%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx,array} \usepackage{colortbl} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{cancel} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Corrigé : Fabien Pucci relu par Erwan Hautot, François Hache \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\X}{\mathbb{X}} \newcommand{\Y}{\mathbb{Y}} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \def\e{\text{e}} \def\i{\text{i}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \makeindex \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips,colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Baccalauréat S - 2015}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \relpenalty=10000 % Pour ne pas couper les formules. \binoppenalty=10000 \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \rhead{\textbf{F{}. Pucci}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{19 novembre 2015}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S -- Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\19 novembre 2015}} \end{center} \label{Caledonienov} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On regroupe les données de l'énoncé dans un arbre pondéré: \medskip \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,nrot=:U,treesep=1cm, levelsep=3cm]{\Tp}{% \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$A$}\naput{$0,7$}}{% \TR{$S$}\naput{$0,17$} \TR{$\overline S$} } \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$B$}\nbput{\red $1-0,7=0,3$}}{% \TR{$S$}\naput{$0,1$} \TR{$\overline S$} } } \end{center} \begin{enumerate} \item Il suffit de lire l'énoncé: $P(A\cap S) = P(A)\times P_A(S) = 0,7\times 0,17 = 0,119$. \item %On calcule la probabilité de $S$ à travers la partition que forment les événements $A$ et $B$: D'après la formule des probabilités totales: \begin{align*} P(S) & = P(A\cap S) + P(B\cap S) = 0,117 + P(B)\times P_B(S) \\ & = 0,117 + 0,3\times 0,1 = 0,147 \end{align*} \item La probabilité cherchée correspond à $P_S(A) = \dfrac{P(A\cap S)}{P(S)}=\dfrac{0,119}{0,149}\approx 0,799$. \item Soit $p$ la proportion sur l'ensemble de la production de la source A de bouteilles contenant de l'eau très peu calcaire. La fréquence observée sur l'échantillon de taille $n = \np{1000}$ est $f_{\text{obs}}=\dfrac{211}{\np{1000}}=0,211$. Comme $n = \np{1000} \geqslant 30$, $nf_{\text{obs}} = 211\geqslant 5$ et $n \big (1-f_{\text{obs}}\big) = 789\geqslant 5$, les conditions d'application du théorème de Moivre-Laplace sont vérifiées et on peut proposer un intervalle de confiance au seuil de 95\,\% qui est : \[\left[f_{\text{obs}}-\dfrac1{\sqrt n}\,;\: f_{\text{obs}}+\dfrac1{\sqrt n}\right] \approx \left[0,179\,;\: 0,243\right].\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Comme $\mu = 8$ et $\sigma=1,6$, $P(6,4 \leqslant X \leqslant 9,6) = P(\mu-\sigma \leqslant X \leqslant \mu+\sigma) \approx 0,683$. \item À la calculatrice, on trouve: $P(X \leqslant 6,5) \approx 0,174.$ \item La question revient à résoudre l'équation en $\sigma$: $P(Y \leqslant 6,5) = 0,1$. D'après le cours, si la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale d'espérance 9 et d'écart type $\sigma$, alors la variable aléatoire $Z=\dfrac{Y-9}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite. $Y \leqslant 6,5 \iff Y-9 \leqslant -2,5 \iff \dfrac{Y-9}{\sigma} \leqslant -\dfrac{2,5}\sigma \iff Z \leqslant -\dfrac{2,5}\sigma$ donc $P(Y \leqslant 6,5) = 0,1 \iff P\left ( Z \leqslant -\dfrac{2,5}{\sigma}\right ) \leqslant 0,1$ \smallskip On cherche, à la calculatrice, le réel $\beta$ tel que $P(Z \leqslant \beta) = 0,1$ sachant que $Z$ suit la loi normale centrée réduite; on trouve $\beta \approx - 1,282$. \[\beta \approx - 1,282 \iff -\dfrac{2,5}\sigma\approx - 1,282 \iff \sigma \approx 1,95.\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item Comme $a \cos x \geqslant 0$ sur $\left]-\dfrac\pi2\,;\: \dfrac\pi2\right[$ avec $a\in \R_+^*$, l'aire du domaine cherchée correspond, en unités d'aire, à la valeur de l'intégrale \[\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2} a\cos x \,\text{d}x = a\big[\sin x\big]_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}=a\big(1-(-1)\big) = 2a.\] \item Le problème revient à résoudre l'équation en $a$: \[2a-\pi\left(\dfrac a2\right)^2=\pi\left(\dfrac a2\right)^2 \iff a-\pi\left(\dfrac a2\right)^2=0 \iff a\left(4-\pi a\right) = 0.\] Comme $a$ est strictement positif, la seule solution possible est $a=\dfrac4\pi>0$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item $f_a$ est une somme de fonctions dérivables sur $\R$ donc dérivable sur $\R$ et on a: $\forall x \in \R, \: f_a'(x)=\e^{x-a}-2$ $f'_a(x)>0 \iff \e^{x-a}-2 >0 \iff \e^{x-a}>2 \iff x-a > \ln 2 \iff x > a+\ln 2$ $f'_a(x)$ s'annule et change de signe pour $x=a+\ln 2$ en étant négatif puis positif donc $f_a$ admet un minimum en $a+\ln 2$ égal à $f_a(a+\ln 2)=\e^{a + \ln 2 - a} - 2(a+\ln 2) + \e^{a} = 2 - 2a - 2\ln 2+ \e^{a}$. % \begin{center} %\begin{tikzpicture} %\tkzTab[lgt=1.5,espcl=2.5]{ $x$ / .7,$f_a'(x)$ / .7, %$f_a$ / 2} %{ $-\infty$ , $a+\ln 2$ ,$+\infty$} %{ ,-,z,+,} %{ +/ , -/$f_a(a+\ln 2)$ , +/}% %\end{tikzpicture} %\end{center} \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| *4{c} c|} \hline x & -\infty & \hspace*{\esp} & a+\ln 2 & \hspace*{\esp} & +\infty \\ \hline f_a'(x) & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\ \hline & \Rnode{max1}{~} & & & & \Rnode{max2}{~} \\ f_a & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & & & \Rnode{min}{f_a(a+\ln 2)} & & \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\ \hline \end{array}$ } \end{center} \item En $a+\ln 2$, on a $f_a(a+\ln 2) = 2 - 2a - 2\ln 2 + \e^a$. Afin de minimiser ce minimum, on étudie les variations de la fonction $\varphi$ dérivable sur $\R$ et définie par $\varphi(a) = 2 - 2a - 2\ln 2 + \e^a$. $\varphi'(a) = -2 + \e^a$ ; $\bullet~~$ $- 2 + \e^a > 0 \iff \e^{a} > 2 \iff a > \ln 2$ ; $\bullet~~$ $- 2 + \e^a < 0 \iff \e^{a} < 2 \iff a < \ln 2$ ; $\varphi'(a)$ s'annule et passe de négatif à positif en $a =\ln 2$. %\begin{center} %\begin{tikzpicture} %\tkzTab[lgt=1.5,espcl=2.5]{ $x$ / .7,$\varphi'(x)$ / .7, %$\varphi$ / 2} %{ $-\infty$ , $\ln 2$ ,$+\infty$} %{ ,-,z,+,} %{ +/ , -/$4-3\ln 2$ , +/}% %\end{tikzpicture} %\end{center} \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| *4{c} c|} \hline x & -\infty & \hspace*{\esp} & \ln 2 & \hspace*{\esp} & +\infty \\ \hline \varphi'(x) & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\ \hline & \Rnode{max1}{~} & & & & \Rnode{max2}{~} \\ \varphi & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & & & \Rnode{min}{4-4\ln 2} & & \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\ \hline \end{array}$ } \end{center} Prendre $a=\ln 2$, minimise donc le minimum de $f_a$ qui est égal à \\ $\varphi(\ln 2)= 2-2\ln 2 - 2\ln 2 +\e^{\ln 2} = 4-4\ln 2$. \end{enumerate} %\pagebreak \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Il suffit de prendre un contre-exemple pour montrer que $(P_2)$ est fausse. Par exemple, le triplet $(1; \, 1;\, 1)$ convient: $1^2+1^2+1^2=3\geqslant \dfrac13$ mais $1+1+1=3\neq 1$. \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Il suffit de vérifier que les trois points non alignés $B$, $D$ et $E$ appartiennent au plan d'équation $x+y+z=1$. Avec $B\big(1\,;\, 0\,;\, 0\big)$, $D\big(0\,;\, 1\,;\, 0\big)$ et $E\big(0\,;\, 0\,;\, 1\big)$, c'est bien le cas: \[1+ 0+ 0= 0+ 1+ 0= 0+ 0+ 1 = 1.\] \item\label{QExoIIIBac} Il suffit de montrer que le vecteur $\vect{AG}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BDE)$. Prenons $\vect{BD}$ et $\vect{BE}$, par exemple. On a: \begin{align*} \vect{AG}.\vect{BD}=\begin{pmatrix}1 \\1 \\1 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} -1 \\1 \\0 \end{pmatrix}=-1+1+0=0 & \implies \vect{AG}\perp\vect{BD}\\ \vect{AG}.\vect{BE}=\begin{pmatrix}1 \\1 \\1 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} -1 \\0 \\1 \end{pmatrix}=-1+0+1=0 & \implies \vect{AG}\perp\vect{BE} \end{align*} Donc la droite $(AG)$ est orthogonale au plan $(BDE)$. \item D'après la question précédente, on sait que $(AG)$ et $(BDE)$ sont sécants en un unique point. Il suffit donc de prouver que $K$ appartient à la droite et au plan. \begin{itemize} \item Comme $\vect{AK}=\dfrac13\vect{AG}$, le point $K$ appartient à $(AG)$. \item Comme $\dfrac13+\dfrac13+\dfrac13=1$, le point $K$ appartient à $(BDE)$. \end{itemize} Donc $K$ est l'intersection de la droite $(AG)$ et du plan $(BDE)$. \end{enumerate} \item Les côtés du triangle $BDE$ sont les diagonales des faces du cube qui sont isométriques donc ils sont de même longueur et $BDE$ est un triangle équilatéral. \item \begin{enumerate} \item Si $M$ est un point du plan $(BDE)$ distinct de $K$, d'après la question \eqref{QExoIIIBac}, le triangle $AMK$ est rectangle en $K$. D'après le théorème de Pythagore, on a alors: \[AM^2 = AK^2 + MK^2.\] Si $M=K$, la relation est encore vraie donc elle est vraie pour tout point $M$ de $(BDE)$. \item\label{QExoIIIBacII} Comme $MK^2\geqslant 0$, la relation $AM^2\geqslant AK^2$ se déduit trivialement de la précédente. \item Soient $x$, $y$ et $z$ trois nombres réels vérifiant l'égalité $x+y+z=1$. Le point $M\big(x;\, y;\, z\big)$ appartient donc au plan $(BDE)$. D'après \eqref{QExoIIIBacII}, on a alors $AM^2\geqslant AK^2$ qui s'écrit, avec les coordonnées : \[x^2+y^2+z^2\geqslant \left(\dfrac13\right)^2+\left(\dfrac13\right)^2+\left(\dfrac13\right)^2=\dfrac13.\] L'implication $(P_1)$ est donc vraie. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidat n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item\label{QExoIVBacI} $\begin{cases} d_1 &=\dfrac12d_0+100=250 \\[5pt] a_1 &=\dfrac12d_0+\dfrac12a_0+70=445\end{cases}$ \item \begin{enumerate} \item On obtient en sortie $D=250$ et $A=420$. Ces résultats ne sont pas cohérents avec ceux obtenus à la question \eqref{QExoIVBacI}. \item $\bullet~~$Le problème de l'algorithme proposé est qu'il réutilise la variable $D$ pour le calcul de $A$ alors qu'elle a été modifiée. On corrige cela en utilisant une variable auxiliaire $E$, déclarée \og nombre réel\fg{} dans l'initialisation: \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{2.2cm}X|}\hline Variables:& $n$ et $k$ sont des entiers naturels\\ &$D$, $A$ et $\red E$ sont des réels\\ Entrée:& Saisir $n$\\ Initialisation:& $D$ prend la valeur 300 \\ & $A$ prend la valeur $450$ \\ & Saisir la valeur de $n$\\ Traitement:& Pour $k$ variant de 1 à $n$\\ &\hspace{0.4cm}\vline \; {\red $E$ prend la valeur $D$} \\ &\hspace{0.4cm}\vline \; $D$ prend la valeur $\dfrac D2+100$ \\[5pt] &\hspace{0.4cm}\vline \; $A$ prend la valeur $\dfrac A2+\dfrac{\red E}{2}+70$ \\ &Fin de Pour\\ Sortie:& Afficher $D$\\ & Afficher $A$ \\ \hline \end{tabularx} \end{center} $\bullet~~$On peut aussi plus simplement inverser les deux instructions d'affectation à $A$ et à $D$ : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{2.2cm}X|}\hline Variables:& $n$ et $k$ sont des entiers naturels\\ &$D$, $A$ sont des réels\\ Entrée:& Saisir $n$\\ Initialisation:& $D$ prend la valeur 300 \\ & $A$ prend la valeur $450$ \\ & Saisir la valeur de $n$\\ Traitement:& Pour $k$ variant de 1 à $n$\\ &\hspace{0.4cm}\vline \; $A$ prend la valeur $\dfrac A2+ \dfrac D2 + 70$ \\ &\hspace{0.4cm}\vline \; $D$ prend la valeur $\dfrac D2+100$ \\[5pt] &Fin de Pour\\ Sortie:& Afficher $D$\\ & Afficher $A$ \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Par définition, on a : \[e_{n+1}=d_{n+1}-200=\dfrac12d_n-100=\dfrac12\big(d_n-200\big)=\dfrac12e_n\] La suite $(e_n)_{n\in \N}$ est donc géométrique de raison $\dfrac12$ et de premier terme $e_0 = d_0 - 200 = 100$. \item D'après la question précédente, on a $e_n=\left(\dfrac12\right)^ne_0=100\left(\dfrac12\right)^n$. \[\text{D'où } \; e_n=d_n-200 \iff d_n=100\left(\dfrac12\right)^n+200.\] Comme $0<\dfrac12<1$, on a $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \left(\dfrac12\right)^n=0$ puis $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} d_n=200$. La suite $(d_n)_{n\in \N}$ est donc convergente vers $200$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $2n^2-(n+1)^2=\Big(\big(\sqrt 2-1\big)n-1\Big)\Big(\big(\sqrt 2+1\big)n+1\Big)$. D'après les résultats de première sur les trinômes du second degré, $2n^2-(n+1)^2$ est donc positif pour $n \leqslant -\dfrac1{\sqrt 2+1}$ ou $n\geqslant \dfrac1{\sqrt 2-1} \simeq 2,4$. Donc, pour $n$ entier supérieur à $3$, on a $2n^2-(n+1)^2\geqslant 0$, c'est-à-dire : \[2n^2\geqslant (n+1)^2.\] \item \emph{Initialisation} : pour $n=4$, on a bien $2^4 = 16\geqslant 4^2=16$ donc la propriété est initialisée. \emph{Hérédité} : supposons que pour tout entier $k > 4$ ,\: $2^k \geqslant k^2$. En multipliant les deux membres de l'inéquation par $2$ et en utilisant le résultat de la question précédente, on obtient : \[2^{k+1}\geqslant 2k^2\geqslant (k+1)^2.\] La propriété est donc héréditaire. Initialisée et héréditaire, la propriété $2^n\geqslant n^2$ est donc vraie pour tout entier supérieur ou égal à 4 d'après le principe de récurrence. \item D'après la question précédente, si $n$ est un entier supérieur ou égal à 4, on $00$, en composant par la fonction inverse, décroissante sur $\R_+^*$, on obtient $0<\dfrac1{2^n} \leqslant \dfrac1{n^2}$. En multipliant les membres de l'inégalité par $100n$, on obtient, après simplification: \[0 \leqslant 100n\left(\dfrac12\right)^n \leqslant \dfrac{100}n.\] \item D'après les théorèmes d'encadrement, comme $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \dfrac{100}n = 0$, on obtient $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} 100n\left(\dfrac12\right)^n = 0$. D'après les résultats sur les limites de suites géométriques de raison $\dfrac12$, on sait aussi que $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} 100\left(\dfrac12\right)^n=0$. Enfin, d'après les théorèmes sur les limites de sommes, on obtient: \[\displaystyle\lim_{n\to +\infty} U_n=\begin{pmatrix} \displaystyle \lim_{n\to +\infty} 100\left(\dfrac12\right)^n +200 \\ \displaystyle \lim_{n\to +\infty} 100n\left(\dfrac12\right)^n + 110\left(\dfrac12\right)^n + 340\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 200 \\ 340\end{pmatrix}.\] La fréquentation se stabilise, à long terme, autour de \np{200} internautes débutants et $\np{340}$ internautes avancés. \end{enumerate} \end{enumerate} %\printindex \end{document}