\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \setlength{\headheight}{13.59999pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\e}{\,\text{e\,}} \usepackage{fancyhdr} \addtolength{\topmargin}{-1.59999pt} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Baccalauréat S} \rhead{A. P. M. E. P.} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{décembre 2001}} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S \\[7pt]Nouvelle--Calédonie décembre 2001~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{center} \textbf{Partie I} \end{center} L'espace E est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives : \[(- 1~;~0~;~2),\quad (3~;~2~;~- 4), \quad (1~;~- 4~;~2), \quad (5~;~- 2~;~4). \] On considère les points I, J et K définis par : I est le milieu du segment [AB], K est le milieu du segment [CD] et $\vect{\text{BJ}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{BC}}$. \begin{enumerate} \item %Déterminer les coordonnées des points I, J et K. I$(1~;~1~;~-1)$, \quad K$(3~;~- 3~;~3)$ ; $\vect{\text{BC}} \begin{pmatrix}-2\\-6\\6\end{pmatrix}$, d'où $\vect{\text{BJ}}\begin{pmatrix}-\frac12 \\-\frac32\\\frac32\end{pmatrix}$, d'où J$\left(\frac52~;~\frac12~;~- \frac{5}{2}\right)$. \item \begin{enumerate} \item %Montrer que les points I, J et K ne sont pas alignés. On a $\vect{\text{IJ}}\begin{pmatrix}\frac32\\- \frac12\\- \frac32\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{IK}}\begin{pmatrix}2\\- 4\\4\end{pmatrix}$. Il n'existe pas de réel $\lambda$ tel que $\vect{\text{IJ}} = \lambda\vect{\text{IK}}$ : les vecteurs $\vect{\text{IJ}}$ et $\vect{\text{IK}}$ ne sont pas colinéaires donc les points I, J et K ne sont pas alignés. \item %Justifier qu'une équation cartésienne du plan (IJK) est : D'après la question précédente les points I, J et K déterminent un plan (IJK) et l'on sait que : \[M(x~;~y~;~z) \in (\text{IJK})\iff ax + by + cz + d = 0,\] avec $a,\:b,\:c$ et $d$ réels. Ainsi I$(1~;~1~;~-1) \in (\text{IJK})\iff a + b - c + d = 0$ ; J$\left(\frac52~;~\frac12~;~- \frac{5}{2}\right) \in (\text{IJK})\iff \frac52a + \frac12b - \frac{5}{2}c + d = 0$ ; K$(3~;~- 3~;~3) \in (\text{IJK})\iff 3a - 3b + +c + d = 0$. Les réels $a,\:b,\:c$ et $d$ vérifient donc le système : $\left\{\begin{array}{l c l} a + b - c + d &=& 0\\ \frac52a + \frac12b - \frac{5}{2}c + d &=& 0\\ 3a - 3b + 3c + d &=& 0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} 3a + 3b - 3c + 3d &=& 0\\ \frac52a + \frac12b - \frac{5}{2}c + d &=& 0\\ 3a - 3b + 3c + d &=& 0 \end{array}\right.$ par somme des lignes (1) et (3) on obtient $6a + 4d = 0 \iff a = - \dfrac23 d$. Le système devient : $\left\{\begin{array}{l c l} b - c + \frac13d &=& 0\\ b - 5c - \frac43d &=& 0\\ - 3b + 3c - d &=& 0 \end{array}\right.$ d'où par différence des lignes (1) et (2) $4c = -\frac53d \iff c = -\frac{5}{12}d$ ; enfin la ligne (3) donne $3b = 3c - d = -\frac{5}{4}d - d = -\frac94d$, d'où $b = -\frac{9}{12}d$. Finalement : $M(x~;~y~;~z) \in (\text{IJK})\iff - \frac23 dx - \frac{9}{12}dy -\frac{5}{12}dz + d = 0$ et finalement en multipliant par $-12$ et en simplifiant par $d$ : \[ 8x + 9y + 5z - 12 = 0.\] \item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AD) et montrer que le plan (IJK) et la droite (AD) sont sécants en un point L dont on déterminera les coordonnées. On a $M(x~;~y~;~z) \in (\text{AD}) \iff \vect{\text{A}M} : t \vect{\text{AD}}, \: \: t \in \R$. Avec $\vect{\text{A}M}\begin{pmatrix}x - 1\\y - 0\\z - 2\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{AD}}\begin{pmatrix}6\\- 2\\2\end{pmatrix}$ l'équation ci-dessus se traduit par le système : $\left\{\begin{array}{l c l} x + 1&=&6t\\y&=&- 2t\\z - 2&=&2t\end{array}\right.\: t \in \R$. \medskip Le plan (IJK) et la droite (AD) sont sécants en un point L si les coordonnées de ce point $(x~;~y~;~z)$ vérifient le système : $\left\{\begin{array}{l c l} x + 1&=&6t\\y&=&- 2t\\z - 2&=&2t\\ 8z + 9y + 5z - 12&=&0\end{array}\right.$ ; en remplaçant dans la dernière équation $x,\:y$ et $z$ par leurs valeurs en fonction de $t$ on obtient : $8(-1 + 6t)+ 9 \times (- 2t) + 5(2 + 2t) = 0 \iff - 8 + 48t - 18t + 10 + 10t - 12 = 0 \iff 30t = 10 \iff t = \dfrac13$. Avec cette valeur de $t$ on obtient L$\left(1~;~- \dfrac23~;~\dfrac83\right)$. \item %Montrer que : On a $\vect{\text{AL}}\begin{pmatrix}\dfrac32\\- \dfrac12\\\dfrac12\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{AD}}\begin{pmatrix}6\\-2\\2\end{pmatrix}$, d'où $\dfrac{1}{4}\vect{\text{AD}}\begin{pmatrix}\dfrac32\\- \dfrac12\\\dfrac12\end{pmatrix}$. %\[\vect{\text{AL}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{AD}}.\] \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \begin{center} \textbf{Partie II} \end{center} Plus généralement, dans l'espace E, on considère un tétraèdre ABCD ainsi que les points I, J, K et L définis par I est le milieu du segment [AB], K est le milieu du segment [CD]. \[ \vect{\text{AL}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{AD}} \qquad \text{et} \qquad \vect{\text{BJ}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{BC}} \] Soit G le barycentre de {(A,~3), (B,~3), (C,~1), D,~1)}. \begin{enumerate} \item %Déterminer les barycentres de \{(A,~3), (D,~1)\} et le barycentre de \{(B,~3), (C,~1)\}. Si G$_1$ est le barycentre de \{(A,~3), (D,~1)\}, on sait que $3\vect{\text{G}_1\text{A}} + 1\vect{\text{G}_1\text{D}} = 0 \iff 3\vect{\text{G}_1\text{A}} + \vect{\text{G}_1\text{A}} + \vect{\text{AD}} = \vect{0} \iff \vect{\text{A}\text{G}_2} = \dfrac14\vect{\text{AD}}$. Sur la droite (AB) G$_1$ est le point d'abscisse $\dfrac14$ pour le repère (A, B) : c'est le point L. Si G$_2$ est le barycentre de \{(B,~3), (C,~1)\}, on sait que $3\vect{\text{G}_2\text{B}} + 1\vect{\text{G}_2\text{C}} = 0 \iff 3\vect{\text{G}_1\text{B}} + \vect{\text{G}_1\text{B}} + \vect{\text{BC}} = \vect{0} \iff \vect{\text{B}\text{G}_2} = \dfrac14\vect{\text{BC}}$. Sur la droite (CD) G$_2$ est le point d'abscisse $\dfrac14$ pour le repère (C, D) : c'est le point J. %Finalement G est le barycentre \item %En associant les points A, B, C et D de deux façons différentes, montrer que G appartient aux droites (IK) et (JL). %En déduire que les points I, J, K et L sont coplanaires. D'après la propriété d'associativité du barycentre on peut trouver le barycentre G de deux façons : \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item On calcule d'abord le barycentre L de A et D d'une part puis le barycentre J de B et de C de (I, 4) et (J, 4) : c'est le milieu de [LJ] Le barycentre G des quatre points est le barycentre de I et J pondérés par 4 : G est donc le milieu de [IJ]. \item On calcule d'abord le barycentre de A et B pondérés par 3 : c'est le milieu I pondéré par 4 d'une part puis le barycentre de C et de D pondérés par 1 : c'est le point K. On calcule enfin le barycentre J de B et de C de (I, 4) et (K, 4) : c'est le milieu de [IK]. Le barycentre G étant unique on a démontré que le milieu de [LJ] est le milieu de [IK], autrement dit (IJKL) est un parallélogramme : les points I, J, K et L sont coplnaires. \end{itemize} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip %Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct %\Ouv, unité graphique : 4~cm. Dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, i désigne le nombre de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. % %Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = - $i et B le point %d'affixe $z_{\text{B}} = - 2$i. % %On appelle $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe %$z$, $M$ distinct de A, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par \[z' = \dfrac{\text{i}z - 2}{z + \text{i}}.\] \medskip \begin{enumerate} \item %Démontrer que, si $z$ est un imaginaire pur, $z \neq - \text{i}$, alors $z'$ est imaginaire pur. Soit $z = a\text{i}$ avec $a \in \R$ et $a \ne - 1$, alors $z' = \dfrac{\text{i}a\text{i} - 2}{a\text{i} + \text{i}} = \dfrac{- a - 2}{\text{i}(a + 1)} = \dfrac{a + 2}{(a + 1)}\text{i}$. $z'$ est un imaginaire pur. \item %Déterminer les points invariants par l'application $f$. $z$ est invariant par $f$ si et seulement si $z' = z \iff \dfrac{\text{i}z - 2}{z + \text{i}} = z \iff \text{i}z - 2 = z(z + \text{i}) \iff z^2 = - 2$ : cette équation a deux solutions dans $\C$ : $- \sqrt{2}\text{i}$ et $\sqrt{2}\text{i}$ qui sont des imaginaires purs. \item %Calculer $\left|z' - \text{i}\right| \times |z + \text{i}|$. $\left|z' - \text{i}\right| \times |z + \text{i}| = \left|\dfrac{\text{i}z - 2}{z + \text{i}} - \text{i}\right| \times |z + \text{i}| = \left|\dfrac{\text{i}z - 2 - \text{i}z + 1}{z + \text{i}} \right| \times |z + \text{i}| = \left|\dfrac{-1}{z + \text{i}}\right|\times |z + \text{i}| = 1$ car $|- 1| = 1$. %Montrer que, quand le point $M$ décrit le cercle de centre A et de rayon 2, le point $M'$ reste sur un cercle dont on déterminera le centre et le rayon. Si $M$ d'affixe $z$ décrit le cercle de centre A et de rayon 2, on a $|z - (- \text{i})| = 2$ soit $|z + \text{i}| = 2$ et d'après le résultat précédent son image $M'$ d'affixe $z'$ est telle que $|z' - \text{i}| = \dfrac12$ ce qui montre que le point $M'$ appartient au cercle centré au point d'affixe i et de rayon $\dfrac12$. \item \begin{enumerate} \item %Développer $(z + \text{i})^2$, puis factoriser $z^2 + 2\text{i}z - 2$. $(z + \text{i})^2 = z^2 + 2\text{i}z - 1$ ; $z^2 + 2\text{i}z - 2 = z^2 + 2\text{i}z - 1 - 1 = (z + \text{i})^2 - 1 = (z + \text{i} + 1)(z + \text{i} - 1)$ \item %Déterminer et représenter l'ensemble des points $M$, tels que $M'$ soit le symétrique de $M$ par rapport à O $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à O si $z' = - z \iff \dfrac{\text{i}z - 2}{z + \text{i}} = - z \iff$ $ \text{i}z - 2 = - z(z + \text{i}) \iff \text{i}z - 2 = - z^2 - \text{i}z \iff z^2 + 2\text{i}z - 2 = 0$, soit d'après la factorisation précédente : $(z + \text{i} + 1)(z + \text{i} - 1) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l} z + \text{i} + 1&=0\\ z + \text{i} - 1&=0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} z &=&- \text{i} - 1\\ z &=&-\text{i} + 1 \end{array}\right.$ Les points solutions sont les points de coordonnées $(-1~;~-1)$ et $(1~;~-1)$. \end{enumerate} \item %Déterminer et représenter l'ensemble E des points $M$, tels que le module de $z'$ soit égal à 1. $\left(\text{On pourra remarquer que}~ z' = \dfrac{\text{i}\left(z -z_{\text{B}} \right)}{z - z_{\text{A}}}\right)$. On a $z' = \dfrac{\text{i}z - 2}{z + \text{i}} = \dfrac{\text{i}z + \text{i} \times 2\text{i}}{z - (- \text{i})} = \dfrac{\text{i}(z + 2\text{i})}{z - (- \text{i})} = \dfrac{\text{i}\left(z -z_{\text{B}} \right)}{z - z_{\text{A}}}$. On a donc $|z'| = 1 \iff \left|\dfrac{\text{i}\left(z -z_{\text{B}} \right)}{z - z_{\text{A}}}\right| = 1 \iff \dfrac{\left|z - z_{\text{B}}\right|}{\left|z - z_{\text{A}} \right|} = 1 \iff \left|z - z_{\text{B}}\right| = \left|z - z_{\text{A}} \right| \iff \text{B}M = \text{A}M$ : les points solutions sont les points appartenant à la médiatrice du segment [AB]. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip \begin{center} \textbf{Partie I} \end{center} Soit $x$ un nombre réel. \begin{enumerate} \item %Montrer que $x^4 + 4 = \left(x^2 + 2\right)^2 - 4x^2$. Quel que soit $x \in \R$, \: $x^4 + 4 = x^4 + 4 + 4x^2 - 4x^2 = \left(x^4 + 4 + 4x^2\right) - 4x^2 = \left(x^2 + 2\right)^2 - 4x^2$. \item %En déduire que $x^4 + 4$ peut s'écrire comme produit de deux trinômes à coefficients réels. $x^4 + 4 = \left(x^2 + 2\right)^2 - (2x)^2 = \left(x^2 + 2 + 2x\right)\left(x^2 + 2 - 2x \right)\left(x^2 + 2 - 2x\right) = \left(x^2 + 2x + 2\right)\left(x^2 - 2x + 2\right)$ (produit de deux trinômes). \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie II} \end{center} Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère les entiers $A = n^2 - 2n + 2$ et $B = n^2 + 2n + 2$ et $d$ leur PGCD. \begin{enumerate} \item %Montrer que $n^4 + 4$ n'est pas premier. D'après la partie I, avec $n \in \Z$, \: $n^4 + 4 = \left(n^2 + 2n + 2\right)\left(n^2 - 2n + 2\right)$ : cet entier est donc le produit de deux entiers : \begin{itemize} \item Ces entiers ne peuvent être 1 et $n^4 + 4$, car on aurait : $n^2 - 2n + 2 = 1 \iff n^2 - 2n + 1 = 0 \iff (n - 1)^2 = 0 \iff n = 1$ impossible car $n \geqslant 2$ ; \item ces entiers ne peuvent être $n^4 + 4$ et 1, car alors $n^2 + 2n + 2 = 1 \iff n^2 + 2n + 1 = 0 \iff (n + 1) ^2 = 0 \iff n = - 1$ : impossible car $n \geqslant 2$. \end{itemize} Conclusion $n^4 + 4$ est le produit de deux entiers distincts aucun d'eux n'étant égal à 1 : $n^4 + 4$ n'est pas premier. \item %Montrer que, tout diviseur de $A$ qui divise $n$, divise 2. Soit $d$ un diviseur de $A$ qui divise $n$ et aussi donc $n^2$ et aussi $A - n^2 - 2n = 2$ : donc $d$ divise 2. \item %Montrer que, tout diviseur commun de $A$ et $B$, divise $4n$. Si $d$ est un diviseur de $A$ et de $B$ il divise aussi la différence $B - A = n^2 + 2n + 2 - \left(n^2 - 2n + 2\right) = 4n$ \item Dans cette question on suppose que $n$ est impair. \begin{enumerate} \item %Montrer que $A$ et $B$ sont impairs. En déduire que $d$ est impair. $\bullet~$ Si $n = 2p + 1$, \:$p \in \N$, alors $A = (2p + 1)^2 - 2(2p + 1) + 2 = 4p^2 + 4p + 1 - 4p - 2 + 2 = 4p^2 + 1$ ce qui montre que $A$ est impair ; $\bullet~$Si $n = 2p + 1$, \:$p \in \N$, alors $B = (2p + 1)^2 + 2(2p + 1) + 2 = 4p^2 + 4p + 1 + 4p + 2 + 2 = 4p^2 + 8p + 4 + 1 + 1 = 2\left(2p^2 + 4p + 1\right) + 1$ ce qui montre que $B$ est impair. Conséquence : $d$ ne peut être pair (un pair ne peut pas diviser un impair), donc $d$ est impair. \item %Montrer que $d$ divise $n$. Si $d$ est un diviseur commun à $A$ et $B$ il divise aussi la différence $B - A = 4n$. . Comme $d$ divise $4n$ et qu'il est premier avec 4, il divise donc $n$. \item En déduire que $d$ divise 2, puis que $A$ et $B$ sont premiers entre eux. \end{enumerate} \item On suppose maintenant que $n$ est pair. \begin{enumerate} \item Montrer que 4 ne divise pas $n^2 - 2n + 2$. \item Montrer que $d$ est de la forme $d = 2p$, où $p$ est impair. \item Montrer que $p$ divise $n$. En déduire que $d = 2$. (On pourra s'inspirer de la démonstration utilisée à la question \textbf{4}) \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 5 points} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x) = x - \left(x^2 + 4x + 3\right)\text{e}^{- x}.\] On désigne par $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} ; l'unité graphique est 2~cm. \begin{center} \textbf{Partie A - Étude d'une fonction auxiliaire \boldmath $g$ \unboldmath }\end{center} Soit la fonction $g$ définie sur $\R$ par : \[g(x) = \left(x^2 + 2x - 1\right)\text{e}^{- x} + 1. \] \begin{enumerate} \item ~%Étudier les limites de $g$ en $+ \infty$ et en $- \infty$. $\bullet~$|imite en $+ \infty$ : On a $g(x) = x^2\e^{-x} + 2\e^{-x} c- 1\e^{-x}$ ; or on sait que pour tout $n \in \N$, \: $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^n\e^{-x} = 0$, donc par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}g(x) = 1$. $\bullet~$|imite en $- \infty$ : On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}x^2 + 2x - 1 = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\e^{-x} = + \infty$, donc par produit de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$. \item %Calculer $g'(x)$ et montrer que $g'(x)$ et $(3 - x^2)$ ont le même signe. $g$ produit de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable et sur cet intervalle : $g'(x) = (2x + 2)\e^{-x} - \left( x^2 + 2x - 1\right)\e^{-x} = \e^{-x}\left(- x^2 + 3 \right)$. Comme quel que soit $x \in \R$, \: $\e^{-x} > 0$, le signe de $g'(x) $ est celui du trinôme $3 - x^2 = \left(\sqrt 3 + x \right)\left(\sqrt 3 - x\right)$. \item %En déduire le tableau de variations de $g$. D'après la question précédente $g'(x)$ est négative sauf sur l'intervalle $]- \sqrt 3~;~\sqrt 3[$ où $g'(x) > 0$. La fonction $g$ est donc décroissante sur $]- \infty~;~- \sqrt 3[$ de plus l'infini à $g(- \sqrt 3) = (2 - 2\sqrt 3)\e^{\sqrt 3} + 1 \approx - 7,28$, puis croissante de $g(-\sqrt 3)$ à $g(\sqrt 3) = (2 + 2\sqrt 3)\e^{- \sqrt 3} + 1 \approx 7,97$, et enfin décroissante de $g(\sqrt 3)$ à 1. \item \begin{enumerate} \item %Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet deux solutions dans $\R$. Vérifier que $g(0) = 0$. On note $\alpha$ la solution non nulle. La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ donc continue sur cet intervalle : $\bullet~$Sur l'intervalle $]- \infty~;~- \sqrt{3}[$, la fonction $g$ est strictement décroissante de moins l'infini à environ $-7$ : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe donc un réel unique $\alpha \in ]- \infty~;~- \sqrt{3}[$, tel que $f(\alpha) = 0$ ; $\bullet~$Sur l'intervalle $]- \sqrt{3}~;~ \sqrt{3}[$, la fonction $g$ est strictement croissante de moins sept à environ huit : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe donc un réel unique $\beta \in ]- \sqrt{3}~;~- \sqrt{3}[$, tel que $f(\beta) = 0$. $\bullet~$On a $g(0) = 0 + 0 - 1\e^{0} + 1 = - 1 + 1 = 0$, donc $\beta = 0$ \item %Prouver que $- 2,4 < \alpha < - 2,3$. La calculatrice donne $g(-2,4) \approx 0,56$ et $g(-2,3) \approx - 2,09$ donc $-2,4 < \alpha < - 2,3$. \end{enumerate} \item %En déduire le signe $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. D'après les résultats de la question 4. et le tableau de variations, on en déduit que : $\bullet~$$g(x) > 0$ sur $]- \infty~;~\alpha[$ ; $\bullet~$$g(x) < 0$ sur $]\alpha~;~0[$ ; $\bullet~$$g(x) > 0$ sur $]0~;~+- \infty[$ \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B - Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath} \end{center} \begin{enumerate} \item ~%Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. $\bullet~$Limite en $- \infty$ : $f(x) = x - \left(x^2 + 4x + 3\right)\text{e}^{- x} = x^2\left[\dfrac 1x - 1 - \dfrac 4x + \dfrac{3}{x^2} \right]\e^{-x} = x^2\left[ - 1 - \dfrac 3x + \dfrac{3}{x^2} \right]\e^{-x}$. On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}- 1 - \dfrac 3x + \dfrac{3}{x^2} = - 1$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\e^{-x} = + \infty$ donc par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\left[ - 1 - \dfrac 3x + \dfrac{3}{x^2} \right]\e^{-x} = - \infty$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}x^2 v= + \infty$, par produit de limites : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$. $\bullet~$Limite en $+ \infty$ : $f(x) = x - x^2\e^{-x} - 4x\e^{-x} - 3\e^{-x}$, or on sait que quel soit $a \in \R, \: \displaystyle\lim_{x \to + \infty}x^a\e^{-x} = 0$, comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}x = + \infty$, on a finalement : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$. \item \begin{enumerate} \item %Montrer que, pour tout réel $x,~f'(x) = g(x)$. $f$ est une somme de produit de fonctions dérivables sur $\R$, donc sur cet intervalle : $f'(x) = 1 -(2x + 4)\e^{-x} + \left(x^2 + 4x + 3 \right)\e^{-x} =$ $ 1 + \e^{-x}\left(x^2 + 4x + 3 - 2x - 4\right)1 + \e^{-x}\left(x^2 + 2x - 1\right) = g(x)$ \item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. Le signe de $g(x)$ a été donné à la fin de la partie A ; on en déduit les trois variations de la fonction $f$ : \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(10,3) \psframe(10,3)\psline(0,2)(10,2)\psline(0,2.5)(10,2.5)\psline(1,0)(1,3) \uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.4,2.4){$-\infty$} \uput[u](4,2.4){$\alpha$} \uput[u](7,2.4){$0$} \uput[u](9.5,2.4){$+ \infty$} % \uput[u](0.5,1.9){$f'(x)$} \uput[u](2.5,1.9){$+$} \uput[u](4,1.9){$0$} \uput[u](5.5,1.9){$-$} \uput[u](7,1.9){$0$} \uput[u](8.5,1.9){$+$} \psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5) \psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5) \psline{->}(7.5,0.5)(9.5,1.5) \rput(0.5,1){$f$}\uput[u](1.5,0){$-\infty$}\uput[d](9.5,2){$+\infty$}\uput[u](7,0){$-3$}\uput[d](4,2){$\approx 6,8$} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \item %Démontrer que la droite (D) d'équation $y = x$, est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$. On a $f(x) - x = - \left(x^2 + 4x + 3\right)\e^{-x}$. Or on a démontré à la question 1. que $\displaystyle_{x \to + \infty} \left(x^2 + 4x + 3\right)\e^{-x} = $ ; il en est de même de son opposé donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} [f(x) - x] = 0$, ce qui montre le résultat demandé. \item \begin{enumerate} \item %Montrer que la droite (D)et la courbe $(\mathcal{C})$ %se coupent en deux points A et B dont on donnera les coordonnées. Les points communs à (D) et à la courbe $(\mathcal{C})$ ont des abscisses telles que $f(x ) = x \iff - \left(x^2 + 4x + 3\right)\e^{-x} = 0 \iff x^2 + 4x + 3 = 0$ car $\e^{-x} \ne 0$. or $x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)$ : les deux racines du trinôme sont $- 3$ et $ -1$ : si A est le point d'abscisse $- 3$, son ordonnée est $f(-3) = - 3$ : B est le point d'abscisse et d'ordonné $- 1$. A$(-3~;~3)$ et B$(-1~;~-1)$. \item %Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe $(\mathcal{C})$. Soit $\Delta$ la fonction définie sur $\R$ par $\Delta(x) = x - f(x) = \left(x^2 + 4x + 3\right)\e^{-x}$. Comme $\e^{-x} > 0$, le signe de $\Delta(x)$ est celui du trinôme $x^2 + 4x + 3$. On sait que celui-ci est positif sauf entres ses racines $-3$ et $- 1$. Conclusion : (D) est au dessus de $(\mathcal{C})$, sauf sur l'intervalle $]- 3~;~-1[$. \end{enumerate} \item %Construire la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite (D). \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-3.5,-3.5)(4,7) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-3.5,-3.5)(4,7) \psline(-3.5,-3.5)(4,4) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-3.5}{4}{x dup mul x 4 mul add 3 add 2.71828 x exp div x sub neg} \psdots(-1,-1)(-3,-3) \uput[dr](-1,-1){B}\uput[ul](-3,-3){A} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-3}{-1}{x dup mul x 4 mul add 3 add 2.71828 x exp div x sub neg} \psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=black]{-1}{-3}{x }} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=red!20]{\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=black]{-1}{1.5}{x} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{1.5}{-1}{x dup mul x 4 mul add 3 add 2.71828 x exp div x sub neg}} \uput[ur](1.5,0){$m$}\rput(0.5,-1){$\left(\mathcal{A}_m \right)$} \end{pspicture*} \end{center} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie C - Calculs d'aire} \end{center} \begin{enumerate} \item Soit $H$ la fonction définie sur $\R$ par : \[ H(x) = \left(ax^2 + bx + c \right)\e^{-x}.\] Déterminer les réels $a,~b$ et $c$ tels que la fonction $H$ soit une primitive de la fonction $h$ définie par : \[ h(x) = \left(x^2 + 4x + 3\right)\e^{-x}. \] $H$ est une primitive de $h$ sur $\R$ si : $H'(x) = h(x) \iff (2ax + b)\e^{-x} - \left(ax^2 + bx + c\right)\e^{-x} = \left(x^2 + 4x + 3\right)\e^{-x} \iff \left[-ax^2 + (2a - b)x + b - c\right]\e^{-x}= \left(x^2 + 4x + 3 \right)\e^{-x} \iff -ax^2 + (2a - b)x + b - c = x^2 + 4x + 3$. On en déduit aussitôt par identification : $a = - 1$ puis $2a - b = 4 \iff 2a - b = 4 \iff -2 - b = 4 \iff b = - 6$, et enfin $b - c = 3 \iff - 6 - c = 3 \iff c = - 9$. $F(x) = \left(-x^2 - 6x - 9\right)\e^{-x}$. \item %Déterminer l'aire, en unités d'aire, de la partie de %plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite (D). On a vu que la courbe $(\mathcal{C})$ est au dessus de la droite (D) pour $x \in [-3~;~-1]$. L'aire à calculer $(\mathcal{A})$ est donc égale à : $(\mathcal{A}) = \displaystyle\int_{-3}^{-1}[f(x) - x]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{-3}^{-1}[- \left(x^2 + 4x + 3\right)\e^{-x}]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{-3}^{-1}- h(x)]\:\text{d}x = [H(x)]_{-3}^{-1}$ ; $(\mathcal{A}) = 4\e - 0 = 4\e$. (en unités d'aire). \item %Soit $m$ un réel strictement supérieur à $- 1$. On %considère le domaine $\left(\mathcal{D}_m \right)$ délimité par la courbe %$(\mathcal{C})$, la droite (D) et les droites d'équations respectives %$x = - 1$ et $x = m$. On sait que si $x \geqslant - 1$, (D) est au dessus de la courbe $(\mathcal{C})$ \begin{enumerate} \item %Calculer l'aire $\left(\mathcal{A}_m \right)$ du domaine %$\left(\mathcal{D}_m \right)$, en unités d'aire. On a donc $\left(\mathcal{A}_m \right) =\displaystyle\int_{-1}^m [x - f(x)]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{-1}^m h(x)\:\text{d}x = [H(x)]_{-1}^m = $ $- \left(m^2 + 6m + 9\right)\e^{-m} + 4\e$. \item %Déterminer la limite de $\left(\mathcal{A}_m \right)$ lorsque $m$ tend vers $+ \infty$. On sait que $\displaystyle\lim_{m \to + \infty}- \left(m^2 + 6m + 9\right)\e^{-m} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{m \to + \infty}\left(\mathcal{A}_m \right) = 4\e$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}