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%Corrigé : François Hache
%Relecture : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{5pt}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Brevet - voie professionnelle - corrigé}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Métropole - Antilles-Guyane }
\lfoot{\small 19 septembre 2024}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Brevet -- Métropole - Antilles-Guyane~\decofourright\\[7pt]
Voie professionnelle - 19 septembre 2024}}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%\multicolumn{1}{|c|}{Indications portant sur l'ensemble du sujet}\\
%Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la
%recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 20 points}

%\vspace{0.25cm}

%\medskip
%
%Pour chaque question, quatre réponses sont proposées mais \textbf{une seule est exacte}.\\
%Cocher la bonne réponse \textbf{sans justification}.\\
%Une réponse juste rapporte 4 points, une réponse fausse ou l'absence de réponses ne rapporte aucun point.
%

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une urne contient:

\begin {center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
8 boules rouges &8 boules bleues\\ \hline
8 boules vertes &8 boules jaunes\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

La probabilité de tirer une boule jaune est égale à :

\begin {center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
$\blue\boxtimes~~\dfrac14$&$\square~$ $\dfrac18$&$\square~$ $\dfrac{1}{16}$&$\square~$ $\dfrac{1}{32}$
\end{tabularx}
\end{center}

\item On relève le prix d'une même paire de baskets dans différents magasins:

\begin {center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-6}
\multicolumn{1}{c|}{~}	&Magasin 1	& Magasin 2 &Magasin 3 	&Magasin 4 	&Magasin 5\\ \hline
Prix (en euros) 		&40 		&45			&25			& 30 		&60\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le prix moyen de cette paire de baskets est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
$\square~$ 20 \euro & $\square~$ 26 \euro&$\blue\boxtimes~~40 \text{ \euro}$ &$\square~$ 48 \euro
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item Les coordonnées des points A et B sont:

$\square~$A (3~;~2) et B $(- 3~;~1)$

$\blue\boxtimes~\text A\,(2~;~3) \text{ et B}\;(- 3~;~1)$

$\square~$A (3~;~2) et B $(1~;~- 3)$

$\square~$A (2~;~3) et B $(1~;~- 3)$
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
~\hfill
\psset{unit=0.75cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-3.5,-1.2)(3.5,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.155pt](-3.5,-0.4)(3.5,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3.5,-0.4)(3.5,4)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=1.5](-3,1)(2,3)
\uput[l](-3,1){B}\uput[r](2,3){A}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[resume]
\item La solution de l'équation $4x - 3 = x - 2$ est 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
$\square~$ $x = -1$ & $\square~$ $x = 0$ & $\square~$ $x = 1$& $\blue\boxtimes~~x = \frac13$\\ 
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.69\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item La piscine représentée ci-contre est un pavé droit qui a pour longueur 10 m, largeur 3 m et profondeur 2 m.

Si on multiplie chacune de ses dimensions par deux son volume est multiplié par:

\begin {center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
$\square~$ 2&$\square~$ 4&$\square~$ 6&$\blue\boxtimes~8$\\
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(3.6,2.3)
%\psgrid
\pspolygon(0,1)(1.4,0)(3.6,1.7)(2.7,2.3)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.3,1)(2.7,2.15)(2.7,1.6)(0.8,0.66)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.7,2.15)(2.7,1.6)(2.94,1.4)(3.35,1.75)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.8,0.66)(1.45,0.28)(2.97,1.44)(2.7,1.6)
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\newpage

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 22 points}

\medskip

Gabin souhaite réduire son impact sur l'environnement. Il a réalisé auprès d'un organisme spécialisé une estimation de la quantité de dioxyde de carbone (CO$_2$) qu'il émet en une année.

Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|c|} \hline
\textbf{Domaine}&\multicolumn{1}{|m{5cm}|}{\textbf{Masse de dioxyde de carbone}\newline\hspace*{2cm} \textbf{(en tonne)}}\\ \hline
Transport &3,6\\ \hline
Logement& 2,2 \\ \hline
Vie quotidienne &1,4\\ \hline
Alimentation&\ldots\\ \hline
Émissions indirectes &2,9\\ \hline
Total&12,1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La masse totale de dioxyde de carbone (CO$_2$) émis par Gabin en une année est de $12,1$~tonnes.

\item $12,1- \left ( 3,6 + 2,2 +1,4 +  2,9\strut \right ) = 12,1 - 10,1 = 2 $

Donc la masse de CO$_2$ du domaine Alimentation est de 2 tonnes.

\item $\dfrac{2}{12,1}\times 100 \approx 16,53$

Donc le pourcentage de CO$_2$, arrondi au dixième, correspondant à l'alimentation par rapport au total des émissions est de $16,5$\,\%.
\end{enumerate}

L'objectif de Gabin est d'émettre moins de 10 tonnes de CO$_2$ par an. Pour atteindre cet objectif, il effectue des travaux d'isolation et change son mode de chauffage. Ses émissions de CO$_2$ dues au logement diminuent de 50\,\%.

\begin{enumerate}[resume]
\item Les émissions de CO$_2$ dues au logement avant travaux sont de $2,2$ tonnes. Si elles diminuent de 50\,\%, elles sont divisées par 2.

Donc la masse de CO$_2$ émis par an pour le domaine Logement après les travaux réalisés et le changement de mode de chauffage est de $1,1$~tonne.

\item La nouvelle masse totale de CO$_2$ émis par Gabin en une année a baissé de $1,1$ tonne donc s'établit à 11~tonnes.

\item $11>10$ donc  l'objectif de Gabin n'est pas atteint.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 20 points}

\medskip

Dans la commune de Gabin, le tarif de ramassage des bacs à ordures ménagères est composé:\\
\hspace*{2cm}\textbullet~~d'une partie fixe de 115~\euro{} par an,\\
\hspace*{2cm}\textbullet~~d'une partie variable de 5~\euro{} par ramassage.

Le tableau ci-après, donne des coûts à l'année en fonction du nombre de ramassages.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item $5\times 14 + 115 = 70 + 115 = 185$

Donc Gabin paie 185~\euro{} pour $14$~ramassages dans l'année.

On complète le tableau.

{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de ramassages (x)&1&10&14&20\\ \hline
Coût à l'année en euros (\euro)&135 &165& $\blue 185$&215\\ \hline
Point de coordonnées $(x~;~y)$&A (4~;~135)&B (10~;~165)&C (14~;~$\blue 185$) & D (20~;~215)\\ \hline
\end{tabularx}}

\item On complète le graphique en plaçant les points C et D et en traçant la droite passant par les points A, B, C et D.

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.1cm,arrowsize=3pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-3)(25,140)
\uput[u](22,0){\footnotesize Nombre de ramassages ($x$)}
\uput[r](0,137){\footnotesize Coût payé (\euro) ($y$)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Oy=100,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(25,140)
\multido{\n=1+1}{25}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,140)}
\multido{\n=0+5}{29}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(25,\n)}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](4,35)(10,65)
\uput[ul](4,35){A}\uput[ul](10,65){B}
%%%%%
\psset{linecolor=blue}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](14,85)(20,115)
\uput[ul](14,85){\blue C} \uput[ul](20,115){\blue D}
\psplot{0}{23}{115 5 x mul add 100 sub}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=2](0,95)(16,95)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3](16,95)(16,0)
\uput*[l](0,95){\blue 195} \uput*{8pt}[d](16,0){\blue 16} 
\end{pspicture}
\end{center}

\item Le coût à payer en euros en fonction du nombre $x$ de ramassages dans l'année peut être modélisé par la fonction $f$ d'expression $f(x) = 5x + 115$.

$f(0)\neq 0$ donc cette fonction n'est pas une fonction linéaire.

\item Gabin ne souhaite pas dépasser 195~\euro{} cette année.

%Déterminer le nombre maximum de ramassages correspondant à cet objectif. \\
%Justifier la réponse.

Donc le nombre $x$ de ramassages doit vérifier l'inéquation $f(x) \leqslant 195$:

c'est-à-dire
$5x+115 \leqslant 195$
c'est-à-dire
$5x\leqslant 195-115$
c'est-à-dire
$5x\leqslant 80$
c'est-à-dire
$x \leqslant \dfrac{80}{5}$
soit
$x \leqslant 16$; cela correspond donc à un maximum de 16 ramassages.

%\smallskip
%
%Indication: la résolution peut se faire par le calcul ou à l'aide de la représentation graphique de l'ANNEXE 2 en laissant apparents les traits de lecture.

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\large Exercice 4 \hfill 24 points}

\medskip

Gabin installe une cuve de récupération d'eau pour arroser son potager. Cette cuve est
représentée sur la figure 1 ci-dessous par le pavé droit ABCDIJGH. \\
La figure 2 représente une vue de côté de l'installation.\\
La cuve est protégée par le toit rectangulaire incliné FKLE.

%fig
%\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(0,0)(15,9.8)
%\psgrid[subgriddiv=5,  gridlabels=0, gridcolor=gray, subgridcolor=lightgray] 
\pspolygon(0.3,1.4)(4.3,1.4)(0.3,7.7)%DEF
\psline(4.3,1.4)(8,2.9)(4,9.2)(0.3,7.7)%ELKF
\psline(1.9,1.4)(1.9,5.2)(0.3,5.2)%CBA
\psline{<->}(4.7,1.2)(8.1,2.6)\rput{20}(7.,1.7){4,0 m}
\psline[linestyle=dashed](0.3,1.4)(4,2.9)(8,2.9)%DIL
\psline[linestyle=dashed](1.9,1.4)(5.6,2.9)(5.6,6.7)(1.9,5.2)%CHGB
\psline[linestyle=dashed](0.3,5.2)(4,6.7)(5.6,6.7)%AJG
\psline[linestyle=dashed](4,2.9)(4,9.2)%IK
\psframe(0.3,5.2)(0.55,5.45)\psframe(0.3,1.4)(0.55,1.65)\psframe(1.9,1.4)(2.15,1.65)
\rput(2.3,0.8){Figure 1}
\uput[l](0.3,5.2){A} \uput[dl](1.9,5.2){B} \uput[ul](1.9,1.4){C} \uput[dl](0.3,1.4){D}
\uput[dr](4.3,1.4){E} \uput[ul](0.5,7.7){F} \uput[ur](5.6,6.7){G} \uput[ur](5.9,2.9){H}
\uput[ul](4,2.9){I} \uput[ul](4,6.7){J} \uput[u](4,9.2){K} \uput[ur](8,2.9){L}
%% gouttière
{\psset{linewidth=0.7pt}
\psplot{0.3}{4.4}{ 15 x mul 37 div 1402 185 div add }
\psarc(0.5,7.7){0.2}{-180}{0} \psarc(4.6,9.36){0.2}{-180}{0}
\psline(0.7,7.7)(4.8,9.36) \psline(0.5,7.5)(4.6,9.16)
\psline(0.3,7.7)(0.7,7.7) \psline(4.4,9.36)(4.8,9.36)
\psline(4.5,9.2)(4.5,6.4)\psline(4.7,9.2)(4.7,6.4)
\psarc(4.6,6.45){0.1}{-145}{-35}}
\psline{->}(6,8.8)(5,9.2) \uput[r](6,8.8){Gouttière}
%%%%%%%%%%%
\pspolygon(10,2.1)(14,2.1)(10,8.3)%DEF
\psline(11.6,2.1)(11.6,5.8)(10,5.8)%CBA
\psline{<->}(10,1.9)(14,1.9)\uput[d](12,1.9){2,5 m}
\psline{<->}(14.3,2.3)(10.4,8.5)\rput(12.7,5.7){4,6 m}
\psline{<->}(9.5,5.8)(9.5,8.4)\rput{90}(9.3,7.1){1,6 m}
\psframe(10,5.8)(10.25,6.05)\psframe(11.6,2.1)(11.85,2.35)\psframe(10,2.1)(10.25,2.35)
\uput[l](10,5.8){A} \uput[dl](11.6,5.8){B} \uput[ul](11.6,2.1){C} \uput[dl](10,2.1){D}
\uput[dr](14,2.1){E} \uput[u](10,8.3){F}
\uput[u](7.4,0){Les figures 1 et 2 ne sont pas à l'échelle}
\rput(11.8,0.8){Figure 2}
\uput{2pt}[u](13,9){Les points D, A et F} \uput{2pt}[d](13,9){sont alignés}
\uput{2pt}[u](13,8){Les points E, B et F} \uput{2pt}[d](13,8){sont alignés}
\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le solide EDFKLI est un prisme droit.

%Indiquer sur la copie la nature géométrique du solide EDFKLI en choisissant parmi les
%noms suivants :
%
%$\bullet~$ cube\hfill $\bullet~$ triangle\hfill $\bullet~$ prisme droit \hfill $\bullet~$ cylindre\hfill~

\item On considère le triangle EDF rectangle en D représenté sur la figure 2.

%En utilisant le théorème de Pythagore, vérifier que la longueur DF arrondie au dixième est $3,9$~m.
D'après le théorème de Pythagore dans  le triangle EDF rectangle en D, on a:
$\text{EF}^2 = \text{ED}^2 + \text{DF}^2$.

D'après la figure: $\text{EF}=4,6$ et $\text{ED}=2,5$.

Donc $4,6^2 = 2,5^2 + \text{DF}^2$ donc $\text{DF}^2 =4,6^2-2,5^2=14,91$.

$\text{DF}^2 = \ds\sqrt{14,91}\approx 3,9$

Donc la longueur DF arrondie au dixième est $3,9$~m.

\item %Calculer, en mètre, la longueur AD.
Les points D, A et F sont alignés dans cet ordre donc $\text{DA} + \text{AF}  = \text{DF}$.

Donc: $\text{AD} =\text{DF} -\text{AF} =3,9 - 1,5=2,4$; la longueur AD mesure $2,4$~m.

\item Les droites (AB) et (DC) sont parallèles.

%Montrer, en utilisant le théorème de Thalès, que la longueur AB arrondie à l'unité est égale à 1~m.
On utilise le théorème de Thalès dans les triangles FAB et FDE:

$\dfrac{\text{AB}}{\text{DE}} = \dfrac{\text{FA}}{\text{FD}}$
donc
$\dfrac{\text{AB}}{\text{2,5}} = \dfrac{1,6}{3,9}$
donc
$ \text{AB} = \dfrac{1,6\times 2,5}{3,9} \approx 1,03$

On déduit que la longueur AB arrondie à l'unité est égale à 1~m.
 
\item %Calculer, en mètre cube $\left(\text{m}^3\right)$, le volume du solide ABCDIJGH.
Le  solide ABCDIJGH a pour dimensions $\text{AB}=1$, $\text{AC}= 2,4$ et  $\text{DI}= \text{EL} =4,0$. 
 
Son volume est donc, en m$^3$, de: $1\times 2,4\times 4,0=9,6$.

%\textbf{Indication :} Volume d'un parallélépipède rectangle : $V = L \times l \times h$.

\item  1 m$^3 = \np{1000}$~L, donc le récupérateur d'eau contient \np{9600} litres.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\large Exercice 5 \hfill 14 points}

\medskip

Le programme suivant permet de calculer l'aire d'un trapèze.

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{scratch}[scale=0.85]
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blocksensing{demander \ovalnum{Quelle est la longueur B de la grande base du trapèze ?}}
\blockvariable{mettre \ovalvariable{B} à \ovalvariable{réponse}}
\blocksensing{demander \ovalnum{Quelle est la longueur b de la grande base du trapèze ?}}
\blockvariable{mettre \ovalvariable{b} à \ovalvariable{réponse}}
\blocksensing{demander \ovalnum{Quelle est la longueur h du trapèze ?}}
\blockvariable{mettre \ovalvariable{h} à \ovalvariable{réponse}}
\blocklook{dire \ovalvariable{ regrouper \ovalnum{ l'aire du trapèze est égale à } et \ovalcontrol{\ovalcontrol{\ovalvariable{B} + \ovalvariable{b}} * \ovalvariable{h}} / \ovalnum{2}}}
\end{scratch}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.37\linewidth}
\begin{center}
\begin{pspicture}(5,4.4)
\psset{arrowsize=2pt 3}
\pspolygon(0,0.6)(4.6,0.6)(3.4,3.6)(1.2,3.6)
\psline{<->}(1.2,3.6)(1.2,0.6) \uput[r](1.2,2.1){Hauteur $h$}
\psline{<->}(3.4,3.8)(1.2,3.8) \uput[u](2.3,3.8){Petite base $b$}
\psline{<->}(0,0.4)(4.6,0.4) \uput[d](2.3,0.4){Grande base $B$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item En s'aidant de la dernière instruction du programme,  la formule de l'aire d'un trapèze est: $\dfrac{(B + b) \times h}{2}$.

\item Si $B = 12$, $b = 8$ et $h = 6$, le résultat affiché par le programme est : 
$\dfrac{(12+8)\times 6}{2}=60$.

\item  On complète le programme de calcul d'aire d'un rectangle avec les lignes numérotées dans le script ci-dessous.

\medskip

\begin{scratch}
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blocksensing{ demander \ovalnum{Quelle est la longueur  du rectangle ?} et attendre }
 \setscratch{num blocks}
\renewcommand*\numblock[1]{\No 5~~} 
\blockvariable{mettre \ovalvariable{longueur} à \ovalvariable{réponse}}
\renewcommand*\numblock[1]{\No 4~~}
\blocksensing{demander \ovalnum{Quelle est la largeur du rectangle ?} et attendre}
\renewcommand*\numblock[1]{\No 6~~}
\blockvariable{mettre \ovalvariable{largeur} à \ovalvariable{réponse}}
\renewcommand*\numblock[1]{\No 3~~}
\blocklook{Dire \ovaloperator{regrouper \ovalnum{L'aire du rectangle est égale à } et \ovaloperator{\ovalcontrol{longueur} * \ovalcontrol{largeur}}}}
\end{scratch}
\end{enumerate}

\end{document}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{3}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|}\hline
\No& Instructions\\ \hline
1&\begin{scratch}[scale=0.9]
\blocklook{Dire \ovaloperator{regrouper \ovalnum{L'aire du rectangle est égale à } et \ovaloperator{\ovaloperator{\ovalcontrol{longueur} * \ovalcontrol{largeur}}/\ovalnum{2}}}}
\end{scratch}\\
\hline
2&\begin{scratch}[scale=0.9]
\blocklook{Dire \ovaloperator{regrouper \ovalnum{L'aire du rectangle est égale à} et \ovaloperator{\ovalcontrol{longueur} * \ovalcontrol{largeur}* \ovalcontrol{hauteur}}}}
\end{scratch}\\
\hline
3&\begin{scratch}[scale=0.9]
\blocklook{Dire \ovaloperator{regrouper \ovalnum{L'aire du rectangle est égale à } et \ovaloperator{\ovalcontrol{longueur} * \ovalcontrol{largeur}}}}
\end{scratch}\\
\hline
4&\begin{scratch}[scale=0.9]
\blocksensing{demander \ovalnum{Quelle est la largeur du rectangle ?} et attendre}
\end{scratch}\\
\hline
5&\begin{scratch}[scale=0.9]
\blockvariable{mettre \ovalvariable{longueur} à \ovalvariable{réponse}}
\end{scratch}\\
\hline
6&\begin{scratch}[scale=0.9]
\blockvariable{mettre \ovalvariable{largeur} à \ovalvariable{réponse}}
\end{scratch}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}