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%Sujet aimablement fourni par Marc Incamps
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{27 juin 2024}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie 27 juin 2024~\decofourright}}

\bigskip

\textbf{Durée : 2 heures} 

\medskip

L'annexe est à rendre avec la copie.
\end{center}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\textbf{}}X|}\hline
%\multicolumn{1}{|c|}{
\hspace{3.5cm}\textbf{Indications portant sur \emph{l'ensemble du sujet}}\quad\\
\textbf{Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée}.\\
\textbf{Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche; elle sera prise en compte dans la notation.}\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{\large{}Exercice 1 \hfill 20 points}

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
%
%Pour chaque question, quatre affirmations sont proposées. \textbf{Une seule affirmation est exacte.}
%
%\textbf{Sur la copie}, écrire le numéro de la question et l'affirmation choisie. Aucune justification n'est attendue.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 

ABC est un triangle tel que AB = 20 cm, BC = 21 cm et AC = 29 cm. 
%On peut affirmer que:

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\small}X|}}\hline
%ABC est un triangle ABC en A&ABC est un triangle rectangle en B&
%ABC est un triangle rectangle en C &ABC n'est pas un triangle rectangle\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
$\bullet~$On a AB$^2 = 20^2 = 400$ et BC$^2 = 21^2 = 441$. D'où AB$^2 + \text{BC}^2 = 400 + 441 = 841$.

D'autre part : AC$^2 = 29^2 = (30 - 1)^2 = 30^2 - 2 \times 30 + 1 = 900 - 60 +1 = 840 + 1 = 841$.

On a donc $400 + 441 = 841$, soit AB$^2 + $ BC$^2 = $ AC$^2$ : d'après la réciproque du théorème de Pythagore la triangle ABC est rectangle en B.

$\bullet~$Variante avec identité mais sans calculette :

AC$^2 - $ BC$^2 = 29^2 - 21^2 = (29 + 21)(29 - 21) = 50 \times 8 = 400 = 20^2 = $ AC$^2$, d'où : AC$^2 - $ BC$^2 = $ AC$^2$ soit AC$^2= $ BC$^2 + $ AC$^2$ \ldots

$\bullet~$Semblable mais plus technique : AC$^2 - $AB$^2 = 29^2 - 20^2 = (29 + 20)(29 - 20) = 49 \times 9 = 7^2 \times 3^2 = (7 \times 3)^2 = 21^2 = $ BC$^2$, d'où : AC$^2 - $ AB$^2 = $ BC$^2$ soit AC$^2 = $ BC$^2 + $ AC$^2$ \ldots
%\begin{minipage}{0.49\linewidth}
\item %Voici la représentation graphique d'une fonction $f$.
La droite représente une fonction affine $x \longmapsto ax + b$, avec $a \in \R, \: b \in \R$.

$\bullet~$l'ordonnée à l'origine est égale à $b = 1$ ;

$\bullet~$le coefficient directeur de la droite est égal à $\dfrac{1}{2} = a$.

Conclusion $x \longmapsto f(x) = \dfrac12 x + 1$.
%\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\item %Sur la figure ci-contre, le carré \no 2 est l'image du carré \no 1 par :
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.42\linewidth}
%\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture}(-2,-2)(4,1)
%\psframe[linewidth=1.5pt](-2,0)(-1,1)
%\psframe[linewidth=1.5pt](2,0)(4,-2)
%\psline(-1,1)(2,-2)\psline(-0.55,-0.1)(-0.55,0.1)\psline(-0.5,-0.1)(-0.5,0.1)
%\psline(0.55,-0.1)(0.55,0.1)\psline(0.5,-0.1)(0.5,0.1)\psline(1.55,-0.1)(1.55,0.1)\psline(1.5,-0.1)(1.5,0.1)
%\psline(-1,0)(2,0)
%\psline(0,0)(0,-0.1)\psline(1,0)(1,-0.1)
%\rput(-1.5,0.5){1}\rput(3,-1){2}
%\uput[d](-1,0){C}\uput[ur](0,0){O}\uput[u](2,0){E}
%\end{pspicture}
%\end{minipage}
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\small}X|}}\hline
%la symétrie centrale de centre O&la translation qui transforme C en E&l'homothétie de centre O et de rapport 2&l'homothétie de centre O et de rapport $- 2$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
Comme $\vect{\text{OE}} = - 2\vect{\text{OC}}$ la transformation est l'homothétie de centre O et de rapport $- 2$

\item %Le cocktail Bora-Bora est composé de jus d'ananas, de jus de fruit de la passion et de jus de citron dans le ratio de 10~:~6~:~2. Pour réaliser $90$ cL de ce cocktail, il faut prévoir exactement :
On a le tableau de proportionnalité suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}c}
ananas&passion&citron&cocktail\\ 
10		&6					&2		&$10 + 6 + 2 = 18$\\ 
 		&$6{\red \times 5}$  & 		&$90 = 18 \times{\red  5}$\\
\end{tabularx}
\end{center}
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
%6 cL de jus de fruit de la passion&30 cL de jus de fruit de
%la passion&54 cL de jus de fruit de la passion&45 cL de jus de fruit de 
%la passion\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
On passe donc de la ligne 2 à la ligne 3 en multipliant par 5, d'où $5 \times 6 = 30$~(cL) de  jus de fruit de la passion.
\item  %Un maraîcher a cueilli $408$ pommes et $168$ poires. Il décide de remplir des sacs pour ses clients comportant chacun le même nombre de pommes et le même nombre de poires, en utilisant tous les fruits cueillis.

%Le plus grand nombre de sacs qu'il peut ainsi remplir est :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
%48 sacs&24 sacs&8 sacs&6 sacs\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
$\bullet~408 = 4 \times 102 = 4 \times 2 \times 51 = 8 \times 3 \times 17$ ; 

$\bullet~168 = 8 \times 21 = 8 \times 3 \times 7$.

Donc $408 = 24 \times 17$ et $168 = 24 \times 7$.

On peut donc faire au maximum 24 sacs identiques contenant chacun 17 pommes et 7 poires.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large{}Exercice 2 \hfill 17 points}

\medskip

%Les Jeux olympiques (JO) d'été ont généralement lieu tous les 4 ans.
%
%Dans cet exercice, on s'intéresse aux coûts d'organisation des dernières éditions des JO d'été.
%
%On rappelle que le coût est l'ensemble des dépenses entraînées par l'organisation des JO.
%
%On précise que :
%
%\begin{itemize}
%\item le \textbf{coût prévisionnel} désigne les dépenses prévues par les organisateurs avant l'édition des JO ;
%\item le \textbf{coût réel} désigne les dépenses réelles qui ont été nécessaires pour l'organisation des JO.
%\end{itemize}
%
%Le graphique ci-dessous compare ces deux coûts pour les dernières éditions des JO d'été.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
%\textbf{Comparaison entre le coût prévisionnel et le coût réel de chaque édition des JO depuis 1992, en milliard d'euros}\\
%
%\psset{xunit=0.9cm,hatchsep=2pt,yunit=1.25cm}
%\begin{pspicture}(0,-1)(15,4.5)
%%\psgrid
%\psline(0,1.4)(15,1.4)
%\psframe*[linecolor=gray](0.5,1.4)(0.7,1.575)\uput[u](0.6,1.575){\footnotesize 3,5}
%\psframe*[linecolor=gray](2.3,1.4)(2.5,1.49)\uput[u](2.4,1.49){\footnotesize 1,8}
%\psframe*[linecolor=gray](4.1,1.4)(4.3,1.55)\uput[u](4.2,1.55){\footnotesize 3}
%\psframe*[linecolor=gray](5.9,1.4)(6.1,1.65)\uput[u](6.,1.65){\footnotesize 5,3}
%\psframe*[linecolor=gray](7.7,1.4)(7.9,1.53)\uput[u](7.8,1.53){\footnotesize 2,6}
%\psframe*[linecolor=gray](9.5,1.4)(9.7,1.64)\uput[u](9.6,1.64){\footnotesize 4,8}
%\psframe*[linecolor=gray](11.3,1.4)(11.5,1.85)\uput[u](11.4,1.85){\footnotesize 9}
%\psframe*[linecolor=gray](13.1,1.4)(13.3,2.05)\uput[u](13.2,2.05){\footnotesize 13}
%\psframe[fillstyle=hlines](1,1.4)(1.2,1.865)\uput[u](1.1,1.865){\footnotesize 9,3}
%\psframe[fillstyle=hlines](2.8,1.4)(3,1.55)\uput[u](2.9,1.55){\footnotesize 2,3}
%\psframe[fillstyle=hlines](4.6,1.4)(4.8,1.65)\uput[u](4.7,1.65){\footnotesize 5,5}
%\psframe[fillstyle=hlines](6.4,1.4)(6.6,1.9)\uput[u](6.5,1.9){\footnotesize 10}
%\psframe[fillstyle=hlines](8.2,1.4)(8.4,3.3)\uput[u](8.3,3.3){\footnotesize 31}
%\psframe[fillstyle=hlines](10,1.4)(10.2,1.9)\uput[u](10.1,1.9){\footnotesize 11}
%\psframe[fillstyle=hlines](11.8,1.4)(12,2.2)\uput[u](11.9,2.2){\footnotesize 16,5}
%\psframe[fillstyle=hlines](13.6,1.4)(13.8,2)\uput[u](13.7,2){\footnotesize 12,1}
%\psframe*[linecolor=gray](5,4.1)(5.3,4.4)\psframe[fillstyle=hlines](10,4.1)(10.3,4.4)
%\rput(7.2,4.2){Coût prévisionnel}\rput(11.8,4.2){Coût réel}
%\rput(0.8,1){Barcelone}\rput(0.8,0.5){1992}
%\rput(2.6,1){Atlanta}\rput(2.6,0.5){1996}
%\rput(4.4,1){Sydney}\rput(4.4,0.5){2000}
%\rput(6.2,1){Athènes}\rput(6.2,0.5){2004}
%\rput(8,1){Pékin}\rput(8,0.5){2008}
%\rput(9.8,1){Londres}\rput(9.8,0.5){2012}
%\rput(11.6,1){Rio de}\rput(11.6,0.5){Janeiro}\rput(11.6,0){2016}
%\rput(13.4,1){Tokyo}\rput(13.4,0.5){2021}
%\rput(7.5,-0.5){\emph{La crise sanitaire de la Covid-$19$ a décalé à $2021$ les Jeux Olympiques de Tokyo prévus en $2020$.}}
%\end{pspicture}\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Entre 1992 et 2021, combien d'éditions ont eu un coût réel supérieur ou égal à $10$ milliards d'euros ?
4 éditions (5 en comptant Tokyo)  ont eu un coût réel supérieur ou égal à $10$ milliards d'euros
\item %Calculer le pourcentage d'augmentation entre le coût prévisionnel et le coût réel lors de l'édition des JO de Rio de Janeiro 2016, arrondi à l'unité.
Le pourcentage d'augmentation entre le coût prévisionnel et le coût réel lors de l'édition des JO de Rio de Janeiro 2016 est égal à : $\dfrac{16,5 - 9}{9} \times 100 \approx 83,3\,\%$ soit environ 83\,\% à l'unité près.
\item %Montrer que le coût réel moyen entre 1992 et 2021 est $12,2$~milliards d'euros, arrondi au dixième de milliard.
Moyenne du coût réel de 1992 à 2021 :

$\dfrac{9,3 + 2,3 + 5,5 + 10 + 31 + 11 + 16,5 + 12,1}{8} = \dfrac{97,7}{8} = \np{12,2125}$, soit 12,2 au dixième de milliard près.
\item %\textbf{Questions de journalistes}
	\begin{enumerate}
		\item %Un journaliste mentionne que le coût réel moyen des JO sur la période 1992 à 2021 est de $12,2$~milliards d'euros. Il poursuit en affirmant: \og Cela signifie que la moitié des éditions entre 1992 et 2021 ont un coût réel supérieur à 12,2 milliards d'euros. \fg
		
%Que penser de cette affirmation ?
Le journaliste confond moyenne et médiane.
		\item %Le coût prévisionnel moyen entre 1992 et 2024 est de l'ordre de $5,5$ milliards d'euros.
		
%Une journaliste cherche à connaître le coût prévisionnel des JO de Paris 2024 pour préparer son intervention télévisée.
		
%Calculer le coût prévisionnel des JO de Paris 2024 qu'elle devrait annoncer.
En prenant en compte les budgets prévisionnels depuis (et non entre) 1992 jusqu'à 2024 et en nommant $p$ le coût prévisionnel des JOP(aris), on a donc pour calcul de la moyenne :

$\dfrac{3,5 + 1,8 + 3 + 5,3 + 2,6 + 4,8 + 9 + 13 + p}{9} = 5,5$, d'où :

$\dfrac{43,0 + p}{9} = 5,5$ puis $43 + p = 9 \times 5,5$ et $p = 9 \times 5,5 - 43 = 6,5$~(milliards d'euros).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large{}Exercice 3 \hfill 22 points}

\medskip

%La construction du Centre Aquatique Olympique de Saint-Denis a débuté en 2021 pour accueillir les épreuves de natation artistique des Jeux olympiques de Paris 2024.
%
%Alyssa et Jules visitent le Centre Aquatique Olympique et s'installent dans les gradins.
%
%On a schématisé leurs positions par rapport à la piscine olympique sur la figure ci-dessous, qui modélise la situation : Alyssa est installée dans les gradins Nord au point A et Jules est assis dans les gradins Sud au point J.
%
%\emph{La figure n'est pas à l'échelle.}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.8)(10.8,2.6)
%\psgrid
\psline(0.2,0)(3.8,0)
\pspolygon(6.8,0)(10.5,0)(10.5,2.3)%DEF
\psframe[fillstyle=vlines](6.8,0)(3.8,-0.4)
\psline(10.5,1.35)(8.93,1.35)
\psline(3.8,0)(0.2,1.9)(0.2,0)%BAC
\psframe(0.2,0)(0.4,0.2)\psframe(10.5,0)(10.3,.20)\psframe(10.5,1.35)(10.3,1.55)
\uput[d](1.7,0){Gradins Nord}\uput[d](8.65,0){Gradins Sud}\uput[d](5.3,-0.4){Piscine olympique}
\uput[ul](0.2,1.9){A} \uput[ur](3.8,0){B} \uput[dl](0.2,0){C} \uput[ul](6.8,0){D}
\uput[dr](10.5,0){E} \uput[ur](10.5,2.3){F} \uput[r](10.5,1.35){H} \uput[ul](8.93,1.35){J}
\end{pspicture}
\end{center}

%On donne : AC = FJ $= 15$ m ; BC $= 27$ m ; FH $= 7$ m ; EF $= 18$ m.
%
%Les points F{}, J et D sont alignés.
%
%Les points F{}, H, et E sont alignés.
%
%Les points C, B, D, E sont alignés.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Jules et Alyssa discutent entre eux pour savoir qui est le mieux placé pour assister à l'événement.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la distance entre Alyssa et le bord de la piscine, c'est-à-dire calculer la longueur AB.
		Dans le triangle ABC rectangle en C, le théorème de Pythagore permet d'obtenir :
		
		AB$^2 = $ AC$^2 + $ CB$^2 = 15^2 + 27^2 = 225 + 729 = 954$, d'où QB $= \sqrt{954} = \sqrt{9 \times 106} = \sqrt{6} \times \sqrt{106} = 3\sqrt{6} \approx 30,9$~(m) soit 31~(m) au mètre près.
		
%Arrondir le résultat au mètre près.
		\item %Vérifier que la distance entre Jules et le bord de la piscine, c'est-à-dire la longueur JD, est de $24$~m, arrondie au mètre près.
		D'après la figure les droites (JH) et (DE) toutes deux perpendiculaires à la droite (EF) sont parallèles.
		
Avec l'alignement respectif des points F{}, J D d'une part et F{}, H et E de l'autre nous avons don une configuration de Thalès qui permet d'écrire en particulier :

$\dfrac{\text{FJ}}{\text{FD}} = \dfrac{\text{FH}}{\text{FE}}$ ou encore $\dfrac{15}{\text{FD}} = \dfrac{7}{18}$ d'où $15 \times 18 = 7 \text{FD} \iff \text{FD} : \dfrac{15 \times 18}{7}$.

On en déduit que JD $ = \text{FD} - \text{FJ}$, soit JD $= \dfrac{15 \times 18}{7} - 15 = \dfrac{15 \times 18 - 15 \times 7}{7} = \dfrac{15 \times, 11}{7} \approx 23,6$, soit environ 24~(m).
		\item %En déduire lequel des deux amis est le plus proche d'un bord de la piscine.
Jules est donc le plus proche de la piscine.
	\end{enumerate}
\item %Pour respecter les normes de sécurité, l'angle d'inclinaison $\widehat{\text{ABC}}$ des gradins Nord ne doit pas dépasser $35\degres$. Les gradins Nord respectent-ils cette norme ?
Dans le triangle ABC rectangle en C, on a : $\tan \widehat{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{BC}} = \dfrac{15}{27} = \dfrac59$.

La calculatrice donne $\widehat{\text{ABC}} \approx 29,1 < 35$ : la norme est respectée
\item %Le toit du Centre Aquatique Olympique a une surface de \np{5000}~m$^2$.

%On estime que \np{4678,4}~m$^2$ de ce toit sont recouverts de panneaux photovoltaïques.

%Voici les caractéristiques d'un panneau photovoltaïque standard fournies par le constructeur:

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm} X|}\hline
%\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture}(4.8,2.4)
%\psframe*[linecolor=gray](0.7,0)(4.4,1.5)
%\multido{\na=0.20+0.35}{4}
%{\multido{\n=0.80+0.37}{10}{\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](\n,\na){0.05}}}
%\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.7,1.6)(4.4,1.6)\uput[u](2.55,1.6){1,7~m}
%\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.6,0)(0.6,1.5)\rput{90}(0.4,0.75){1~m}
%\end{pspicture}&\textbf{Dimensions :} 1 m de large et 1,7 m de long 
%
%\textbf{Énergie produite:} environ $350$~kWh par an\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

%Montrer que la quantité annuelle d'énergie produite par l'ensemble des panneaux photovoltaïques du toit du Centre Aquatique Olympique est de \np{963200} kilowattheures (kWh).
Un panneau a une aire de 1,7~m$^2$, donc  $\dfrac{\np{4678,4}}{1,7}  = \np{2752}$ est le nombre de panneaux.

Ces \np{2752} panneaux produiront $\np{2752} \times 350 = \np{963200}$~(kWh) par an.
\item %La température règlementaire de l'eau contenue dans la piscine lors des jeux Olympiques doit être comprise entre 25\degres{} et 28\degres. Pour respecter cette réglementation, on souhaite que l'eau contenue dans la piscine olympique de Saint-Denis soit à une température de 26\degres. On admet que l'eau contenue dans cette piscine occupe un pavé droit dont les dimensions sont:

%\begin{itemize}
%\item Longueur : 50 m
%\item Largeur: 25 m
%\item Profondeur: 3 m
%\end{itemize}
%
%On suppose qu'avant la première mise en chauffe de la piscine olympique, l'eau est à 18\degres.
%
%On estime qu'il faut environ $9,3$ kWh pour chauffer 1 m$^3$ d'eau de 18\degres{} jusqu'à 26\degres.
%
%Quelle quantité d'énergie, en kWh, sera nécessaire pour chauffer toute l'eau de la piscine olympique jusqu'à 26\degres ?
Le volume d'eau dans  la piscine est : $50 \times 25 \times 3 = \np{1250} \times 3 = \np{3750}~\left(\text{m}^3\right)$.

Chaque m$^3$ d'eau nécessitant 9,3~kWh, il faudra pour chauffer la piscine :

\[\np{3750} \times 9,3 = \np{34875}~(\text{kWh}).\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large{}Exercice 4 \hfill 18 points}

\medskip

%On dispose de deux boîtes contenant des boules numérotées, indiscernables au toucher.
%
%\begin{minipage}{0.55\linewidth}
%La première boîte contient trois boules numérotées 2, 3 et 5.
%
%La deuxième boîte contient deux boules numérotées 3 et 5.
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.42\linewidth}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(6.2,1.3)
%\psline[linewidth=1.5pt](0,1.3)(0,0)(2.7,0)(2.7,1.3)
%\rput(0.6,0.4){\Large \ding{206}}\rput(1.5,0.4){\Large \ding{203}}\rput(2.3,0.4){\Large \ding{204}}
%\psline[linewidth=1.5pt](3.4,1.3)(3.4,0)(6.1,0)(6.1,1.3)
%\rput(4.2,0.4){\Large \ding{204}}\rput(5.2,0.4){\Large \ding{206}}
%\end{pspicture}
%\end{minipage}
%
%\medskip
%
%On tire au hasard une boule dans la première boîte puis une boule dans la deuxième boîte.
%
%On s'intéresse au produit des nombres inscrits sur ces deux boules.
%
%Par exemple, si on tire la boule numérotée 2 dans la première boîte puis la boule numérotée 5 dans la deuxième boîte, on obtient comme résultat: $2 \times 5 = 10$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Compléter sur l'ANNEXE, à rendre avec la copie, le tableau à double entrée afin de faire apparaître tous les résultats possibles de cette expérience.
Voir l'annexe.
\item %Quelle est la probabilité d'obtenir $15$ comme résultat ?
Il y a 2 issues 15 sur un total de 6, soit une probabilité de $\dfrac26 = \dfrac13$.
\item %L'affirmation suivante est-elle vraie ?

%\textbf{Affirmation :} Il y a 2 chances sur 3 d'obtenir un multiple de 3.
Les sorties multiples de 3 sont 6, 9, 15 et 15, donc la probabilité d'obtenir un multiple de 3 est égale à $\dfrac46 = \dfrac23$. L'affirmation est vraie.
\item %On ajoute une troisième boîte contenant deux boules numérotées avec des nombres entiers.

%On tire au hasard une boule dans la première boîte, puis une boule dans la deuxième boîte, puis une boule dans la troisième boîte.

%On multiplie les nombres inscrits sur ces boules et on s'intéresse au produit de ces trois nombres. Anissa a obtenu comme résultat $165$ et Bilel a obtenu $78$.

%Quels sont les nombres inscrits sur les boules de la troisième boîte?
On a $165 = 15 \times 11 = 3 \times 5 \times 11$  : le nombre tiré dans la troisième boîte est donc 11 puisqu'il n'est pas dans les deux premières ;

$78 = 6 \times 13 = 2 \times 13$ : le nombre tiré dans la troisième boîte est donc 13 puisqu'il n'est pas dans les deux premières.

Il y a donc dans la troisième boîte deux boules marquées 11 et 13.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large{}Exercice 5 \hfill 23 points}

\medskip

%Dans cet exercice, les deux parties sont indépendantes.
%
%On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par 

\begin{center} $f(x) = (x + 2)^2 - x$\quad et \quad  $g(x) = 7x + 4$.\end{center}

%\smallskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer 
$f(- 4) = (- 4 + 2)^2 - (-4) = 4 + 4 = 8$.
\item %Déterminer un antécédent de $3$ par la fonction $g$.
Il faut trouver $x$ tel que $g(x) =  7x + 4 = 3$ ou $7x = - 1$ et $x = - \dfrac17$.

Donc $g\left(- \dfrac17\right) = 3$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Trois élèves, Paul, Jane et Morgane, cherchent à résoudre l'équation $f(x) = g(x)$ par trois méthodes différentes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Paul utilise un tableur.
%{\Huge \rput{45}(0,0.5){+}}\vspace{-0.25cm}
Il calcule ainsi les images des entiers compris entre $-3$ et $3$ par les fonctions $f$ et $g$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A &B&C&D&E &F &G &H \\ \hline
1	&\cellcolor{black}&$-3$&$ -2$& $-1$& 0 &1 &2 &3\\ \hline
2	&$f(x)$&4&2 &2&4&8&14&22\\ \hline
3	& $g(x)$& $-17$& $-10$& $-3$& 4& 11& 18& 25\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item %Quelle formule a-t-il saisie en cellule B3 puis étirée vers la droite pour compléter la ligne 3 du tableau ?
Il a écrit en B3 : =7*B1+4
		\item %Avec cette méthode, quelle(s) solution(s) trouve-t-il à l'équation $f(x) = g(x)$ ?
Sur cette partie du tableur il voit que les images par $f$ et $g$ sont les mêmes  (4) pour $x = 0$.
	\end{enumerate}
\item %Jane utilise un logiciel de programmation.

%Le programme qu'elle a créé permet de tester l'égalité $f(x) = g(x)$ pour une valeur de $x$ choisie par l'utilisateur. Ce programme se trouve en ANNEXE.

%Elle décide de tester toutes les valeurs entières entre $-5$ et 3.
	\begin{enumerate}
		\item %Compléter sur l'ANNEXE, à rendre avec la copie, la ligne 4 du programme de Jane afin d'obtenir l'image par la fonction $g$ du nombre choisi.
Voir le script dans l'annexe
		\item %Quelle réponse donne le programme si le nombre choisi est $0$ ?
Réponse : le nombre choisi est :une solution de l'équation $f(x) = g(x)$.
		\item %En déduire une solution de l'équation $f(x) = g(x)$.
		On retrouve que 4 est une solution de l'équation.
	\end{enumerate}
\item %Morgane décide de résoudre cette équation par le calcul.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que l'équation $f(x) = g(x)$ peut se ramener à l'équation $x^2 - 4x = 0$.
		On a $f(x) = g(x)$  si et seulement si $(x + 2)^2 - x = 7x + 4$ ou en développant :
		
		$x^2 + 4x + 4 - x = 7x + 4$ ou encore $x^2 - 4x = 0$
		\item %Factoriser l'expression $x^2 - 4x$.
		On a $x^2 - 4x = x(x - 4)$
		\item %En déduire les solutions de l'équation $f(x) = g(x)$.
		D'après le résultat précédent l'équation $x^2 - 4x = 0$ s'écrit 
		
		$x(x - 4) = 0 $. Or le produit est nul si l'un des deux facteurs est nul soit :
		
		$\left\{\begin{array}{l c l}
		x&=&0\\
		&\text{ou}&\\
		x - 4&=&0
		\end{array}\right.$ soit finalement $\left\{\begin{array}{l c l}
		x&=&0\\
		&\text{ou}&\\
		x &=&4
		\end{array}\right.$
		
L'équation a deux solutions  : 0 et 4.
	\end{enumerate}
\item %Dire pour chaque élève s'il a résolu l'équation $f(x) = g(x)$.

%Expliquer pourquoi.
$\bullet~$ Paul n'a pas trouvé toutes les solutions puisqu'il n'a cherché les solutions que parmi ceux  qui sont entiers, de $- 3$ à 3.

$\bullet~$Jane a trouvé la solution 4 mais pas la solution 0 : elle n'aura jamais la certitude d'avoir trouvé toutes les solutions puisqu'il lui est impossible d'introduite dans le programme tous les normes entiers.

$\bullet~$Morgane est certaine d'avoir trouvé toutes les solutions puisqu'elle a cherché dans $\Z$ les nombres solutions de l'équation $f(x) = g(x)$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

{\huge \textbf{ANNEXE}}

\medskip

{\large \textbf{(à rendre avec la copie)}}

\bigskip

\end{center}

\textbf{Exercice 4, question 1.}

\medskip

%\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{1\up{er} tirage}{2\up{e} tirage}&3&5\\ \hline
5	&15 	&25 \\ \hline
2	&6		&10\\ \hline
3	&9		&15 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.37\linewidth}
%\begin{pspicture}(-1.5,-0.7)(1.5,0.7)
%\rput(0,0){\psellipticarc(1.2,0.6){190}{175}}
%\psline(1.15;175)(2.8;190)(1.15;190)\rput(0,0){$2 \times 5 = 10$}
%\end{pspicture}
%\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Exercice 5, question 2. a.}

\vspace{0.5cm}
\begin{scratch}[num blocks]
%\renewcommand*\numblock[1]{ligne \itshape#1}F. Hache : script : Jean-Claude Suque
\renewcommand*\numblock[1]{\color{black}\footnotesize\bfseries{Ligne #1}}
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blockmove{demander \ovalnum{Choisir un nombre} et attendre}
\blockmove{mettre \selectmenu{image par f} à \ovaloperator{\ovalvariable{réponse}+\ovalnum{2}}*\ovaloperator{\ovalvariable{réponse}+\ovalnum{2}}-\ovalvariable{réponse}}
\blockmove{mettre \selectmenu{image par g} à \ovaloperator{\ovalnum{7}*\ovalvariable{réponse}}+\ovalnum{4}}
\blockifelse{si image par f =image par g alors}
{\blocklook{dire \ovalnum{le nombre choisi est une solution de f(x)=g(x)} pendant \ovalnum{2} secondes}}
{\blocklook{dire \ovalnum{le nombre choisi n'est pas une solution de f(x)=g(x)} pendant \ovalnum{2} secondes}}
\end{scratch}
\end{document}