\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{makeidx} \makeindex \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \newcommand{\textding}[1]{\text{\ding{#1}}} \usepackage{lscape} \usepackage{tabularx,booktabs} \usepackage{scratch3} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \usepackage{multicol} \usepackage{multirow} \definecolor{scrmovedddd}{HTML}{3373cc}% \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit et corrigé: François Hache %Relecture : Denis Vergès \usepackage{pst-eucl} \usepackage{diagbox}% à mettre après pst-eucl \usepackage{graphicx,pstricks,pst-plot,pst-grad,pst-node,pst-text,pstricks-add} \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pgf,tikz,pgfplots} \usetikzlibrary{patterns,calc,decorations.pathmorphing} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2.2cm, bottom=2cm]{geometry} \setlength\headheight{13.7pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \usepackage{colortbl} \usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Brevet}, pdftitle = {Année 2024}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{5pt} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \lhead{\small Brevet - corrigé} \rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \rfoot{\small Martinique - voie professionnelle} \lfoot{\small 3 juillet 2024} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Brevet - Martinique~\decofourright\\[7pt] Voie professionnelle - 3 juillet 2024 }} \end{center} \vspace{0.5cm} \textbf{\large Exercice 1: QCM \hfill 15 points} %\medskip % %Pour chaque question, quatre réponses sont proposées mais une seule est exacte. % %Cocher la bonne réponse sans justification. % %Une réponse juste rapporte 3 points, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte aucun point. \medskip \begin{enumerate} \item ~ \vspace{-10pt} \begin{minipage}{0.6\linewidth} Le tableau ci-contre est un tableau de proportionnalité. Indiquer la valeur manquante. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.38\linewidth} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Quantité &14&\\ \hline Coût (\euro)&98 &182\\ \hline \end{tabularx} \end{minipage} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} $\square~$\np{1274}&$\blue\boxtimes~26$&$\square~$7,46 &$\square~$70 \end{tabularx} %\end{enumerate} %\begin{enumerate}[start=2] \item L'écriture en notation scientifique de 520 est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} $\square~5,20 \times 10^{-2}$& $\square~5,20\times 10$& $\square~5,20 \times 10^3$&$\blue\boxtimes~5,20 \times 10^2$ \end{tabularx} \item Le patron permettant de construire un pavé droit est : \medskip \psset{unit=0.65cm} \begin{pspicture}(0,-1)(19.4,5.2) %\psgrid \def\rect{\psframe(1.7,1.3)}\def\carr{\psframe(1.3,1.3)} \rput(0,1.3){\carr}\rput(1.3,1.3){\rect}\rput(3,1.3){\carr}\rput(4.3,1.3){\carr} \rput(1.3,2.6){\rect}\rput(1.3,0){\rect} \rput(6,0){\rect}\rput(6,1.3){\rect}\rput(6,2.6){\rect}\rput(6,3.9){\rect} \rput(7.7,1.3){\carr}\rput(9,1.3){\carr} {\psset{linecolor=blue} \rput(11,1.3){\carr}\rput(14,1.3){\carr} \rput(12.3,0){\rect}\rput(12.3,1.3){\rect}\rput(12.3,2.6){\rect}\rput(12.3,3.9){\rect}} \rput(15.5,3.9){\carr}\rput(16.8,3.9){\carr} \rput(18.1,0){\rect}\rput(18.1,1.3){\rect}\rput(18.1,2.6){\rect}\rput(18.1,3.9){\rect} \rput(2.2,-0.8){$\square$}\rput(7,-0.8){$\square$}\rput(13.2,-0.8){$\blue\boxtimes$}\rput(18,-0.8){$\square$} \end{pspicture} \item L'expression développée de $A =2(7x + 3)$ est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} $\blue\boxtimes~A = 14x + 6$& $\square~A = 14x + 3$& $\square~A = 7x + 6$&$\square~A = 7x + 5$ \end{tabularx} \item La valeur du côté du cube B est trois fois plus grande que la valeur du côté du cube A. \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(7.6,3.7) \pspolygon(1.6,0.6)(2.4,0.5)(2.4,1.2)(1.6,1.3) \psline(2.4,0.5)(2.9,0.7)(2.9,1.4)(2.4,1.2) \psline(2.9,1.4)(2.1,1.5)(1.6,1.3) \psline[linestyle=dashed](1.6,0.6)(2.1,0.8)(2.9,0.7) \psline[linestyle=dashed](2.1,0.8)(2.1,1.5) \pspolygon(3.2,0.6)(5.6,0.3)(5.6,2.6)(3.2,2.9) \psline(5.6,0.3)(7.1,0.9)(7.1,3.2)(5.6,2.6) \psline(7.1,3.2)(4.7,3.5)(3.2,2.9) \psline[linestyle=dashed](3.2,0.6)(4.7,1.2)(7.1,0.9) \psline[linestyle=dashed](4.7,1.2)(4.7,3.5) \psline{<->}(1.5,0.6)(1.5,1.3)\rput(1.1,0.95){\footnotesize 1~cm} \rput(2.1,0){A}\rput(5,0){B} \end{pspicture} \end{center} Le volume du cube B est: \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} $\square~9~\text{cm}^3$& $\square~3~\text{cm}^3$& $\blue\boxtimes~27~\text{cm}^3$&$\square~36~\text{cm}^3$ \end{tabularx} \end{enumerate} \newpage \textbf{\large Exercice 2 \hfill 20 points} \medskip \begin{minipage}{0.52\linewidth} Le schéma ci-contre n'est pas à l'échelle. Les points A, E et D sont alignés ainsi que les points A, B et C. On donne : \begin{center} AC = 20~cm\qquad EB = 8,7~cm\qquad BC = 4cm\end{center} Les droites (EB) et (DC) sont parallèles. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.44\linewidth} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(6.2,5.2) \def\tri{\pspolygon(0,0)(4.1,0)(4.1,2.6)} \def\tro{\pspolygon(0,0)(5.494,0)(5.494,3.484)} \rput(0.3,1.2){\tri}\psframe(4.4,1.2)(4.2,1.4) \rput(0.3,1.2){\tro}\psframe(5.794,1.2)(5.594,1.4) \psline[linewidth=0.6pt]{<->}(4.5,1.2)(4.5,3.8)\rput{90}(4.7,2.5){8,7~cm} \psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.3,0.6)(5.794,0.6)\uput[d](3.05,0.6){20~cm} \psline[linewidth=0.6pt]{<->}(4.4,1.1)(5.794,1.1)\uput[d](5.1,1.1){4~cm} \uput[dl](0.3,1.2){A} \uput[dl](4.4,1.2){B} \uput[ul](4.4,3.8){E} \uput[dr](5.794,1.2){C} \uput[u](5.494,4.684){D} \end{pspicture} \end{minipage} %\medskip \begin{enumerate} \item% Calculer en centimètre (cm), la longueur AB. A, B et C sont alignés dans cet ordre donc AB + BC = AC.\\ Or BC = 4 et AC = 20, donc AB = 16. \item% Calculer, en centimètre (cm) la longueur AE. Arrondir au dixième. Le triangle ABE est rectangle en B donc, d'après le théorème de Pythagore, on a: $\text{AE}^2 = \text{AB}^2 + \text{BE}^2 = 16^2+ 8,7^2 = 256 + 75,69 = 331,69$ $\text{AE}=\ds\sqrt{331,69}$ donc AE vaut environ $18,2$ cm. %Indiquer le théorème utilisé. \item L'égalité $\dfrac{\text{EB}}{\text{DC}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}$ permet de calculer la longueur DC; elle provient du théorème de Thalès. %Indiquer le nom du théorème qui permet d'obtenir cette égalité. \item% Calculer la longueur DC en centimètre (cm). Arrondir au centième. $\dfrac{\text{EB}}{\text{DC}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}$ équivaut à $\dfrac{8,7}{\text{DC}} = \dfrac{16}{20}$ équivaut à $\dfrac{8,7\times 20}{16}=\text{DC}$ Donc $\text{DC}\approx 10,88$~cm. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Exercice 3 \hfill 20 points} \medskip Élise s'entraine pour passer les qualifications et représenter la France en athlétisme pour une épreuve internationale de 100 m. Le tableau ci-dessous regroupe la série de ses temps (en secondes) lors des onze dernières compétitions. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\hline 10,58 &10,59 &11,01 &11,03 &11,05 &11,08 &11,10 &11,11 &11,13 &11,18 &11,20 \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Le temps minimum mis par Élise pour parcourir le 100~m a été de $10,58$~s, et son temps maximum est de $11,20$~s. \item L'étendue de cette série est, en seconde, de $11,20-10,58=0,62$. \item Les résultats sont considérés comme réguliers si l'étendue est inférieure à $0,7$~s. $0,62<0,7$ donc les résultats d'Élise sont réguliers. \item %Déterminer, en secondes, la médiane de cette série. Les 11 résultats d'Élise sont rangés en ordre croissant dans le tableau. Donc la médiane de cette série est le 6\ieme{} résultat soit $11,08$~s. \item %Vérifier que la moyenne de cette série, arrondie au centième de seconde, est égale à $11,01$ s. $\begin{aligned}[t] m & =\dfrac{10,58 +10,59 +11,01 + 11,03 +11,05 +11,08 + 11,10 +11,11 +11,13 +11,18 +11,20}{11}\\ & = \dfrac{121,06}{11}\approx 11,005 \end{aligned}$ \\ donc la moyenne de cette série, arrondie au centième de seconde, est égale à $11,01$ s. \item Pour être sélectionnée en équipe de France, les critères suivants doivent être vérifiés: \begin{list}{\textbullet}{} \item 50\,\% des temps au 100 m sont inférieurs à $11,09$~secondes; \item la moyenne des temps au 100 m doit être inférieure à $11,05$~secondes. \end{list} \begin{list}{\textbullet}{On regarde si les critères sont vérifiés.} \item Sur 11 résultats, il y en a 6 qui sont inférieurs à $11,09$~secondes, ce qui fait plus de $50\,\%$. \item La moyenne des temps est de $11,01$ secondes; elle est donc inférieure à $11,05$~secondes. \end{list} Les deux critères sont vérifiés donc Élise pourra être sélectionnée en équipe de France. %Justifier la réponse. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Exercice 4 \hfill 30 points} \medskip Afin de se déplacer aux qualifications, le club d'athlétisme étudie les tarifs de location d'un minibus. On souhaite déterminer le tarif le plus intéressant selon le nombre de kilomètres parcourus. \begin{itemize} \item \textbf{Tarif A :} 3,50~\euro{} par kilomètre \item \textbf{Tarif B :} 2,50~\euro{} par kilomètre auxquels on ajoute un coût fixe de 200~\euro. \end{itemize} %\medskip \begin{enumerate} \item Le montant de la location avec le tarif A pour un trajet de 80 km est, en euros, de: $3,50\times 80=280$. \item On donne trois expressions de fonctions : \[f(x) = 2,50 x \quad ; \quad g(x) = 3,50 x \quad;\quad h(x) = 3,50 x + 200\] L'expression de la fonction modélisant le calcul du montant du tarif A est: $g(x)=3,50 x$. \item On place le point N de coordonnées (160~;~560) sur le graphique (voir page suivante). \item On trace la droite passant par les points M et N. On admet que la droite (MN) représente la fonction de la question 2, c'est-à-dire la fonction $g$ définie par $g(x)=3,50x$. Cette fonction est de la forme $x\longmapsto ax$, donc c'est une fonction linéaire. \end{enumerate} La droite déjà représentée sur le graphique permet de déterminer les montants du tarif B. \begin{enumerate}[resume] \item D'après le graphique, le nombre de kilomètres pour lequel les deux tarifs sont égaux est 200. On voit aussi qu'avant 200~km, c'est le tarif A le plus intéressant. On retrouve 200 en résolvant l'équation: $3,50x=2,50 x + 200$. %Laisser les traits de lecture apparents sur l'ANNEXE 2 à rendre avec la copie. \end{enumerate} Les qualifications se déroulent à une distance de 75~km du club. \begin{enumerate}[resume] \item Le nombre de kilomètres effectués pour aller et revenir des qualifications est 150. \item %Indiquer le tarif le plus intéressant pour le club. Justifier la réponse. D'après le graphique et les questions précédentes, le tarif le plus intéressant est le A. \begin{list}{\textbullet}{Par le calcul:} \item \textbf{Tarif A} - Pour 150~km, on paie, en euros, $3,50\times 150 = 525$. \item \textbf{Tarif B} - Pour 150~km, on paie, en euros, $2,50\times 150 +200 = 575$. \end{list} \end{enumerate} {\psset{xunit=0.05cm,yunit=0.02cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-20,-30)(240,820) \multido{\n=0+20}{13}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,800)} \multido{\n=0+50}{17}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(240,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=50]{->}(0,0)(0,0)(240,820) %\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{200}{2.5 x mul} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{228}{3.5 x mul} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{240}{2.5 x mul 200 add} \psdots[linecolor=blue](40,140)(160,560) \uput[dr](40,140){\blue M}\uput[dr](160,560){\blue N} \uput[u](230,0){(km)}\uput[r](0,810){tarif en \euro} \psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=1.5pt](200,700)(200,0) \psdots[linecolor=red](200,700) \uput*{9pt}[d](200,0){\red 200} \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](150,0)(150,800) \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,linecolor=cyan](150,575)(0,575) \uput[l](0,575){\cyan 575} \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,linecolor=blue](150,525)(0,525) \uput[l](0,525){\blue 525} \uput*{9pt}[d](150,0){\bf 150} \end{pspicture*}} \bigskip \textbf{\large Exercice 5 \hfill 15 points} \medskip Pour participer aux Qualifications, les clubs doivent payer des frais d'inscription. Pour le club, les frais d'inscription dépendent de la catégorie du sportif et du nombre d'inscrits. Une réduction de 20\,\% est accordée au club si les frais totaux d'inscription sont supérieurs à 500~\euro. Le programme suivant permet de calculer les frais d'inscription d'un club en 2023. %\begin{center} \scalebox{1}{ \hspace*{1cm}\parbox{\linewidth}{ \renewcommand*\numblock[1]{Ligne #1~~} \pnode(1.2,2.2){A} \pnode(1.2,-2.8){B} \psbrace[rot=180,ref=|t,nodesepA=-19pt,nodesepB=-4pt](A)(B){Bloc 1} \begin{scratch}[num blocks,baseline=10] \blockinit{quand \greenflag est cliqué} \blockmove{demander \ovalnum{Nombre de juniors à inscrire} et attendre} \blockvariable{mettre \selectmenu{Nombre de juniors} à \ovalmove{réponse}} \blockvariable{mettre \selectmenu{Coût juniors} à Nombre de juniors\ovaloperator{* 10}} \blockmove{demander \ovalnum{Nombre de séniors à inscrire} et attendre} \blockvariable{mettre \selectmenu{Nombre de séniors} à \ovalmove{réponse}} \blockvariable{mettre \selectmenu{Coût sénior} à Nombre de séniors\ovaloperator{* 17}} \setscratch{num blocks=false} \blockifelse{si \booloperator{\ovalmove{Coût juniors + Coût sénior} < \ovalnum{500}} alors} {\blockvariable{mettre \selectmenu{Coût total} à \ovalmove{Coût juniors + Coût sénior}} } {\blockvariable{mettre \ovalvariable{Réduction} à \ovaloperator{Coût juniors + Coût sénior * 20 / 100}} \blockvariable{mettre \selectmenu{Coût total} à {\ovaloperator{Coût juniors + Coût séniors - Réduction}}}} \renewcommand*\numblock[1]{Ligne \the\numexpr#1 -5~~} %%% Merci à Christian Tellechea auteur de l'extension scratch3 \setscratch{num blocks} \blocklook{Dire \ovaloperator{regrouper \ovalnum{Le montant total à payer est de} et \ovaloperator{regrouper} Coût total et \euro}} \end{scratch} }% fin du parbox }% fin du scalebox %\end{center} \bigskip \begin{enumerate} \item D'après la ligne 4 du programme le montant des frais d'inscription pour un sportif en catégorie junior en 2023 est de 10~\euro. \item L'instruction de la ligne 7 calcule le montant total des frais d'inscription des séniors, chaque sénior payant 17~\euro. Cela fait donc en tout: $\text{Nombre de séniors} \times 17$. \end{enumerate} \begin{minipage}{0.3\linewidth} Le tableau ci-contre donne les informations pour les inscriptions de l'année 2024. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.67\linewidth} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize }X|}}\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{~} &Nombre d'inscrits&Montant de l'inscription en \euro\\ \hline Catégorie junior &24&14\\ \hline Catégorie sénior &52&25\\ \hline \end{tabularx} {\footnotesize Inscription compétitions année 2024} \end{center} \end{minipage} \begin{enumerate}[resume] \item Les lignes à modifier dans le programme pour calculer les frais d'inscription en 2024 sont: \begin{list}{\textbullet}{} \item Ligne 4: mettre 14 à la place de 10. \item Ligne 7: mettre 25 à la place de 17. \end{list} \begin{list}{\textbullet}{Il faudra alors saisir:} \item le nombre 24 en ligne 2 pour \og Nombre de juniors à inscrire \fg; \item le nombre 52 en ligne 5 pour \og Nombre de séniors à inscrire \fg. \end{list} \item %Expliquer ce que permet de réaliser le bloc 1. Le bloc 1 permet de réaliser la réduction dans le cas où le coût total dépasse 500~\euro. \end{enumerate} \end{document}