\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-func,pstricks-add}% \usepackage{color,colortbl} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : François Hache \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \setlength\headheight{14pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \usepackage{fancyhdr} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS Comptabilité et gestion - corrigé}, pdftitle = {Métropole - 16 mai 2025}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}% le d de différentiation \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ts}{\textstyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small BTS Métropole -- corrigé} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion}} \rfoot{\small{mai 2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Métropole~\decofourright\\[7pt] Mai 2026 -- Comptabilité et gestion}} \bigskip {\Large \textbf{MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES \qquad 2 heures}} \end{center} \medskip \textbf{\large{}Exercice 1\hfill 9 points} %\medskip %\emph{Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Le tableau suivant indique le nombre (en milliers) de véhicules électriques en circulation en France entre 2020 et 2024. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline & \centering A & B& C& D& E& F\\ \hline 1& Année& 2020 &2021 &2022 &2023& 2024\\ \hline 2& Rang de l'année : $x_i$&0&1&2&3&4\\ \hline 3&\footnotesize Nombre (en milliers) de véhicules électriques en circulation : $y_i$&297 &469&690& \np{1020}& \np{1336}\\ \hline \multicolumn{7}{r}{\footnotesize (source : www.avere-france.org)}\\ \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item À la calculatrice, on trouve pour équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, sous la forme $y = ax + b$, selon la méthode des moindres carrés: $y=262,9x + 236,6$. %\emph{On donnera la valeur exacte des coefficients $a$ et $b$.} \item On décide d'ajuster le nuage de points de cette série statistique $(x_i ; y_i)$ par la droite d'équation $y = 263x + 237$. Selon ce modèle : \begin{enumerate} \item L'année 2028 correspond au rang 8. Pour $x=8$, on a: $y=263\times 8+237=\np{2381}$. On peut donc estimer à \np{2381000} le nombre de véhicules électriques en 2028. \item Estimer l'année à partir de laquelle le nombre de véhicules électriques dépassera pour la première fois \np{3000} milliers revient à chercher $x$ pour que $y>\np{3000}$. On résout cette inéquation. $y>\np{3000} \iff 263x+237 > \np{3000} \iff 263x > \np{2763} \iff x > \dfrac{\np{2763}}{263}$ Or $ \dfrac{\np{2763}}{263} \approx 10,5$ donc le rang cherché est 11, qui correspond à l'année 2031. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Le tableau ci-dessous donne le nombre (en milliers) de voitures fonctionnant à l'essence immatriculées chaque année en France entre 2020 et 2024. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2020 &2021 &2022 &2023 &2024\\ \hline Nombre de voitures essence (en milliers)& 803 &701 &611& 673 &530\\ \hline \multicolumn{6}{r}{(\emph{source : developpement-durable.gouv.fr})} \end{tabularx} \end{center} %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Justifier qu'entre 2020 et 2024, le nombre de ces voitures a baissé d'environ 34\,\%. Entre 2020 et 2024, le nombre de voitures fonctionnant à l'essence est passé de 803 à 530, ce qui fait une baisse de $803-530=273$. Cela fait donc un pourcentage de baisse de $\dfrac{273}{803}\times 100 \approx 33,998$ soit environ 34\,\%. \item% En déduire le taux d'évolution annuel moyen du nombre de ces voitures entre 2020 et 2024. Arrondir le résultat à 0,01\,\%. Le coefficient multiplicateur entre 2020 et 2024 est $\dfrac{530}{803}$; cela correspond à 4 années. Le coefficient multiplicateur moyen entre 2020 et 2024 est donc de $\left (\dfrac{530}{803}\right )^{\frac{1}{4}}$ qui correspond à un taux de $\left (1-\left (\dfrac{530}{803}\right )^{\frac{1}{4}}\right )\times 100$ soit environ $9,87$\,\%. \end{enumerate} \item On modélise la situation par une suite $(u_n)$ où $u_n$ est le nombre (en milliers) de ces voitures l'année ($2024 + n$). On a ainsi : $u_0 = 530$. On estime qu'à partir de 2024, chaque année, le nombre de ces voitures diminue de 10\,\%. \begin{enumerate} \item $u_1 = u_0- u_o\times \dfrac{10}{100} = 530 -530\times \dfrac{10}{100} = 530-53= 477$. \item % Donner, sans justifier, la nature de la suite $(u_n)$. Préciser sa raison. Diminuer de 10\,\%, c'est multiplier par $\left (1-\dfrac{10}{100}\right )=0,9$. Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=0,9$ et de premier terme $u_0=530$. \item Pour tout entier naturel $n$, on a donc: $u_n=u_0\times q^n = 530\times 0,9^{n}$. \item %D'après ce modèle, quel serait le nombre de ces voitures en 2030 ? Arrondir au millier. L'année 2030 correspond à $n=6$, et $u_6 = 530\times 0,9^{6}\approx 281,66$. D'après ce modèle, on peut donc estimer à \np{282000} le nombre de ces voitures en 2030. \end{enumerate} \item On considère l'algorithme ci-dessous. \begin{center} \begin{tabular}{|c|l|}\hline Ligne 1 & $N \longleftarrow 0$\\ \hline Ligne 2 & $U \longleftarrow 530$\\ \hline Ligne 3 &Tant que \ldots\\ \hline Ligne 4 & $N \longleftarrow N + 1$\\ \hline Ligne 5 & $U \longleftarrow \ldots$\\ \hline Ligne 6 & Fin Tant que\\ \hline Ligne 7 & $N \longleftarrow 2024 + N$\\ \hline \end{tabular} \end{center} Deux lignes (ligne 3 et ligne 5) de cet algorithme n'ont pas été renseignées. On veut que, après exécution de cet algorithme, la variable $N$ contienne l'année à partir de laquelle le nombre de ces voitures sera pour la première fois strictement inférieur à 100 milliers selon ce modèle. \begin{enumerate} \item On doit écrire en ligne 3: Tant que $U>=100$. \item On doit écrire en ligne 5: $U \longleftarrow 0.9*U$. \item% D'après ce modèle, en quelle année le nombre de ces voitures sera-t-il, pour la première fois. strictement inférieur à 100 milliers ? En utilisant la calculatrice, on trouve: $u_{15}\approx 109,12$ et $u_{16}\approx 98,21$. Pour $n=16$, on a $\np{2024}+16=\np{2040}$; c'est donc en 2040 que, pour la première fois, le nombre de ces voitures sera strictement inférieur à 100 milliers. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\large{}Exercice 2\hfill 11 points} \medskip %\emph{Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante} % %Toutes les probabilités seront arrondies au millième. \medskip \textbf{Partie A} \medskip On s'intéresse à une usine automobile qui assemble et vend deux types de véhicules : des voitures et des véhicules utilitaires. Parmi tous ces véhicules, 18\,\% possèdent un moteur électrique, 38\,\% disposent d'un moteur thermique (essence ou diesel) et les autres ont un moteur hybride. On sait, de plus, que les voitures représentent 80\,\% des véhicules électriques, 60\,\% des véhicules thermiques et 75\,\% des véhicules hybrides. Les autres véhicules sont des véhicules utilitaires. On choisit au hasard un véhicule dans la production de cette usine. Tous les véhicules ont la même probabilité d'être choisis. %\begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{@{} *{2}X} On considère les évènements suivants:\\ $\bullet~$ $E$ : \og le véhicule est électrique \fg& $\bullet~$ $H$ : \og le véhicule est hybride \fg\\ $\bullet~$ $T$ : \og le véhicule est thermique \fg& $\bullet~$ $V$ : \og le véhicule est une voiture \fg\\ \end{tabularx} %\end{center} %On notera $\overline{V}$ l'évènement contraire d'un évènement $V$. \medskip \begin{enumerate} \item On complète l'arbre de probabilités ci-dessous. \begin{center} \psset{levelsep=4cm,nodesepB=4pt, treesep=1cm, nrot=:U} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$E$}\naput{$0,18$}} { \TR{$V$}\naput{$0,8$} \TR{$\overline{V}$}\nbput{\blue $1-0,8=0,2$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$T$}\naput{\blue $0,38$}} { \TR{$V$}\naput{\blue $0,6$} \TR{$\overline{V}$}\nbput{\blue $1-0,6=0,4$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$H$}\nbput{\blue $1-0,18-0,38=0,44$}} { \TR{$V$}\naput{\blue $0,75$} \TR{$\overline{V}$}\nbput{\blue $1-0,75=0,25$} } } \bigskip \end{center} \item \begin{enumerate} \item $P(E \cap V) = P(E)\times P_{E}(V)=0,18\times 0,8=0,144$ \item %Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. Cela veut dire que la probabilité que le véhicule choisi au hasard soit une voiture électrique est de $0,144$. \end{enumerate} \item %Montrer que $P(V) = 0,702$. $\left \{E,\,T,\,H\strut\right \}$ forme une partition, donc d'après la formule des probabilités totales: $\aligned P(V) &=P(E\cap V)+P(H\cap V)+P(H\cap V) = 0,144 + 0,38 \times 0,6 + 0,44\times 0,75\\ &= 0,144 + 0,228 + 0,33 = 0,702 \endaligned$ \item On suppose que le véhicule choisi est une voiture. La probabilité que cette voiture soit électrique est: $P_{V}(E)= \dfrac{P(E\cap V)}{P(V)} = \dfrac{0,144}{0,702} \approx 0,205$. \end{enumerate} \newpage \textbf{Partie B} \medskip On prélève au hasard $100$~véhicules de cette usine automobile. On suppose que le nombre de véhicules assemblés est assez grand pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On rappelle que $P(E) = 0,18$. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à chaque prélèvement de $100$ véhicules, associe le nombre de véhicules électriques. \medskip \begin{enumerate} \item %Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale, dont on précisera les paramètres. L'épreuve élémentaire consiste à prélever un véhicule; deux possibilités: le véhicule est électrique, avec une probabilité $p=0,18$, ou le véhicule n'est pas électrique, avec une probabilité $1-p=0,82$. On effectue cette expérience 100 fois et on suppose que le nombre de véhicules assemblés est assez grand pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. Donc la variable aléatoire $X$ qui, sur un prélèvement de 100 véhicules, donne le nombre de véhicules électriques suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,18$. \item \begin{enumerate} \item $P(X = 20) = \ds\binom{100}{20}\times 0,18^{20}\times \left (1-0,18\right )^{100-20} \approx 0,087$ \item %Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. La probabilité que, sur un prélèvement de 100 véhicules, il y ait exactement 20 véhicules électriques est de $0,087$. \end{enumerate} \item À la calculatrice, on trouve: $P(X \leqslant 10) \approx 0,020$. \item La probabilité que, dans un tel prélèvement, au moins $16$~véhicules soient électriques est $P\left (X\geqslant 16\right )$. L"évènement contraire de $\left (X\geqslant 16\right )$ est $\left (X < 16\right )$ soit $\left (X\leqslant 15\right )$. $P\left (X\leqslant 15\right ) \approx 0,263$ donc $P\left (X\geqslant 16\right ) = 1-P\left (X\leqslant 15\right ) \approx 0,737$. \item Le nombre moyen de véhicules électriques dans un tel prélèvement de $100$ véhicules est donné par l'espérance mathématique de la variable aléatoire$X$, c'est-à-dire: $E(X)=np=100\times 0,18=18$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Pour l'achat de sa future voiture électrique, un client contracte un prêt de \np{20000}~\euro. %\medskip \begin{enumerate} \item Ce prêt de \np{20000}~\euro{} représente 80\,\% du prix total de la voiture. $\np{20000}\times \dfrac{100}{80}=\np{25000}$ donc cette voiture coûte \np{25000}~\euro. %Combien coûte cette voiture ? \item Ce prêt de \np{20000}~\euro{} est remboursable en $60$ mensualités constantes au taux mensuel de 0,4\,\%. On rappelle que, si $V_0$ désigne le capital emprunté, $t$ désigne le taux mensuel de l'emprunt et $n$ désigne le nombre de mensualités, alors le montant d'une mensualité constante $m$ est donné par $m = V_0 \times \dfrac{t}{1 - (1 + t)^{-n}}$. \begin{enumerate} \item %Montrer que le montant de la mensualité constante correspondant à cette situation est proche de 375,59~\euro. On a: $V_0=\np{20000}$, $t=\dfrac{0,4}{100}=0,004$ et $n=60$. Donc la mensualité en euros est: $m= \np{20000}\times \dfrac{0,004}{1-\left (1+0,004\right )^{-60}} \approx 375,59$. \item $375,59\times 60= \np{22535,40}$ donc la somme totale remboursée dans le cadre de ce prêt est de \np{22535,40}~\euro. \item $\np{22535,40} - \np{20000}= \np{2535,40}$ donc le coût de cet emprunt est de \np{2535,40}~\euro. \end{enumerate} \item On a construit une partie du tableau d'amortissement du prêt contracté par ce client : {\small \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E\\ \hline 1&\textbf{Emprunt}&\textbf{Taux mensuel}&\textbf{Mensualité} & &\\ \hline 2&\np{20000}~\euro &0,40\,\% &375,59~\euro & &\\ \hline 3& & & & &\\ \hline 4&\textbf{Mois} &\textbf{Capital restant dû en début de mois}&\textbf{Intérêts mensuels}&\textbf{Mensualités constantes}&\textbf{Amortissement}\\ \hline 5&1 &\np{20000}~\euro &80,00~\euro&375,59~\euro&295,59~\euro\\ \hline 6&2 &19 704,41~\euro &78,82~\euro&375,59~\euro& 296,78~\euro\\ \hline \end{tabularx} \end{center}} \begin{enumerate} \item% Quelle formule a pu être saisie en C5 afin que, par recopie vers le bas, on complète le tableau ? En C5, on trouve le montant des intérêts à payer chaque mois. Ces intérêts se calculent sur le montant encore dû au début du mois et leur taux est de $0.4$\,\%. Il faut donc mettre dans C5 la formule: \quad\fbox{\texttt{= B5 * 0.004}} \item %Quelle formule a pu être saisie en E5 afin que, par recopie vers le bas, on complète le tableau ? En E5, on trouve l'amortissement, c'est-à-dire le montant de capital que l'on paye chaque mois. C'est la différence entre le montant de la mensualité et le montant des intérêts payés. Il faut donc mettre dans E5 la formule: \quad\fbox{\texttt{= D5 - C5}} \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}