\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{xcolor}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pst-all}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
% Corrigé : François Hache
%%%%   Commandes perso FH
\newcommand{\ds}{\displaystyle}%   displaystyle
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}%          crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}%        crochet droit
\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}%      plus petit ou égal
%%%%
\usepackage{vmargin}
\setmarginsrb{3cm}{2.5cm}{3cm}{2.5cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}
% 1 est la marge gauche
% 2 est la marge en haut
% 3 est la marge droite
% 4 est la marge en bas
% 5 fixe la hauteur de l'entéte
% 6 fixe la distance entre l'entéte et le texte
% 7 fixe la hauteur du pied de page
% 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr} 
%\textheight 23,5cm 
%\voffset -1.5cm \oddsidemargin 0pt 
\usepackage[frenchb]{babel}
\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat de technicien - Corrigé}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\cfoot{\thepage}

\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie~\decofourright\\[5pt]  Métropole -- septembre 2009}}

%\vspace{0,5cm}
% 
%L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

%\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

%\medskip
 
Un traiteur propose différents types de repas allant de la formule \og sandwich-boisson \fg{} à 5 \euro{} au \og repas tout compris \fg{} à 23~\euro.
 Le graphique ci-dessous représente le nombre de repas vendus en avril 2008 en fonction de leur prix de vente.

%\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\psset{xunit=0.45cm,yunit=0.09cm}
\begin{pspicture}(-2,-5)(25,60)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5](0,0)(25,55)
\multido{\n=0+5}{12}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(25,\n)}
\uput[d](12.5,-5){Prix de vente en euros}
\rput{90}(-2,27.5){Nombre de repas vendus}
\psframe*[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.9,0)(5.1,40)
\psframe*[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](7.9,0)(8.1,30)
\psframe*[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](9.9,0)(10.1,20)
\psframe*[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](11.9,0)(12.1,50)
\psframe*[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](14.9,15)(15.1,15)
\psframe*[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](17.9,0)(18.1,20)
\psframe*[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](22.9,0)(23.1,35)
\rput(12.5,60){MOIS D'AVRIL }
\end{pspicture} 
\end{center}

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item On complète le tableau des effectifs: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|p{4cm}|*{7}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
Prix en euros &\textcolor{red}{5} &\textcolor{red}{8} &\textcolor{red}{10} &\textcolor{red}{12} &\textcolor{red}{18} &\textcolor{red}{23}  \\ 
\hline%
Nombre de repas vendus&\textcolor{red}{40} &\textcolor{red}{30} &\textcolor{red}{20} &\textcolor{red}{50} &\textcolor{red}{20} &\textcolor{red}{35}  \\ 
\hline%
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Le chiffre d'affaires réalisé par le traiteur au mois d'avril 2008 pour la vente de ces repas est:\\
$5\times 40+8\times 30+10\times 20+12\times 50+18\times 20+23\times 35= \np{2405}$~\euro.

\item%  Quel est le prix moyen d'un repas vendu au cours de ce mois? 
Le nombre total de repas vendus au cours de ce mois est
$40+30+20+50+20+35=195$.

Le prix moyen d'un repas vendu est donc
$\dfrac{\np{2405}}{195} \approx 12,33$~\euro.
 
\item Au hasard, on choisit un repas vendu en avril 2008.
 
On considère les évènements:
 
$A$ : \og le prix de vente de ce repas est de 15~\euro \fg
 
$B$ : \og le prix de vente de ce repas est d'au moins 10~\euro \fg 

$C$ : \og le prix de vente de ce repas n'atteint pas le prix moyen du mois \fg.
 
On donnera les résultats demandés dans cette question sous la forme d'une fraction irréductible. 
	\begin{enumerate}
		\item% Calculer la probabilité des évènements $A$, $B$ et $C$. 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Il n'y a pas de repas dont le prix de vente est 15~\euro{} donc la probabilité de l'évènement $A$ est égale à 0.

\item Si le prix de vente est au moins de 10~\euro{}, il peut être de 10~\euro{}, de 12~\euro{}, de 18~\euro{} ou de 23~\euro{}; cela fait un total de $20+50+20+35=125$. \\
La probabilité de l'évènement $B$ est donc $\dfrac{125}{195}=\dfrac{25}{39}$.

\item Le prix moyen est de $12,33$~\euro{} donc les prix qui n'atteignent pas cette somme sont 5~\euro{}, 8~\euro{}, 10~\euro{} et 12~\euro{}; cela fait un total de $40+30+20+50=1400$.\\
La probabilité de l'évènement $C$ est donc $\dfrac{140}{195}=\dfrac{28}{39}$.
\end{list}		
		
		\item %Traduire par une phrase chacun des évènements $\overline{{B}}$ et $B\cap C$, puis en donner la probabilité.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item L'évènement $\overline{{B}}$ est l'évènement contraire de l'évènement $B$ et correspond à \og Le prix du repas est inférieur à 10~\euro \fg{}.
La probabilité de $\overline{{B}}$ est $1-\dfrac{25}{39} = \dfrac{14}{39}$.

\item L'évènement $B\cap C$ est l'évènement \og Le prix de vente du repas est d'au moins 10~\euro{} \textbf{et} le prix de vente de ce repas n'atteint pas le prix moyen du mois \fg{}. 
Il faut donc un prix de repas supérieur ou égal à 10~\euro{} et inférieur à $12,33$~\euro{} c'est-à-dire de 10~\euro{} ou 12~\euro{}, soit un total de $20+50=70$ repas. La probabilité de $B\cap C$ est donc $\dfrac{70}{195} = \dfrac{14}{39}$. 
\end{list}		
		
	\end{enumerate} 

\item On choisit un repas vendu en avril 2008 dont le montant est inférieur ou égal à 18~\euro{} ; cela fait un total de $195-35=160$ repas.

 Soit l'évènement $D$ : \og Le repas ne fait pas partie des formules \og sandwich-boisson \fg. Cela fait un total de $160 - 40 = 120$ repas.

La probabilité de l'évènement $D$ est donc
$\dfrac{120}{160}=0,75$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

%\medskip

%\emph{Les parties A et B sont indépendantes}
%
%\medskip
 
Dans le Périgord, un producteur de truffes noires cultive, ramasse et conditionne de 0 à 45 kilogrammes de ce produit par semaine durant la période de production de la truffe.

%\medskip
 
\subsubsection*{Partie A}

\medskip
 
On désigne par $x$ le nombre de kilogrammes de truffes traités chaque semaine et par $f(x)$ le coût unitaire de revient en euros.
 
La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $\cg 0~;~45\cg$ et sa courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ est la suivante :

\psset{xunit=0.1250cm,yunit=0.0065cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-7.5,-100)(90,1100)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=100]{->}(0,0)(90,1100)
\multido{\n=0.0+2.5}{37}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,0)(\n,1100)}
\multido{\n=0+50}{23}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(90,\n)}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=6000]{0}{45}{x dup mul 60 x mul sub 975 add}
\uput*[u](75,0){$x$ en kilogrammes}
\uput*[r](0,1050){$y$ en euros}
\uput[ur](11.25,440){\textcolor{blue}{$\mathcal{C}_{f}$}}
\psset{ArrowInside=->,ArrowInsideNo=2,arrowscale=1.5}
\psline[linecolor=red](10,0)(10,475)(0,475) \uput*[l](0,475){\red $475$ \rule[-2pt]{0pt}{12pt}}
\newrgbcolor{vf}{0 0.54 0}
\psline[linecolor=vf](0,300)(15,300)(15,0)   \uput*{9pt}[d](15,0){\vf $15$}
\psline[linecolor=vf](15,300)(45,300)(45,0) \uput*{9pt}[d](45,0){\vf $45$}
\psline[ArrowInside=none,linecolor=black](30,0)(30,75)(0,75) 
\uput*{9pt}[l](0,75){$75$ \rule[-2pt]{0pt}{12pt}}
 \uput*{9pt}[d](30,0){$30$}
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item  Le coût unitaire de revient lorsque l'entreprise conditionne 10~kilogrammes de truffes est de $475$~\euro.

\item  Si le coût unitaire de revient est 300~\euro{}, le nombre de kilogrammes traités est de $15$ ou de $45$.

\item Le nombre de kilogrammes à conditionner pour que le coût unitaire de revient soit minimal est 30; le coût est alors de 75~\euro.

\end{enumerate}

\medskip
 
\subsubsection*{Partie B}

\medskip
 
Chaque kilogramme de truffes conditionné est vendu 450~\euro.
 
On admet que la fonction $f$ est définie sur $\cg 0~;~45\cg$ par : $f(x) = x^2 - 60 x + 975$. 
\begin{enumerate}
\item% Justifier que le coût de production total $C(x)$ pour $x$ kilogrammes de truffes est : \[C(x) = x^3 - 60x^2 + 975 x.\]
Le coût de production par kg est $f(x)$ et si le producteur traite $x$ kg, cela donne un coût total de 
$C(x) = x\times f(x)= x\left ( x^2 - 60x +975\right ) = x^3 -60x^2 + 975x$.
	 
\item % Exprimer le bénéfice $B(x)$ réalisé par le fabricant pour $x$~kg de truffes conditionnés et vendus. 
Chaque kilogramme de truffe est vendu 450~\euro{} donc la vente de $x$ kg rapporte en euros $450x$.

Le bénéfice est le prix de vente diminué du coût de production donc

$B(x) = 450x - \left (  x^3 -60x^2 + 975x\right ) = 450x - x^3 + 60x^2 -975x = -x^3 +60x^2 - 525x$.

\item %Déterminer la fonction dérivée $B'$ de la fonction $B$ et montrer que  $B'(x) = (- 3 x + 15)(x - 35)$. 
La fonction dérivée $B'$ est définie par
$B'(x)= -3\times x^2 + 60\times 2x - 525 = -3x^2 +120x -525$.

On développe $ (- 3 x + 15)(x - 35) = -3x^2 +15x +105x -525 = -3x^2 +120x -525 = B'(x)$.

\item %Étudier le signe de $B'(x)$.
$B'(x)= (- 3 x + 15)(x - 35)$;
$-3x+15>0 \iff 15>3x \iff 5>x \iff x<5$ et
$x-35>0 \iff x>35$

On établit un tableau de signes pour déterminer le signe de $B'(x)$:

\begin{center}
{
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}
$\begin{array}{|c | *{7}{c} |} 
\hline
x  & 0 & \esp & 5 & \esp & 35 & \esp & 45 \\
\hline
-3x+15 &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{-} &\\
\hline
x-35 &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &\\
\hline
B'(x)=(-3x+15)(x-35) &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}
 
 
$B(0)=0$; $B(5)=\np{-1250}$; $B(35)=\np{12250}$; $B(45)=\np{6750}$
 
On déduit le tableau de variations de la fonction $B$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *6{c} c|}
\hline
 x & 0 & \esp & 5 & \esp & 35 & \esp & 45 \\
 \hline
B'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\  
\hline
  &   \Rnode{max1}{0} & &  & & \Rnode{max2}{\np{12250}} & & \\
B(x) & &  & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\
 & & & \Rnode{min1}{\np{-1250}} & & & & \Rnode{min2}{\np{6750}}  \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min1} 
\ncline{->}{min1}{max2}
\ncline{->}{max2}{min2} \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\item  On complète le tableau de valeurs suivant: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$x$		&0	& 5 &10 &15 &20 &25 &30	&35 &40 &45  \\ 
\hline%
$B(x)$	&\textcolor{red}{0}	&\textcolor{red}{\np{-1250}}	&\textcolor{red}{$-250$}	&\textcolor{red}{\np{2250}}	&\textcolor{red}{\np{5500}}	&\textcolor{red}{\np{8750}}	&\textcolor{red}{\np{11250}}	&\textcolor{red}{\np{12250}}	&\textcolor{red}{\np{11000}}	&\textcolor{red}{\np{6750}} \\ 
\hline%
\end{tabularx}

\medskip

\item  On représente la fonction $B$ dans un repère orthogonal (O~;~I~;~J) (unités : 1~cm pour 5~kg en abscisse et 1~cm pour \nombre{1000}~\euro{} en ordonnée) (voir graphique).

\begin{figure}[t!]
\centering
\psset{xunit=0.2cm, yunit=0.001cm}
\def\xmin {-5}   \def\xmax {50}
\def\ymin {-2000}   \def\ymax {13000}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=10,gridlabels=0,gridcolor=orange,subgridcolor=orange] (0,0)(-1,-2)(10,13)
\multido{\n=-2000+1000}{16}
{
\psline[linecolor=lightgray](-5,\n)(50,\n)
\uput[l](0,\n){\small \np{\n}}
}
\multido{\n=-5+5}{12}
{
\psline[linecolor=lightgray](\n,-2000)(\n,13000)
\uput[d](\n,0){\small \n}
}
\psaxes[ticks=none, labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\psplot[plotpoints=3000]{0}{45}{x x x neg 60 add mul 525 sub mul}
\uput*[dl](0,0){O}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,0)(5,-1250)(10,-250)(15,2250)(20,5500)(25,8750)(30,11250)(35,12250)(40,11000)(45,6750)
\psdots[linecolor=red](10.635,0)
\end{pspicture}
\end{figure}

\item  À l'aide du graphique, on peut dire que la production de truffes est bénéficiaire quand la courbe représentant la fonction $B$ est au dessus de l'axe des abscisses, c'est-à-dire pour plus de 10~kg.

\item% Pour quelle quantité de truffes le bénéfice du fabricant est-il maximal ? Quel est alors ce bénéfice maximal? 
D'après le tableau de variations de la fonction $B$, le bénéfice maximum est obtenu pour 35~kg de truffes; ce bénéfice est alors de $\np{12250}$~\euro.
\end{enumerate}
\end{document}