\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{makeidx} \makeindex \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \newcommand{\textding}[1]{\text{\ding{#1}}} \usepackage{lscape} \usepackage{tabularx,booktabs} \usepackage{scratch3} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \usepackage{multicol} \usepackage{multirow} \definecolor{scrmovedddd}{HTML}{3373cc}% \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : François Hache %Relectrure : Denis Vergès \usepackage{pst-eucl} \usepackage{diagbox}% à mettre après pst-eucl \usepackage{graphicx,pstricks,pst-plot,pst-grad,pst-node,pst-text,pstricks-add} \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pgf,tikz,pgfplots} \usetikzlibrary{patterns,calc,decorations.pathmorphing} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2.2cm, bottom=2cm]{geometry} \setlength\headheight{13.7pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \usepackage{colortbl} \usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Brevet}, pdftitle = {Année 2024}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{4pt} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \lhead{\small L'année 2024} \rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \rfoot{\small Métropole - voie professionnelle - corrigé} \lfoot{\small 1er juillet 2024} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Brevet - Métropole~\decofourright\\[7pt] Voie professionnelle - 1\ier{} juillet 2024 }} \end{center} \vspace{0.5cm} \textbf{\large Exercice 1: QCM \hfill 20 points} \begin{enumerate} \item Un million peut s'écrire: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX} \scalebox{1.2}{$\square$~} $10^{3}$ & \scalebox{1.2}{$\square$~} $10^{4}$& \scalebox{1.2}{$\boxtimes$~} $10^{6}$ & \scalebox{1.2}{$\square$~} $10^{9}$ \end{tabularx} \bigskip \item Sur un plan de maison à l'échelle 1/100, si une chambre mesure $3,4$ cm de largeur sur le plan, sa largeur réelle est de: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX} \scalebox{1.2}{$\square$~} $3,4$ cm & \scalebox{1.2}{$\square$~} $34$ m & \scalebox{1.2}{$\boxtimes$~} $3,4$ m & \scalebox{1.2}{$\square$~} $34$ cm \end{tabularx} \bigskip \item Si on lance un dé équilibré à 6 faces, la probabilité d'obtenir un 6 est de: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX} \scalebox{1.2}{$\square$~} $\dfrac{1}{2}$ & \scalebox{1.2}{$\square$~} $\dfrac{1}{3}$ & \scalebox{1.2}{$\square$~} $\dfrac{1}{4}$ & \scalebox{1.2}{$\boxtimes$~} $\dfrac{1}{6}$ \end{tabularx} \bigskip \item Une barre énergétique de masse totale 80 g contient 70\,\% de sucre, la masse de sucre dans cette barre est de: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX} \scalebox{1.2}{$\square$}~ 48 g & \scalebox{1.2}{$\square$~} 72 g & \scalebox{1.2}{$\square$~} 15 g & \scalebox{1.2}{$\boxtimes$~} 56 g \end{tabularx} \bigskip \item Si on multiple par 2 les dimensions du cube ci-dessous, son volume sera de: \begin{center} \psset{unit=0.3cm,radius=0pt,arrowsize=3pt 2} \def\xmin {-1} \def\xmax {11} \def\ymin {-1} \def\ymax {9} \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) %\psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray] \Cnode*(0,0){A} \Cnode*(2,2){D}\Cnode*(6,0){B} \Cnode*(8,2){C} \Cnode*(6,6){F} \Cnode*(8,8){G} \Cnode*(0,6){E} \Cnode*(2,8){H} \psline(G)(C)(B)(A)(E)(F)(G)(H)(E) \psline(B)(F) \psset{linestyle=dashed} \psline(A)(D)(C) \psline(D)(H) {\footnotesize \uput[d](3,0){1 cm} \uput[r](7,1){1 cm} \uput[r](8,5){1 cm}} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX} \scalebox{1.2}{$\square$~} 3 cm$^3$ & \scalebox{1.2}{$\square$~} 6 cm$^3$ & \scalebox{1.2}{$\boxtimes$~} 8 cm$^3$ & \scalebox{1.2}{$\square$~} 12 cm$^3$ \end{tabularx} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Exercice 2: La nage papillon aux Jeux Olympiques (JO) \hfill 20 points} \medskip \begin{enumerate} \item Les épreuves de natation des Jeux Olympiques ont lieu dans des piscines olympiques. \begin{minipage}[t]{0.5\linewidth} \vspace{0pt} \begin{list}{\textbullet}{ La plupart des piscines olympiques sont des pavés droits avec les caractéristiques suivantes:} \item longueur $L$ : 50 m; \item largeur $\ell$: 25 m; \item hauteur d'eau $h$: 3 m. \end{list} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}[t]{8cm} \vspace{0pt} \scalebox{0.6}{ \psset{xunit=1cm,yunit=0.4cm,radius=0pt,arrowsize=3pt 2} \def\xmin {-1} \def\xmax {9} \def\ymin {-2} \def\ymax {11} \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) %\psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray] \Cnode*(0,0){A} \Cnode*(2,2){D}\Cnode*(6,0){B} \Cnode*(8,2){C} \Cnode*(6,6){F} \Cnode*(8,8){G} \Cnode*(0,6){E} \Cnode*(2,8){H} \pspolygon[linecolor=white,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](A)(B)(C)(G)(H)(E) \psline(G)(C)(B)(A)(E)(F)(G)(H)(E) \psline(B)(F) {\psset{linestyle=dashed} \psline(A)(D)(C) \psline(D)(H)} \psline{<->}(0,-1)(6,-1)\uput[d](3,-1){$L$} \psline{<->}(-0.3,0)(-0.3,6) \uput[l](-0.3,3){$h$} \psline{<->}(7,0)(9,2) \uput[dr](8,1){$\ell$} \end{pspicture} }% fin du scalebox \end{minipage} \begin{enumerate} \item Le volume d'eau contenu dans une piscine olympique est, en m$^3$, de:\\ $L \times \ell \times h = 50\times 25 \times 3 = \np{3750}$ soit $\np{3750000}$ litres. %Donner la réponse en mètre cube (m$^3$), puis en litres. (\textbf{Rappel} : 1 m$^3$ = \np{1000} L) \item \begin{list}{\textbullet}{Les piscines municipales les plus courantes ont les dimensions suivantes:} \item longueur $L$ : 25 m ; \item largeur $\ell$ : 12,5 m ; \item hauteur d'eau $h$ : 3 m. \end{list} %Lucas affirme que ce type de piscine contient 4 fois moins d'eau qu'une piscine olympique. %Indiquer si cette affirmation est vraie. Justifier la réponse. Le volume de la piscine municipale est, en m$^3$, de: $25\times 12,5 \times 3 = 937,5 = \dfrac{\np{3750}}{4}$. L'affirmation de Lucas est vraie. \end{enumerate} \end{enumerate} La nage papillon est la plus spectaculaire. C'est aussi la deuxième plus rapide après le crawl. Aux JO de Tokyo en 2021, la canadienne Margaret MacNeil a remporté l’épreuve du 100 m papillon en 56 secondes. \begin{enumerate}[start=2] \item La vitesse moyenne de Margaret MacNeil sur cette épreuve est, en m/s, de; $\dfrac{100}{56}$ soit environ $1,79$. %Arrondir le résultat au centième. %\textbf{Rappel} : formule de la vitesse $v$ (en m/s) en fonction de la distance parcourue $d$ en mètre (m) et du temps de parcours $t$ en seconde (s) : $v=\frac{d}{t}$. \item On a : 1 m/s = $3,6$ km/h. \\ La vitesse de Margaret MacNeil en km/h est donc de: $1,79\times 3,6 \approx 6,44$. %Arrondir au centième. \item L'australienne Emma MacKeon, médaille d'or en nage libre (crawl) a parcouru 100 m à la vitesse de $1,92$ m/s. \begin{enumerate} \item Le temps mis par Emma MacKeon sur cette épreuve est, en seconde, le nombre $t$ tel que: $1,96=\dfrac{100}{t}$. Donc: $t=\dfrac{100}{1,96}\approx 51,02$. %Arrondir au centième. \item On dit qu'une personne qui marche vite, à 7 km/h, est plus rapide sur 100 m qu'une personne nageant le crawl. La vitesse d'Emma MacKeon est de $1,92$ m/s soit en km/h: $1,92\times 3,6 = 6,912<7$. L'affirmation est donc vraie. %Justifier la réponse. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Exercice 3: Handball \hfill 24 points} \medskip Le handball est un sport olympique. Parmi les joueurs d'une équipe, les 2 arrières droits les plus efficaces sont Arthur et Kevin. Pour sélectionner l'un de ces deux joueurs, l'entraineur regarde leurs statistiques sur la saison 2022-2023. \begin{enumerate} \item Voici les statistiques de Arthur sur 9 matchs internationaux : \begin{center} \begin{tabular}{|c|*2{>{\centering\arraybackslash} m{2cm}|}} \hline Numéro des matchs 2022-2023 & ~~Tirs\newline réussis & Tirs tentés\newline au total\\ \hline 1 & 5 & 8\\ \hline 2 & 4 & 6\\ \hline 3 & 6 & 8\\ \hline 4 & 2 & 3\\ \hline 5 & 2 & 4 \\ \hline 6 & 7 & 8\\ \hline 7 & 2 & 5\\ \hline 8 & 3 & 6\\ \hline 9 & 4 & 8\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Le nombre total de tirs réussis par Arthur est: $5+4+6+2+2+7+2+3+4= 35$. \item Le nombre total de tirs tentés par Arthur est de 56. Le pourcentage de tirs réussis est: $\dfrac{35}{56}\times 100=62,5$. \item $\dfrac{35}{9}\approx 3,89$ Donc la moyenne de tirs réussis sur ces 9 matchs, arrondie à l'unité, est de 4 tirs. \item L'entraineur affirme que l'étendue du nombre de tirs réussis est 5. Le plus grand nombre de tirs réussis par match est 7, et le plus petit nombre de tirs réussis par match est 2. L'étendue est donc de $7-2=5$. L'entraineur a donc raison. \end{enumerate} \item Le joueur Kevin obtient les statistiques suivantes sur la même saison: \begin{center} \begin{tabular}{|p{7cm}|c|} \hline Pourcentage de tirs réussis & $62,5\,\%$\\ \hline Moyenne de tirs réussis par match & 4 \\ \hline Étendue du nombre de tirs réussis & 2 \\ \hline \end{tabular} \end{center} L'entraineur considère que la régularité du nombre de tirs réussis est un critère important pour la sélection d'un joueur. Les deux joueurs ont le même pourcentage de tirs réussis, $62,5\,\%$, la même moyenne de tirs réussis par match, 2. Mais l'étendue du nombre de tirs réussis par Arthur est de 5, alors qu'elle n'est que de 2 pour Kevin, ce qui indique une plus grande régularité; l'entraineur doit choisir Kevin. %Déterminer quel joueur va être sélectionné sur sa régularité. Justifier la réponse. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Exercice 4: Course en bateau aux JO \hfill 24 points} \medskip \begin{minipage}[t]{9cm} \vspace{0pt} Le bateau de type 470, utilisé aux JO, comporte une grande voile triangulaire appelée grand-voile. Cette grande voile est renforcée par 2 lattes parallèles. Pour pouvoir participer aux JO, un bateau 470 doit respecter les caractéristiques suivantes : \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|} \hline \textbf{Aire maximale de la grand-voile} & $8,75$ m$^2$\rule{0pt}{13pt}\\ \hline \textbf{Longueur minimale de la grande latte} & $1,7$ m\\ \hline \end{tabular} \end{center} Sur un des bateaux en compétition, on étudie ces caractéristiques pour voir s'il peut participer aux JO.\\ Sa grand-voile a la forme d'un triangle ABC comme dans le dessin ci-contre.\\ La petite latte est représentée par le segment [DE] et la grande latte par le segment [FG]. Les dimensions sont indiquées en mètres. \end{minipage} \hfill \begin{minipage}[t]{6.2cm} \vspace{0pt} \psset{unit=1.2cm,radius=2pt,arrowsize=3pt 3} \def\xmin{-4} \def\xmax{1} \def\ymin{-1} \def\ymax {7} \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \Cnode*(0,0){B} \Cnode*(0,6.2){C} \Cnode*(-2.8,0){A} \Cnode*(-0.99,4.01){D} \Cnode*(0,3.53){E} \Cnode*(-1.61,2.65){F} \Cnode*(0,1.86){G} \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](A)(B)(C) \psline(D)(E) \psline(F)(G) \uput[dl](A){A} \uput[dr](B){B} \uput[u](C){C} \uput[ul](D){D} \uput[r](E){E} \uput[l](F){F} \uput[r](G){G} \psframe(0,0)(-0.3,0.3) {\footnotesize \uput[d](-1.4,0){AB = $2,8$} \uput[l](-2.2,1.3){AF = $2,9$} \uput[l](-1.3,3.3){FD = $1,5$} \uput[l](-0.5,5.1){DC = $2,4$} \uput*[d]{-26.1}(-0.75,3.7){\scalebox{0.8}{DE = $1,1$}} } %\psgrid[subgriddiv=5, gridlabels=0, gridcolor=gray, subgridcolor=lightgray] \end{pspicture} \end{minipage} \newpage \begin{enumerate} \item Le côté AC a pour longueur, en m: $2,9+1,5+2,4=6,8$. \item %Montrer que la longueur BC, arrondie au dixième, est $6,2$ m.\\ Le triangle ABC est rectangle en B, donc, d'après le théorème de Pythagore:\\ $\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2$. Donc $\text{BC}^2 = \text{AC}^2 - \text{AB}^2 = 6,8^2-2,8^2=38,4$, et donc $\text{BC} = \sqrt{38,4} \approx 6,2$. La longueur BC, arrondie au dixième, est $6,2$ m. \item L'aire en m$^2$ de la voile ABC est: $\dfrac{\text{AB}\times \text{BC}}{2} \approx \dfrac{2,8\times 6,2}{2} \approx 8,7$. %Arrondir au dixième. \item $8,7 < 8,75$ donc l'aire de la voile respecte la caractéristique permettant de participer aux JO. \item Les droites (DE) et (FG) sont parallèles. On applique le théorème de Thalès aux triangles CFG et CDE: $\dfrac{\text{CF}}{\text{CD}} = \dfrac{\text{FG}}{\text{DE}}$. $\text{CF} = \text{CD} + \text{DF} = 2,4+1,5=3,9$ et $\text{DE} = 1,1$ Donc $\dfrac{\text{3,9}}{\text{2,4}} = \dfrac{\text{FG}}{\text{1,1}}$ et donc $\dfrac{\text{3,9}}{\text{2,4}}\times 1,1 = \text{FG}$. On en déduit que la longueur de la grande latte [FG] arrondie au dixième est 1,8 m. \item La longueur de la grande latte est de $1,8$~m, qui est supérieure à $1,7$~m; ce bateau peut donc participer aux JO. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Exercice 5 \hfill 12 points} \medskip On considère le programme suivant, dont on a numéroté les lignes: \begin{center} \begin{scratch}[num blocks] \blockinit{Quand \greenflag est cliqué} \blockvariable{demander \ovalnum{Quelle est la valeur de x ?} et attendre} \blockvariable{mettre \selectmenu{x} à \ovaloperator{réponse}} \blockvariable{mettre \selectmenu{résultat} à \ovaloperator{\ovaloperator{\ovalvariable{x} * \ovalnum{5}} + 2}} \blocklook{dire \ovaloperator{regrouper \ovalnum{Le résultat est} et \ovalcontrol{résultat}} pendant \ovalnum{2} secondes} \end{scratch} \end{center} \begin{enumerate} \item %Parmi les algorithmes suivants, choisir celui qui correspond au programme ci-dessus en nommant la réponse (A, B ou C) sur la copie. Justifier. Voici 3 algorithmes: \begin{center} \renewcommand\arraystretch{1.2} \begin{tabular}{|p{0.26\linewidth}|c|p{0.26\linewidth}|c|p{0.26\linewidth}|} %\centering\textbf{A} && \hfill{}\textbf{B}\hfill~ && \hfill{}\textbf{C}\hfill~ \\ \multicolumn{1}{c}{\textbf{A}} &\multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{\textbf{B}} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{\textbf{C}} \\ \cline{1-1} \cline{3-3} \cline{5-5} \small Demander la valeur de $x$\newline La multiplier par 5 et\newline ajouter 2\newline Afficher le résultat && \small Demander la valeur de $x$\newline La multiplier par 2 et\newline ajouter 5\newline Afficher le résultat && \small Demander la valeur de $x$\newline La multiplier par 5 et\newline ajouter 5\newline Afficher le résultat\\ \cline{1-1} \cline{3-3} \cline{5-5} \end{tabular} \end{center} À la ligne 4, on calcule $5x + 2$; il s'agit donc de multiplier par 5 puis d'ajouter 2. Le bon algorithme est le \textbf{A}. \item Le temps d'affichage du résultat est de 2 secondes (ligne 5). \item On veut faire afficher le message \og gagné \fg{} pendant 5 secondes si le résultat de $5x+2$ est égal à 97. %Indiquer pour quelle valeur de $x$, le programme afficherait \og gagné \fg{}. On cherche $x$ pour que $5x+2$ soit égal à 97, donc on résout l'équation $5x+2=97$: \begin{align*} 5x+2 &= 97\\ 5x &= 97-2\\ 5x &= 95\\ x &= \dfrac{95}{5}\\ x &= 19 \end{align*} Le programme affiche \og gagné \fg{} pour $x=19$. \end{enumerate} \end{document} \newpage \begin{center} \textbf{\Large ANNEXE à rendre avec la copie} \end{center} \bigskip \textbf{\large Exercice 1 : QCM} \medskip Pour chaque question, quatre réponses sont proposées mais une \textbf{seule est exacte}.\\ Cocher la bonne réponse \textbf{sans justification}.\\ Une réponse juste rapporte 4 points, une réponse fausse ou l'absence ne rapporte aucun point. \end{document}