\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{enumitem} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{scratch3} \usetikzlibrary{patterns} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %\DeclareUnicodeCharacter{0301}{~} %Tapuscrit : François Kriegk et Denis Vergès \usepackage[dvipsnames]{pstricks} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} %\usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du brevet}, pdftitle = {Métropole Antilles-Guyane 26 juin 2023}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small L'année 2023} \rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \rfoot{\small Métropole Antilles-Guyane } \lfoot{\small 26 juin 2023} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet Métropole Antilles--Guyane 26 juin 2023 \decofourright}} \end{center} \bigskip %%%%%%%% {\large \textbf{Exercice 1 \hfill 20 points}} \medskip Un opticien vend différents modèles de lunettes de soleil. Il reporte dans le tableur ci-dessous des informations sur cinq modèles vendus pendant l'année 2022. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}m{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline & \textsf{A} & \textsf{B} & \textsf{C} & \textsf{D} & \textsf{E} & \textsf{F} & \textsf{G}\\ \hline \textsf{1} & \textbf{Lunettes de soleil} & \textbf{Modèle 1} & \textbf{Modèle 2} & \textbf{Modèle 3} & \textbf{Modèle 4} & \textbf{Modèle 5} & \textbf{Total}\\ \hline \textsf{2} & \textbf{Nombre de paires de lunettes vendues} & \np{1200} & 950 & 875 & 250 & 300 & \\ \hline \textsf{3} & \textbf{Prix à l'unité en euro} & 75 & 100 & 110 & 140 & 160 & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item %Montrer que l'étendue des prix de ces paires de lunettes de soleil est de 85 euros. On a $160 - 75 = 85$~(\euro). \item \begin{enumerate} \item %Quelle formule doit-on saisir dans la cellule G2 pour calculer le nombre total de paires de lunettes de soleil vendues en 2022 ? Il faut écrire dans la cellule G2 : = SOMME(B2\negthinspace:F2). \item %Calculer le nombre total de paires de lunettes de soleil vendues en 2022. On a $\np{1200} + 950 + 875 + 250 + 300 = \np{3575}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Calculer le montant total, en euros, des ventes des paires de lunettes de soleil en 2022. La recette totale pour l'année 2022 est : $\np{1200} \times 75 + 950 \times 100 + 875 \times 110 + 250 \times 140 + 300 \times 160 = \np{364250}$~(\euro). \item %Calculer le prix moyen d'une paire de lunettes de soleil vendue en 2022 , arrondi au centime près. Le prix moyen d'une paire de lunettes de soleil vendue en 2022 est égale à $\dfrac{\np{364250}}{\np{3575}} \approx 101,888$, soit 101,89~\euro{} au centime d'euro près. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{5mm} %%%%%%%% {\large \textbf{Exercice 2 \hfill20 points}} \bigskip Sur la figure ci-dessous : \begin{itemize}[label={\textbullet~}] \item BCDE est un rectangle, BAE est un triangle rectangle en $A$; \item la perpendiculaire à la droite (CD) passant par A coupe cette droite en H; \item les droites (AE) et (CD) se coupent en F. \end{itemize} \begin{center} \begin{tikzpicture}[x=7mm,y=7mm] \draw[line width=1pt] (0,0) node[below left]{C}-- (12.6,0.) node[below right] {F}-- (2.52,7.56) node[pos = 0.28, sloped]{|||} node[above]{A}-- (0.,4.2)node[pos = 0.5, sloped]{||} node[above left]{B} --cycle node[pos = 0.5, sloped]{||} (0.,4.2) -- (7.,4.2)node[pos = 0.5, sloped]{|||} node[above right]{E} -- (7.,0.) node[below right]{D} (2.52,0.) node[below] {H} -- (2.52,7.56); \foreach \x/\y in {0/0 , 2.52/0, 6.6/0, 6.6/3.8, 0/3.8} \draw[shift={(\x,\y)}] (0,0) rectangle (0.4,0.4) ; \draw[shift={(2.52,7.56)},rotate=143.13] (0,0) rectangle (-0.4,0.4) ; \end{tikzpicture} \end{center} On donne : \begin{itemize}[label={\textbullet~}] \item $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=4,2 \mathrm{~cm}$; \item $\mathrm{EB}=\mathrm{EF}=7 \mathrm{~cm}$. \end{itemize} \begin{enumerate} \item %Montrer que l'aire du rectangle BCDE est égale à \np[cm^2]{29,4}. On a $\mathcal{A}(\text{BCDE}) = \text{BC} \times \text{EB} = 4,2 \times 7 = 29,4$~(cm$^2$). \item \begin{enumerate} \item Le théorème de Pythagore appliqué au triangle ABE, rectangle en A s'écrit : $\text{BE}^2 = \text{AB}^2 + \text{AE}^2$, d'où $\text{AE}^2 = \text{BE}^2 - \text{AB}^2 = 7^2 - 4,2^2 = 49 - 17,64 = 31,36$. On a donc AE $= \sqrt{31,36} = 5,6$~(cm). \emph{Rem.} $7^2 - 4,2^2 = (7 + 4,2)(7 - 4,2) = 11,2 \times 2,8 = 4 \times 2,8 \times 2,8 = 2^2 \times 2,8^2 = (2 \times 2,8)^2 = 5,6^2$. Donc AE est égale à \np[cm]{5,6}. %Montrer que la longueur AE est égale à \np[cm]{5,6}. \item %Calculer l'aire du triangle rectangle ABE. On a $\mathcal{A}(\text{ABE}) = \dfrac{\text{AB} \times \text{AE}}{2} = \dfrac{4,2 \times 5,6}{2} = 2,1 \times 5,6 = 11,76$~(cm$^2$). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Montrer que les droites (ED) et (HA) sont parallèles. Les droites (AH) et (ED) sont perpendiculaires à (FH) selon le codage, or lorsque deux droites sont perpendiculaires à une même droite, elles sont parallèles entre elles, on en conclut que (AH) et (ED) sont parallèles. \item %Calculer la longueur AH. Les droites (AE) et (HD) sont sécantes en F et les droites (HA) et (ED) sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès : $\dfrac{\text{FE}}{\text{FA}} = \dfrac{\text{FD}}{\text{FH}} = \dfrac{\text{ED}}{\text{AH}}$. Comme FA = FE + EA $= 7 + 5,6 = 12,6$, on a en particulier : $\dfrac{7}{12,6} = \dfrac{4,2}{\text{AH}}$ ; on en déduit que $7 \text{AH} = 4,2 \times 12,6$ et enfin $\text{AH} = \dfrac{4,2 \times 12,6}{7} = 0,6 \times 12,6 = 7,56$~(cm). \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{5mm} %%%%%%%% {\large \textbf{Exercice 3 \hfill 20 points}} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). %Pour chaque question, trois réponses (A, B ou C) sont proposées. % %\textbf{Une seule réponse est exacte.} % %\textbf{Recopier sur la copie} le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. \medskip %\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline % \centering\textbf{Question}& \textbf{Réponse A}& \textbf{Réponse B}& \textbf{Réponse C}\\ \hline % \textbf{1.} Dans une classe de 25 élèves, $60 \%$ des élèves sont des filles. % % Combien y a-t-il de filles dans cette classe ? % & 10 & 15 & 20 \\ \hline % % \textbf{2.} Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de 126 ? % & $2 \times 9 \times 7$ & $2^2 \times 5^2 + 2 \times 13$ &$2 \times 3^2 \times 7$ \\ \hline % % \textbf{3.} Dans un sac, il y a 17 jetons rouges, 23 jetons jaunes et 20 jetons bleus, tous indiscernables au toucher. On tire au hasard un jeton du sac. % % Quelle est la probabilité d'obtenir un jeton rouge ou un jeton jaune? % &$\dfrac{2}{3}$ & 0,6 & $\dfrac{17}{23}$ \\ \hline % % \textbf{4.} Sur l'octogone régulier ci-dessous, quelle est l'image du segment [DC] par la rotation de centre O qui transforme A en D? % % \hfill~ \begin{tikzpicture}[] % \foreach \a/\n in {1/A, 2/B, 3/C, 4/D, 5/E, 6/F, 7/G, 8/H} % \draw (0,0)--(-100+45*\a:1.5) node[shift={(-100+45*\a:0.3)}]{\n}--(-55+45*\a:1.5); % \node at (-0.1,-0.2){O}; % \end{tikzpicture}\hfill~ % & [GE] & [GF] & [AH]\\ \hline % % \textbf{5.} Quel est le volume d'un pavé droit de hauteur \np[m]{1,5} et de base rectangulaire de \np[m]{2} de longueur et \np[m]{1,3} de largeur ? % % {\small \emph{On rappelle que $\np[m^3]{1}=\np[L]{1000}$.}} % &\np[m^3]{2,6} & \np[L]{3900}& \np[L]{3000} \\ \hline %\end{tabularx} \begin{enumerate} \item On a $25 \times \dfrac{60}{100} = 25 \times 0,6 = 15$. Réponse B. \item $126 = 2 \times 63 = 2 \times 9 \times 7 = 2 \times 3^2 \times 7$. Réponse C. \item Il y a $17 + 23 = 40$ jetons rouges ou jaunes. la probabilité est donc égale à $\dfrac{40}{17 + 23 + 20} = \dfrac{40}{60} = \dfrac46 = \dfrac23$. Réponse A. \item Chacun des angles au centre de l'octogone a une mesure égale à $\frac{360}{8} = 45$\degres. La rotation transformant A en D est donc une rotation de $3 \times 45 = 135$\degres dans le sens anti-horaire. D a pour image G et C a pour image F, donc [DC] a pour image [GF]. Réponse B. \item Le volume est égal à $2 \times 1,5 \times 1,3 = 3 \times 1,3 = 3,9$~(m$^3$), soit $3,9 \times \np{1000} = \np{3900}~$L. Réponse B. \end{enumerate} \vspace{5mm} {\large \textbf{Exercice 4 \hfill 20 points}} \bigskip On veut fabriquer un escalier en bois de hauteur \np[cm]{272}. La figure ci-dessous représente une vue de profil de cet escalier. La hauteur d'une marche est de \np[cm]{17}. La profondeur d'une marche pour poser le pied mesure \np[cm]{27}. %\begin{center} %\begin{tikzpicture}[line cap = round,>=stealth,x =8mm] % \draw[dashed] (0,0)--(-1,0) (0,0.8)--(-1,0.8) ; % \draw[<->] (-1,0)--(-1,0.8) node[pos=0.5,left, text width=2cm,align=center]{Hauteur d'une marche} ; % \draw[dashed] (0,0.8)--(0,3) (1.6,0.8)--(1.6,3) ; %\draw[<->] (0,3)--(1.6,3) node[pos=0.5,above, text width=2cm,align=center]{Profondeur d'une marche} ; % \draw[dashed] (10.8,0)--(11.8,0) (10.8,5.4)--(11.8,5.4) ; % \draw[<->] (11.8,0)--(11.8,5.4) node[pos=0.5,right, text width=2cm,align=center]{Hauteur de l'escalier} ; % \draw (4.8,2.4)--(0,0)node[below left]{A}--(10.8,0)node[below right]{B}--(10.8,5.4)node[above right]{C}--(9.2,4.6) ; % \draw[dotted] (4.8,2.4)--(9.2,4.6) ; % \draw[line width=1pt] (0,0)--(0,0.8)--(1.6,0.8)-- % (1.6,1.6)--(3.2,1.6)--(3.2,2.4)--(4.8,2.4) % (9.2,4.6)--(9.2,5.4)--(10.8,5.4); % \draw[dotted, line width=1pt] (4.8,2.4)--(4.8,3.2)--(6.4,3.2) % (9.2,4.6)--(7.6,4.6)--(7.6,3.8); %\end{tikzpicture} %\end{center} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Montrer qu'il faut prévoir 16 marches pour construire cet escalier. Il faut compter $\dfrac{272}{17} = 16$ (marches). \item %Montrer que la longueur AB est égale à \np[cm]{432}. 16 marches d'une profondeur de 27~cm donne une longueur AB $= 16 \times 27 = 432$~(cm). \end{enumerate} \item %Pour permettre une montée agréable, l'angle $\widehat{\mathrm{BAC}}$ doit être compris entre $25^{\circ}$ et $40^{\circ}$. \begin{enumerate} \item %Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\mathrm{BAC}}$, arrondie au degré près. Dans le triangle ABC, rectangle en B, la définition de la tangente nous permet d’écrire : $\tan \widehat{\text{BAC}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{AB}} = \dfrac{272}{432} \approx \np{0,6296}$. La calculatrice donne alors $\widehat{\text{BAC}} \approx 32,2$, d’où : $\widehat{\text{BAC}} \approx 32\degres$ au degré près. \item %L'escalier permet-il une montée agréable ? Comme $25 < 32 < 40$, on peut prévoir une montée agréable. \end{enumerate} \item %\begin{minipage}[t]{7.5cm} %On rédige le programme ci-contre avec le logiciel Scratch pour dessiner cet escalier. % (\np[cm]{1} dans la réalité est représenté par 1 pas dans le programme.) % % \textbf{Recopier} les lignes $5,6,7$ et 9 \textbf{sur la copie} en les complétant. % \end{minipage}\hfill % \begin{scratch}[num blocks] % \blockinit{Quand \greenflag{} est cliqué} % \blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}} % \blockpen{effacer tout} % \blockpen{stylo en position d'écriture} % \blockrepeat{répéter \ovalnum{\dots} fois}{ % \blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{\dots} degrés} % \blockmove{avancer de \ovalnum{\dots} pas} % \blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{90} degrés} % \blockmove{avancer de \ovalnum{\dots} pas} } % \end{scratch} 5 \quad Répéter 16 fois 6 \quad Tourner de 90 degrés 7 \quad avancer de 17 pas 8 \quad tourner de 90 degrés 9 \quad avancer de 27 pas. \end{enumerate} %%%%%%%% \textbf{Exercice 5 \hfill 20 points} \medskip %Voici deux programmes de calcul. % %\begin{center} % \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline % Programme A &Programme B\\ % $\bullet~~$ Choisir un nombre&$\bullet~~$ Choisir un nombre\\ % $\bullet~~$ Multiplier ce nombre par $-2$&$\bullet~~$ Soustraire 5 à ce nombre\\ % $\bullet~~$Ajouter 5 à ce résultat.&$\bullet~~$ Multiplier le résultat par 3\\ % &$\bullet~~$ Ajouter 11 au résultat\\ \hline % \end{tabularx} %\end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Montrer que, si on choisit $- 3$ comme nombre de départ, le résultat obtenu avec le programme A est 11. On a successivement $-3 \longmapsto (- 2) \times (- 3) = 6 \longmapsto 6 + 5 = 11$. \item %Quel résultat obtient-on avec le programme B si on choisit 5,5 comme nombre de départ ? On a successivement $5,5 \longmapsto 5,5 - 5 = 0,5 \longmapsto 3 \times 0,5 = 1,5 \longmapsto 1,5 + 11 = 12,5$. \end{enumerate} \item %En désignant par $x$ le nombre de départ, on obtient $- 2x + 5$ comme résultat avec le programme A. %Montrer, qu'avec le même nombre de départ, le résultat du programme B est égal à $3x - 4$. On a successivement $x \longmapsto x - 5 \longmapsto 3 \times (x - 5) = 3x - 15 \longmapsto 3x - 15 + 11 = 3x - 4$. \end{enumerate} \begin{minipage}{0.56\linewidth} \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item %On a représenté ci-contre les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x) = -2x + 5$ et $g(x) = 3x - 4$. %Associer, en justifiant, chaque droite à la fonction qui lui correspond. Ces deux droites sont les représentations graphiques de deux fonctions affines. Comme $g$ a un coefficient directeur $+3 > 0$, la fonction est croissante : sa représentation est la droite $(D_1)$. $f$ a un coefficient directeur $- 2 < 0$, la fonction est décroissante : sa représentation est la droite $(D_2)$. \item %Par lecture graphique, donner, le plus précisément possible, le nombre dont l'image est la même par la fonction $f$ et la fonction $g$. Le nombre cherché est l'abscisse du point commun aux deux droites. Avec la précision du dessin on lit $x \approx 1,8$ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.42\linewidth} \psset{xunit=1cm,yunit=0.7cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-1.02,-4)(5,7.02) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt] \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1,-4)(5,7) \psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-1}{5}{x 3 mul 4 sub}\uput[dr](3.4,6){$(D_1)$} \psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-1}{5}{5 x 2 mul sub}\uput[ur](4.3,-4){$(D_2)$} \psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,1.4)(1.8,1.4)(1.8,0) \end{pspicture*} \end{minipage} \medskip \begin{enumerate}[start=4] \item %Déterminer par le calcul le nombre de départ pour lequel les programmes A et B donnent le même résultat. Si $x$ a la même image par $f$ et par $g$, on a donc : $- 2x + 5 = 3x - 4$, d'où $5 = 5x - 4$ et $9 = 5x$ ou $18 = 10x$ et enfin $x = 1,8$. \emph{Remarque} : $f(1,8) = - 3,6 + 5 = 1,4$ et $g(1,8) = 5,4 - 4 = 1,4$. Même antécédent et mêmes images par $f$ et par $g$. \end{enumerate} \end{document}