% préambule APMEP - Annales %%% Auteurs % tapuscrit : Denis Vergès % relecture : % figures TikZ : % figures pstricks : % modifications : % Remerciements : %%% \documentclass[11pt,a4paper,french]{article} %%% codage et police utilisée \usepackage[T1]{fontenc} \RequirePackage{iftex} \iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex \usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX) % Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX) \usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système \else % pour les autres moteurs latex, pdflatex \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{amsmath,amssymb} \fi \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %%% chargement des packages utiles \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} %\usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{tabularray} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \usepackage[pstricks]{tablvar} \usepackage{esvect} \usepackage{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{fancyvrb} \usepackage{makeidx} \makeindex \usepackage{scratch3} %%% pour PsTricks \usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ} \usepackage{pst-eucl} %%% pour TikZ \usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes} \pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma} %%% Définitions ou redéfinitions \newcommand{\euro}{\eurologo{}} % notation en mode mathématique et hors mode mathématique \newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}} \newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}} \newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}} \newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}} \newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}} \newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}} % \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} % \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} % \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}} %%% Redéfinitions \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}} \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}} \providecommand{\up}{\textsuperscript} %%% Taille de la zone d'écriture \usepackage[left=3cm,right=3cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} %%% Formatage du pdf \iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex \usepackage{hyperref} \else \usepackage[dvips]{hyperref} \fi \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Diplôme national du brevet}, pdftitle = {Brevet -- sujet}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } % packages ajoutés \usepackage[np]{numprint} \usepackage[french]{babel} \begin{document} \setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\headheight}{14pt} \addtolength{\topmargin}{-1.59999pt} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Diplôme national du brevet professionnel} \lfoot{\small{Antilles--Guyane }} \rfoot{\small{30 juin 2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du diplôme national du brevet~\decofourright\\[7pt] Série professionnelle\\[7pt]Antilles--Guyane 30 juin 2026}} \end{center} \vspace{10mm} \begin{center} \begin{tabular}{|p{0.60\textwidth}|p{0.25\textwidth}|}\hline \textbf{Partie 1 – Automatismes} \newline 20 min (calculatrice interdite) & \textbf{6 points} \\ \hline \textbf{Partie 2 – Raisonnement et résolution de problèmes} \newline 1 h 40 (calculatrice autorisée) & \textbf{14 points} \\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{center} \textbf{À l'issue de la partie 1, les copies sont ramassées.} \end{center} \medskip L'usage de la calculatrice avec mode examen actif ou sans mémoire \og type collège \fg{} est \textbf{interdit} pour la partie 1 et \textbf{autorisé} pour la partie 2. L'utilisation du dictionnaire est interdite. \medskip \begin{center} \textbf{\large Partie 1 -- Automatismes -- 6 points -- 20 minutes} \end{center} %Pour chaque question, recopier sur la copie son numéro et la réponse correspondante. %\medskip % %Pour cette partie, aucune justification n’est demandée. Pour les questions à choix multiples, une seule réponse est exacte. % %\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline %\textbf{Pour chaque question, recopier sur la copie son numéro et la réponse correspondante}.\\ %\textbf{Pour cette partie, aucune justification n’est demandée. Pour les questions à choix multiples, une seule réponse est exacte.}\\ \hline %\end{tabularx} % \medskip \textbf{Question 1} \medskip %Écrire sur la copie l’expression correspondant à $3 \times 4^5$ %\begin{center} %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} %\textbf{A.~} $3 \times 4 \times 5$ &\textbf{C.~} $3 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4$\\ %\textbf{C.~} $3 \times (4+4+4+4+4)$ &\textbf{D.~} $3 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5$ %\end{tabularx} %\end{center} $3 \times 4^5 = 3 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4$. \medskip \textbf{Question 2} \medskip %Écrire sur la copie la notation scientifique de \np{1200000}. $\np{1200000} = 1,2 \cdot 10^6$. \medskip \textbf{Question 3} \medskip %Écrire le calcul permettant d’obtenir la moyenne des notes suivantes : %\[11\quad 10\quad 16\quad 9\quad 20\] Si $\overline{m}$ est la moyenne des 5 notes alors : \[\overline{m} = \dfrac{11 + 10 + 16 + 9 + 20}{5} = \dfrac{66}{5} = \dfrac{132}{10} = 13,2.\] \medskip \textbf{Question 4} \medskip %On donne la taille de 11 joueurs de football en mètre. % %\begin{center} %\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %1,72 &1,75& 1,78& 1,84& 1,85& 1,89& 1,89& 1,90& 1,90& 1,92& 1,99\\ \hline %\end{tabularx} %\end{center} % %Déterminer la taille médiane de ces joueurs. Les 11 tailles sont rangées dans l'ordre croissant : la médiane est la sixième (5 plus petites et 5 plus grandes) : c'est donc 1,89~(m). \medskip \textbf{Question 5} \medskip %Donner le quart de 20. Le quart de 20 est égal à $\dfrac14 \times 20 = \dfrac{20}{4} = 5$. \medskip \textbf{Question 6} \medskip %Une voiture parcourt $240$~km en $3$~heures. Calculer sa vitesse moyenne en km/h. La distance parcourue est proportionnelle au temps : en simplifiant par 3 on obtient Une voiture parcourt $80$~km en $1$~heure : sa vitesse moyenne est égale à 80~(km/h). \medskip \textbf{Question 7} \medskip %On dispose de carreaux dont les dimensions sont données ci-dessous. % %Écrire le calcul qui permet de connaître le nombre de carreaux nécessaires pour couvrir la surface à carreler ci-dessous : % %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(9,5) % %\psframe(0,1.6)(3.4,4.1) %\psframe(0,1.6)(0.2,1.8)\psframe(0,4.1)(0.2,3.9) %\psframe(3.4,4.1)(3.2,3.9) %\uput[d](1.7,1.6){90 cm}\uput[r](3.4,2.85){80 cm} %\psframe(5.4,3.3)(6.2,4.1)\uput[d](5.8,3.2){10 cm}\uput[r](6.2,3.6){10 cm} %\rput(1.7,4.6){Surface à carreler}\rput(5.8,4.6){Carreau de carrelage} %\rput(4.5,0.4){Les schémas ne sont pas à l’échelle} %\end{pspicture} %\end{center} Sur la longueur on peut placer exactement 9 carreaux de carrelage ($9 \times 10 = 90$) ; Sur la largeur, on peut placer exactement 8 carreaux de carrelage($8 \times 10 = 80$) On peut donc placer $9 \times 8 = 72$ carreaux de carrelage entiers. \textbf{Question 8} \medskip %Dans une pièce de $2,50$~m de hauteur, on place une armoire de $170$~cm de hauteur. % %Calculer la distance entre le haut de l’armoire et le plafond. La hauteur de l'armoire est égale à 1,70~cm de haut. Il reste donc entre le haut de l'armoire et le le plafond : \[2,50 - 1,70 = 0,80~(\text{m}) \: \text{ou} \: 80~(\text{cm})\] \medskip \textbf{Question 9} \medskip %Le prix d’un article coûtant 20~\euro{} augmente de $40$\,\%. % %Indiquer le calcul qui permet de trouver le nouveau prix. Augmenter de $40$\,\% revient à multiplier l'ancien prix par : \[1 + \dfrac{40}{100} = \dfrac{100}{100} + \dfrac{40}{100} = \dfrac{140}{100} = 1,4\] Nouveau prix $ = \text{Ancien prix} \times 1,4$. \bigskip \textbf{Restitution de la copie du candidat à l’issue de la partie 1} \bigskip \textbf{Partie 2 - raisonnement et résolution de problèmes - 14 points - 1 h 40} \medskip %\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline %\textbf{Dans cette partie, toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée}.\\ %\textbf{La clarté et la précision des raisonnements ainsi que la rédaction sont évaluées sur 2 points.}\\ %\textbf{Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; les essais et les démarches engagées, même non aboutis, seront pris en compte dans la notation.}\\ \hline %\end{tabularx} % %\bigskip \textbf{Exercice 1\hfill 3 points} \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(11,11) %\psgrid \psline[linewidth=2pt](0,1.4)(11,1.4) \psline[linewidth=2pt](3.4,1.4)(3.4,8.6) \psarc[linewidth=2pt](3.9,8.6){0.5}{90}{180} \psline[linewidth=2pt](3.9,9.1)(3.9,10) \psline[linewidth=2pt](3.9,9.6)(8.2,1.4) \psline[linewidth=2pt,linecolor=red](3.9,9.6)(4.2,9.6) \psellipse[linewidth=1.5pt,linecolor=red](4.9,9.6)(0.75,0.225) \psline[linestyle=dashed](3.9,9.1)(3.9,1.4)\psframe(3.9,1.4)(4.15,1.65) \pscurve[linecolor=blue](4.2,9.5)(4.3,9)(4.2,9.55)(4.45,9.)(4.6,9.4)(4.725,9)(4.75,9.4)(4.85,9.)(5,9.4)(5.125,9.)(5.25,9.35)(5.4,9.)(5.35,9.45)(5.45,9.3)(5.55,9.05)(5.6,9.5) \rput(4.8,9.6){Panier}\uput[l](3.9,9.6){P}\uput[d](3.9,1.4){O}\uput[d](8.2,1.4){E} \uput[r](7,6){PE = 3,30 m} \uput[r](7,5){PO = 3,05 m} \rput(5.5,0.4){Le schéma n’est pas à l’échelle } \rput{-62.328}(6,5){Échelle} \end{pspicture} \end{center} On considère le panneau de basket ci-dessus. Pour changer le filet du panneau, il est nécessaire d’utiliser une échelle schématisée par le segment [PE]. \medskip \begin{enumerate} \item %Indiquer précisément la nature de la figure OPE. Dans le triangle OPE, l'angle en O est droit : c'est donc un triangle rectangle en O. \item %Calculer la longueur OE en mètre (m). Arrondir au centième. Le théorème de Pythagore appliqué au triangle OPE s'écrit : PE$^2 = \text{PO}^2 + \text{OE}^2$, soit 3,3^2 = 3,05^2 + \text{OE}^2$, d'où en ajoutant à chaque membre $- 3,05^2$ : OE$^2 = 3,3^2 - 3,05^2 = 10,89 - \np{9,3025} = \np{1,5875}. Comme OE est une longueur la solution est donc OE $ = \sqrt{\np{1,5875}} \approx \np{1,2599}$, soit OE $\approx 1,26$~(m) au centième de mètre près, soit au centimètre près. \item %Pour des raisons de sécurité, il est recommandé que la mesure de l’angle $\widehat{\text{OEP}}$ form par l’échelle et le sol, soit comprise entre $73\degres$ et $77\degres$. L’angle $\widehat{\text{OPE}}$ mesure $22,4\degres$. %Déterminer si la condition de sécurité est respectée. Rédiger la justification. La somme des mesures des trois angles du triangle OPE est égale à $180\degres$ ; l'angle droit en O mesure $90\degres$. la somme des deux angles aigus est donc égale à : $\widehat{\text{OEP}} + \widehat{\text{OPE}} = 180 - 90 = 90$. On a donc : $\widehat{\text{OEP}} + 22,4 = 90$, d'où $\widehat{\text{OEP}} = 90 - 22,4 = 67,6$. Or cette mesure n'est pas comprise entre 73 et 77 degrés : la condition de sécurité n'est pas respectée \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2\hfill 3 points} \medskip L’Euro de basket 2025 était organisé en 4 groupes de 6 équipes, chacune de ces équipes était constituée de 12 joueurs. \medskip \begin{enumerate} \item %Vérifier que 288 joueurs au total ont été retenus pour cet évènement. Il y a $4 \times 6 = 24$ équipes de 12 joueurs. Il y a 12 joueurs par équipe donc $24 \times 12 = 288$, joueurs différents dans cette compétition. \item %On étudie la zone géographique des clubs des joueurs sélectionnés pour disputer cette compétition. %Compléter le tableau de l’ANNEXE 1. Voir le tableau de l’ANNEXE 1. \item %Compléter la légende associée au diagramme circulaire de l’ANNEXE 1. Voir la légende associée au diagramme circulaire de l’ANNEXE 1. \item %Un supporter affirme qu’un quart des joueurs sélectionnés à l’Euro de basket provient d’un club d’Amérique du Nord. %Indiquer s’il a tort ou raison. \textbf{Rédiger la justification}. Sur les 288 joueurs la moitié représente 144 joueurs et le quart représente 72 joueurs. Or il y a 32 joueurs d'Amérique du Nord : ils représentent moins du quart de la totalité des joueurs : le supporter a tort. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 4 points} \medskip Un club de basket propose à ses supporters deux tarifs pour assister aux matchs : \begin{description} \item[ ] Tarif 1 : 20~\euro{} le match \item[ ] Tarif 2 : achat d’une carte d’abonnement annuelle de 80~\euro{} puis 12~\euro{} le match. \end{description} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le prix de 5 billets au tarif 1. \item Montrer que le prix à payer pour assister à 5 matchs est égal à $140$~\euro{} avec le tarif 2. \item On note $x$ le nombre de matchs auxquels un supporter assiste. Le prix à payer pour $x$ matchs avec le tarif 1 est ainsi égal à $20x$. Choisir et écrire sur la copie l’expression donnant le prix à payer avec le tarif 2 parmi celles figurant ci-dessous : \[\text{A.~} 80x + 12\qquad \text{B.~} 12x + 80 \qquad \text{C.~} 12 + x + 80 \qquad \text{D.~} 92x\] \item Compléter le tableau des prix du tarif 1 sur l’ANNEXE 2. \item Sur le repère de l’ANNEXE 2, placer les points B et C puis tracer la droite $D_1$ correspondant au tarif 1. \item Sur ce graphique, la droite $D_2$ représente le tarif 2. Déterminer graphiquement les coordonnées du point d’intersection des deux droites. Noter ces coordonnées sur la copie. Laisser apparents les traits de lecture. \item Résoudre l’équation : \[20x = 12x + 80\] \item Préciser le nombre de billets pour lequel les deux tarifs sont égaux. \item \textbf{Selon le nombre de billets achetés, déterminer le tarif le plus avantageux.} \end{enumerate} \bigskip \bigskip \textbf{Exercice 4 \hfill 2,5 points} \medskip Le club de basket organise une tombola. 500 tickets sont à vendre. Chaque ticket coûte 4~\euro. Les lots prévus sont les suivants : \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item 1 week-end au bord de mer d’une valeur de $200$~\euro, \item 4 cartes d’abonnement d’une valeur de $80$~\euro{} chacune, \item 10 maillots imprimés aux couleurs du club d’une valeur de $25$~\euro{} chacun, \item 15 billets pour assister à un match d’une valeur de $20$~\euro{} chacun. \end{itemize} 470 tickets sont perdants. \medskip \begin{enumerate} \item On achète un ticket. Déterminer la probabilité de gagner un lot. \item Tous les tickets sont vendus. Le club espère obtenir un bénéfice supérieur ou égal à $800$~\euro. Indiquer en justifiant si l’objectif est atteint. \end{enumerate} \newpage \begin{center}{\large \textbf{ANNEXE 1 - À rendre avec la copie}}\end{center} \medskip \textbf{EXERCICE 2} \medskip \textbf{Question 2} \begin{center} \begin{tabular}{|p{7cm}|c|}\hline Zone géographique des clubs&Nombre de joueurs\\ \hline France &12\\ \hline Pays européens excepté la France &200\\ \hline Amérique du Nord& \red 32\\ \hline Autres continents &44\\ \hline Total& \red 288\\ \hline \end{tabular} Autres : Afrique, Amérique du Sud, Océanie et Asie \end{center} \bigskip \textbf{Question 3} \medskip \begin{center} \textbf{Zone géographique des clubs des joueurs} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-6,-6)(6,6) \pscircle(0,0){5} %\psline(5;90)\psline(5;75) \pswedge*[linecolor=cyan]{5}{75}{90}\rput(5.5;82.5){\cyan \Large{\cyan France}} \pswedge*[linecolor=red]{5}{90}{145}\rput(6;117.5){\red \Large{Autres continents}} \pswedge*[linecolor=green]{5}{145}{185}\rput(6;162.5){\green \Large{Amérique}} \pswedge*[linecolor=green]{5}{145}{185}\rput(6;167.5){\green \Large{du Nord}} %\psline(5;145)\psline(5;185) \rput(5.75;312.5){\black Pays} \rput(5.75;307.5){\black européens} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \large \textbf{ANNEXE 2 - À rendre avec la copie} \end{center} \medskip \textbf{EXERCICE 3} \medskip \textbf{Question 4} \begin{center}Tableau des prix avec le tarif 1 \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &Point A &Point B&Point C\\ \hline Nombre de matchs& 3&5&12\\ \hline Prix payé en euros&&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{center} \psset{xunit=0.75cm,yunit=0.0375cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1.2,-20)(16.5,260) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy =20,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(16.1,260) \multido{\n=0+1}{17}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,260)} \multido{\n=0+20}{14}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(16,\n)} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{15}{12 x mul 80 add} \psdots(3,60)\uput[ur](3,60){A}\uput[dr](14.5,250){\red $D_2$} \uput[u](14,0){Nombre de matchs} \uput[r](0,255){Prix en \euro} \end{pspicture} \end{center} \end{document}