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%Tapuscrit : Denis Vergès
% Corrigé : François Hache
%%%%   Commandes perso FH
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%%%%
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat de technicien}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\cfoot{\thepage}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie~\decofourright\\[5pt]  Polynésie -- juin 2008}}

%\vspace{0,25cm}
%
%Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
%
%L'annexe  devra être remise avec la copie.
\end{center}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

%\medskip
 
Le centre de thalassothérapie Neptune propose des formules de cure à la semaine. Trois choix de cures sont possibles :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Cure 1 : détente et remise en forme, 
\item Cure 2 : minceur,
\item Cure 3 : tonus et vitalité.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\np{6000}~ clients ont fréquenté l'établissement durant l'année 2007.

On constate que :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] \np{2500} clients sont des hommes,
\item[$\bullet~$] 20\,\% des hommes ont choisi la cure 2,
\item[$\bullet~$] \np{1200} hommes ont choisi la cure 1,
\item[$\bullet~$] 3 clients sur 10 ont choisi la cure 3,
\item[$\bullet~$] 36\,\% des clients ont choisi la cure 2.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  On complète le tableau suivant qui couvre l'année 2007:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}	
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{~}	&Cure 1 &Cure 2&Cure 3& Total\\ \hline
Femmes					&840	&	\textcolor{red}{\np{1660}} & \textcolor{red}{\np{1000}}	& \textcolor{red}{\np{3500}}\\ 
\hline
Hommes					&	\textcolor{red}{\np{1200}}	& \textcolor{red}{\np{500}}	&	\textcolor{red}{\np{800}} & \textcolor{red}{\np{2500}} \\ \hline
Total					&	\textcolor{red}{\np{2040}}	& \textcolor{red}{\np{2160}}	& \textcolor{red}{\np{1800}}	&\np{6000}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

%Dans toute la suite de l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ si nécessaire.

\item On prélève une fiche au hasard parmi les \np{6000} fiches des clients ayant fréquenté l'établissement durant l'année 2007 et on considère que chaque fiche à la même probabilité d'être choisie.

%\medskip
%
%Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Soit $A$ l'événement : \og Le client a choisi la cure 1 \fg{}.\\
 Il y a \np{2040} personnes qui ont choisi la cure 1 donc $P(A)=\dfrac{\np{2040}}{\np{6000}}=0,34$.
 
\item Soit $B$ l'événement : \og Le client est un homme \fg{}. Il y a \np{2500} hommes donc $P(B)=\dfrac{\np{2500}}{\np{6000}}\approx 0,42$.

\item Soit $C$ l'événement : \og Le client est une femme qui a choisi la cure 2 \fg{}. \\
Il y a \np{1660} femmes qui ont choisi la cure 2 donc $P(C)=\dfrac{\np{1660}}{\np{6000}} \approx 0,28$.
\end{list}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  L'évènement $A\cap B$ est \og Le client est un homme qui a choisi la cure 1. \fg{} \\
Il y a \np{1200} hommes qui ont choisi la cure 1 donc $P(A\cap B) = \dfrac{\np{1200}}{\np{6000}} = 0,2$.
		\item  L'évènement $A\cup B$ est \og Le client est un homme ou c'est un client qui a choisi la cure 1. \fg{} \\
En tout, cela fait $\np{840} + \np{1200}+ \np{500}+ \np{800} = \np{3340}$ clients, donc $P(A\cup B) = \dfrac{\np{3340}}{\np{6000}} \approx 0,56$.				
		\item  L'évènement $\overline{A}$ est \og Le client n'a pas choisi la cure 1. \fg{}\\
		$P(\overline{A}) = 1-P(A) = 1-\dfrac{\np{2040}}{\np{6000}} = 0,66$.
 	\end{enumerate}
\item On a prélevé la fiche d'une femme donc parmi $\np{3500}$ personnes.

Parmi ces $\np{3500}$ personnes, il y en a $\np{1000}$ qui ont choisi la cure 3; donc la probabilité cherchée est $p=\dfrac{\np{1000}}{\np{3500}} \approx 0,29$.

\end{enumerate}
 
\newpage

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}
 
%Les parties A, B et C sont indépendantes.
%
%\medskip

Dans le but d'informer les personnes souhaitant se lancer dans les métiers de l'hôtellerie, la chambre de commerce et d'industrie de la région Nord-Pas de Calais a décidé de suivre pendant une période de deux ans l'évolution du bénéfice réalisé par un jeune restaurateur qui vient d'ouvrir son établissement.

\smallskip 

Les résultats sont consignés, trimestre par trimestre, dans le tableau ci-dessous. Le nuage de points correspondant est donné en annexe.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Trimestre					&Rang du trimestre $x_{i}$&	Bénéfice en \euro{} $y_{i}$\\ \hline
janvier-février-mars 2006	&1	&\np{1700}\\ \hline
avril-mai-juin 2006			&2	&\np{1300}\\ \hline
juillet-août-septembre 2006	&3	&\np{1000}\\ \hline
octobre-nov.-décembre 2006	&4	&\np{1400}\\ \hline
janvier-février-mars 2007	&5	&\np{1900}\\ \hline
avril-mai-juin 2007			&6	&\np{2000}\\ \hline
juillet-août-septembre 2007	&7	&\np{2700}\\ \hline
octobre-nov.-décembre 2007	&8	&\np{3500}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\subsubsection*{Partie A : étude statistique et ajustement affine}

\begin{enumerate}
\item Un ajustement affine pour l'ensemble de ce nuage ne semble pas pertinent car les points du nuage ne sont pas du tout alignés.
\item Afin d'effectuer des prévisions, la chambre de commerce et d'industrie propose d'appliquer un ajustement affine en se limitant à l'intervalle $\cd 3~;~8\cg$..

Celui-ci est donné par la droite (d) d'équation $y =  471 x - 510$.

%Tracer, dans le repère de l'annexe, la droite (d).

Si $x = 3$, alors $y = 903$ et si $x=10$, alors $y = \np{1200}$; la droite (d) passe donc par les points de coordonnées $(3~;~903)$ et $(10~;~\np{1200}$. Voir graphique.
\item 	On suppose que ce modèle reste valable en 2008. %Calculer le bénéfice prévisible pour le quatrième trimestre 2008 (octobre-novembre-décembre 2008).

Le quatrième trimestre de 2008 correspond à $x=12$; donc le bénéfice est $471\times 12-510 = \np{5142}$ \euro.
\end{enumerate}

%\medskip

\subsubsection*{Partie B : étude d'une fonction}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\cd 1 ; 12\cg$ par
$f(x) =  800x+ \np{1000} - \np{2000}\ln x$.

On nomme $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère orthogonal de l'annexe.

\begin{enumerate}

\item % Déterminer $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ et vérifier que $f'(x) = \dfrac{800x - \np{2000}}{x}$.
$f'(x)= 800 - \dfrac{\np{2000}}{x} = \dfrac{800 x - \np{2000}}{x}$

\item   
	\begin{enumerate}
		\item%  Résoudre $f'(x) = 0$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $\cd 1~;~12\cg$.
Sur $\cd 1~;~12\cg$: $f'(x)=0 \iff \dfrac{800 x - \np{2000}}{x} = 0
\iff 800 x - \np{2000} = 0 \iff x=\dfrac{\np{2000}}{800} \iff x=2,5$
		\item On étudie le signe de $f'(x)$ sur $\cd 1~;~12\cg$:
		
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x  & 1 & \esp & 2,5 & \esp  & 12 \\
\hline
800x - \np{2000} &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &   \\
\hline
x &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &   \\
\hline
f'(x) &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &   \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}		

\item $f(1)=\np{1800}$, $f(2,5)\approx \np{1167}$ et $f(12)\approx \np{5360}$
		
On dresse le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $\cd 1~;~12\cg$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & 1 & \esp & 2,5 & \esp\esp & 12 \\
 \hline
f'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \Rnode{max1}{\np{1800}}  &  &  &  & \Rnode{max2}{\approx \np{5630}}   \\
f(x) & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{\approx \np{1167}} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}
 	\end{enumerate}
\item On complète le tableau ci-dessous avec des valeurs  arrondies à la dizaine:
	
%\medskip

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&1			&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10	&11	&12\\ 
\hline
$f(x)$	&\np{1800}	&\textcolor{red}{\np{1210}}	& \textcolor{red}{\np{1200}}	& \textcolor{red}{\np{1430}}	& \textcolor{red}{\np{1780}}	& \textcolor{red}{\np{2220}}	& \textcolor{red}{\np{2710}}	& \textcolor{red}{\np{3240}}	& \textcolor{red}{\np{3810}}	& \textcolor{red}{\np{4390}}	& \textcolor{red}{\np{5000}}	& \textcolor{red}{\np{5630}}\\ 
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item On trace $\mathcal{C}$ sur le graphique de l'annexe.
\end{enumerate}


\subsubsection*{Partie C : étude d'un autre modèle}

On admet que la fonction $f$ étudiée dans la partie B réalise, pour le restaurateur de la partie A, un bon ajustement du bénéfice en fonction du rang du trimestre jusqu'en 2008.

\medskip

Le bénéfice prévisible pour le quatrième trimestre 2008 est:
 $f(12)\approx \np{5630}$ \euro.

\newpage

\subsubsection*{\centering ANNEXE À REMETTRE AVEC LA COPIE}

\vspace{1.5cm}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.002cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(13,6500)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=10,gridlabels=0,gridcolor=orange,subgridcolor=orange] (0,0)(0,0)(13,13)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=500]{->}(0,0)(13,6500)
%\multido{\n=0+0.1}{131}{\psline[linewidth=0.05pt](\n,0)(\n,6500)}
%\multido{\n=0+50}{131}{\psline[linewidth=0.05pt](0,\n)(13,\n)}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](1,1700)(2,1300)(3,1000)(4,1400)(5,1900)(6,2000)(7,2700)(8,3500)
\uput[d](13,0){$x$}\uput[l](0,6500){$y$}
%%% question A.2.
\psplot[linecolor=blue]{3}{12}{471 x mul 510 sub}
\psdots[linecolor=blue](3,903)(10,4200)
\uput[-60](11.5,4906,5){\blue (d)}
%%% question B.4.
\psplot[linecolor=red]{1}{12}{800 x mul 1000 add 2000 x ln mul sub}
\uput[ul](11,5004,2){\red $\mathcal{C}$}
%%%
\uput[d](2.5,-220){\red $\underbrace{\hspace*{3.6cm}}$} \uput[d](2.5,-410){\red $2006$}
\uput[d](6.5,-220){\red $\underbrace{\hspace*{3.6cm}}$} \uput[d](6.5,-410){\red $2007$}
\uput[d](10.5,-220){\red $\underbrace{\hspace*{3.6cm}}$} \uput[d](10.5,-410){\red $2008$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}