\documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{enumerate} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-all} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} %%% Tapuscrit : Denis Vergès %%% Corrigé : François Hache %%%% Commandes perso FH \newcommand{\ds}{\displaystyle}% displaystyle \newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crochet gauche \newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit \newcommand{\pg}{\geqslant}% plus grand ou égal \newcommand{\pp}{\leqslant}% plus petit ou égal \renewcommand{\d}{\text{\,d}}% le d de différentiation \newcommand{\e}{\text{\,e}}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\text{\,i\,}}% le i des complexes %%%% \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \setlength\parindent{0mm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \usepackage{graphicx} \usepackage{multicol} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat de technicien} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 2007}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \cfoot{\thepage} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie ~\decofourright\\[5pt] Polynésie -- juin 2007}} \end{center} \vspace{0,25cm} \subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points} %\medskip %Voir le QCM sur l'annexe 1. \begin{list}{\textbullet}{\textbf{Explications du QCM de la page 3}} \item Ajouter 1,5\,\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{1,4}{100}=1,015$. De 2003 à 2008, il y a 5 ans; ajouter 1,5\,\% par an pendant 5 ans, c'est multiplier par $1,015^{5}$. Or $\np{5200}\times 1,015^{5} \approx 5601,88$; \textbf{réponse B.} \item Le plus simple est de procéder par élimination. Entre le 1\ier{} janvier 2004 et le 1\ier{} janvier 2009, il y a 5 ans; $5\times \np{14400} = \np{72000}$ donc on peut éliminer les réponses B et D qui sont trop éloignées de cette somme. On ajoute chaque année 150~\euro{} donc le salaire annuel se termine toujours par un 0, donc la somme des 5 salaires également; on peut éliminer la réponse A. La bonne réponse est la \textbf{réponse C.} \item Si deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles, cela veut dire, par définition, que $p(A\cap B)=0$. \textbf{Réponse D.} \item D'après le tableau de variations de $f$: $\ds\lim_{x \to +\infty}f(x)=2$; \textbf{réponse A.} \item De même: $f'(2)=0$; \textbf{réponse C.} \item Si $F(x)=\dfrac{5}{3}x^3-\dfrac{3}{2}x^2 +x+1$, alors $F'(x)= \dfrac{5}{3}\times 3x^2 - \dfrac{3}{2}\times 2x +1 = 5x^2 -3x +1 = f(x)$; \textbf{réponse B.} \item $\ln(2x+3)=0 \iff \ln(2x+3) = \ln 1 \iff 2x+3=1 \iff 2x=-2 \iff x=-1$; \textbf{réponse A.} \item $\left ( \e^{u(x)}\right )'=U'(x) \e^{u(x)}$ donc $f'(x) =2\e^{2x+1}$; \textbf{réponse D.} \end{list} \vspace{1cm} \subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points} %Les deux parties de ce problème traitent d'un même sujet mais peuvent être étudiées indépendamment. % %\bigskip % %\emph{Loisirs Accueil Jura : Évolution du chiffre d'affaires\\ %Créée en 1982 sous le statut d'association loi 1901, la centrale de réservation départementale Loisirs Accueil Jura a vu ses missions évoluer ces dernières années. Aussi; assure-t-elle, en plus du traitement des demandes d'informations adressées au Comité %Départemental du Tourisme et de la commercialisation d'hébergements, la conception et la mise en marché de séjours thématiques.} % %\emph{(extrait du site http://dklik.planetb.fr/cdt-jura-institu/).} % %\medskip \subsubsection*{Partie A} Le tableau ci-dessous donne l'évolution du chiffre d'affaires de cette centrale de réservation en milliers d'euros entre 2001 et 2005. \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2001& 2002 &2003 &2004 &2005\\ \hline Rang de l'année $x_{i}$ &1 & 2 &3 &4 &5\\ \hline Chiffre d'affaires $y_{i}$&125 &138 &165 &200 &250\\ \hline \end{tabularx} \begin{flushright}\emph{Source : l'Observatoire du Comité Départemental du Tourisme du Jura.} \end{flushright} \end{center} \begin{enumerate} \item% Calculer les quatre pourcentages d'augmentation successifs du chiffre d'affaires (entre 2001 et 2002, entre 2002 et 2003, ...). Les résultats seront arrondis au dixième. On calcule le pourcentage par la formule: $\dfrac{\text{valeur finale} - \text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}\times 100$. \smallskip Le pourcentage d'augmentation entre 2001 et 2002 est $\dfrac{138-125}{125}\times 100 = 10,4\,\%$. Le pourcentage d'augmentation entre 2002 et 2003 est $\dfrac{165-138}{138}\times 100 \approx 19,6\,\%$. Le pourcentage d'augmentation entre 2003 et 2004 est $\dfrac{200-165}{165}\times 100 \approx 21,2\,\%$. Le pourcentage d'augmentation entre 2004 et 2005 est $\dfrac{250-200}{200}\times 100 = 25\,\%$. On représente cette série dans un repère orthogonal par un nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$. On obtient le nuage donné en annexe 2. page 4 %On se propose d'étudier un autre nuage de points. \item On pose $z_{i} = \ln y_{i}$. On complète le tableau suivant en arrondissant les résultats à $10^{-2}$ près : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2001 &2002 &2003 &2004 &2005\\ \hline Rang de l'année $x_{i}$ &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline $z_{i} = \ln y_{i}$ &4,83 & \textcolor{red}{4,93} & \textcolor{red}{5,11} & \textcolor{red}{5,3} & \textcolor{red}{5,52} \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item On représente le nuage de points $N_{i}\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$ dans un repère orthogonal; voir page 5. %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~$] 2 cm en abscisses (commencer à 0) %\item[$\bullet~$] 5 cm en ordonnées (commencer à 4) %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} \item On admet que la droite $\mathcal D$ d'équation $z = 0,179x+4,613$ constitue un bon ajustement affine du nuage de points $N_{i}$. Si $x=0$, $z=4,613$ et si $x=7$, $z=5,866$. On place ces points pour tracer la droite $\mathcal{D}$ (voir page 5). %Tracer $D$ dans le repère de la question \textbf{3}. \item Le responsable de la centrale de réservation Loisirs Accueil Jura pense que la tendance décrite par la droite $D$ se confirmera dans les années à venir. Le chiffre d'affaires prévisible en 2007 est déterminé en prenant $x=7$; on trouve alors $z=5,866$ ce qui signifie $\ln y=5,866$ donc $y=\e^{5,866} \approx 352,8$. Le chiffre d'affaires prévisible pour 2007 est donc d'environ 353 milliers d'euros. \end{enumerate} \medskip \subsubsection*{Partie B} Le but de cette partie est d'étudier la fonction $f\ :\ x \longmapsto 100\e^{0,18x}$ sur l'intervalle $\cd 0~;~8\cg$. %et de montrer qu'elle réalise une approximation acceptable du chiffre d'affaires de la centrale de réservation Loisirs Accueil Jura. %Pour cela on posera $x$ le rang de l'année ($x = 1$ pour l'an 2001) et $f(x)$ le montant en milliers d'euros du chiffre d'affaires. \medskip \begin{enumerate} \item% Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)$ est toujours positive sur $\cd 0~;~8\cg$. On sait que $\left ( \e^{u(x)}\right )'=u'(x) \e^{u(x)}$ donc $f'(x)=100\times 0,18\e^{0,18x} = 18\e^{0,18x}$. Quel que soit le réel $x$, on sait que $\e^{x}>0$ donc $f'(x)>0$ quel que soit $x$ de $\cd 0~;~8\cg$. \item $f(0)=100\e^{0}= 100$ et $f(8) = 100 \e^{0,18\times 8} \approx 422,1$ On dresse le tableau de variations de $f$ sur $\cd 0~;~8\cg$: \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} % augmentation de la hauteur de toutes les lignes \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{\hspace*{3cm}} % pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{0pt} % mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| *3{c}|} \hline x & 0 & \esp & 8 \\ \hline f'(x) & & \pmb{+} & \\ \hline & & & \Rnode{max}{\approx 422,1} \\ f(x) & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min}{100} & & \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min}{max} \ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}\\ \hline \end{array}$ } \end{center} \item On complète le tableau de valeurs suivant en arrondissant les valeurs à $10^{-1}$ près. \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &0 &1 &2 &4 &6 &8\\ \hline $f(x)$ & \textcolor{red}{100} &\textcolor{red}{119,7} &\textcolor{red}{143,3} &\textcolor{red}{205,4} &294,5&\textcolor{red}{422,1} \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item On trace sur l'annexe 2 page 4 la courbe représentative de $f$ sur $\cd 0~;~8\cg$. %\emph{On observera que la courbe obtenue fournit une approximation acceptable du nuage de points entre 2001 et 2005.} \item % Déterminer par la méthode de votre choix le chiffre d'affaires prévisible en 2007 arrondi au millier d'euros près. L'année 2007 correspond au rang $x=7$ donc le chiffre d'affaires en 2007 est donné par $f(7)\approx 352,54$. Le chiffre d'affaire prévisible pour 2007 est de 353 milliers d'euros. %\emph{On remarquera que l'on obtient un résultat très proche de celui obtenu à la question $5$ de la partie A.} \end{enumerate} %Vous devez remettre avec votre copie : % %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~$] le QCM de l'annexe 1 ; %\item[$\bullet~$] une feuille de papier millimétrée S ; %\item[$\bullet~$] l'annexe 2. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} \newpage \subsection*{\centering Annexe 1} %(à remettre avec la copie) \begin{center} \textbf{QCM} %\emph{Chaque bonne réponse rapporte $1$ point.} % %Pour chaque question, une seule proposition est exacte. % %Entourer sur chaque ligne la bonne réponse sans justification : \vspace{2cm} {\setlength\parindent{-0.8cm} \footnotesize \begin{tabularx}{1.\linewidth}{|m{5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline & A& B& C& D\\ \hline Un restaurateur sert \np{5200} couverts lors de l'année 2003, il estime que ce nombre va progresser de 1,5\,\% tous les ans. Le nombre de couverts prévisible pour l'année 2008 sera donc (à l'unité près):&\np{10459}& \fcolorbox{red}{white}{\np{5 602}} &\np{5590}&\np{4822}\\ \hline Un employé de restauration est embauché au 1\up{er} janvier 2004 avec un salaire annuel de \np{14400}~\euro. Chaque année, son salaire annuel augmente de 150~\euro{} au 1\up{er} janvier. La somme de tous les salaires perçus entre le 1\up{er} janvier 2004 et le 1\up{er} janvier 2009 s'élève donc à& \np{73875}~\euro& \np{2160000}~\euro&\fcolorbox{red}{white}{\np{73 500}~\euro} & \np{15150}~\euro\\ \hline Soient $A$ et $B$ deux évènements incompatibles avec $p(A) = 0,25$ et $p(B) = 0,6$ alors : &$p(A \cup B)=0,35$& $p(A \cup B) = 0,75$& $p(A \cap B) = 1$& \fcolorbox{red}{white}{$p(A \cap B) = 0$}\\ \hline \multirow{2}{4cm}{On donne le tableau de variations de la fonction $f$: \psset{xunit=1cm,yunit=0.75cm} \begin{pspicture}(4,2.6) \psframe(4,2.6) \psline(1,0)(1,2.5) \psline(0,1.5)(4,1.5) \psline(0,2)(4,2) \psline{->}(1.4,1.3)(2.3,0.3)\psline{->}(2.7,0.3)(3.7,1.3) \uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.2,2){$0$} \uput[u](2.5,2){$2$} \uput[u](3.7,2){$+\infty$} \uput[u](0.5,1.3){$f'(x)$} \uput[u](1.75,1.4){$-$} \uput[u](2.5,1.4){$0$} \uput[u](3.25,1.4){$+$} \rput(0.5,0.75){$f(x)$} \uput[d](1.2,1.5){1} \uput[u](2.5,0){$-1$} \uput[d](3.8,1.5){$2$} \end{pspicture}}& \fcolorbox{red}{white}{$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 2$}\rule{0pt}{15pt}&$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty$&$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$&$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = -3$ \rule[-1.2cm]{0pt}{0pt}\\ \cline{2-5} &$f$ est strictement croissante sur $[0~; ~+ \infty[$&$f$ est strictement décroissante $[2~;~+ \infty[$& \fcolorbox{red}{white}{$f'(2) = 0$} & \rule[-5mm]{0mm}{11mm}$f(x) = 0$\\ \hline \rule{0pt}{12pt}Une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x) = 5x^2 - 3x + 1$ est & $F(x) = \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x+1$ \rule[-10pt]{0pt}{0pt}& \fcolorbox{red}{white}{\parbox{2.1cm}{$F(x) =\newline \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x + 1$}} & $F(x) = \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2+ 6x$& $F(x) = 5x^3 - x^2 + x$\\ \hline La solution de l'équation \newline \mbox{$\ln (2x+3) = 0$} est : &\fcolorbox{red}{white}{$x = -1$}&$x = \dfrac{\text{e} - 3}{2}$&$x = - \dfrac{3}{2}$&$x = - 2$\\ \hline La dérivée de la fonction $f$ définie par $f(x) = \text{e}^{2x + 1}$ est : &$f'(x) = \text{e}^2 $&$f'(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x + 1}$& $f'(x) = (2x+1)\text{e}^{2x + 1}$& \fcolorbox{red}{white}{$f'(x) = 2\text{e}^{2x + 1}$}\\ \hline \end{tabularx}} \end{center} \newpage \subsection*{\centering Annexe 2} \vspace{2cm} \begin{center} \psset{xunit=1.5cm,yunit=0.05cm} \begin{pspicture}(0,75)(9,450) \psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=100,Dy=50]{->}(0,100)(0,100)(9,450) \psgrid[xunit=1.5cm,yunit=2.5cm,subgriddiv=10,gridlabels=0,gridcolor=orange,subgridcolor=orange] (0,0)(0,2)(9,9) \uput*[u](8,102){rang de l'année} \uput*[r](0,440){chiffre d'affaires (milliers d'euros)} \psdots[dotstyle=x,dotscale=1.5,linecolor=blue](1,125)(2,138)(3,165)(4,200)(5,250) \psplot[linecolor=blue]{0}{8}{ 100 2.7183 0.18 x mul exp mul} \psset{linecolor=red,arrowscale=1.6,linewidth=1.2pt} \psline[ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3](7,100)(7,352.54)(0,352.54) \end{pspicture} \end{center} \newpage \subsection*{\centering Exercice 2 -- partie A} \vspace{2cm} \begin{center} \psset{xunit=2cm,yunit=5cm} \begin{pspicture}(0,4)(7.5,6.4) \psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=4]{->}(0,4)(0,4)(7.5,6.4)[$x$,-90][$z$,180] \psgrid[xunit=1cm,yunit=1cm,subgriddiv=10,gridlabels=0,gridcolor=orange,subgridcolor=orange] (0,0)(0,20)(15,32) \psdots[dotstyle=x,dotscale=1.5,linecolor=blue](1,4.83)(2,4.93)(3,5.11)(4,5.3)(5,5.52) \psplot[linecolor=blue]{0}{7.2}{ 0.179 x mul 4.613 add} \uput[-60](6.2,5.7){\blue $\mathcal{D}$} \psdots[linecolor=blue](0,4.613)(7,5.866) \end{pspicture} \end{center} \end{document}