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%Tapuscrit : Denis Vergès% Corrigé : François Hache
%%%%   Commandes perso FH
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\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
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\setmarginsrb{3cm}{2.5cm}{3cm}{2.5cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}
% 1 est la marge gauche
% 2 est la marge en haut
% 3 est la marge droite
% 4 est la marge en bas
% 5 fixe la hauteur de l'entéte
% 6 fixe la distance entre l'entéte et le texte
% 7 fixe la hauteur du pied de page
% 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat technologique Hôtellerie - Corrigé},
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%\voffset -1.5cm \oddsidemargin 0pt 

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat de technicien - Hôtellerie}
\lfoot{\small{Métropole - Corrigé}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\cfoot{\thepage}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie~\decofourright\\[5pt] Métropole -- septembre 2011}}

%\vspace{0,25cm}
% 
%L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

\medskip

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Le restaurant \og La fourchette dorée \fg{} propose la formule suivante : 

\begin{center}
\newrgbcolor{vf}{0 0.54 0}%%% vert foncé
\begin{tabular}{|c|}\hline
Menu à 21~\euro{} (Entrée / Plat / Dessert) \\
*** \\
Assiette de charcuterie $\red AC$\\
ou \\
Soupe chaude du jour $\red SJ$\\ 
*** \\
Poulet basquaise $\blue PB$\\
ou\\ 
B{\oe}uf aux petits légumes $\blue BL$\\ 
ou\\ 
Poisson à la bordelaise $\blue PS$\\ 
***\\ 
Marquise au chocolat $\vf MC$\\
ou\\
Moelleux aux fruits $\vf MF$\\
\hline
\end{tabular}

\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item À l'aide d'un arbre, on détermine le nombre de menus différents que l'on peut obtenir:

\begin{center}
\bigskip
\psset{levelsep=30mm,treesep=6mm,nodesepB=4pt,nodesepA=0pt}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
   {
   \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{\red $AC$}}
          {
          \pstree{\TR{\blue $PB$}}                 {                 \TR{\vf $MC$}                 \TR{\vf $MF$}                 }
          \pstree{\TR{\blue $BL$}}                 {                 \TR{\vf $MC$}                 \TR{\vf $MF$}                 }
          \pstree{\TR{\blue $PS$}}                 {                  \TR{\vf $MC$}                 \TR{\vf $MF$}                 }
         }
  \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{\red $SJ$}}
         {
         \pstree{\TR{\blue $PB$}}                {                \TR{\vf $MC$}                \TR{\vf $MF$}                }
          \pstree{\TR{\blue $BL$}}                {                 \TR{\vf $MC$}                 \TR{\vf $MF$}                 }                
         \pstree{\TR{\blue $PS$}}                 {                \TR{\vf $MC$}                \TR{\vf $MF$}                }
        }
   }
   \bigskip
\end{center}

On a donc 12 menus différents possibles.

\item On suppose que chacun des menus a la même probabilité d'être choisi par un client. %On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles. 
Il y a donc équiprobabilité.

	\begin{enumerate}
		\item ~
\begin{multicols}{2}

Sur 12 menus, il y en a 8 dont le plat principal est de la viande.\\
\\
Donc $p_1=\dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$.

\columnbreak

\begin{flushright}
\scalebox{0.6}
{\def\ARouge{\ncline[linecolor=red,linewidth=2pt]}
\psset{levelsep=30mm,treesep=6mm,nodesepB=4pt,nodesepA=0pt}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
   {
   \pstree[nodesepA=4pt]{\TR[edge=\ARouge]{\red $AC$}}
          {
          \pstree{\TR[edge=\ARouge]{\blue $PB$}}                 
          {                 \TR[edge=\ARouge]{\vf $MC$}                 \TR[edge=\ARouge]{\vf $MF$}                 }
          \pstree{\TR[edge=\ARouge]{\blue $BL$}}                 
          {                 \TR[edge=\ARouge]{\vf $MC$}                 \TR[edge=\ARouge]{\vf $MF$}                 }
          \pstree{\TR{\blue $PS$}}                 
          {                  \TR{\vf $MC$}                 \TR{\vf $MF$}                 }
         }
  \pstree[nodesepA=4pt]{\TR[edge=\ARouge]{\red $SJ$}}
         {
         \pstree{\TR[edge=\ARouge]{\blue $PB$}}                
          {                 \TR[edge=\ARouge]{\vf $MC$}                 \TR[edge=\ARouge]{\vf $MF$}                 }
          \pstree{\TR[edge=\ARouge]{\blue $BL$}}                
          {                 \TR[edge=\ARouge]{\vf $MC$}                 \TR[edge=\ARouge]{\vf $MF$}                 }
         \pstree{\TR{\blue $PS$}}                 
         {                \TR{\vf $MC$}                \TR{\vf $MF$}                }
        }
   }
}% fin du scalebox
\end{flushright}

\end{multicols}		
		
%		Quelle est la probabilité $p_{1}$ qu'un client choisisse un menu avec de la viande en plat principal? 

		\item ~
		% Quelle est la probabilité $p_{2}$ que le menu servi soit composé de charcuterie et d'un moelleux aux fruits?

\begin{multicols}{2}

Sur 12 menus, il y en a 3 composés de charcuterie et d'un moelleux aux fruits.\\
\\
Donc $p_2=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$.

\columnbreak

\begin{flushright}
\scalebox{0.6}
{\def\ARouge{\ncline[linecolor=red,linewidth=2pt]}
\psset{levelsep=30mm,treesep=6mm,nodesepB=4pt,nodesepA=0pt}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
   {
   \pstree[nodesepA=4pt]{\TR[edge=\ARouge]{\red $AC$}}
          {
          \pstree{\TR[edge=\ARouge]{\blue $PB$}}                 
          {                 \TR{\vf $MC$}                 \TR[edge=\ARouge]{\vf $MF$}                 }
          \pstree{\TR[edge=\ARouge]{\blue $BL$}}                 
          {                 \TR{\vf $MC$}                 \TR[edge=\ARouge]{\vf $MF$}                 }
          \pstree{\TR[edge=\ARouge]{\blue $PS$}}                 
          {                  \TR{\vf $MC$}                 \TR[edge=\ARouge]{\vf $MF$}                 }
         }
  \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{\red $SJ$}}
         {
         \pstree{\TR{\blue $PB$}}                
          {                 \TR{\vf $MC$}                 \TR{\vf $MF$}                 }
          \pstree{\TR{\blue $BL$}}                
          {                 \TR{\vf $MC$}                 \TR{\vf $MF$}                 }
         \pstree{\TR{\blue $PS$}}                 
         {                \TR{\vf $MC$}                \TR{\vf $MF$}                }
        }
   }
}% fin du scalebox
\end{flushright}

\end{multicols}		

	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, le client choisit la soupe du jour en entrée. 

%Quel est, dans ce cas, le nombre de menus possibles ?
 
\begin{multicols}{2}

Il reste alors 6 menus possibles.\\
\\
Sur ces 6 menus, il y en a 2 dans lesquels le plat principal est le poisson; donc $p_3=\dfrac{2\rule{0pt}{10pt}}{6} = \dfrac{1}{3}$.

\columnbreak

\begin{flushright}
\scalebox{0.6}
{\def\ARouge{\ncline[linecolor=red,linewidth=2pt]}
\psset{levelsep=30mm,treesep=6mm,nodesepB=4pt,nodesepA=0pt}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
   {
     \pstree[nodesepA=4pt]{\TR[edge=\ARouge]{\red $SJ$}}
         {
         \pstree{\TR{\blue $PB$}}                
          {                 \TR{\vf $MC$}                 \TR{\vf $MF$}                 }
          \pstree{\TR{\blue $BL$}}                
          {                 \TR{\vf $MC$}                 \TR{\vf $MF$}                 }
         \pstree{\TR[edge=\ARouge]{\blue $PS$}}                 
         {                \TR[edge=\ARouge]{\vf $MC$}                \TR[edge=\ARouge]{\vf $MF$}                }
        }
   }
}% fin du scalebox
\end{flushright}

\end{multicols}		
 
 
%Quelle est, alors, la probabilité $p_{3}$ qu'il choisisse du poisson comme plat principal ? 
%
%(On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible). 
\item Le chef décide de retirer la soupe et de rajouter un dessert.% Y aura-t-il plus de choix de menus pour le client ? Justifier la réponse. 

Il y a donc 1 entrée, 3 plats et 3 desserts, ce qui fait $1\times 3\times 3$ menus possibles. 

Le nombre de menus possibles a donc diminué.

\end{enumerate}

\newpage

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

%\medskip
%
%\begin{center}\textbf{Les parties A, B et C sont indépendantes.} \end{center} 
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie A}

\medskip

Un traiteur vient de s'installer dans un petit village. Les six premiers mois, il note le nombre de clients servis, en moyenne, par jour.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3,5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
Mois 							&Janvier 	&Février&Mars 	&Avril 	&Mai&Juin\\ \hline 
Rang $x_{i}$					&1 			&2 		&3 		&4 		&5 	&6\\ \hline 
Nombre de clients servis $y_{i}$&4 			&5 		&9 		&16		&27 &35\\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip 

\begin{enumerate}
\item On représente graphiquement le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$; voir page \pageref{fig_hot_sept17}.% dans un repère orthogonal d'unités graphiques:
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item sur l'axe des abscisses : 2~cm pour 1~mois ; 
%\item sur l'axe des ordonnées : 1~cm pour 4~clients servis.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\item On considère un ajustement affine. 
	\begin{enumerate}
		\item 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item
		Soit G$_1$ le point moyen  des trois premiers points du nuage; il a pour coordonnées:
		
		$x_{\text G_1} = \dfrac{1+2+3}{3} =2$ et $y_{\text G_1} = \dfrac{4+5+9}{3}=6$.
\item		
		Soit G$_2$ le point moyen  des trois derniers points du nuage; il a pour coordonnées:
		
		$x_{\text G_2} = \dfrac{4+5+6}{3} =5$ et $y_{\text G_2} = \dfrac{16+27+35}{3}=26$.
\end{list}		
		
		\item On place les points  G$_{1}$ et G$_{2}$ dans le repère (voir page \pageref{fig_hot_sept17}).
		 
		\item La droite $\left(\text G_{1} \text G_{2}\right)$ a une équation de la forme $y=ax+b$.
		
Le coefficient directeur $a$ de cette droite est 
$a= \dfrac{y_{\text G_2} - y_{\text G_1}}{x_{\text G_2} - x_{\text G_1}} = \dfrac{26-6}{5-2} = \dfrac{20}{3}$.

L'équation est donc $y=\dfrac{20}{3} x +b$.
Cette droite passe par le point G$_1$ donc:\\[5pt]
$y_{\text G_1}=\dfrac{20}{3} x_{\text G_1} +b \iff
6 = \dfrac{20}{3}\times 2 + b \iff \dfrac{18}{3} - \dfrac{40}{3} = b \iff -\dfrac{22}{3} = b$.

\smallskip

Donc la droite $\left(\text G_{1} \text G_{2}\right)$ a pour équation $y=\dfrac{20}{3}x - \dfrac{22}{3}$.
			
		\item On trace cette droite dans le repère de la page \pageref{fig_hot_sept17}.
		 
		\item Le mois d'août correspond à $x=8$.
		On déduit que le nombre prévisible de clients servis en moyenne par jour, au mois d'août est $46$ sur le graphique de la page \pageref{fig_hot_sept17}.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\bigskip
 
\subsubsection*{Partie B}

\medskip
 \def\interA{\cd 1~;~8\cg}
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\interA$ par : 
$f(x) = x^2 + 3 - 2 \ln x$.
 
On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère de la partie A. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ et montrer que pour tout $x$ de [1~;~8] :  \[f'(x) = \dfrac{2(x + 1)(x - 1)}{x}.\]
$f'(x) = 2x - \dfrac{2}{x} = \dfrac{2x^2-2}{x} = \dfrac{2(x^2-1)}{x} = \dfrac{2(x-1)(x+1)}{x}$  
   
		\item On étudie le signe de $f'(x)$ sur $\interA$:
		
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{3cm}}
$\begin{array}{|c | *{3}{c} |} 
\hline
x  & 1 & \esp   & 8 \\
\hline
x-1 &  0 & \pmb{+} &     \\
\hline
x+1 &  & \pmb{+} &     \\
\hline
x &  & \pmb{+} &     \\
\hline
f'(x)  =\dfrac{2(x-1)(x+1)}{x} &  & \pmb{+} &  \rule[-12pt]{0pt}{30pt} \\
\hline
\end{array}$
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}

$f(1)= 1+3- 2 \ln 0 = 4$ et $f(8) = 8^2+3- 2\ln 8 = 67 -2\ln 8 \approx 62,8$

On établit le tableau de variations de $f$ sur $\interA$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\def\esp{3cm}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 x & 1   & \hspace*{\esp} & 8 \\
 \hline
%f'(x) &   & \pmb{+} & \\  
%\hline
  &   &    & \Rnode{max}{67- 2 \ln 8}   \\
f(x)& &  &  \\
 &     \Rnode{min}{4} & & 
\ncline{->}{min}{max}
%\rput*(-2,0.65){\Rnode{zero}{\red 0}}
%\rput(-2,1.75){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}
		
	\end{enumerate} 
\item On  complète le tableau de valeurs suivant:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&1 	&2 	&3	&4		&5 	&6 	&7 	&8\\ \hline
$f(x)$	&\textcolor{red}{$4$}	&	\textcolor{red}{$5,6$}&	\textcolor{red}{$9,8$}&16,2	&\textcolor{red}{$24,8$}	&\textcolor{red}{$35,4$}		&\textcolor{red}{$48,1$} &\textcolor{red}{$62,8$}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item On trace $\mathcal{C}$ dans le même repère que le nuage de points (voir page \pageref{fig_hot_sept17}).
 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\subsubsection*{Partie C}

\medskip
 
On admet que la courbe $\mathcal{C}$ constitue un meilleur ajustement du nuage de points.% Donner une nouvelle estimation du nombre moyen de clients servi par jour par le traiteur pendant le mois d'août. Justifier la réponse. 

$f(8)\approx 62,8$; on peut donc estimer à $63$ le nombre de clients servis en août.

\newpage

\label{fig_hot_sept17}
\setlength\parindent{-1.5cm}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.25cm,comma}
\def\xmin {-0.5}   \def\xmax {8.5}
\def\ymin {-4}   \def\ymax {68}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psset{yMaxValue=\ymax,yMinValue=\ymin}
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=10,gridlabels=0,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-1,-1)(17,17)
\psaxes[ticksize=-2pt 2pt,labels=none,Dy=2](0,0)(0,0)(\xmax,\ymax)
\multido{\i=0+1}{9}{%
\uput[d](\i,0){\small \i}
}
\multido{\i=0+4}{17}{%
\uput[l](0,\i){\small \i}
}
\uput*[d](8.2,-1.6){Mois}
\uput*[r](0,66){Nombre de clients}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=1.5](2,6)(5,26)
\uput[ul](2,6){G$_1$} \uput[170](5,26){G$_2$}
\psset{dotscale=1.5,dotstyle=+,linecolor=blue}
\psdots(1,4)(2,5)(3,9)(4,16)(5,27)(6,35)
\psplot{1}{8.2}{20 x mul 22 sub 3 div}
\psplot[linecolor=red]{1}{8}{x dup mul 3 add 2 x ln mul sub}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3,arrowscale=2](8,0)(8,46)(0,46)
\uput[l](0,46){\blue 46}
%\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3,arrowscale=2,linecolor=black](8,0)(8,62.8)(0,62.8)
%\uput[l](0,62.8){$62,8$}
\end{pspicture}
%\end{center}

\end{document}