\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage UTF8 \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{diagbox} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{colortbl} \usepackage{xcolor} \usepackage{xspace}%espace après \fg %\usepackage{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{multirow,multicol} \usepackage{dcolumn} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} %Sujet aimablement fourni par %Tapuscrit : Denis Vergès \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{graphics,graphicx} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage{scratch3} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \frenchbsetup{StandardLists=true} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Brevet des collèges}, pdftitle = {Polynésie 9 septembre 2024}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet des collèges - corrigé} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{9 septembre 2024}} \setlength{\headheight}{13.59999pt} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Brevet des collèges~\decofourright\\[7pt] Polynésie -- 9 septembre 2024}} %\bigskip % %\textbf{Durée : 2 heures} % %\medskip % %L'annexe est à rendre avec la copie. \end{center} %\bigskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\textbf{}}X|}\hline %\multicolumn{1}{|c|}{Indications portant sur l'ensemble du sujet}\\ %Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.\\ %Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche; elle sera prise en compte dans la notation.\\ \hline %\end{tabularx} \bigskip \textbf{\large{}Exercice 1 \hfill 21 points} %\medskip % %\emph{Dans cet exercice, toutes les questions sont indépendantes.} \medskip \begin{enumerate} \item On a décomposé ci-dessous cinq nombres en produits de facteurs premiers. On cherche ceux qui sont divisibles par 21. \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.6} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre 1& Nombre 2& Nombre 3& Nombre 4& Nombre 5\\ \hline $2^2 \times 11 \times 23$ &$2^4 \times 3^4 \times 11$ &$7^3 \times 13 \times 17$ &$2 \times 3 \times 5 \times 7$&$2^3 \times 3^2 \times 7$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{list}{\textbullet}{} \item Nombre 4: $2 \times 3 \times 5 \times 7 = 2 \times 5 \times 3 \times 7 = 2 \times 5 \times 21$ donc divisible par 21. \item Nombre 5: $2^3 \times 3^2 \times 7 = 2^3 \times 3\times 3 \times 7 = 2^3 \times 3\times 21$ donc divisible par 21. \end{list} \item L'écriture scientifique du nombre \np{0,00000276} est $2,76\times 10^{-6}$. \item La comète Hale-Bopp a atteint la vitesse de \np{2640} km/min. %Quelle est sa vitesse en m/s ? En km/s, sa vitesse est de $\dfrac{\np{2640}}{60}$, et en m/s, elle est de $\dfrac{\np{2640}}{60}\times \np{1000}$ soit $\np{44000}$. \item Les solutions de l'équation $(2x - 7)(3x + 1) = 0$ sont les nombres $x$ tels que $2x-7=0$ ou $3x+1=0$. \begin{list}{\textbullet}{} \item $2x-7=0$ équivaut à $2x=7$ qui équivaut à $x=\dfrac{7}{2}$. \item $3x+1=0$ équivaut à $3x=-1$ qui équivaut à $x=-\dfrac{1}{3}$. \end{list} L'équation $(2x - 7)(3x + 1) = 0$ a donc pour solutions $x=\dfrac{7}{2}$ et $x=-\dfrac{1}{3}$. \item On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 5x^2 + 2$. L'image de $-3$ par la fonction $f$ est: $f(-3)=5\times (-3)^2+2=5\times 9+2 = 45+2=47$. \end{enumerate} \begin{minipage}{0.48\linewidth} \begin{enumerate}[resume] \item Sur la figure ci-contre (qui n'est pas à l'échelle) : \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item les points A, E et C sont alignés; \item les points B, D et C sont alignés; \item les droites (AB) et (ED) sont parallèles; \item AB $= 5$ cm, BD $= 1$ cm, CD $= 3$ cm. \end{itemize} \end{enumerate} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.48\linewidth} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6.6,4.4) \pspolygon(0.4,2.2)(4.8,3.7)(6.2,0.4)%ABC \psline(1.72,1.8)(5.1,3) \uput[l](0.4,2.2){A} \uput[u](4.8,3.7){B} \uput[dr](6.2,0.4){C} \uput[r](5.1,3){D} \uput[dl](1.72,1.8){E} \uput[u](2.6,2.95){5 cm} \uput[r](4.95,3.35){1 cm} \uput[r](5.65,1.7){3 cm} \end{pspicture} \end{minipage} \begin{enumerate}[label=] \item Les points A, E et C sont alignés, les points B, D et C sont alignés, et les droites (AB) et (ED) sont parallèles, donc on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles CDE et CBA: $\dfrac{\text{CD}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{BA}}$. $\text{CD} = 3$, $\text{DB}=1$ et $\text{CB} = \text{CD} + \text{DB}$ donc $\text{CB}= 3+1=4$ De plus, $\text{BA}=5$ donc $\dfrac{3}{4} = \dfrac{\text{DE}}{5}$ donc $\text{DE} = \dfrac{5\times 3}{4}=3,75$. Donc DE mesure $3,75$ cm. \end{enumerate} \bigskip %\newpage \textbf{\large{}Exercice 2 \hfill 20 points} \medskip On a relevé dans une feuille de calcul les températures maximales Tmax (en \degres C) atteintes à Strasbourg le 25 juin de chaque année de 2010 à 2018 (source : meteociel.fr). \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash\cellcolor{lightgray}} c|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \rowcolor{lightgray} &A &B &C&D&E&F&G&H&I&J\\ \hline 1 &Année &2010 &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016 &2017 &2018\\ \hline 2 &Tmax & 29 &$23,1$ & $22,6$ &$17,4$ &$23,4$ &$25,7$ &$25,2$ &26 &24\\ \hline 3 & & & & & & & & & &\\ \hline 4 &Moyenne & & & & & & & & &\\ \hline 5 &Médiane &24 & & & & & & & &\\ \hline 6 &Étendue &$11,6$ & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} %\medskip \begin{enumerate} \item %On a oublié de calculer la moyenne de cette série. %Quelle formule peut-on saisir dans la cellule B4 pour que ce calcul soit effectué ? La formule à saisir dans la case \texttt{B4} pour calculer la moyenne de la série est:\\ \fbox{= SOMME(B2 : J2) / 9} \item %Donner, sans détailler les calculs, une valeur approchée au degré Celsius près de la moyenne de la série. $\dfrac{29 +23,1+ 22,6 +17,4 +23,4 +25,7 +25,2 +26 +24}{9} = \dfrac{216,4}{9}\approx 24,04$ Donc une valeur approchée au degré Celsius près de la moyenne de la série est 24\,$\degres$~C. \item Le nombre 24 est la médiane de cette série veut dire qu'il y a, dans la série, au moins la moitié de nombres inférieurs ou égaux à 24, et au moins la moitié de nombres supérieurs ou égaux à 24. \item Pour cette question seulement, on considère la série des températures maximales atteintes à Strasbourg le 25 juin de chaque année de 2010 à 2019. On sait que l'étendue des températures de cette nouvelle série est égale à $18,5\,\degres$~C. %Déterminer la température maximale atteinte à Strasbourg le 25 juin 2019. La température la plus basse est de $17,4\,\degres$, et l'étendue est la différence entre la température la plus élevée et la température la plus basse.\\ Donc la température la plus élevée est de $17,4+18,5$ soit $35,9\,\degres$. Comme ce n'est la température d'aucune des années entre 2010 et 2018, c'est donc le 25 juin 2019 qu'il a fait $35,9\,\degres$~C. \end{enumerate} \medskip Les questions suivantes portent sur la série des températures maximales atteintes à Strasbourg le 25 juin de chaque année de 2010 à 2018. \medskip \begin{enumerate}[resume] \item On crée 9 fiches, une par année, sur lesquelles figure la température maximale atteinte le 25 juin de l'année. On prend une fiche au hasard. Chacune des fiches a la même probabilité d'être tirée. On range les 9 températures en ordre croissant. \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{| *9{>{\centering\arraybackslash} X|}} \hline $17,4$ & $22,6$ & $23,1$ & $23,4$ & 24 & $25,2$ & $25,7$ & 26 & 29\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item% Quelle est la probabilité que la température écrite sur cette fiche soit égale à $26\degres$~C ? Sur les 9 températures, il n'y a qu'une seule fois $26\,\degres$~C; donc la probabilité que la température écrite sur cette fiche soit égale à $26\,\degres$~C est égale à $\dfrac{1}{9}$. \item %Quelle est la probabilité que la température écrite sur cette fiche soit inférieure ou égale à 24$\degres$~C? Sur les 9 températures, il y en a 5 qui sont inférieures ou égales à 24$\,\degres$~C, donc la probabilité que la température écrite sur cette fiche soit inférieure ou égale à 24$\,\degres$~C est égale à $\dfrac{5}{9}$. \item %A-t-on raison de dire que l'on a plus de 40\,\% de chance de prendre une fiche sur laquelle la température est supérieure à $25\degres$~C? Sur les 9 températures, il y en a 4 qui sont supérieures à 25$\,\degres$~C, donc la probabilité que la température écrite sur cette fiche soit supérieure à 25$\,\degres$~C est égale à $\dfrac{4}{9}$ soit $\dfrac{4}{9}\times 100 \approx 44,4\,\%$. Donc on a raison de dire que l'on a plus de 40\,\% de chance de prendre une fiche sur laquelle la température est supérieure à $25\,\degres$~C. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip %\newpage \textbf{\large{}Exercice 3 \hfill 17 points} \medskip \begin{minipage}{0.58\linewidth} Sur la figure ci-contre, qui n'est pas à l'échelle, \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item le triangle ONM est rectangle en N, \item le triangle OPQ est rectangle en P{}, \item le triangle ORS est rectangle en R, \item ON $= 6$ cm et $\widehat{\text{MON}} = 32\degres$. \item P est un point du segment [OM] et R est un point du segment [OQ]. \end{itemize} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.42\linewidth} \psset{unit=1.1cm} \begin{pspicture}(4.5,4.1) %\psgrid \pspolygon(0.3,1.3)(0.3,3.6)(4.1,3.6)%%MNO \psline(0.82,1.62)(1.7,0.3)(4.1,3.6)%PQO \psline(3.04,2.18)(3.65,1.7)(4.1,3.6)%RSO \psframe(0.3,3.6)(0.5,3.4)\rput{-57}(0.82,1.62){\psframe(0.2,0.2)} \rput{-38}(3.04,2.18){\psframe(0.2,0.2)} \psarc(4.1,3.6){0.8}{180}{212} \uput[d](0.3,1.3){M} \uput[ul](0.3,3.6){N} \uput[ur](4.1,3.6){O} \uput[d](0.78,1.62){P} \uput[d](1.7,0.3){Q} \uput[d](3.09,2.18){R} \uput[d](3.65,1.7){S} \uput[u](2.2,3.6){6 cm} \rput(3.65,3.45){\footnotesize $32\degres$} \end{pspicture} \end{minipage} \medskip \begin{enumerate} \item% Calculer la mesure de la longueur MN. On donnera une valeur approchée au millimètre près. Dans le triangle OMN rectangle en N, on a: $\tan \left (\widehat{\text{MON}}\right ) = \dfrac{\text{MN}}{\text{ON}}$ donc $\text{MN} = \text{ON}\times \tan \left (\widehat{\text{MON}}\right ) = 6 \times \tan \left (32\right ) \approx 3,7$. \item On donne PQ $= 2,5$ cm et OQ $= 6,5$ cm. %Montrer que OP $= 6$ cm. On applique le théorème de Pythagore dans le triangle OPQ rectangle en P: $\text{OP}^2 + \text{PQ}^2 =\text{OQ}^2$ donc $\text{OP}^2 =\text{OQ}^2 -\text{PQ}^2 = 6,5^2-2,5^2 = 42,25 - 6,25 = 36$ \\ donc $\text{OP} = 6$~cm. \item% Montrer que les triangles ONM et OPQ ne sont pas des triangles égaux. $\text{ON} = \text{OP} = 6$ mais $\text{MN}\approx 3,7$ et$\text{PQ}=2,5$ donc $\text{MN} \neq \text{PQ}$; les triangles rectangles ONM et OPQ n'ont pas leurs côtés de l'angle droit égaux, donc ce ne sont pas des triangles égaux. \item On sait que le triangle OPQ est un agrandissement du triangle ORS et que OS $= 3,25$ cm.%, calculer l'aire du triangle ORS. OS est l'hypoténuse du triangle ORS et OS $=3,25$~cm. OQ est l'hypoténuse du triangle OPQ et OQ $=6,5$~cm. Comme $6,5=2\times 3,25$, on peut dire que le triangle OPQ est un agrandissement du triangle ORS de facteur 2, et donc que l'aire du triangle OPQ est 4 fois plus grande que l'aire du triangle ORS. L'aire du triangle OPQ est: $\dfrac{\text{OP}\times \text{PQ}}{2} = \dfrac{6\times 2,5}{2}= 7,5$. L'aire du triangle OPQ est 4 fois plus grande que l'aire du triangle ORS donc l'aire du triangle ORS est 4 fois plus petite que l'aire du triangle OPQ, donc est égale à: $\dfrac{7,5}{4}$ c'est-à-dire $\np{1,875}$~cm$^2$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large{}Exercice 4 \hfill 19 points} %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{multicols}{2} Sur la figure ci-contre, DEFGH est un pentagone régulier et le point E appartient à la demi-droite [D$y$). \\ \\ On admet que tous les angles du pentagone régulier mesurent $108$ degrés. \columnbreak \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-2,-2)(3.5,2.1) \pspolygon(1.7;18)(1.7;90)(1.7;162)(1.7;234)(1.7;306)%FGHDE \uput[dl](1.7;234){D} \uput[d](1.7;306){E} \uput[r](1.7;18){F} \uput[u](1.7;90){G} \uput[l](1.7;162){H} \uput[d](3.2,-1.39){$y$} \psline(1.7;306)(3.3,-1.39) \psarc(1.7;306){0.7}{0}{72} \end{pspicture} \end{center} \end{multicols} %\medskip $\widehat{\text{DEF}}+ \widehat{\text{FE}y}=180$; or $\widehat{\text{DEF}}=108$ donc $\widehat{\text{FE}y}=180-108 = 72$ L'angle $\widehat{\text{FE}y}$ mesure donc $72$ degrés. \item% Dans la suite de cet exercice, aucune justification n'est attendue. \begin{enumerate} \item On complète les lignes 3 et 5 du bloc \og pentagone \fg{} pour obtenir un pentagone régulier. %La variable \og longueur \fg{} permet de modifier la longueur des côtés du pentagone. \hfill \begin{scratch}[num blocks,scale=1] \initmoreblocks{définir \namemoreblocks{pentagone}} \blockpen{stylo en position d'écriture} \blockrepeat{répéter \ovalnum{\red\bf 5} fois} {\blockmove{avancer de \ovalnum{longueur} pas} \blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{\red\bf 72} degrés} } \blockpen{relever le stylo} \end{scratch} \hfill~ \item Camille, Lou et Zoé ont chacun codé un programme qui trace un pentagone et son image par l'une des transformations suivantes : translation, symétrie centrale, rotation. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}} \hline Programme de Camille&Programme de Lou&Programme de Zoé\\ \hline \begin{scratch}[num blocks,scale=0.8] \blockinit{Quand \greenflag est cliqué} \blockpen{effacer tout} \blockmove{aller à x : \ovalnum{0} y : \ovalnum{0}} \blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{90}} \blockvariable{mettre \selectmenu{longueur} à \ovalnum{60}} \blockmoreblocks{pentagone} \blockmove{avancer de \ovalnum{120} pas} \blockmoreblocks{pentagone} \end{scratch} & \begin{scratch}[num blocks,scale=0.8] \blockinit{Quand \greenflag est cliqué} \blockpen{effacer tout} \blockmove{aller à x : \ovalnum{0} y : \ovalnum{0}} \blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{90}} \blockvariable{mettre \selectmenu{longueur} à \ovalnum{60}} \blockmoreblocks{pentagone} \blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{60} degrés} \blockmoreblocks{pentagone} \end{scratch} & \begin{scratch}[num blocks,scale=0.8] \blockinit{Quand \greenflag est cliqué} \blockpen{effacer tout} \blockmove{aller à x : \ovalnum{0} y : \ovalnum{0}} \blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{90}} \blockvariable{mettre \selectmenu{longueur} à \ovalnum{60}} \blockmoreblocks{pentagone} \blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{180} degrés} \blockmoreblocks{pentagone} \end{scratch}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} %On rappelle que l'instruction \og s'orienter à 90 \fg{} signifie que l'on s'oriente vers la droite. Les trois élèves ont effectué une copie d'écran de ce qu'ils ont obtenu sans indiquer ni leur prénom ni le nom de la transformation choisie. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline Copie d'écran 1 &Copie d'écran 2& Copie d'écran 3\\ \hline \begin{center} \psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-2,-2)(2,2) \def\penta{\pspolygon(1.;18)(1.;90)(1.;162)(1.;234)(1.;306)} \rput{-12}(-0.3945,0.1045){\penta}\rput(0.6,0.){\penta} \end{pspicture} \end{center} & \begin{center} \psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-2,-2)(2,2) \def\penta{\pspolygon(1.;18)(1.;90)(1.;162)(1.;234)(1.;306)} \rput(0.6,0.6){\penta}\rput{180}(-0.6,-1){\penta} \end{pspicture} \end{center} & \begin{center} \psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-2,-2)(2,2) \def\penta{\pspolygon(1.;18)(1.;90)(1.;162)(1.;234)(1.;306)} \rput(-1.2,0){\penta}\rput(1.2,0){\penta} \end{pspicture} \end{center}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On complète le tableau ci-dessous, en associant le prénom de l'élève au numéro de sa copie d'écran ainsi qu'au nom de la transformation qu'il a choisie. \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabular}[t]{|c|c|c|} \hline Nom de l'élève&Numéro de la copie d'écran&Nom de la transformation\\ \hline Camille& \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{translation}\\ \hline Lou & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{rotation}\\ \hline Zoé& \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{symétrie centrale}\\ \hline \end{tabular}} \end{center} \item Sofia souhaite illustrer à l'aide d'un programme l'effet d'une homothétie sur un pentagone. %Le tableau en ANNEXE donne, dans le désordre, toutes les instructions utiles pour écrire ce programme. L'ordre d'apparition dans le programme de deux instructions est précisé. On complète le tableau, en indiquant l'ordre d'apparition de chacune des instructions dans le programme de Sofia. \begin{center} %\renewcommand{\arraystretch}{2.5} \begin{tabular}{|l| >{\centering\arraybackslash}m{4cm}|} \hline \hfill Instruction \hfill~ &Ordre d'apparition de l'instruction dans le programme de Sofia\\ \hline \begin{scratch}[scale=1]\blockpen{effacer tout} \end{scratch}& 2\ieme \\ \hline \begin{scratch}[scale=1]\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90} } \end{scratch}& 4\ieme \\ \hline \begin{scratch}[scale=1]\blockmoreblocks{pentagone} \end{scratch}&6\ieme\\ \hline \begin{scratch}[scale=1]\blockinit{Quand \greenflag est cliqué} \end{scratch}&\multicolumn{1}{|c|}{1\up{re}}\\ \hline \begin{scratch}[scale=1]\blockvariable{mettre \selectmenu{longueur} à \ovalnum{60}} \end{scratch}& 5\ieme\\ \hline \begin{scratch}[scale=1]\blockmove{aller à x : \ovalnum{0} y : \ovalnum{0}} \end{scratch}& 3\ieme\\ \hline \begin{scratch}[scale=1]\blockmoreblocks{pentagone} \end{scratch}& 8\ieme \\ \hline \begin{scratch}[scale=1]\blockvariable{mettre \selectmenu{longueur} à \ovaloperator{\ovalvariable{longueur} *\ovalnum{1.5}}} \end{scratch}& 7\ieme\\ \hline \end{tabular} \end{center} Ce qui donne le programme suivant: \begin{center} \begin{scratch}[scale=1] \blockinit{Quand \greenflag est cliqué} \blockpen{effacer tout} \blockmove{aller à x : \ovalnum{0} y : \ovalnum{0}} \blockmove{s'orienter à \ovalnum{90} } \blockvariable{mettre \selectmenu{longueur} à \ovalnum{60}} \blockmoreblocks{pentagone} \blockvariable{mettre \selectmenu{longueur} à \ovaloperator{\ovalvariable{longueur} *\ovalnum{1.5}}} \blockmoreblocks{pentagone} \end{scratch} \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} %\bigskip \newpage \textbf{\large{}Exercice 5 \hfill 23 points} \medskip La piscine du camping \og le Rocher\fg{} dispose d'un bassin circulaire de forme cylindrique de rayon $R=3,60$~m et de hauteur $h=1,50$~m. En fin de saison, on utilise une pompe dont le débit est de $14,1$~m$^3$/h pour vider l'eau de la piscine. %\medskip \begin{enumerate} \item %Montrer que le volume du bassin, arrondi au dixième de m$^3$, est 61,1m$^3$. Le volume du bassin est $V=\pi R^2 h = \pi\times 3,6^2\times 1,5 \approx 61,07$. Donc le volume du bassin, arrondi au dixième de m$^3$, est $61,1$m$^3$. \item Le bassin est plein. On met en route la pompe. %Au bout de 2 heures, quel volume d'eau en m$^3$ reste-t-il à vider ? En une heure, la pompe vide $14,1$~m$^3$, donc en 2 heures, elle vide $2\times 14,1$ soit $28,2$~m$^3$. $61,1-28,2=32,9$ donc au bout de 2 heures, il reste $32,9$~m$^3$ à vider. \end{enumerate} On considère la fonction $V\::\: t \longmapsto 61,1 - 0,235 t$. \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item %Montrer que l'expression $V(t)$ permet de déterminer le volume d'eau en m$^3$ qu'il reste à vider dans le bassin en fonction de la durée $t$, exprimée en minute, d'utilisation de la pompe. La pompe vide $14,1$~m$^3$ par heure donc $\dfrac{14,1}{60}$ soit $0,235$~m$^3$ par minute. En $t$ minutes, elle vide $0,235t$~m$^3$; il en reste donc $61,1-0,235t$ à vider. \item Le temps nécessaire pour que le volume d'eau restant à vider soit égal à $30$ m$^3$ est le temps $t$ tel que $V(t)=30$. On résout cette équation. $V(t)=30$ équivaut à $61,1-0,235t = 30$ équivaut à $61,1-30=0,235t$ équivaut à $31,1=0,235t$ équivaut à $\dfrac{31,1}{0,235}=t$ $\dfrac{31,1}{0,235} \approx 132,34$ donc le temps nécessaire pour que le volume d'eau restant à vider soit égal à $30$ m$^3$ est 132 minutes. %On donnera une valeur approchée à la minute près. \end{enumerate} \item On a tracé ci-dessous une partie de la représentation graphique de la fonction $V$. \begin{center} \psset{unit=0.04cm,arrowsize=3pt 3} \begin{pspicture*}(-20,-20)(330,120) \psgrid[unit=2cm,subgriddiv=5,gridlabels=0,gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray](-1,-1)(7,3) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=50,Dy=50,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-20,-20)(330,120) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-20}{330}{61.1 0.235 x mul sub} \uput[u](305,0){$t$}\uput[r](0,105){$V(t)$} %%%%%%%%%%%%% \psset{linecolor=blue,linestyle=dashed} \psline[ArrowInside=->](0,40)(90,40)(90,0) \uput*[l](0,40){\blue\footnotesize 40} \uput*[d](90,0){\blue\footnotesize 90} \psdots(260,0) \uput*[d](260,0){\blue\footnotesize 260} \end{pspicture*} \end{center} %Répondre aux questions suivantes par une lecture graphique. \begin{enumerate} \item D'après le graphique, l'antécédent de 40 par la fonction $V$ est environ 90.\\ Au bout de 90 minutes, il reste donc 40~m$^3$ à vider. %Interpréter le résultat. \item D'après le graphique, le temps nécessaire pour que la pompe vide complètement le bassin est d'environ 260 minutes. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}