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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{6 décembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet Nouvelle--Calédonie~\decofourright}}\\
{\Large \textbf{6 décembre 2011}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{I -- ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque ligne du tableau, trois réponses sont proposées, mais une seule est exacte.}
% 
%\textbf{Indiquer} sur votre copie \textbf{le numéro de la question} et, sans justifier, recopier la réponse exacte (aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse).
%
%\medskip
% 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%1&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}Le nombre $\dfrac{4}{3} - \dfrac{4}{3} \times \dfrac{27}{24}$ est égal à :&$0$&$\dfrac{5}{3}$&$- \dfrac{1}{6}$\\\hline%
%2&L'expression développée de ${3x(5 - 4x)}$ est: &$15x - 12x $&$15x - 12x^2$& $3x^2$\\\hline% 
%3&On lance un dé équilibré à 6 faces et on regarde le nombre inscrit sur sa face supérieure. La probabilité de l'évènement \og on obtient un nombre supérieur ou égal à 5 \fg{} est :&$\dfrac{1}{6}$&$\dfrac{1}{3}$&$\dfrac{4}{6}$ \\\hline%
%4&Un billet d'avion coûte \np{70000}~F. Une agence de voyage vous accorde une réduction de 10\,\%. Vous allez payer: &\np{63000} F& \np{77000} F& \np{7000} F\\\hline% 
%5&\rule[-3mm]{0mm}{9mm} Le nombre $\dfrac{6 \times 10^3 \times 28 \times 10^{- 2}}{14 \times 10^{-3}}$ est égal à : &$12 \times 10^{-9} $&$0,12$& $12 \times 10^4$\\\hline%
%\end{tabularx} 
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{4}{3} - \dfrac{4}{3} \times \dfrac{27}{24} = \dfrac{4}{3} - \dfrac{4}{3}\times \dfrac{9}{8} = \dfrac{4}{3} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{8}{6} - \dfrac{9}{6} = - \dfrac{1}{6}$.
\item $3x(5 - 4x) = 15x - 12x^2$.
\item Il y a 2 sorties favorables : le 5 et le 6, donc la probabilité est égale à $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.
\item Retrancher 10\,\% c'est multiplier par $1 - \dfrac{10}{100} = 1 - 0,1 = 0,9$.

On paiera donc $\np{70000} \times 0,9 = \np{63000}$~(F).
\item $\dfrac{6 \times 10^3 \times 28 \times 10^{- 2}}{14 \times 10^{-3}} = \dfrac{2 \times 3 \times 10^3 \times 7 \times 4 \times 10^{- 2}}{2 \times 7 \times 10^{-3}} = 12 \times 10^{3 - 2 + 3} = 12 \times 10^4$.
\end{enumerate}

\medskip

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

%\medskip
% 
%On a relevé le nombre de médailles gagnées par les sportifs calédoniens lors des Jeux du Pacifique. 
%Voici les résultats regroupés à l'aide d'un tableur (voir page suivante) : 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{||c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}|}\hline\hline
%		&A &B &C &D&E\\ \hline 
%1		&Années des Jeux du Pacifique&Nombres de médailles d'or &Nombre de médailles d'argent&
%Nombre de médailles de bronze &Total \\ \hline%
%2		&1963	& 7 &9 &11 	&27\\ \hline% 
%3		&1966 	&39 &30 &30 &99\\ \hline% 
%4		&1969 	&36 &20 &21 &77\\ \hline% 
%5		&1971 &33 &32 &27 &92 \\ \hline%
%6		&1975 	&37 &31 &34 &102\\ \hline% 
%7 		&1979 	&33 &43 &26 &102\\ \hline% 
%8 		&1983 	&24 &20 &19 &63\\ \hline% 
%9		&1987 	&82 &48 &38 &168\\ \hline% 
%10 		&1991 	&29 &29 &27 &85\\ \hline%
%11 		&1995 	&82 &57 &43 &182\\ \hline% 
%12 		&1999 	&73 &55 &44 &172\\ \hline% 
%13 		&2003 	&93 &73 &74 &240\\ \hline% 
%14 		&2007 	&90 &69 &68 &227\\ \hline% 
%15&&&&&\\ \hline% 
%16& Total: &658 &516 &462 &\np{1636}\\ \hline% 
%17&&&&&\\ \hline% 
%18& Moyennes : 	&51 &40 &36 &126\\ \hline\hline%
%\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Pour obtenir le nombre 27 dans la cellule E2, on a écrit la formule suivante: =SOMME(B2:D2). Quelle formule a-t-on écrite en B16 pour obtenir 658 ?
=SOMME(B2:B14). 
\item %Quelle formule a-t-on écrite en B18 pour calculer la moyenne des médailles d'or obtenues sur ces 13 années ?
=B16/13 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

%\textbf{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.}
%
%\medskip
% 
%Un éleveur possède 2 taureaux et 2 vaches : Bubulle, Icare, Caramel et Pâquerette. Il souhaite les 
%présenter à la foire agricole.
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Bubulle pèse 1 200 kg et Pâquerette 600 kg. 
%\item[$\bullet~~$] Bubulle pèse aussi lourd que Caramel et Icare réunis. 
%\item[$\bullet~~$] Icare pèse aussi lourd que Caramel et Pâquerette réunis.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 

\begin{enumerate}
\item %Est-il possible que Caramel pèse 500~kg et Icare 700~kg ? Justifier votre réponse.
Non : en effet d'après la dernière affirmation Pâquerette péserait 200 kg ce qui est faux. 
\item %Sachant que l'éleveur ne peut pas transporter plus de 3,2~tonnes dans son camion, pourra-t-il transporter tous les animaux ensemble ? Expliquer votre raisonnement.
Si $c,\:i$ sont les poids respectifs de Caramel et Icare, on a :

$\np{1200} = c + i$ et $i = c + 600$, soit en remplaçant dans la première équation :

$\np{1200} = c + c + 600$ ou $600 = 2c$, d'où $c = 300$ et $i = 300 + 600 = 900$.
Le poids total des quatre bovins est égal à : $\np{1200} + 600 + 900 + 300 = \np{3000} < \np{3200}$. L'éleveur peut les transporter dans son camion.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{II -- ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0.5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

%Voici une carte découverte par Ruffy qui lui permettra de déterrer le fabuleux tr\'esor de Math le Pirate. 
%
%On note :
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{description}
%\item[ ] R le roche en forme de crâne, 
%\item[ ] C le cocotier sous lequel est enterré le trésor 
%\item[ ] P le phare. 
%\item[ ] C est sur le demi-cercle de diamètre [PR] 
%\end{description} 
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
%
%\psset{unit=1cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-4,-1.25)(4,4)
%\psarc(0,0){4}{0}{180}
%\psdots(4;0)(4;180)(4;120)(0;0)%PRC
%\pspolygon(4;0)(4;180)(4;120)
%\uput[r](4;0){P}\uput[l](4;180){R}\uput[ul](4;120){C}
%\psarc(-4,0){0.7}{0}{60}
%\psline(1.53,0.1)(1.53,-0.1)\psline(1.57,0.1)(1.57,-0.1)
%\psline(-1.53,0.1)(-1.53,-0.1)\psline(-1.57,0.1)(-1.57,-0.1)
%\rput(-3.04,0.5){60~\degres}
%\rput(0,-0.5){La distance du phare au rocher en forme de}
%\rput(0,-1){crâne est de \np{3000} brasses.}
%\end{pspicture} 
%\end{center}
%
%Aidez-le à mettre la main sur le butin :
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que le triangle PRC est un triangle rectangle.
Le triangle PRC est inscrit dans un demi-cercle qui admet pour diamètre l'un d ses côté : il est donc rectangle en C,d'hypoténuse [RP]. 
\item %Calculer la distance RC en brasses.
On a : RC $ = \text{RP} \cos \widehat{\text{PRC}} = \np{3000} \cos 60 = \np{3000} \times \dfrac{1}{2} = \np{1500}$(brasses).
\end{enumerate}

%\medskip 
%À vos pelles !!! 

\vspace{0.5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

%\textbf{Rappels :}
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\arraybackslash}X|}\hline
%$\bullet~~$La formule pour calculer le volume d'un cylindre de révolution est donnée par\\ 
%$V_{\text{cylindre}} = \pi \times  r^2 \times h$ avec $r$ le rayon et $h$ la hauteur du cylindre.\\ 
%$\bullet~~$La formule pour calculer le volume d'une boule est donnée par \\
%$V_{\text{boule}} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3$ avec $r$ le rayon de la boule.\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
% 
%Une entreprise doit construire des plots en béton pour border des trottoirs. Ces plots sont formés d'un cylindre de révolution surmonté d'une demi-boule.
%
%\parbox{0.65\linewidth}{La hauteur du cylindre doit être de 40~cm et son rayon de 20~cm. 
%\begin{enumerate}
%\item Calculer la valeur arrondie au cm$^3$ du volume du cylindre. 
%\item Calculer la valeur arrondie au cm$^3$ du volume de la demi-boule. 
%\item Calculer le volume de béton nécessaire pour fabriquer \np{1000}~plots.
% 
%Donner la réponse en m$^3$.\end{enumerate}} \hfill
%\parbox{0.30\linewidth}{\psset{unit=0.85cm}
%\begin{pspicture}(3,4.5)
%\psline(0,0.5)(0,3)\psline(3,0.5)(3,3)
%\psellipticarc(1.5,0.5)(1.5,0.4){180}{0}
%\psellipticarc(1.5,3)(1.5,0.4){180}{0}
%\psarc(1.5,3){1.5}{0}{180}
%\end{pspicture}} 
\begin{enumerate}
\item $V_{\text{cylindre}} = \pi \times  20^2 \times 40 = \np{16000}\pi \approx \np{50266}$~cm$^3$.
\item $V_{\text{demi-boule}} = \dfrac{2}{3} \times \pi \times 20^3 \approx \np{16755}$~cm$^3$.
\item Le volume d'un plot est donc égal environ à $\np{50266} + \np{16755} = \np{67021}$~cm$^3$ ou 67,021~dm$^3$ ou \np{0,067021}~m$^3$.

Le volume de béton pour réaliser \np{1000} plots est donc égal à :

$\np{1000} \times \np{0,067021} = 67,021$~m$^3$. Donc 68~m$^3$ en arrondissant par excès.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

%\emph{La figure sera complétée sur l'annexe, au fur et à mesure de l'exercice.} 

%\medskip

%\parbox{0.6\linewidth}{ABCD est un carré de centre 0, tel que OB = 3 cm. 

%La figure ci-contre n'est pas à l'échelle.}\hfill  
%\parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(-2,-2.25)(2,2.25)
%\psframe(-2,-2)(2,2)
%\pspolygon(-2,-2)(2,-2)(-2,2)(2,2)(-2,-2)(-2,2)(2,-2)
%\uput[l](-2,2){A}\uput[r](2,2){B}\uput[r](2,-2){C}\uput[l](-2,-2){D}\uput[l](0,0){O}
%\rput{45}(0.6,1.1){3 cm}
%\end{pspicture}}

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-2,-2.25)(2,2.25)
%\psframe(-2,-2)(2,2)
%\pspolygon(-2,-2)(2,-2)(-2,2)(2,2)(-2,-2)(-2,2)(2,-2)
%\uput[l](-2,2){A}\uput[r](2,2){B}\uput[r](2,-2){C}\uput[l](-2,-2){D}\uput[l](0,0){O}
%\rput{45}(0.6,1.1){3 cm}
%\end{pspicture}
%\end{center}
\begin{enumerate}
\item %Sur la feuille \textbf{annexe}, construire le carré ABCD en vraie grandeur.
Voir l'annexe. On lit environ 0,24~g/L.
\item %Expliquer pourquoi le triangle BCO est rectangle et isocèle en O.
Dans un carré les diagonales sont perpendiculaires, donc BCO est rectangle en O, ont la même longueur et le même milieu ; on a donc en particulier OB = OC : le triangle OBC est rectangle en O, isocèle. 
\item %Montrer que BC = $\sqrt{18}$~cm.
D'après le théorème de Pythagore dans BCO :

$\text{BC}^2 = \text{BO}^2 + \text{OC}^2 = 3^2 + 3^2 = 2 \times 3^2$, donc BC $ = 3\sqrt{2} = \sqrt{18}$~(cm). 
\item %Sur la demi-droite [AO), placer un point E tel que AE = 9~cm.
Voir l'annexe.  
%Tracer la droite parallèle à la droite (BC) passant par E. Elle coupe la droite (AB) en F. 
\item %Calculer la valeur exacte de la longueur EF. Justifier votre réponse.
Les droites (EF) et (BC) sont parallèles. La propriété de Thalès permet d'écrire les égalités :

$\dfrac{\text{AC}}{\text{AE}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{EF}}$, soit $\dfrac{6}{9} = \dfrac{3\sqrt{2}}{\text{EF}} = \dfrac{2}{3}$, d'où $2\text{EF} = 3 \times 3\sqrt{2}$ et enfin EF $= \dfrac{9\sqrt{2}}{2}$~(cm). 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{III -- PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip 
 
%\begin{center}\textbf{Ce problème est composé de deux parties indépendantes} \end{center}
 
%En Nouvelle-Calédonie, le nombre d'accidents de la route ne cesse d'augmenter. 
%
%Les principales causes de ces accidents sont l'alcool et la vitesse.

\begin{center}\textbf{PARTIE 1 }\end{center}
  
%Dans cette partie, on considère qu'une canette contient 330~mL de bière et que le degré d'alcool est de 5~\degres, c'est-à-dire 0,05.
% 
%La formule suivante permet de calculer le taux d'alcool dans le sang (en g/L) :
% 
%\begin{center}\fbox{$\text{Pour un homme:  Taux}\:  = \dfrac{\text{quantité de liquide bu} \times 0,05 \times 0,8}{\text{masse} \times 0,7}$}\end{center}
%
%La quantité de liquide bu est exprimée en mL. 
%
%La masse est exprimée en kg.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que le taux d'alcool dans le sang, d'un homme de 60~kg qui boit deux canettes de bière est d'environ 0,63~g/L.
Le taux est égal à : $\dfrac{660 \times 0,05 \times 0,8}{60 \times 0,7} \approx 0,628$ soit environ 0,63~g/L au centième près. 
\item %La loi française interdit à toute personne de conduire si son taux d'alcool est supérieur ou égal à 0,5~g/L.
 
%D'après le résultat précédent, cette personne a-t-elle le droit de conduire? Justifier la réponse.
Le taux dépassant 0,5 cette personne n'a pas le droit de conduire. 
%Pour la suite, on considèrera un \textbf{homme de 70~kg}.

 
\item %Si $x$ désigne la quantité, en dL, de bière bue, le taux d'alcool dans le sang est donné par $T(x) =  \dfrac{4}{49}x$.

%Compléter le tableau en annexe,(arrondir les résultats au centième).
Voir l'annexe. 
\item ~%En utilisant les données du tableau, représenter graphiquement le taux d'alcool en fonction de la quantité de bière bue, sur une feuille de papier millimétré.
 
%\begin{tabular}{l l}
%On prendra :& 2~cm pour 1~dL sur l'axe des abscisses\\ 
%&2 cm pour 0,1~g/L sur l'axe des ordonnées.\\ \end{tabular} 
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(8,0.7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(8,0.7)
\psdots(0,0)(1,0.08)(5,0.41)(7,0.57)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8}{4 x mul 49 div}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](3,0)(3,0.2449)(0,0.2449)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,0.5)(6.1,0.5)(6.1,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\item %Déterminer graphiquement le taux d'alcool correspondant à une quantité de bière de 3~dL (on laissera apparents les traits de construction).
Voir l'annexe. 
\item %Déterminer graphiquement la quantité de bière à partir de laquelle cet homme n'est plus autorisé à reprendre le volant (on laissera apparents les traits de construction). 
Voir l'annexe. À partir de 6,1~L de bière, l'homme n'est plus autorisé à reprendre le volant
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{PARTIE 2}\end{center}
 
%La vitesse est mise en cause dans près d'un accident mortel sur deux.
% 
%Un cyclomoteur est conçu pour ne pas dépasser une vitesse de 45~km/h. Si le moteur est gonflé au-delà de la puissance légale, les freins et les pneus ne sont plus adaptés et le risque d'accident augmente alors considérablement.
%
%\medskip
% 
%\emph{On rappelle que la formule pour calculer la vitesse, $v$, est donnée par : $v = \dfrac{d}{t}$ avec $d$ la distance parcourue et $t$ le temps nécessaire pour parcourir cette distance.}
%
%\medskip
% 
%Lisa et Aymeric ont chacun un scooter. Ils doivent rejoindre leurs copains à la piscine qui est à 8~km de chez eux.
 
\begin{enumerate}
\item %Lisa roule en moyenne à 40 km/h. Combien de temps, en minutes, mettra-t-elle pour aller à la piscine ?
Comme $8 = \dfrac{40}{5}$, Lisa mettra $\dfrac{60}{5} = 12$~(min). 
\item %Aymeric est plus pressé, il roule en moyenne à 48~km/h. Calculer, en minutes, le temps qu'il mettra pour retrouver ses copains à la piscine.
De même $8 = \dfrac{48}{6}$, donc  Aymeric mettra $\dfrac{60}{6} = 10$~(min).
\item %Combien de temps Aymeric a-t-il gagné par rapport à Lisa ?
$12 - 10 = 2$~(min). Aymeric a gagné 2~min. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC VOTRE COPIE}

\vspace{1cm} 

\begin{flushleft} \textbf{Activités Géométriques / Exercice 3}\end{flushleft}

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-2,-4.25)(2,2.25)
\psframe(-2,-2)(2,2)
\pspolygon(-2,-2)(2,-2)(-2,2)(2,2)(-2,-2)(-2,2)(2,-2)
\uput[ul](-2,2){A}\uput[u](2,2){B}\uput[r](2,-2){C}\uput[l](-2,-2){D}\uput[l](0,0){O}
\rput{45}(0.6,1.1){3 cm}
\psline(2,-2)(4.243,-4.243)\uput[dr](4.243,-4.243){E}
\psline(2,2)(4.243,2)
\psline(4.243,-4.243)(4.243,2)\uput[r](4.243,2){F}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1cm}
 
\begin{flushleft}\textbf{Problème / Partie 1 / Question 3}\end{flushleft}

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{2.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Quantité d'alcool (en dL)	& 0	& 1 	&5 		&7\\ \hline 
Taux d'alcool (en g/L)		&0	&0,08	&0,41	&0,57\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}