%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{fancybox} %%% Sujet aimablement fourni par Fabien Pucci %%% Tapuscrit Denis Vergès %%% Corrigé Fabien Pucci et François Hache \usepackage{tabularx} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pst-all,pst-eucl} \usepackage{colortbl} \usepackage{graphicx} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \usepackage{multicol} \usepackage{vmargin} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=4.25cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \setlength\parindent{0mm} %%%% Commandes perso FH \newcommand{\ds}{\displaystyle} % displaystyle \newcommand{\cg}{\texttt{]}} % crochet gauche \newcommand{\cd}{\texttt{[}} % crochet droit \newcommand{\pg}{\geqslant} % plus grand ou égal \newcommand{\pp}{\leqslant} % plus petit ou égal \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S}, pdftitle = {Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2016 -- }, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} %%% commandes à placer après hyperref \renewcommand{\d}{\,\text{d}} % le d de différentiation \newcommand{\e}{\,\text{e}\,}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\text{\,i}}% le i des complexes \begin{document} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna}} \rfoot{\small{17 novembre 2016}} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[10pt] 17 novembre 2016}} \end{center} \bigskip \subsection*{\textsc{Exercice 1}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 4 points} %\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} % %\textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\cd 0~;~+\infty\cd$ par $f(x) = x \e^{- x} - 0,1$. \medskip \begin{enumerate} \item% Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. D'après le cours, on sait que $\ds\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\e^{x}}{x} = +\infty$; donc $\ds\lim_{x \to +\infty} x \e^{-x} = \ds\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\e^{x}} = 0$ et donc $\ds\lim_{x \to +\infty} f(x)=-0,1$. \item% à‰tudier les variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$ et dresser le tableau de variations. La fonction $f$ est dérivable sur $\cd 0~;~+ \infty\cd$ et $f'(x) = 1\times \e^{- x} + x\times (- 1)\e^{- x}-0=(1 - x)\e^{-x}$. Pour tout $x$, $\e^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $1-x$ sur $\cd 0~;~ +\infty\cd$. $f(0)=-0,1$ ; $f(1) = \e^{-1}- 0,1 \approx 0,27>0$ On construit le tableau de variations de $f$: \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% paramètres \def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{10pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c|*5{c}|} \hline x & 0 & \hspace*{\esp} & 1 & \hspace*{\esp} & +\infty \\ \hline 1-x & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline f'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline & & & \Rnode{max}{\e^{-1}-0,1} & & \\ f(x) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min1}{-0,1} & & & & \Rnode{min2}{-0,1} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \\ \hline \end{array} $ } \end{center} \item% Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~1]. $f(0)=-0,1<0$ et $f(1)\approx 0,27 >0$ ; on complète le tableau de variations \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% paramètres \def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{10pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c|*5{c}|} \hline x & 0 & \hspace*{\esp} & 1 & \hspace*{\esp} & +\infty \\ \hline %1-x & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ %\hline %f'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ %\hline & & & \Rnode{max}{\e^{-1}-0,1} & & \\ f(x) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min1}{-0,1} & & & & \Rnode{min2}{-0,1} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \rput*(-6.6,0.65){\Rnode{zero}{\blue 0}} \rput(-6.6,1.7){\Rnode{alpha}{\blue \alpha}} \ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero} %\rput*(-1.3,0.65){\Rnode{zero2}{\red 0}} %\rput(-1.3,1.7){\Rnode{beta}{\red \beta}} %\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{beta}{zero2} \\ \hline \end{array} $ } \end{center} D'après le tableau de variations, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur l'intervalle \cd 0~;~1\cg. \end{enumerate} \medskip On admet l'existence du nombre réel strictement positif $\beta$ tel que $\alpha < \beta$ et $f(\beta) = 0$. \smallskip On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $\cd\alpha~;~\beta\cg$ dans un repère orthogonal et $\mathcal{C}'$ la courbe symétrique de $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses. \smallskip Ces courbes sont utilisées pour délimiter un massif floral en forme de flamme de bougie sur lequel seront plantées des tulipes. \begin{figure}[!t] \centering \psset{xunit=2.5cm,yunit=8cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-0.3,-0.35)(4,0.4) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,griddots=10](0,-0.35)(4,0.4) \psaxes[Dx=0.5,Dy=0.1,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-0.3)(4,0.4) \psaxes[Dx=0.5,Dy=0.1,linewidth=1.25pt](0,0)(4,0.4) \uput[u](3.9,0){$x$}\uput[r](0,0.38){$y$} \uput[u](1.75,0.2){\blue $\mathcal{C}$} \uput[d](1.75,-0.2){\red $\mathcal{C}'$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.112}{3.577}{x 2.71828 x exp div 0.1 sub} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.112}{3.577}{x 2.71828 x exp div 0.1 sub neg} \end{pspicture*} \end{figure} \begin{enumerate}[resume] \item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle $\cd\alpha~;~\beta\cg$ par $F(x) = -(x + 1)\e^{- x} - 0,1x$. La fonction $F$ est dérivable sur $\cd\alpha~;~\beta\cg$ et $F'(x)= - 1\times \e^{- x} - (x + 1)\times(-1)\e^{- x} - 0,1 = (- 1 + x + 1)\e^{- x}-0,1 = x \e^{- x} - 0,1 = f(x)$ Donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\cd\alpha~;~\beta\cg$. \item% Calculer, en unités d'aire, une valeur arrondie à $0,01$ près de l'aire du domaine compris entre les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$. %On utilisera les valeurs arrondies à $0,001$ près suivantes : $\alpha \approx 0,112$ et $\beta \approx 3,577$. La fonction $f$ est positive sur $\cd\alpha~;~\beta\cg$ donc l'aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal C$, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations $x=\alpha$ et $x=\beta$ est $\ds\int_{\alpha}^{\beta} f(x) \d x$. Pour des raisons de symétrie, l'aire du domaine compris entre les courbes $\mathcal C$ et $\mathcal C'$ est $\mathcal A = 2\ds\int_{\alpha}^{\beta} f(x) \d x$. $\mathcal A = 2\times \left[ F(\beta) - F(\alpha)\rule{0pt}{10pt} \right] \approx 2\times \left[ F(3,577) - F(0,112) \rule{0pt}{10pt}\right] \approx 1,04$ L'aire du domaine compris entre les deux courbes est approximativement de $1,04$ unité d'aire. \item L'unité sur chaque axe représente 5 mètres, donc une unité d'aire est égale à 25 m$^{2}$. L'aire du domaine entre les deux courbes est donc approximativement de $1,04 \times 25 = 26$~m$^{2}$. On peut disposer 36 plants de tulipes par mètre carré donc sur 26~m$^{2}$ on en disposera $26\times 36=936$ plants de tulipes. \end{enumerate} \bigskip \subsection*{\textsc{Exercice 2}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 4 points} %\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points} % %\textbf{Commun à tous les candidats} \medskip La société \og Bonne Mamie \fg{} utilise une machine pour remplir à la chaà®ne des pots de confiture. On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque pot de confiture produit associe la masse de confiture qu'il contient, exprimée en grammes. Dans le cas où la machine est correctement réglée, on admet que $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu = 125$ et d'écart-type $\sigma$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item La fonction de Gauss est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\mu$ c'est-à-dire $x=125$. On a donc, pour tout réel $t$ positif, ${P(X \leqslant 125 - t)} = P(X \geqslant 125 + t)$. \item On sait que 2,3\,\% des pots de confiture contiennent moins de 121 grammes de confiture, donc $P(X < 121) = 0,023$. $\begin{aligned}[t] P(121 \leqslant X \leqslant 129)& = P\left(\overline{(X<121)\cup(X>129)}\right)\\ &=1-P(X < 121)-P(X > 129)\\ &=1-P(X \leqslant 121)-P(X \geqslant 129) \end{aligned}$ les évènements $(X\leqslant 121)$ et $(X\geqslant 129)$ étant incompatibles. D'après la question précédente, $P(X\leqslant 121) = P(X\leqslant 125-4) = P(X\geqslant 125+4) = P(X\geqslant 129)$; on en déduit : $P(121 \leqslant X \leqslant 129)=1-2P(X\leqslant 125-4) = 1 - 2P(X\leqslant 121) = 1 - 0,046 = 0,954$. \end{enumerate} \item On cherche une valeur arrondie à l'unité près de $\sigma$ telle que $P(123 \leqslant X \leqslant 127) = 0,68$. On se ramène à la loi normale centrée réduite de $X$ en posant $Z=\dfrac{X-125}\sigma$. $123 \leqslant X \leqslant 127 \iff 123-125 \leqslant X-125 \leqslant 127-125 \iff \dfrac{-2}{\sigma} \leqslant \dfrac{X-125}{\sigma} \leqslant \dfrac{2}{\sigma}$ On a alors: $P(123 \leqslant X \leqslant 127) = 0,68 \iff P\left(-\dfrac2\sigma \leqslant Z\leqslant \dfrac2\sigma\right)=0,68$. à€ la calculatrice, on trouve l'intervalle centré en $0$ correspondant soit $\dfrac2\sigma \approx 0,994$. à€ l'unité près, on prendra donc $\sigma\approx \dfrac2{0,994}\approx 2$ (ce qui est la valeur de $\sigma$ supposée juste après dans l'énoncé!). \item On estime qu'un pot de confiture est conforme lorsque la masse de confiture qu'il contient est comprise entre $120$ et $130$ grammes. \begin{enumerate} \item À la calculatrice, la probabilité qu'un pot soit conforme correspond à $P(120 \leqslant X \leqslant 130) \approx \np{0,9876}$. \item La probabilité qu'un pot ne soit pas conforme parmi ceux qui ont une masse de confiture inférieure à $130$ grammes correspond à \begin{align*} P_{(X\leqslant 130)}\big(\overline{120 \leqslant X \leqslant 130}\big) & =\dfrac{P\big(\overline{(120 \leqslant X \leqslant 130)}\cap (X\leqslant 130)\big)}{P(X\leqslant 130)}\\ & = \dfrac{P(X \leqslant 120)}{P(X\leqslant 130)}\approx \dfrac{0,00621}{0,992379}\\ & \approx 6,1\times 10^{-3}. \end{align*} \end{enumerate} \item Comme $900\geqslant 30$, $900\times 0,988\geqslant 5$ et $900\times(1-0,988)\geqslant 5$, les conditions d'application du théorème de Moivre-Laplace sont vérifiées et un intervalle de fluctuation au seuil de $95\,\%$ est: \begin{align*}I_{95\%}& =\left[p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}\, ; \, p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}\right] \\ & =\left[0,988-1,96\sqrt{\dfrac{0,988(1-0,988)}{900}}\, ; \, 0,988+1,96\sqrt{\dfrac{0,988(1 - 0,988)}{900}}\right] \\ & \approx \left[0,980\, ;\, 0,996\right]. \end{align*} Comme $f_{\text{obs}} = \dfrac{871}{900}\approx 0,968\notin I_{95\%}$, on rejette l'hypothèse \og La machine est bien réglée\fg{} au seuil des $95\%$. \end{enumerate} \bigskip \subsection*{\textsc{Exercice 3}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 4 points} %\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points} % %\textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On se place dans le plan complexe rapporté au repère \Ouv. Soit $f$ la transformation qui à tout nombre complexe $z$ non nul associe le nombre complexe $f(z)$ défini par: $f(z) = z + \dfrac{1}{z}$. On note $M$ le point d'affixe $z$ et $M'$ le point d'affixe $f(z)$. \medskip \begin{enumerate} \item On appelle A le point d'affixe $a = - \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. \begin{enumerate} \item% Déterminer la forme exponentielle de $a$. $\left |a\right |^2= \left ( -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right )^2 + \left ( \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right )^2 =\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$; donc $|a|=1$ On cherche le réel $\alpha$ tel que $\left\lbrace \begin{array}{l !{=} r} \cos\, \alpha & -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\[8pt] \sin\, \alpha & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \right. $ Donc $\alpha = \dfrac{3\pi}{4} + k2\pi \text{ avec } k \text{ entier relatif}$ La forme exponentielle de $a$ est $\e^{\frac{3\pi}{4}\i}$. \item% Déterminer la forme algébrique de $f(a)$. On sait que, pour tout complexe $z$, $z \overline z = \left | z \right |^2$ donc $a \overline a = \left | a \right |^2 = 1$. $f(a)= a+\dfrac{1}{a} = a+ \dfrac{\overline a}{a \overline a} = a + \overline a = - \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \i\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \left ( - \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \i\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) = - \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \i\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \i\dfrac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$ La forme algébrique de $f(a)$ est $-\sqrt{2}$. \end{enumerate} \item On résout, dans l'ensemble des nombres complexes non nuls, l'équation $f(z) = 1$: $f(z)=1 \iff z+\dfrac{1}{z}=1 \iff \dfrac{z^2+1}{z} = \dfrac{z}{z} \iff \dfrac{z^2 -z+1}{z} = 0 \iff z^2 -z+1 = 0$ $\Delta = 1-4 = - 3$ donc l'équation admet deux solutions conjuguées $z_1 = \dfrac{1}{2} + \i \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $z_2 = \dfrac{1}{2} - \i \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. \item Soit $M$ un point d'affixe $z$ du cercle $\mathcal C$ de centre O et de rayon 1. \begin{enumerate} \item% Justifier que l'affixe $z$ peut s'écrire sous la forme $z = \text{e}^{\text{i}\theta}$ avec $\theta$ un nombre réel. Le nombre complexe $z$ s'écrit sous forme exponentielle: $|z|\e^{\i\theta}$. Le point $M(z)$ est sur le cercle de centre O et de rayon 1 donc O$M = 1$ ce qui veut dire que $|z|=1$. Donc $z$ peut s'écrire sous la forme $\e^{\i\theta}$. \item% Montrer que $f(z)$ est un nombre réel. $f(z)= z+\dfrac{1}{z} = \e^{\i\theta} + \dfrac{1}{\e^{\i\theta}} = \e^{\i\theta} + \e^{-\i\theta}$ Les deux nombres complexes $\e^{\i\theta}$ et $\e^{-\i\theta}$ sont deux nombres complexes conjugués donc leur somme est un réel (le double de leur partie réelle). Donc $f(z)$ est un réel. \end{enumerate} \item% Décrire et représenter l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $f(z)$ soit un nombre réel. On cherche $M(z)$ tel que $f(z)$ soit réel. Posons $z=x+\i y$: $f(z) = z + \dfrac{1}{z} = x + \i y + \dfrac{1}{x + \i y} = x + \i y + \dfrac{x - \i y}{x^2+y^2} = \dfrac{x\left (x^2+y^2\right ) + \i y\left (x^2 + y^2\right ) + x - \i y}{x^2 + y^2}\\[8pt] \phantom{f(z)} = \dfrac{x\left (x^2+y^2+1\right )}{x^2 + y^2} + \i \dfrac{y\left (x^2+y^2-1\right )}{x^2+y^2}$ \medskip \begin{minipage}{0.6\linewidth} $f(z)$ est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, autrement dit si $y\left (x^2 + y^2 - 1\right ) = 0$. Ce qui signifie que soit $y = 0$ soit $x^2+y^2-1 = 0$. \begin{list}{\textbullet}{} \item $y=0$ veut dire que la partie réelle de $z$ est nulle donc que le point $M$ se trouve sur l'axe des abscisses. Mais il ne faut pas oublier de retirer l'origine O du repère car $z$ doit être non nul. \item $x^2 + y^2 - 1 = 0 \iff x^2 + y^2 = 1$ est l'équation du cercle de centre O et de rayon 1. \end{list} L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $f(z)$ soit réel est la réunion de l'axe des abscisses privé du point O, et du cercle de centre O et de rayon 1. \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.28\linewidth} \begin{flushright} \psset{xunit=1cm, yunit=1cm, algebraic} \def\xmin {-2} \def\xmax {2} \def\ymin {-2} \def\ymax {3} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[subgriddiv=1, griddots=10, gridlabels=0, gridcolor=black] \psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)[$x$,-120][$y$,210] \psset{linecolor=red,linewidth=2pt} \pscircle(0,0){1} \psline(\xmin,0)(\xmax,0) \psdot[dotstyle=o](0,0) \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \end{flushright} \end{minipage} \end{enumerate} \bigskip \subsection*{\textsc{Exercice 4}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 3 points} %\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 3 points} % %\textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous. On définit les points I et J respectivement par $\vect{\text{HI}} = \dfrac{3}{4} \vect{\text{HG}}$ et $\vect{\text{JG}} = \dfrac{1}{4} \vect{\text{CG}}$. %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(8,8.25) %\psframe(0.5,0.5)(5,5) %\psline(5,0.5)(7,2.7)(7,7.2)(2.5,7.2)(0.5,5) %\psline(5,5)(7,7.2) %\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2.5,2.7)(7,2.7) %\psline[linestyle=dashed](2.5,2.7)(2.5,7.2) %\uput[ur](2.5,2.7){A} \uput[r](7,2.7){B} \uput[ul](5,0.5){C} %\uput[ul](0.5,0.5){D} \uput[ul](2.5,7.2){E} \uput[ur](7,7.2){F} %\uput[r](5,5){G} \uput[ul](0.5,5){H} \uput[u](3.875,5){I} %\psdots(5,0.5)(7,2.7)(7,7.2)(2.5,7.2)(0.5,5)(5,5)(3.875,5)(5,3.875)(2.5,2.7)(0.5,0.5) %\uput[r](5,3.875){J} %\end{pspicture} %\end{center} \begin{enumerate} \item On trace la section du cube par le plan (IJK): \begin{center} \psset{unit=1cm,PointSymbol=none,PointName=default,PtNameMath=false} \begin{pspicture}(-1,-1)(7,6) \pstGeonode[PosAngle=85](5.5,5){F}(1.5,5){E}(0,4){H}(4,4){G} \pstGeonode[PosAngle=-70](0,0){D}(4,0){C}(5.5,1){B}(1.5,1){A} \pstTranslation[DistCoef=.75,PosAngle=80,PointSymbol=*]{H}{G}{H}[I] \pstTranslation[DistCoef=.75,PosAngle=10,PointSymbol=*]{C}{G}{C}[J] \pstTranslation[DistCoef=.3,PosAngle=10,PointSymbol=*]{B}{F}{B}[K] \psline(G)(H)(E)(F)(G)(C)(B)(F) \psline(C)(D)(H) \psline[linestyle=dashed](D)(A)(B) \psline[linestyle=dashed](A)(E) \psset{PointName=none} \pstInterLL[PointSymbol=x]{J}{K}{F}{G}{M_1} \pstLineAB[nodesep=-2,linestyle=dotted]{J}{K} \pstLineAB[nodesep=-2,linestyle=dotted]{G}{F} \pstInterLL[PointSymbol=x]{I}{M_1}{E}{F}{M_2} \pstLineAB[nodesep=-2,linestyle=dotted]{I}{M_1} \psset{linecolor=red,linewidth=1.5pt} \pspolygon[style=TRed,linestyle=none](K)(J)(I)(M_2) \psline(K)(J)(I)(M_2) \psline[linestyle=dashed](M_2)(K) \end{pspicture} \end{center} \item On trace la section du cube par le plan (IJL): \begin{center} \psset{unit=.9cm,PointSymbol=none,PointName=default,PtNameMath=false} \begin{pspicture}(-.5,-1)(6,6) \pstGeonode[PosAngle=85](1.5,5){E}(0,4){H} \pstGeonode[PosAngle=-15](4,4){G} \pstGeonode[PosAngle=40](5.5,5){F}(5.5,1){B} \pstGeonode[PosAngle=-70](0,0){D}(4,0){C}(1.5,1){A} \pstTranslation[DistCoef=.75,PosAngle=80,PointSymbol=*]{H}{G}{H}[I] \pstTranslation[DistCoef=.75,PosAngle=10,PointSymbol=*]{C}{G}{C}[J] \pstTranslation[DistCoef=.2,PosAngle=10,PointSymbol=*]{B}{F}{F}[L] \psline(G)(H)(E)(F)(G)(C)(B)(F) \psline(C)(D)(H) \psline[linestyle=dashed](D)(A)(B) \psline[linestyle=dashed](A)(E) \pstLineAB[nodesep=-2]{F}{B} \psset{PointName=none} \pstInterLL[PointSymbol=x,PointName=M,PosAngle=-30]{J}{L}{G}{F}{M_1} \pstLineAB[nodesep=-2,linestyle=dotted]{J}{L} \psset{linecolor=red,linewidth=1.5pt} \pspolygon[style=TRed,linestyle=none](I)(J)(M_1) \psline(I)(J)(M_1)(I) \end{pspicture} \end{center} \item On cherche s'il existe un point P de la droite (BF) tel que la section du cube par le plan (IJP) soit un triangle équilatéral. On regarde la configuration de la question précédente et on se demande s'il n'y a pas une position du point L sur la droite (BF) telle que les points B, F et L soient dans cet ordre, pour laquelle le triangle IJM serait équilatéral. Soit K le point de [GF] tel que $\vect{\text{GK}} = \dfrac{1}{4} \vect{\text{GF}}$. Les trois triangles GIJ, GJK et GIK sont superposables donc $\text{IJ} = \text{JK} = \text{KJ}$; le triangle IJK est donc équilatéral. Soit P le point d'intersection des droites (JK) et (BF). D'après le théorème de Thalès dans les triangles KGJ et KFP, on a $\dfrac{\text{FP}}{\text{GJ}} = \dfrac{\text{KF}}{\text{KG}}$. Par construction du point K, on a $\dfrac{\text{KF}}{\text{KG}} = 3$ et on sait que, si on appelle $a$ la longueur d'une arête du cube, $\text{GJ}=\dfrac{a}{4}$; on en déduit que $\text{FP}=\dfrac{3a}{4}$. Le point P tel que le triangle IJK est équilatéral, est défini par la relation vectorielle $\vect{\text{FP}} = \dfrac{3}{4} \vect{\text{BF}}$. \begin{multicols}{2} \begin{center} \psset{unit=.8cm,PointSymbol=none,PointName=default,PtNameMath=false} \begin{pspicture}(-.5,-1)(4.5,9) \pstGeonode[PosAngle={-135,-45,0,135}](0,0){C}(4,0){B}(4,4){F}(0,4){G} \pspolygon(C)(B)(F)(G) \pstGeonode[PosAngle={180,-60,0}](0,3){J}(1,4){K}(4,7){P} \pstLineAB[nodesepA=-1]{P}{F} \pstLineAB[nodesepA=-1,linecolor=red,linewidth=1pt]{P}{J} \end{pspicture} \end{center} \begin{center} \psset{unit=.8cm,PointSymbol=none,PointName=default,PtNameMath=false} \begin{pspicture}(-.5,-1)(6,9) \pstGeonode[PosAngle=85](1.5,5){E}(0,4){H} \pstGeonode[PosAngle=90](4,4){G} \pstGeonode[PosAngle=40](5.5,5){F}(5.5,1){B} \pstGeonode[PosAngle=-70](0,0){D}(4,0){C}(1.5,1){A} \pstTranslation[DistCoef=.75,PosAngle=135,PointSymbol=*]{H}{G}{H}[I] \pstTranslation[DistCoef=.75,PosAngle=-135,PointSymbol=*]{C}{G}{C}[J] \pstTranslation[DistCoef=.75,PosAngle=0,PointSymbol=*]{B}{F}{F}[P] \psline(G)(H)(E)(F)(G)(C)(B)(F) \psline(C)(D)(H) \psline[linestyle=dashed](D)(A)(B) \psline[linestyle=dashed](A)(E) \pstLineAB[nodesepA=-4,nodesepB=-1]{F}{B} %\psset{PointName=none} \pstInterLL[PointSymbol=x,PosAngle=-30]{J}{P}{G}{F}{K} \pstLineAB[nodesep=-2,linestyle=dotted]{J}{L} \psset{linecolor=red,linewidth=1.5pt} \pspolygon[style=TRed,linestyle=none](I)(J)(K) \psline(I)(J)(K)(I) \psline(J)(P) \psset{linewidth=1pt,SegmentSymbol=pstslashh} \pstSegmentMark{I}{J} \pstSegmentMark{I}{K} \pstSegmentMark{K}{J} \end{pspicture} \end{center} \end{multicols} % \end{enumerate} \bigskip \subsection*{\textsc{Exercice 5}\hfill Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points} %\textbf{\textsc{Exercice 5}\hfill 5 points} % %\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Un apiculteur étudie l'évolution de sa population d'abeilles. Au début de son étude, il évalue à \np{10000} le nombre de ses abeilles. Chaque année, l'apiculteur observe qu'il perd 20\,\% des abeilles de l'année précédente. Il achète un nombre identique de nouvelles abeilles chaque année. On notera $c$ ce nombre exprimé en dizaines de milliers. On note $u_0$ le nombre d'abeilles, en dizaines de milliers, de cet apiculteur au début de l'étude. Pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ désigne le nombre d'abeilles, en dizaines de milliers, au bout de la $n$-ième année. Ainsi, on a $u_0 = 1\quad \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\: u_{n+1} = 0,8u_n + c$. \subsubsection*{Partie A} \medskip On suppose dans cette partie seulement que $c = 1$, donc pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,8 u_n +1$. \medskip \begin{enumerate} \item% Conjecturer la monotonie et la limite de la suite $\left(u_n\right)$. On calcule, à la calculatrice, $u_n$ pour les premières valeurs de $n$ (valeurs de $u_n$ arrondies): \begin{center} \newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash} \begin{tabular}{|*{11}{>{\ca}p{0.8cm}|}} \hline $n$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 & \dots\\\hline $u_n$&1 &1,8&2,44 &2,95 &3,36 &3,69 &3,95 &4,16 &4,33 & \dots \\\hline \end{tabular} \end{center} \begin{center} \newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash} \begin{tabular}{|*{11}{>{\ca}p{0.8cm}|}}\hline $n$ &\dots &20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 \\\hline $u_n$ &\dots &4,95 &4,96 &4,97 &4,976 &4,981 &4,985 &4,988 &4,990 &4,992 \\\hline \end{tabular} \end{center} La suite $\left(u_n\right)$ semble croissante et semble converger vers le nombre 5. \item% Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: u_n = 5 - 4 \times 0,8^n$. Soit $\mathcal P_n$ la propriété $u_n = 5 - 4 \times 0,8^n$. \begin{list}{\textbullet}{} \item \textbf{Initialisation} Pour $n = 0$, $u_0 = 1$ et $5 - 4\times 0,8^{0} = 5 - 4 = 1$. Donc la propriété $\mathcal P_0$ est vérifiée. \item \textbf{Hérédité} Soit $n$ un entier naturel quelconque. On suppose que la propriété est vraie pour le rang $n$ c'est-à -dire $u_n=5-4\times 0,8^n$ (c'est l'hypothèse de récurrence), et on veut démontrer qu'elle est encore vraie pour le rang $n+1$. $u_{n+1} = 0,8 u_n +1$. Or, d'après l'hypothèse de récurrence $u_n=5-4\times 0,8^{n}$; donc: $u_{n+1} = 0,8 \left ( 5 - 4\times 0,8^n \right ) +1 = 0,8\times 5 - 4 \times 0,8^{n+1} +1 = 4 - 4 \times 0,8^{n+1} +1 = 5 - 4 \times 0,8^{n+1}$ Donc la propriété est vraie au rang $n+1$. On a démontré que, pour tout entier naturel $n$, $\mathcal P_{n} \implies \mathcal P_{n+1}$. La propriété $\mathcal P_n$ est donc héréditaire pour tout $n$. \item \textbf{Conclusion} La propriété est vraie pour $n = 0$. Elle est héréditaire à partir du rang 0. Donc, d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$. \end{list} On a donc démontré que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=5 - 4\times 0,8^n$. \item% Vérifier les deux conjectures établies à la question 1. en justifiant votre réponse. \begin{list}{\textbullet}{} \item $u_{n+1}-u_n=\left ( 5-4\times 0,8^{n+1}\right ) - \left ( 5-4\times 0,8^{n}\right )= 5-4\times 0,8^{n+1} - 5+4\times 0,8^{n} = 4\times 0,8^n \left (1-0,8\right )\\ \phantom{u_{n+1}-u_n} = 4\times 0,8^n \times 0,2 >0$ Pour tout $n$, on a démontré que $u_{n+1} > u_n$ donc la suite $(u_n)$ est croissante. \item $-1<0,8 < 1$ donc la suite géométrique $(0,8^n)$ de raison 0,8 converge vers 0. $\ds\lim_{n \to +\infty} 0,8^n=0 \implies \ds\lim_{n \to +\infty} 4\times 0,8^n=0 \implies \ds\lim_{n \to +\infty} 5-4\times 0,8^n=5$ Donc la suite $(u_n)$ est convergente vers 5. \end{list} On peut donc dire que si l'apiculteur rachète chaque année \np{10000} abeilles, le nombre d'abeilles va augmenter chaque année et va tendre vers \np{50000}. %Interpréter ces deux résultats. \end{enumerate} \bigskip \subsubsection*{Partie B} \medskip L'apiculteur souhaite que le nombre d'abeilles tende vers \np{100000}. On cherche à déterminer la valeur de $c$ qui permet d'atteindre cet objectif. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_n - 5c$; donc, pour tout $n$, $u_n=v_n+5c$. \medskip \begin{enumerate} \item% Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. \begin{list}{\textbullet}{} \item $v_{n+1} = u_{n+1} - 5c = 0,8u_n +c -5c = 0,8\left (v_n+5c\right )-4c = 0,8v_n +4c-4c = 0,8v_n$ \item $v_0= u_0 - 5c = 1-5c$ \end{list} La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme $v_0=1-5c$. \item% En déduire une expression du terme général de la suite $\left(v_n\right)$en fonction de $n$. La suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q = 0,8$ et de premier terme $v_0 = 1-5c$ donc, pour tout $n$, \hfill{}$v_n=v_0\times q^n = \left (1-5c\right )0,8^n$.\hfill{} \item% Déterminer la valeur de $c$ pour que l'apiculteur atteigne son objectif. La suite $(v_n)$ est géométrique de raison 0,8 ; or $-1< 0,8 <1$ donc la suite $(v_n)$ est convergente et a pour limite $0$. Pour tout $n$, $u_n=v_n+5c$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est convergente et a pour limite $5c$. L'apiculteur veut que le nombre d'abeilles tende vers \np{100000}; il faut donc que $5c=\np{10}$, autrement dit que $c=2$. Pour que le nombre d'abeilles tende vers \np{100000}, il faut que l'apiculteur rachète chaque année \np{20000} abeilles. \end{enumerate} \bigskip \subsection*{\textsc{Exercice 5}\hfill Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points} %\textbf{\textsc{Exercice 5}\hfill 5 points} % %\textbf{Candidats avant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On observe la taille d'une colonie de fourmis tous les jours. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $u_n$ le nombre de fourmis, exprimé en milliers dans cette population au bout du $n$-ième jour. Au début de l'étude la colonie compte \np{5000} fourmis et au bout d'un jour elle compte \np{5100} fourmis. Ainsi, on a $u_0 = 5$ et $u_1 = 5,1$. On suppose que l'accroissement de la taille de la colonie d'un jour sur l'autre diminue de 10\,\% chaque jour. En d'autres termes. pour tout entier naturel $n$, $u_{n+2} - u_{n+1} = 0,9\left(u_{n+1} - u_n\right)$. % %Pour tout entier naturel $n$, on admet que % %\[A^n = \begin{pmatrix}-10 \times 0,9^{n+1} + 10& 10 \times 0,9^{n+1} - 9\\ %- 10 \times 0,9^n + 10& 10 \times 0,9^n - 9\end{pmatrix}.\] % % \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 6 - 0,9^n$. % % \end{enumerate} % %\item Calculer la taille de la colonie au bout du 10\up{e} jour. On arrondira le résultat à une fourmi près. % %\item Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte. % %\end{enumerate} \medskip \begin{enumerate} \item D'après le texte, $u_2-u_1 = 0,9\left (u_1-u_0\right )$ donc $u_2 = 0,9\left ( 5,1 - 5\right ) + 5,1 = 0,9\times 0,1 + 5,1 = 0,09+5,1 = 5,19$ \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $V_n = \begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix}$ et $A = \begin{pmatrix}1,9& -0,9\\1& 0\end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item $u_{n+2} - u_{n+1} = 0,9\left(u_{n+1} - u_n\right) \iff u_{n+2} = 0,9\,u_{n+1} - 0,9\,u_n + u_{n+1} \iff u_{n+2} = 1,9\,u_{n+1} - 0,9\,u_n$ On a : $\left\{\begin{array}{rcccc} u_{n+2} &=& 1,9u_{n+1}&-&0,9u_n \\ u_{n+1}&=& u_{n+1}&+&0\times u_n\end{array}\right.$, système qui s'écrit sous la forme matricielle: $\begin{pmatrix}u_{n+2} \\ u_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1,9 & -0.9\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u_{n+1} \\ u_n \end{pmatrix}\iff V_{n+1}=AV_n,$ avec $A = \begin{pmatrix} 1,9 & -0.9\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. On admet alors que, pour tout entier naturel $n,\: V_n = A^nV_0$. \item On pose $P = \begin{pmatrix}0,9&1\\1&1\end{pmatrix}$. On admet que la matrice $P$ est inversible. Avec la calculatrice, on trouve $P^{-1} = \begin{pmatrix} -10 & 10\\ 10 & -9 \end{pmatrix}$. $P^{-1}A = \begin{pmatrix}-10&10\\10&-9\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1,9&-0,9\\1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10\times 1,9+10\times 1 & -10\times (-0,9)+10\times 0\\ 10\times 1,9 -9\times 1 & 10\times (-0,9) -9\times 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 & 9 \\ 10 & -9 \end{pmatrix} $ $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} -9 & 9 \\ 10 & -9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0,9&1\\1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9\times 0,9 + 9\times 1 & -9\times 1 + 9\times 1\\ 10\times 0,9 - 9\times 1 & 10\times 1 - 9\times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,9 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ %Par associativité du produit matriciel, on calcule $P^{-1}A=\begin{pmatrix} -9 & 9\\ 10 & -9 \end{pmatrix}$ puis $\big(P^{-1}A\big)P=\begin{pmatrix} 0,9 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Donc $D = \begin{pmatrix} 0,9 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. \item Soit $\mathcal P_n$ la propriété $A^n = PD^nP^{-1}$. \begin{list}{\textbullet}{} \item \textbf{Initialisation} On appelle $I_2$ la matrice identité d'ordre 2: $I_2= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. $A^0=I_2$ et $D^0=I_2$ donc $PD^0P^{-1}=PI_2P^{-1}=PP^{-1}=I_2$ Donc la propriété $\mathcal P_0$ est vérifiée. \item \textbf{Hérédité} Soit $n$ un entier naturel quelconque; supposons que la propriété est vraie au rang $n$, c'est-à -dire que $A^n = PD^nP^{-1}$ (hypothèse de récurrence). On veut démontrer que la propriété est vraie au rang $n+1$. $A^{n+1} = A\times A^n = \big(PDP^{-1}\big)\big(PD^nP^{-1}\big) = PD\big(P^{-1}P\big)D^nP^{-1} = PD^{n+1}P^{-1}$ La propriété est donc vraie au rang $n + 1$. On a démontré que, pour tout $n$, $P_{n} \implies P_{n+1}$. La propriété est donc héréditaire à partir du rang 0. \item \textbf{Conclusion} La propriété est vraie au rang 0 ; elle est héréditaire à partir du rang 0, donc, d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel $n$. \end{list} On a donc démontré que, pour tout entier naturel $n$, $A^n = PD^nP^{-1}$. \smallskip Pour tout entier naturel $n$, on admet que $A^n = \begin{pmatrix}-10 \times 0,9^{n+1} + 10& 10 \times 0,9^{n+1} - 9\\ - 10 \times 0,9^n + 10& 10 \times 0,9^n - 9\end{pmatrix}$. \item Pour tout entier $n$, on a $V^n = A^n V_0$ c'est-à -dire $\begin{pmatrix}u_{n+1} \\ u_{n}\end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix}u_{1} \\ u_{0}\end{pmatrix}$. $\text{D'où : } u_n = \big(-10\times 0,9^{n}+10\big)\times u_1 + \big(10\times 0,9^{n}-9\big)\times u_0 \\ \phantom{\text{D'où : } u_n} = \big(-10\times 0,9^{n}+10\big)\times 5,1 + \big(10\times 0,9^{n}-9\big)\times 5\\ \phantom{\text{D'où : } u_n} = -52\times 0,9^n + 51 + 50\times 0,9^n - 45\\ \phantom{\text{D'où : } u_n} = 6 - 0,9^n$ \end{enumerate} \item La taille de la colonie au bout du 10\ieme{} jour est $u_{10}=6-0,9^{10}\approx 5,651$. Au bout du dixième jour, il y aura donc environ \np{5651} fourmis. \item Comme $0<0,9<1$, $\ds\lim_{n\to+\infty} 0,9^n = 0$. D'après les théorèmes sur les sommes de limite de suites, la suite $(u_n)$ converge donc vers $6$. Le nombre de fourmis dans la colonie tendra $\np{6000}$ individus. \end{enumerate} \end{document}