)$.
		\item  %Sachant que le débit du robinet utilisé pour remplir la piscine est de $12$~ L/min, calculer la durée de remplissage de ces $24~\text{m}^3$ d'eau.
		
		Il faut donc remplir $24 \times \np{1000} = \np{24000}~(\text{L})$ avec un débit de 12 L par minute.
		
La durée de remplissage est donc d'environ :
		
$\dfrac{\np{24000}}{12} = \np{2000}$~min.
		
Or $\np{2000} = 60 \times 33 + 20$ : la durée de remplissage est égale à 33~h 20~min.
%Donner le résultat en heures et minutes.

%\emph{Rappel}: 1 m$^3 = \np{1000}$~L.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}\textbf{}