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%%% Tapuscrit : Denis Vergès
%%% Corrigé : François Hache
%%%%   Commandes perso FH
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%%%%
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat de technicien}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\cfoot{\thepage}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie ~\decofourright\\[5pt] Polynésie -- juin 2006}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\section*{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du chiffre d'affaires, en milliers d'euros, réalisé par une chaîne de restaurants où
$x$ désigne le rang de l'année, et
$y$ désigne le chiffre d'affaires en milliers d'euros.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
année	&1993 		&1994		&1995		&1996 	&1997		&1998		&1999	&2000&2001\\ \hline
$x$		&0 			&1			&2			&3&	4	&5			&6			&7		&8\\ \hline
$y$		&\np{1320}	&\np{1380}	&\np{1460}	&\np{1590}&\np{1680}&\np{1800}	&\np{1920}&\np{2020}&\np{2130}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item%  Représenter le nuage de points $M(x~;~y)$ dans un repère orthonormal. Pour unités graphiques, on prendra :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 1~cm pour 1~an sur l'axe des abscisses,
%\item[$\bullet~$] 1~cm pour 50~milliers d'euros sur l'axe des ordonnées. Sur cet axe, la graduation commencera à \np{1300}.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

On représente le nuage de points M$(x~;~y)$ dans un repère orthogonal (voir page 3).

\item  Le point moyen G associé à cette série statistique a pour coordonnées:

$x_{\text G} = \dfrac{0+1+2+3+4+5+6+7+8}{9} = \dfrac{36}{9}=4$ et\\[4pt]
$y_{\text G} = \dfrac{\np{1320}	+\np{1380}	+\np{1460}	+\np{1590}+\np{1680}+\np{1800}	+\np{1920}+\np{2020}+\np{2130}}{9} = \dfrac{\np{15300}}{9}= \np{1700}$.

\item  On considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation : $y = 102x + \np{1292}$.

	\begin{enumerate}
		\item%  Vérifier, par le calcul, que le point G appartient effectivement à la droite (D).
$102 x_{\text G} + \np{1292} = 102\times 4 + \np{1292} = 408 + \np{1292} = \np{1700} = y_{\text G}$ donc  G appartient à la droite $\mathcal{D}$.		
		
		\item  On représente la droite $\mathcal{D}$ dans le repère précédent en utilisant les points de coordonnées $(1~;~\np{1394})$ et $(8~;~\np{2108})$.
		
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
			
%\medskip

\emph{Dans la suite de l'exercice, on admettra que la droite $\mathcal{D}$ réalise un bon ajustement affine du nuage.}

\begin{enumerate}[resume]
\item
	\begin{enumerate}
		\item L'année 2003 correspond à $x=10$; voir graphique page 3.
		\item  Le chiffre d'affaire en 2003 est: $102\times 10+\np{1292}=\np{2312}$ milliers d'euros.
 	\end{enumerate}
\item Déterminer l'année pour laquelle on peut prévoir un chiffre d'affaires de \np{2618000}~euros revient à chercher $x$ tel que $102 x + \np{1292} = \np{2618}$ soit $102x = \np{1326}$ donc $x=13$.

$x=13$ correspond à 2006; c'est donc en 2006 que le chiffre d'affaires atteindra \np{2618000}~euros.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,25cm}

\section*{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

%%\medskip
%%
%%\textbf{Les parties A, B et C sont indépendantes}
%
%\medskip

Pour financer une sortie scolaire, les élèves d'une classe Terminale d'un lycée lorrain veulent vendre des bergamotes et des craquelines. Par souci d'économie, ils décident de commander les bergamotes et les craquelines en vrac, puis de faire eux-mêmes les emballages.

%\medskip

\subsection*{Partie A}

%\medskip

Les prix sont donnés par les deux courbes représentées sur l'annexe 1.

La courbe ($B$) représente la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $\cd 10~; 100\cg$, qui donne le prix d'achat, en euros, de $x$ kilogrammes de bergamotes La courbe ($C$) représente la fonction $g$, définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $\cd 10~; 100\cg$, qui donne le prix d'achat, en euros, de $x$ kilogrammes de craquelines.

\medskip

On admettra que le prix des bergamotes est proportionnel à la quantité achetée.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Graphiquement le prix, en euros, de $40$~kilogrammes de bergamotes est de \np{1600}. \\
		Le prix de 1 kilogramme de bergamotes est donc de 40~\euro.
		
%En déduire par le calcul, le prix de $1$~kilogramme de bergamotes.
		\item   Le prix des bergamotes est proportionnel à la quantité achetée donc la fonction $f$ donnant le prix des bergamotes en fonction de la quantité est une fonction linéaire: $f(x)=ax$.

$f(40) = \np{1600}$ donc $a\times 40=\np{1600}$ donc $a=40$; on en déduit que $f(x)=40x$.		
		
 	\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\cd 10~; 100\cg$ par
 
\[g(x) = - 0,2x^2 + 50x +  80.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Graphiquement le prix en euros de 40 kilogrammes de craquelines est d'environ \np{1800}.		
		\item  Le prix de 40 kg de craquelines est de $g(40) = -0,2\times 40^2 +50\times 40 + 80 = \np{1760}$~\euro.
 	\end{enumerate}

 \end{enumerate}
 
%\medskip

\subsection*{Partie B}

%\medskip

On admet que le prix moyen, en euros, d'un kilogramme de craquelines pour une commande de $x$ kilogrammes de craquelines est donné par la fonction $h$, définie sur $\cd 10~; 100\cg$ par :
$h(x) = - 0,2x + 50 + \dfrac{80}{x}$.

\begin{enumerate}
\item  Pour tout $x$ de $\cd 10~; 100\cg$:
$h'(x)=-0,2\times 1 +0+ \dfrac{0\times x - 80\times 1}{x^2} = -0,2 - \dfrac{80}{x^2}$.

Sur $\cd 10~; 100\cg$, $x^2>0$ donc $-\dfrac{80}{x^2}<0$ donc $-0,2 -\dfrac{80}{x^2}<0$ et donc $h'(x)<0$.
%On en déduit que $h'(x)$ est strictement négatif.

\item % Établir le tableau de variations de $h$ sur $\cd 10~; 100\cg$.
$h(10) = 56$ et $h(100)=30,8$; on établit le tableau de variations de $h$ sur $\cd 10~; 100\cg$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{4cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{10pt}% mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 x & 10   & \hspace*{\esp} & 100 \\
 \hline
h'(x) &   & \pmb{-} & \\  
\hline
  &  \Rnode{max}{56} &    &    \\
h(x) & &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &      & & \Rnode{min}{30,8} \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max}{min} \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

Le prix moyen du kilogramme de craquelines diminue quand la quantité de craqueline commandée augmente.

\end{enumerate}

%\medskip

\subsection*{Partie C}

%\medskip

Ces élèves remplissent avec les bergamotes et les craquelines achetées, $295$~boîtes de bergamotes, $157$~boîtes de craquelines et $221$~boîtes de mélanges bergamotes-craquelines.
Ils décident de prendre une boîte au hasard pour la déguster avant de commencer la vente. Ces boîtes sont indiscernables.

%\medskip
%
%(\emph{Les résultats seront arrondis au centième})

\begin{enumerate}
\item  Il y a au total $295+157+221=673 = 673$ boîtes.

Parmi ces $673$ boîtes, il y en a $221$ de mélange; la probabilité pour qu'une boite prise au hasard contienne le mélange bergamotes-craquelines est donc $\dfrac{221}{673} \approx 0,33$.

\item  L'événement \og la boîte contient des craquelines uniquement ou des bergamotes uniquement \fg{} est l'événement contraire de \og la boîte contient le mélange \fg{} dont on a calculé la probabilité à la question précédente; donc la probabilité pour qu'une boîte prise au hasard contienne des craquelines uniquement ou des bergamotes uniquement est : $1-\dfrac{221}{673} = \dfrac{452}{673} \approx 0,67$.
\end{enumerate}
 
\newpage
 
 \section*{\centering Graphique de l'exercice 1}

%\vspace{1cm}
 
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.02cm}
\begin{pspicture}(-1,1300)(11,2400)
\psgrid[xunit=1cm,yunit=1cm,subgriddiv=10,gridlabels=0,gridcolor=orange,subgridcolor=orange] (0,26)(0,26)(11,48)
\psaxes[Dx=1,Dy=50,Oy=1300,labels=x]{->}(0,1300)(0,1300)(11,2400)[$x$,-90][$y$,180]
\multido{\i=1300+50}{22}{\uput[l](0,\i){\np{\i}}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=1.5,linecolor=blue](0,1320)(1,1380)(2,1460)(3,1590)(4,1680)(5,1800)(6,1920)(7,2020)(8,2130)
\psplot[linecolor=blue]{0.2}{10.5}{102 x mul 1292 add}
\psdots[linecolor=blue](4,1700)(1,1394)(8,2108)
\uput[ul](4,1700){\blue G} 
\psset{linecolor=red,arrowscale=2}
\psline[ArrowInside=->,ArrowInsideNo=4](10,1300)(10,2312)
\psline[ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3](10,2312)(0,2312)
\uput[160](0,2312){\red \np{2312}}
\end{pspicture}
\end{center} 
 
\newpage 
 
\section*{\centering ANNEXE 1}
 
%\medskip
% 
%\textbf{(à remettre avec la copie)}
 
\vspace{1cm}

\begin{center}

\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.0025cm} 
\begin{pspicture}(-10,-200)(110,4800)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=10,gridlabels=0,gridcolor=orange,subgridcolor=orange] (0,0)(0,0)(11,12)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=400,labels=x]{->}(0,0)(0,0)(110,4800)
\psplot[linewidth=1.25pt]{10}{100}{40 x mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{10}{100}{x -0.2 x mul 50 add mul 80 add}
\multido{\n=0+400}{12}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\psset{linecolor=red,arrowscale=2}
\psline[ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3](40,0)(40,1600)(0,1600)
\psline[ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3](40,1760)(0,1760)
\psline(40,1600)(40,1760)
\uput[u](95,3520){$(B)$}  \uput[d](95,2950){\blue $(C)$}
\uput*[l](0,1600){\red \np{1600}}
\uput*[l](0,1760){\red $\approx \np{1800}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}