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%%% Tapuscrit : Denis Vergès
%%% Corrigé : François Hache
%%%%   Commandes perso FH
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\newcommand{\cg}{\texttt{]}}%     crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}%     crochet droit
\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}%      plus petit ou égal
\renewcommand{\d}{\text{\,d}}%    le d de différentiation
\newcommand{\e}{\text{\,e}}%      le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i\,}}%  le i des complexes
%%%%
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\setlength\parindent{0mm}
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat de technicien hôtellerie}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie~\decofourright\\[5pt] Métropole -- juin 2007}}

\vspace{0,25cm}
 
%L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

%\medskip

\section*{Exercice 1 \hfill 7 points}

%\medskip

Le directeur d'un hôtel souhaite connaître l'évolution de la fréquentation du site Internet de son établissement. Il consulte les données sur les huit premiers mois de l'année 2006.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|m{2.5cm}|*{8}{>{\footnotesize\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Mois &janvier &février &mars &avril &mai &juin &juillet &août \\ \hline
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|m{2.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} 
Rang $x_{i}$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline 
Nombre de\newline connexions $y_{i}$ &112 &126 &151 &159 &169 &185 &200 &214\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item On calcule le pourcentage par la formule: 
$\dfrac{\text{valeur finale} - \text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}\times 100$.

Le pourcentage d'augmentation du nombre de connexions entre le mois de janvier et le mois d'août est
$\dfrac{214-112}{112}\times 100 \approx 91\,\%$.

\item% Représenter graphiquement dans un repère orthogonal (O~;~I,~J) le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à cette série statistique en prenant comme unités :

%\setlength\parindent{8mm} 
%\begin{itemize}
%\item sur l'axe des abscisses : 1~cm pour un mois ; 
%\item sur l'axe des ordonnées : 1~cm pour 10~connexions ; commencer la graduation à $100$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
On représente le nuage de points dans un repère (voir page 3). 
 
\item Le point moyen G$_{1}$ associé aux quatre premiers mois a pour coordonnées:

$x_{\text{G}_1} = \dfrac{1+2+3+4}{4} = \dfrac{10}{4}=2,5$
et $y_{\text{G}_1} = \dfrac{112+126+151+159}{4} = \dfrac{548}{4} = 137$.

Le point moyen G$_{2}$ associé aux quatre derniers mois a pour coordonnées:

$x_{\text{G}_2} = \dfrac{5+6+7+8}{4} = \dfrac{26}{4}=6,5$
et $y_{\text{G}_2} = \dfrac{169+185+200+214}{4} = \dfrac{768}{4} = 192$.

On place ces points sur le graphique puis on trace la droite $\left(\text G_{1}\text G_{2}\right)$ (voir page 3). 

\item % Montrer qu'une équation de la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ est $y = 13,75x + 102,625$. 
La droite $\left(\text G_{1}\text G_{2}\right)$ a une équation de la forme: $y=ax+b$.

Le coefficient directeur est $a=\dfrac{y_{\text{G}_2} - y_{\text{G}_1}}{x_{\text{G}_2} - x_{\text{G}_1}} = \dfrac{192-137}{6,5 - 2,5} = \dfrac{55}{4} = 13,75$.

Donc l'équation est de la forme $y=13,75 x + b$.

La droite passe par le point G$_1$ donc:\\
$y_{\text{G}_1}=13,75 x_{\text{G}_1} + b \iff 137 = 13,75\times 2,5 + b \iff 137 - 34,375 = b \iff b = 102,625$.

La droite $\left(\text G_{1}\text G_{2}\right)$ a donc pour équation $y=13,75 x + 102,625$.

\item On admet que la droite $\left(\text G_{1}\text G_{2}\right)$ réalise une bonne approximation du nombre de connexions jusqu'à la fin de l'année 2007. 

	\begin{enumerate}

		\item Le mois de décembre 2006 correspond à $x=12$.		
		 D'après le  graphique,  le nombre prévisible de connexions en décembre 2006 est d'environ 268 (voir page 3).

		\item On devrait atteindre 500 connexions pour le rang $x$ tel que 
		$13,75 x + 102,625 = 500$.

On résout cette équation:\\
$13,75 x + 102,625 = 500 \iff 13,75x = 397,375 \iff x = \dfrac{397,375}{13,75} \iff x = 28,9$

Le rang $x=28$ correspond à avril 2008 donc c'est au cours de ce mois que l'on atteindra les 500 connexions. 


	\end{enumerate} 

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\section*{Exercice 2 \hfill 13 points}

%\medskip

\subsection*{Partie A (étude mathématique)}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\cd 30~;~120\cg$ par :
$f(x) = 2x - 230 + \dfrac{\np{7200}}{x}$.
 
\begin{enumerate}
\item% Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ ; montrer qu'elle peut s'écrire sous la forme : 
$f'(x) = 2  - 0 + \dfrac{0\times x-\np{7200}\times 1}{x^2} = \dfrac{2x^2 - \np{7200}}{x^2} = \dfrac{2(x-\np{3600})}{x^2}
= \dfrac{2(x - 60)(x + 60)}{x^2}$

\item On étudie le signe de $f'(x)$  sur l'intervalle $\cd 30~;~120\cg$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{3cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x  & 30 & \esp & 60 & \esp  & 120 \\
\hline
x-60 &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &   \\
\hline
x+60 &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &   \\
\hline
x^2 &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &   \\
\hline
f'(x) = \dfrac{2(x - 60)(x + 60)}{x^2}\rule[-10pt]{0pt}{28pt} &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &   \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

On calcule: $f(30)=  70$, $f(60)=10$ et $f(120)=70$.

On dresse le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\cd 30~;~120\cg$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & 30 & \esp & 60 & \esp\esp & 120 \\
 \hline
f'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \Rnode{max1}{70}  &  &  &  & \Rnode{max2}{70}   \\
f(x) & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{10} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}
 
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On complète le tableau de valeurs suivant en arrondissant les valeurs à $10^{-1}$ près:
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 		 
$x$& 30 & 40 & 50 & 55 & 60 & 65 & 70 & 90 &120\\ \hline
$f(x)$&\textcolor{red}{70} &\textcolor{red}{30}  & \textcolor{red}{14}& \textcolor{red}{$10,9$} & \textcolor{red}{10} & \textcolor{red}{$10,8$} & \textcolor{red}{$12,9$} & \textcolor{red}{$30$} & 70\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item On trace la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal (voir page 4).
%		 
%On prendra :
%
%\setlength\parindent{8mm} 
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] 1 cm pour 10 unités sur l'axe des abscisses,
%\item[$\bullet~~$] 1 cm pour 5 unités sur l'axe des ordonnées.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

	\end{enumerate} 
	
\item À l'aide du graphique, on peut dire que les solutions de l'équation $f(x) = 35$ sont entre 38 et 39 pour la première, entre 94 et 95 pour la seconde (voir page 4).

\end{enumerate}
 
%\bigskip

\subsection*{Partie B (étude de coût)}

%\medskip
 
Dans un restaurant, le coût moyen unitaire exprimé en euros de fabrication de $x$ repas est donné par la relation :
$C_{M}(x) = 2x - 230 + \dfrac{\np{7200}}{x}$ 
pour $x$ compris entre $30$ et $120$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item D'après la partie A, le nombre de repas qui donne un coût moyen unitaire minimum est 60, pour un coût de 10\,\euro.
 
\item% Montrer que le coût total exprimé en euros de fabrication de $x$ repas est donné par la relation :
Le coût moyen unitaire est  $2x - 230 + \dfrac{\np{7200}}{x}$ pour $x$ repas, ce qui fait un coût total de\\ 
$\left (2x - 230 + \dfrac{\np{7200}}{x}\right )\times x= 2x^2 - 230x + \np{7200}$ qu'on appelle $C(x)$.
 
\item Le restaurateur propose le repas au prix de $35$~\euro{} donc la vente de $x$ repas rapporte $35x$.

	\begin{enumerate}
		\item Le bénéfice réalisé $B(x)$ est obtenu par\\
		$B(x)=35x-C(x)=35x-\left ( 2x^2 - 230x + \np{7200}\right )
		 = 35x-2x^2+230x - \np{7200}
		 = -2x^2 +265x -\np{7200}$. 

		\item% Combien doit-il servir de repas pour réaliser un bénéfice? 
Il y a bénéfice quand: $35x > C(x)$ autrement dit quand: $35x > 2x^2 - 230x + \np{7200}$ ou encore quand: $35 > 2x - 230 + \dfrac{\np{7200}\rule{0pt}{10pt}}{x}$ c'est-à-dire quand: $35>f(x)$.

D'après la question \textbf{A.4} et le graphique de la page 4, on peut dire que le restaurateur réalise un bénéfice pour un nombre de repas compris entre 39 et 94.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage

\section*{\centering Graphique de l'exercice 1}

\vspace{2cm}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(0,100)(13,280)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=10,Oy=100]{->}(0,100)(0,100)(13,280)[$x$,-90][$y$,180]
\psgrid[xunit=1cm,yunit=1cm,subgriddiv=10,gridlabels=0,gridcolor=orange,subgridcolor=orange] (0,10)(0,10)(13,28)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=1.5,linecolor=blue](1,112)(2,126)(3,151)(4,159)(5,169)(6,185)(7,200)(8,214)
\psplot[linecolor=blue]{0.5}{12.5}{13.75 x mul 102.625 add}
\psdots[linecolor=blue](2.5,137)(6.5,192)
\uput[dr](2.5,137){\blue G$_1$} \uput[ul](6.5,192){\blue G$_2$}
\psset{linecolor=red,arrowscale=2}
\psline[ArrowInside=->,ArrowInsideNo=4](12,100)(12,267.6)
\psline[ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3](12,267.6)(0,267.6)
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\section*{\centering Graphique de l'exercice 2}

\vspace{2cm}

\begin{center}
\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(0,0)(130,80)
\psgrid[xunit=1cm,yunit=1cm,subgriddiv=10,gridlabels=0,gridcolor=orange,subgridcolor=orange] (0,0)(0,0)(13,16)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(130,80)[$x$,-90][$y$,180]
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000]{30}{120}{2 x mul 230 sub 7200 x div add}
\psset{linecolor=red,arrowscale=1.6}
\psline[linewidth=1.2pt](30,35)(120,35)
\psline[ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3](38.16,35)(38.16,0)
\psline[ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3](94.34,35)(94.34,0)
%\psline[linewidth=1.4pt]{[-]}(38.16,0)(94.34,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}