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%%% Tapuscrit : Denis Vergès
%%% Corrigé : François Hache
%%%   Commandes perso FH
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\newcommand{\cg}{\texttt{]}}%     crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}%     crochet droit
\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
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%%%%
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\begin{document}
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\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat Hôtellerie}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}
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\cfoot{\thepage}
\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie ~\decofourright\\[4pt] Métropole -- septembre 2006}}
\end{center}

%\vspace{0,25cm}
%
%La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
%
%L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

%\vspace{0,25cm}

\section*{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points}

%\medskip

Un restaurateur veut acheter des tables et des chaises pour son restaurant.

Il veut au moins $15$~tables et $70$ chaises.

Un fournisseur A lui propose un lot de 1 table et 6 chaises pour $75$~\euro.

Un fournisseur B lui propose un lot de 1 table et 4 chaises pour $60$~\euro.

On désigne par $x$ le nombre de lots A et $y$ le nombre de lots B achetés par le restaurateur.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O~;~I,~J) (unité : 1 cm).

%(On ne prendra que les abscisses et les ordonnées positives).

On trace sur l'annexe 1 les droites $\mathcal D_{1}$ et $\mathcal D_{2}$ d'équations respectives  \mbox{$y = -x + 15$} et $y = - 1,5x + 17,5$.

On utilisera les points de coordonnées $(0~;~15)$ et $(15~;~0)$ pour $\mathcal{D}_1$, $(1~;~16)$ et $(9~;~4)$ pour $\mathcal{D}_2$.

\item	Soit le système (S) :	
$\left\{\begin{array}{l !{\geqslant} l}
x + y& 15\\
3x + 2y  &35\\
x& 0\\
y & 0
\end{array}\right.$

%Vérifier que les contraintes sur $x$ et $y$ pour qu'il y ait suffisamment de tables et de chaises se traduisent par le système (S) avec $x$ et $y$ entiers.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Il y a 1 table dans le lot A donc si on achète $x$ lots A, on aura $x$ tables.

Il y a 1 table dans le lot B donc si on achète $y$ lots B, on aura $y$ tables.

Si on achète à la fois $x$ lots A et $y$ lots B, on aura donc $x+y$ tables.

Il faut au moins 15 tables donc $x$ et $y$ doivent vérifier l'inégalité: $x+y\pg 15$.
\item Il y a 6 chaises dans le lot A donc si on achète $x$ lots A, on aura $6x$ chaises.

Il y a 4 chaises dans le lot B donc si on achète $y$ lots B, on aura $4y$ chaises.

Si on achète à la fois $x$ lots A et $y$ lots B, on aura donc $6x+4y$ chaises.

Il faut au moins  70 chaises donc $x$ et $y$ doivent vérifier l'inégalité: $6x+4y\pg 70$ c'est-à-dire: $3x+2y \pg 35$.
\item Les nombres de tables et de chaises doivent être entiers et positifs donc $x \pg 0$ et $y\pg 0$.
\end{list}

Les contraintes sur $x$ et $y$ pour qu'il y ait suffisamment de tables et de chaises se traduisent donc par le système (S) avec $x$ et $y$ entiers.
\item	Dans le repère de l'annexe 1, on détermine l'ensemble des points du plan dont les coordonnées  vérifient le système (S) en hachurant la partie du plan qui ne convient pas.
\item	On note $C$ le coût de $x$ lots A et $y$ lots B.
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer $C$ en fonction de $x$ et de $y$.
Un lot A coûte 75~\euro{} donc $x$ lots coûtent $75x$~\euro{}.	
Un lot B coûte 60~\euro{} donc $y$ lots coûtent $60y$~\euro{}.		
L'achat de $x$ lots A et $y$ lots B coûte donc: $C=75x+60y$.			
		\item% 	Montrer que $y = - \dfrac{5}{4}x + 19$ est une équation de la droite $\mathcal D$ correspondant à un coût $C$ de \np{1140}~\euro.
Pour un coût de 	 \np{1140}~\euro, on aura donc  $\np{1140}= 75x+60y$ ou encore
$\dfrac{\np{1140}}{60} - \dfrac{75}{60} = y$ donc $y=-\dfrac{5}{4}x +19$.

Donc $y = - \dfrac{5}{4}x + 19$ est une équation de la droite $\mathcal D$ correspondant à un coût $C$ de \np{1140}~\euro.		
		\item 	On trace la droite $\mathcal D$ dans le repère de l'annexe 1 en utilisant les points de coordonnées $(4~;~14)$ et $(12~;~4)$.		
		\item% 	Déterminer le nombre de lots A et le nombre de lots B à acheter pour que le coût soit minimum.
		
%Quel est ce coût minimum ?

La droite correspondant au coût $C$ a pour équation $C=75x+60y$ c'est-à-dire $y=-\dfrac{5}{4}x + \dfrac{C}{60}$. Elle est parallèle à la droite $\mathcal{D}$ et a pour ordonnée à l'origine $\dfrac{C}{60}$.

Il faut  que le coût soit minimum, donc que l'ordonnée à l'origine soit la plus petite possible parmi toutes les droites parallèles à la droite $\mathcal{D}$, tout en ayant pour contrainte que la droite réalisant ce minimum doit passer par un point à coordonnées entières de la partie non hachurée du plan.

Graphiquement le minimum est réalisé par la droite $\Delta$ qui passe par le point A de coordonnées $(5~;~10)$.

Le coût est alors de $5\times 75+10\times 60 = 975$~\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{1cm}

\section*{\textsc{Exercice 2} \hfill 11 points}

%\medskip

%Les parties A et B sont indépendantes.
%
%\emph{Tous les résultats seront arrondis à l'unité près.}
%
%\medskip

\subsection*{Partie A}

%\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\cd 0~;~45\cg$ par
 $f(x) = - \dfrac{1}{3}x^3 + 15x^2$.

%On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal (O~;~I,~J).
%
%On prendra, sur une feuille de papier millimétré, comme unités graphiques 1~cm pour 5~unités sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 500~unités sur l'axe des ordonnées.

\begin{enumerate}
\item $f'(x) = -\dfrac{1}{3}\times 3x^2 +15\times 2x = -x^2 +30x  = x(- x + 30)$.
\item On étudie le signe de $f'(x)$  sur $\cd 0~;~45\cg$ au moyen d'un tableau de signes:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x  & 0 & \esp\esp & 30 & \esp  & 45 \\
\hline
x &  0 & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &   \\
\hline
-x+30 &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &   \\
\hline
f'(x) =x(-x+30) & 0 & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &   \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

$f(0)=0$, $f(30)=\np{4500}$ et $f(45)=0$; on établit le tableau de variations de $f$ sur $\cd 0~;~45\cg$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \esp\esp & 30 & \esp & 45 \\ 
\hline
f'(x) & 0 &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{\np{4500}}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{0} &   &  &  &   \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	

\item On complète le tableau de valeurs suivant en arrondissant à l'unité:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&5	&10	&15	&20	&25	&30				&35	&40	&45\\ \hline
$f(x)$	& \textcolor{red}{0}	& \textcolor{red}{333}	& \textcolor{red}{\np{1167}}	& \textcolor{red}{\np{2250}}	& \textcolor{red}{\np{3333}}	& \textcolor{red}{\np{4167}}	&\np{4500}	& \textcolor{red}{\np{4083}}	& \textcolor{red}{\np{2667}}	& \textcolor{red}{0}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item $f'(0)=0$ donc la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 est horizontale; comme elle passe par le point de coordonnées $(0~;~0)$, la tangente $T$ est l'axe des abscisses.
\item On trace la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $T$ dans le repère page 4.
\end{enumerate}

%\medskip

\subsection*{Partie B}

%\medskip

Un producteur de cuisines équipées produit et vend chaque mois $x$ cuisines équipées d'un certain modèle.
On admet que le bénéfice mensuel en euros est donné par $B(x) = -\dfrac{1}{3}x^3 + 15x^2$.

\begin{enumerate}
\item %Utiliser la partie A afin de déterminer pour quelle valeur de $x$ le bénéfice est maximum.
D'après la partie A, le bénéfice est maximum pour $x=30$.\\
Ce bénéfice maximum est alors de $B(30)= f(30)=\np{4500}$~\euro.

%Quel est le bénéfice maximum ?
\item	Graphiquement,  les quantités de cuisines équipées produites et vendues correspondant à un bénéfice d'à peu près \np{3500}~\euro{} sont 21 et 37 (voir page 4).
\item	Pour que le bénéfice soit supérieur à \np{3500}~\euro, il faut que la courbe $\mathcal C$ soit au-dessus de la droite horizontale d'équation $y=\np{3500}$; il faut donc prendre $x$ dans l'intervalle $\cd 21~;~37\cg$ (voir page 4).
\end{enumerate}

\newpage

\section*{\centering Annexe 1}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,arrowscale=1.5}
\begin{pspicture}(-1,-1)(17,23)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0pt,gridcolor=lightgray,subgridcolor=orange](0,0)(17,23)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,0)(17,23)[$x$,-90][$y$,180]
\pspolygon[hatchcolor=blue,fillstyle=hlines,linecolor=blue](0,0)(15,0)(0,15)
\uput[ur](8,7){\blue  \boldmath $\mathcal D_1$}
\pspolygon[hatchcolor=red,fillstyle=vlines,linecolor=red](0,0)(11.67,0)(0,17.5)
\psdots[linecolor=blue](0,15)(15,0)
\psdots[linecolor=red](1,16)(9,4)
\psplot[linecolor=red]{0}{11.67}{-1.5 x mul 17.5 add} 
\psplot[linecolor=blue]{0}{15}{x neg 15 add} 
\uput[30](1,16){\red \boldmath $\mathcal{D}_2$}
\psplot{0}{15.2}{-1.25 x mul 19 add} \uput[ur](8,9){\boldmath $\mathcal{D}$}
\psdots(4,14)(12,4)
\psplot[linestyle=dashed,linewidth=1.3pt]{0}{13}{-1.25 x mul 16.25 add}  \psdots(5,10) \uput[ur](5,10){\textbf{A}}
\uput[ur](12.2,1){$\boldsymbol{\Delta}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\section*{\centering Graphique de l'exercice 2}

\vspace{0,5cm}


\begin{center}
\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.002cm,arrowscale=1.5}
\begin{pspicture}(-5,0)(50,5000)
%%% \def\psvlabel#1{\np{#1}} %%% pour modifier les labels en ordonnées - ne fonctionne pas !
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=10,gridlabels=0,gridcolor=orange,subgridcolor=orange] (0,0)(0,0)(10,10)
\psaxes[Dx=5,Dy=500,labels=x]{->}(0,0)(0,0)(50,5000)%[$x$,-90][$y$,180]
\multido{\n=0+500}{10}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=1.5,linecolor=blue](0,0)(5,333)(10,1167)(15,2250)(20,3333)(25,4167)(30,4500)(35,4083)(40,2667)(45,0)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000]{0}{45}{x dup x -3 div 15 add mul mul}
\uput[ur](37,3651){\blue \boldmath{$\mathcal{C}$}}
\psline[linecolor=blue](0,0)(47,0) \uput[u](12.5,0){\blue $T$}
\psset{linecolor=red,arrowscale=1.6}
\psline[linewidth=1.2pt](0,3500)(45,3500)
\psline[ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3](20.85,3500)(20.85,0)
\uput*{9pt}[d](20.85,0){\red ~~21~~}
\psline[ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3](37.56,3500)(37.56,0)
\uput{9pt}[d](37.56,0){\red 37}
\psline[linewidth=1.4pt]{[-]}(20.85,0)(37.56,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}