\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{scratch3} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : François Hache \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=1.5cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} %\usepackage[dvips]{hyperref} %\hypersetup{% %pdfauthor = {APMEP}, %pdfsubject = {Brevet}, %pdftitle = {Polynésie 11 septembre 2023}, %allbordercolors = white, %pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{} \lhead{} \rfoot{\small Polynésie -- corrigé} \lfoot{\small 11 septembre 2023} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~ Diplôme national du Brevet Polynésie - corrigé ~\decofourright}}\\[6pt] {\Large \textbf{11 septembre 2023}} %\vspace{0,5cm} % %\textbf{Durée : 2 heures} \end{center} \medskip \textbf{{\large \textsc{Exercice 1}} \hfill 16 points} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, parmi les réponses proposées, une seule est exacte. %Recopier le numéro de la question et indiquer la réponse choisie avec la justification. \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{7.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \multicolumn{1}{|c|}{Questions}&Réponse A&Réponse B&Réponse C\\ \hline \textbf{1.~} Une augmentation de 9\,\% correspond à une multiplication par \ldots&1,9&$\dfrac{9}{100}$&$\blue 1,09$\\ \hline \textbf{2.~} On considère la figure ci-dessous: \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1.8,-0.4)(5,2.5) \pspolygon(0,0)(3.7;0)(4.7;25)%ABC \psline(1.1;0)(1.3973;25)%DE \uput[dl](0,0){A} \uput[dr](3.7;0){B} \uput[ur](4.7;25){C} \uput[d](1.1;0){D} \uput[u](1.3973;25){E} \end{pspicture} On précise que : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] (DE) et (BC) sont parallèles; \item[$\bullet~$] E est un point de [AC]; \item[$\bullet~$] D est un point de [AB]; \item[$\bullet~$] AE = 2~cm, EC = 5~cm, ED = 3~cm. \end{itemize} Quelle est la longueur BC ?&7,5~cm&6~cm&$\blue 10,5~\text{cm}$\\ \hline \textbf{3.~} Le tableau ci-dessous donne la répartition des élèves de 5\up{e} d'un collège en fonction du sexe et de la langue vivante 2 choisie : \begin{tabular}{|l|*{3}{c|}}\hline \multicolumn{1}{|l|}{~} &Allemand & Espagnol & Italien\\ \hline Filles &10 &43 &26 \\ \hline Garçons &7 &42 &32\\ \hline \end{tabular} On interroge au hasard un élève de 5\up{e} parmi tous les élèves de 5\up{e} de ce collège. Quelle est la probabilité que l'élève interrogé ait choisi l'italien en deuxième langue vivante ? &$\dfrac{1}{3}$ &$\blue \dfrac{58}{160}$ &$\dfrac{58}{102}$\\ \hline \textbf{4.~} On reprend la situation de la question \textbf{3.~} et on interroge au hasard un élève de 5\up{e} parmi tous les élèves de 5\up{e} de ce collège. Quelle est la probabilité que l'élève interrogé soit une fille qui ne fait pas d'allemand ? &$\dfrac{69}{79}$ &$\dfrac{69}{143}$ &$\blue\dfrac{69}{160}$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Augmenter de $t\,\%$, c'est multiplier par $1+\dfrac{t}{100}$, donc augmenter de $9\,\%$, c'est multiplier par $1+\dfrac{9}{100}$, soit $1,09$. \hfill\textbf{Réponse C} \item $\text{AC} = \text{AE} + \text{EC}$ donc $\text{AC}=2+5=7$. D'après les hypothèses, on peut appliquer le théorème de Thalès aux triangles ABC et ADE; on a donc $\dfrac{\text{BC}}{\text{DE}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{AE}}$, c'est-à-dire $\dfrac{\text{BC}}{3}=\dfrac{7}{2}$, et donc $\text{BC}=\dfrac{21}{2} =10,5$. \hfill\textbf{Réponse C} \item $10+7+43+42+26+32=160$ donc il y a 160 élèves de 5\ieme{} dans ce collège. $26+32=58$ donc il y a 58 élèves qui ont choisi l'italien en 2\ieme{} langue vivante. On interroge au hasard un élève de 5\up{e} parmi tous les élèves de 5\up{e} de ce collège donc il y a équiprobabilité. La probabilité que l'élève interrogé ait choisi l'italien en deuxième langue vivante est donc $\dfrac{58}{160}$. \hfill\textbf{Réponse B} \item $43+26=69$ donc il y a 69 filles qui ne font pas d'allemand. La probabilité que l'élève interrogé soit une fille qui ne fait pas d'allemand est donc $\dfrac{69}{160}$. \hfill\textbf{Réponse C} \end{enumerate} \bigskip \textbf{{\large \textsc{Exercice 2}} \hfill 25 points} \medskip \begin{minipage}{7.4cm} \begin{enumerate} \item %On considère le programme A défini par le schéma ci-contre : \begin{enumerate} \item On choisit au départ le nombre $-8$. \begin{list}{\textbullet}{} \item On ajoute 3 au nombre choisi: $-8+3=-5$; on obtient $-5$. \item On soustrait 4 au nombre choisi: $-8-4=-12$; on obtient $-12$. \item On multiplie les deux résultats: $(-5)\times(-12)=60$; on obtient $60$. \end{list} \item On appelle $x$ le nombre de départ et on admet que le résultat obtenu avec le programme de calcul est donné par: $(x + 3)(x - 4)$. On résout $(x + 3)(x - 4) = 0$. $(x + 3)(x - 4) = 0$ si et seulement si\\ $x+3=0$ ou $x-4=0$ si et seulement si $x=-3$ ou $x=4$ Il faut donc choisir $-3$ ou $4$ comme nombre de départ pour obtenir 0 comme résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{7.5cm} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-3.8,0)(3.8,7.4) %\psgrid \psframe(-0.9,5.4)(0.9,6.2)\psframe(-0.9,0)(0.9,0.8) \psframe(-3.8,3.1)(-2,3.9)\psframe(3.8,3.1)(2,3.9) \rput(-2.3,4.8){Ajouter 3}\rput(2.7,4.8){Soustraire 4} \rput(0,7.1){Choisir un nombre} \rput(0,2.7){Multiplier les deux}\rput(0,2.2){résultats} \psline{->}(0,6.9)(0,6.2)\psline{->}(0,5.4)(-2.9,3.9)\psline{->}(0,5.4)(2.9,3.9) \psline(-2.9,3.1)(0,1.4)\psline(2.9,3.1)(0,1.4) \psline{->}(0,1.4)(0,0.8) \end{pspicture} \end{minipage} \medskip \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item On rappelle que $x$ désigne le nombre de départ du programme de calcul et que le résultat obtenu avec le programme de calcul est donné par l'expression : $(x + 3)(x - 4)$. On appelle $f$ la fonction qui, à $x$, associe le résultat du programme de calcul. La représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée en ANNEXE. \begin{enumerate} \item $f(x) = (x+3)(x-4) = x^2 +3x -4x -12 = x^2 - x - 12$. \item $f\left(\dfrac12\right) = \left (\dfrac{1}{2}\right )^2 -\dfrac{1}{2}-12=\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{4}-\dfrac{48}{4}=-\dfrac{49}{4}=-12,25$. \item On détermine graphiquement les antécédents de $- 6$ par la fonction $f$. Voir annexe: on trouve graphiquement $x=-2$ et $x=3$. %On pourra éventuellement laisser les traits de construction sur \textbf{l'ANNEXE à rendre avec la copie}. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{minipage}{10cm} \begin{enumerate}[resume] \item On considère la fonction $g$ définie par $g(x) = 3x - 7$. On a utilisé un tableur pour réaliser un tableau de valeurs de cette fonction. \begin{enumerate} \item Dans la cellule B2, on entre la formule: \texttt{=A2*3-7}. \item La représentation graphique de la fonction $g$ est une droite; on la trace dans le repère en annexe en utilisant les points $(0\;;\;-7)$ et $(3\;;\;2)$. \item On détermine graphiquement les nombres qui ont la même image par les fonctions $f$ et $g$. Voir annexe: on trouve $x=-1$ et $x=5$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{4cm} \begin{tabular}{|c|c|c|}\hline &A &B\\ \hline 1 &$x$ &$g(x)$\\ \hline 2 &$-5$ &$-22$\\ \hline 3 &$-4$ &$-19$\\ \hline 4 &$-3$ &$- 16$\\ \hline 5 &$-2$ &$-13$\\ \hline 6 &$-1$ &$-10$\\ \hline 7 &0 &$-7$\\ \hline 8 &1 &$-4$\\ \hline 9 &2 &$-1$\\ \hline 10 &3 &2\\ \hline 11 &4 &5\\ \hline 12 &5 &8\\ \hline 13 &6 &11\\ \hline \end{tabular} \end{minipage} \bigskip \textbf{{\large \textsc{Exercice 3}} \hfill 19 points} \medskip %Dans cet exercice, toutes les longueurs sont exprimées en pixel. \begin{minipage}{11cm}Dans cet exercice, toutes les longueurs sont exprimées en pixel. Un professeur de mathématiques souhaite élaborer un programme avec ses élèves permettant de construire la figure ci-contre composée de 10 carrés. Le côté du premier carré à tracer mesure $300$~pixels. Le côté de chaque carré construit ensuite mesure 20\,\% de moins que celui du carré précédent. La figure n'est pas en vraie grandeur. \medskip \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{3.5cm} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-2,-2)(2,2) \psframe[linewidth=1pt](-1.6,-1.6)(1.6,1.6) \psframe[linewidth=1pt](-1.28,-1.28)(1.28,1.28) \psframe[linewidth=1pt](-1.024,-1.024)(1.024,1.024) \psframe[linewidth=1pt](-0.8192,-0.8192)(0.8192,0.8192) \psframe[linewidth=1pt](-0.65536,-0.65536)(0.65536,0.65536) \psframe[linewidth=1pt](-0.5243,-0.5243)(0.5243,0.5243) \psframe[linewidth=1pt](-0.4194,-0.4194)(0.4194,0.4194) \psframe[linewidth=1pt](-0.3355,-0.3355)(0.3355,0.3355) \psframe[linewidth=1pt](-0.2684,-0.2684)(0.2684,0.2684) \psframe[linewidth=1pt](-0.2147,-0.2147)(0.2147,0.2147) \end{pspicture} \end{minipage} %\textbf{Aucune justification n'est attendue pour les questions 2., 3. a., 3. b. et 4.} \medskip \begin{enumerate} \item %Montrer que le côté du 2\up{e} carré mesure $240$ pixels. Retirer 20\;\%, c'est multiplier par $1-\dfrac{20}{100}$ soit $0,8$. Le côté du premier carré à tracer mesure $300$~pixels, donc le côté du 2\ieme{} carré mesure $300\times 0,8$, c'est-à-dire 240~pixels. \item Le professeur distribue aux élèves le bloc \og Carré \fg{} d'instructions figurant en ANNEXE qui permet de tracer un carré de côté donné. Pour cela, il a créé une variable \og Côté \fg{} qui correspond à la longueur du côté du carré à tracer. %Compléter les lignes 2 et 4 de ce bloc sur \textbf{l'ANNEXE à rendre avec la copie}. Voici le script avec les lignes 2 et 4 complétées: \begin{center} \begin{scratch}[num blocks] \initmoreblocks{définir \namemoreblocks{\ovalmoreblocks{Carré}}} \blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois} {\blockmove{avancer de \ovalmoreblocks{Côté}} \blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{90} degrés} } \end{scratch} \end{center} \end{enumerate} \begin{minipage}{0.6\linewidth} \begin{enumerate}[resume] \item Le script ci-contre permet de réaliser les dix carrés de la figure souhaitée. On rappelle que l'instruction \og s'orienter à 180 \fg{} signifie que le lutin est dirigé vers le bas. \begin{enumerate} \item %Donner les coordonnées du stylo lorsqu'il commence à tracer le premier carré. \og Côté \fg{} vaut 300 et on démarre chaque carré au point de coordonnées (Côté/2\;;\;Côté/2). Les coordonnées du stylo lorsqu'il commence à tracer le premier carré sont donc $(150\;;\;150)$. \item Parmi les 4 propositions ci-dessous, celle qui correspond au tracé des deux premiers carrés est la proposition 3. En effet, on démarre avec un Côté de 300, donc en $(150\;;\;150)$, puis on réduit le Côté de 20\,\% donc il vaut 240; on démarre alors le deuxième carré en $(120\;;\;120)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.35\linewidth} \begin{scratch}[num blocks, scale=0.8] \blockinit{Quand \greenflag est cliqué} \blockpen{effacer tout} \blockmove{s’orienter à \ovalnum{180} degrés} \blockvariable{mettre \selectmenu{Côté} à \ovaloperator{\ovalnum{300}}} \blockrepeat{répéter \ovalnum{10} fois} {\blockpen{relever le stylo} \blockmove{aller à x: \ovalmoreblocks{Côté} \pmb{/} \ovalnum{2} y: \ovalmoreblocks{Côté} \pmb{/} \ovalnum{2}} \blockpen{stylo en position d'écriture} \blockmoreblocks{Carré} \blockvariable{mettre \selectmenu{Côté} à \ovaloperator{Côté \pmb{*} \ovalnum{0,8}}} } \end{scratch} \end{minipage} \medskip \begin{enumerate}[resume,label=] \item \begin{enumerate}[start=2,label=] \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Proposition 1&Proposition 2&Proposition 3&Proposition 4\\ \hline \psset{unit=0.005cm} \begin{pspicture}(-200,-200)(320,330) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=100,Dy=100,labelFontSize=\scriptscriptstyle]{->}(0,0)(-200,-200)(320,320) \psframe(300,300)\psframe(30,30)(270,270) \uput[d](310,0){\tiny $x$}\uput[l](0,310){\tiny $y$} \end{pspicture}& \psset{unit=0.005cm} \begin{pspicture}(-200,-200)(320,330) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=100,Dy=100,labelFontSize=\scriptscriptstyle]{->}(0,0)(-200,-200)(320,320) \psframe(-150,-150)(150,150)\psframe(-100,-100)(100,100) \uput[d](310,0){\tiny $x$}\uput[l](0,310){\tiny $y$} \end{pspicture}& \psset{unit=0.005cm} \begin{pspicture}(-200,-200)(320,330) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=100,Dy=100,labelFontSize=\scriptscriptstyle]{->}(0,0)(-200,-200)(320,320) \psframe(-120,-120)(120,120)\psframe(-140,-140)(140,140) \uput[d](310,0){\tiny $x$}\uput[l](0,310){\tiny $y$} \end{pspicture}& \psset{unit=0.005cm} \begin{pspicture}(-200,-200)(320,330) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=100,Dy=100,labelFontSize=\scriptscriptstyle]{->}(0,0)(-200,-200)(320,320) \psframe(300,300)\psframe(100,100)(200,200) \uput[d](310,0){\tiny $x$}\uput[l](0,310){\tiny $y$} \end{pspicture}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} %\end{enumerate} % %\begin{enumerate}[resume,label=] \item \begin{enumerate}[start=3] \item %Quelle est la longueur du dernier carré tracé avec le script précédent? Arrondir au pixel. Le 1\ier{} carré a un côté de longueur 300. Le 2\ieme{} carré a un côté de longueur $300\times 0,8 = 240$. Le 3\ieme{} carré a un côté de longueur $240\times 0,8 = 300\times 0,8^2 = 192$. Etc. Le 10\ieme{} carré a un côté de longueur $300\times 0,8^9$ soit environ $40,27$. La longueur du dernier carré est donc d'environ $4\times 40,27$ soit environ $161$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{enumerate}[start=4] \item On veut diminuer l'épaisseur des traits lorsqu'on passe de la construction d'un carré au suivant pour obtenir la figure suivante. \begin{minipage}{11cm} Pour cela, on souhaite utiliser les deux instructions suivantes : \begin{itemize} \item[$\bullet$] Instruction A : \begin{scratch}\blockpen{ajouter \ovalvariable{$- 1$} à la taille su stylo} \end{scratch} \item[$\bullet$] Instruction B : \begin{scratch}\blockpen{mettre la taille du stylo à \ovalvariable{$11$}} \end{scratch} \end{itemize} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{3.5cm} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-2,-2)(2,2) \psframe[linewidth=3pt](-1.6,-1.6)(1.6,1.6) \psframe[linewidth=2.7pt](-1.28,-1.28)(1.28,1.28) \psframe[linewidth=2.4pt](-1.024,-1.024)(1.024,1.024) \psframe[linewidth=2.1pt](-0.8192,-0.8192)(0.8192,0.8192) \psframe[linewidth=1.8pt](-0.65536,-0.65536)(0.65536,0.65536) \psframe[linewidth=1.5pt](-0.5243,-0.5243)(0.5243,0.5243) \psframe[linewidth=1.2pt](-0.4194,-0.4194)(0.4194,0.4194) \psframe[linewidth=0.9pt](-0.3355,-0.3355)(0.3355,0.3355) \psframe[linewidth=0.6pt](-0.2684,-0.2684)(0.2684,0.2684) \end{pspicture} \end{minipage} %Pour chaque instruction, indiquer les numéros des lignes du script de la question 2 entre lesquelles elle peut être insérée afin d'obtenir cette figure. \medskip On insère l'instruction A entre les lignes 9 et 10, et on peut insérer l'instruction B entre les lignes 2 et 3. \end{enumerate} \newpage \textbf{{\large \textsc{Exercice 4}} \hfill 20 points} \medskip Les propriétaires d'une maison souhaitent créer une rampe d'accès à leur terrasse. Cette rampe devra avoir la forme d'un prisme droit à base triangulaire comme représenté sur le schéma en perspective cavalière ci-dessous: \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(0,-1)(15,5.3) \pscurve(0,0)(0.33,0.33)(0,0.5)(0.5,0.66)(0,1)(1,1.6)(1.9,2)(2.5,3.2)(3.2,3.7)(3.4,4.2)(4.2,4.1)(4.7,4.3) \psline(4.7,4.3)(8.3,4.3)(12.1,3.3)(14.8,3.3) \psline(12.1,3.3)(7.5,0)(3.6,1)(0,1) \psline(0,0)(10,0) \psline(8.3,4.3)(3.6,1)(3.6,0)%DAC \psline[linestyle=dashed](3.6,0)(8.3,3.3)(8.3,4.3)%CFD \psline[linestyle=dashed](8.3,3.3)(12.1,3.3)%FE \pscurve(10,0)(10.3,0.8)(10.5,1)(11.3,0.8)(12,1.1)(12.2,2.2)(13,2.5)(14,2.8)(14.3,2.7)(14.8,3.3) \rput(4.2,2.9){TERRASSE}\rput(8.4,1.9){RAMPE D'ACCÈS}\rput(11.2,1.6){SOL} \uput[ul](3.6,1){A}\uput[d](7.5,0){B}\uput[d](3.6,0){C} \uput[u](8.3,4.3){D}\uput[ur](12.1,3.3){E}\uput[dr](8.3,3.3){F} \end{pspicture} \end{center} %Les figures ci-dessus ne sont pas à l'échelle. \begin{multicols}{2} Vue de face de la rampe : \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-1,-0.8)(7,3) \pspolygon(0,0)(6,0)(0,2)%CBA \psframe(0,0)(0.2,0.2) \uput[dl](0,0){C}\uput[d](6,0){B}\uput[u](0,2){A} \end{pspicture} \columnbreak \begin{list}{\textbullet}{On donne les informations suivantes :} \item la hauteur [AC] de la rampe mesure $30$~cm ; \item AB $= 124$~cm ; \item la longueur BE de la rampe mesure $9$~m ; \item l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ est un angle droit. \end{list} \end{multicols} %\medskip \begin{enumerate} \item %Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ que doit faire la rampe avec le sol du jardin. Dans le triangle ACB rectangle en C, on a: $\sin \left (\widehat{\text{ABC}}\right )= \dfrac{\text{AC}}{\text{AB}} = \dfrac{30}{124}$. On en déduit que l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ mesure, au degré près, $14\degres$. %On arrondira au degré près. \item %Montrer que la longueur BC doit être environ égale à $120$~cm. Le triangle ACB est rectangle en C donc $\text{AB}^2 = \text{AC}^2 + \text{BC}^2$ donc $\text{AB}^2 - \text{AC}^2 = \text{BC}^2$ ou encore $124^2-30^2 = \text{BC}^2$, et donc $\text{BC}^2 = \np{14476}$. On en déduit que BC vaut, en centimètre, environ 120. \item Pour réaliser cette rampe, les propriétaires envisagent de se faire livrer $2$~m$^3$ de béton. %Ce volume est-il suffisant ? La longueur BE de la rampe mesure $9$~m soit 900~cm. La rampe est un prisme de base le triangle ACB et de hauteur BE donc son volume vaut, en cm$^3$: $\left (\text{aire de ABC}\right ) \times \text{BE}$ soit $\dfrac{\text{AC} \times \text{BC}}{2}\times \text{BE}$ soit environ $\dfrac{30\times 120}{2}\times 900$ c'est-à-dire $\np{1620000}$. Le volume de la rampe est donc, en m$^3$, d'environ $1,62$. Donc le volume de 2~m$^3$ de béton est suffisant. \item %En utilisant le volume de $2$~m$^3$ de béton, sans modifier les longueurs AC et BE de la rampe, quelle serait la valeur de BC ? On cherche BC pour utiliser les 2~m$^3$ de béton soit $\np{2000000}$~cm$^3$. Donc BC est tel que: $\dfrac{\text{AC} \times \text{BC}}{2}\times \text{BE} = \np{2000000}$ donc $\text{BC} = \dfrac{\np{2000000}\times 2}{\text{AC}\times \text{BE}} = \dfrac{\np{4000000}}{30\times 900}$ soit 148~cm en arrondissant au centimètre. %On arrondira au centimètre près. \end{enumerate} \newpage \textbf{{\large \textsc{Exercice 5}} \hfill 20 points} \medskip La transat Jacques Vabre est une course de bateaux qui relie la ville du Havre, en France métropolitaine, à la ville de Fort-de-France, en Martinique. \begin{enumerate} \item Avec la précision permise par la carte, la latitude de la ville de Fort-de-France repérée par une croix sur la carte ci-dessous est de $14,5\degres$~Nord, et sa longitude est de $61\degres$ Ouest. \begin{center} \includegraphics[width=0.9\linewidth]{mappemonde_Poly_sept_2023} \end{center} \item Lors de l'édition 2021, $75$ bateaux ont participé à cette course, répartis dans quatre catégories en fonction du parcours à réaliser : Class $40$, Ocean Fifty, Imoca, Ultim. Le tableau ci-dessous présente les catégories, les effectifs engagés, les distances parcourues et le palmarès de la Transat: \begin{center} \begin{tabular}{|l| >{\centering\arraybackslash}m{2cm}|m{2.25cm}|m{2.5cm}|m{3cm}|}\cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Nombres de bateaux de la catégorie}&\textbf{Distance du parcours}&\textbf{Nom du bateau vainqueur de la catégorie}&\textbf{Durée de course du vainqueur}\\ \hline \textbf{Class 40} &43 &\np{4600} milles&Redman &21 jours 22 heures 33 minutes\\ \hline \textbf{Ocean Fifty} &7 &\np{5800} milles&Primonial &15 jours 13 heures 27 minutes\\ \hline \textbf{Imoca} &20 &\np{5800} milles&LinkedOut &18 jours 1 heure 21 minutes\\ \hline \textbf{Ultim} &5 &\np{7500}~milles&Maxi Edmond de Rothschild&16 jours 1 heure 48 minutes\\ \hline \end{tabular} \end{center} %\textbf{Information :} % %Un mille nautique est une unité de mesure marine qui équivaut à 1,852 km environ. \begin{enumerate} \item % Montrer que le bateau LinkedOut met 2 jours 11 heures et 54 minutes de plus que le bateau Primonial pour effectuer son parcours. Le bateau Primonial met 15 jours 13 heures et 27 minutes pour effectuer son parcours, et le bateau LinkedOut met 18 jours 1 heure et 21 minutes pour effectuer son parcours, soit 18 jours 0 heure et 81 minutes, ou encore 17 jours 24 heures et 81 minutes. \begin{center} \begin{tabular}{rcccl} & jours & heures & minutes\\ & 17 & 24 & 81 & LinkedOut\\ -- & 15 & 13 & 27 & Primonial\\ \hline & 2 & 11 & 54 \end{tabular} \end{center} Donc le bateau LinkedOut met 2 jours 11 heures et 54 minutes de plus que le bateau Primonial pour effectuer son parcours. \item La moyenne des distances parcourues par l'ensemble des $75$ bateaux est, en mille: $\dfrac{43 \times \np{4600} \times 7 \times \np{5800} \times 20 \times \np{5800} \times 5 \times \np{7500}}{75} = \dfrac{\np{391900}}{75} \approx \np{5225}$ \item La vitesse moyenne du bateau Redman a été d'environ 8,7~milles/h. %Montrer que la vitesse moyenne du bateau Maxi Edmond de Rothschild a été environ $2,2$ fois plus grande que celle du bateau Redman. Le bateau Maxi Edmond de Rothschild a parcouru \np{7500}~milles en 16 jours, 1 heure et 48 minutes, soit $16\times 24 + 1 + \dfrac{48}{60}$ heures, c'est-à-dire $385,8$ heures. \np{7500}~milles en $385,8$ heures, fait une moyenne de $\dfrac{\np{7500}}{385,8}$ soit environ $19,45$~milles/h. $\dfrac{19,45}{8,7}\approx 2,2$ donc la vitesse moyenne du bateau Maxi Edmond de Rothschild a été environ $2,2$ fois plus grande que celle du bateau Redman. \item Un journaliste affirme que la distance parcourue par un bateau de la catégorie Ocean Fifty est environ égale à un quart de périmètre de l'équateur de la Terre. La distance parcourue par un bateau de la catégorie Ocean Fifty est de \np{5800}~milles, soit en kilomètres: $\np{5800}\times 1,852\approx \np{10742}$. En sachant que le rayon de l'équateur est de \np{6370}~km, le périmètre de l'équateur de la terre est, en km: $2\times \pi \times \np{6370}$ soit environ $\np{40024}$. $\dfrac{\np{40024}}{4}=\np{10006}$ ce qui est un peu loin des \np{10742}~km. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE} \medskip \textbf{À compléter et à rendre avec la copie} \end{center} \medskip \textbf{Exercice 2, questions 2. c. et 3. b. :} \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-5,-13)(6,12) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4.95,-12.95)(6,12) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{6}{x dup mul x sub 12 sub} \uput[l](-4.2,10){\blue $\mathcal{C}_f$} %%%%%%%%%%%%%% corrigé \psset{linecolor=red} \psplot{-5}{6}{3 x mul 7 sub} \psdots(0,-7)(3,2) \psset{linestyle=dashed} \psline(-5,-6)(5,-6) \psline(-2,0)(-2,-6) \psline(3,0)(3,-6) \uput[d](-4,-6){\red $y=-6$} \uput[ul](4,5){\red $\mathcal{C}_g$} \psset{linecolor=black} \psline(-1,0)(-1,-10) \psline(5,0)(5,8) \end{pspicture*} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 3, question 2 :} \medskip \begin{center} \begin{scratch}[num blocks] \initmoreblocks{définir \namemoreblocks{\ovalmoreblocks{Carré}}} \blockrepeat{répéter \ovalnum{} fois} {\blockmove{avancer de \ovalmoreblocks{Côté}} \blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{} degrés} } \end{scratch} \end{center} \end{document}