\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{tabularx} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \usepackage{arydshln} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit et corrigé : François Hache \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=1.9cm, bottom=2.4cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Concours contrôleur des douanes session 2024}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{4pt} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours contrôleur des douanes - corrigé} \lfoot{\small{Branche surveillance}} \rfoot{\small{session 2024}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du concours contrôleur des douanes~\decofourright\\[7pt]Branche surveillance -- session 2024 }} %\medskip % %\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques} \end{center} %\begin{list}{\textbullet}{Remarques préliminaires:} %\item Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près. %\item Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur les copies destinées à cet effet. Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet. %\end{list} \bigskip \textbf{\Large{}Exercice 1} \medskip En 2020, M. DUFISC a fait sa première déclaration de revenus : il a déclaré un revenu annuel de \np{90000}~\euro, l'impôt correspondant s'est élevé à \np{8000}~\euro{} et son revenu après impôt a donc été de \np{82000}~\euro. Chacune des quatre années suivantes, son revenu annuel a augmenté de 2\;\% et l'impôt correspondant a augmenté de 3\;\%. M. DUFISC souhaite étudier ce qu'il adviendrait de son revenu après paiement de l'impôt si l'évolution constatée se poursuivait. Dans ce but, on suppose que l'évolution constatée se poursuit et, pour tout entier $n$ positif ou nul, on note : \begin{list}{\textbullet}{} \item $R_n$ le montant exprimé en euros du revenu annuel de M. DUFISC en l'an $(2020+n)$; \item $I_n$ le montant exprimé en euros de l'impôt correspondant; \item $U_n = R_n - I_n$. \end{list} Ainsi $R_0=\np{90000}$ ; $I_0=\np{8000}$ ; $U_0=\np{82000}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Calculer $R_1$; $I_1$; $U_1$; $R_2$; $I_2$; $U_2$. \begin{list}{\textbullet}{} \item $R_1 = R_0 + R_0\times \dfrac{2}{100} = \np{90000} + \np{90000}\times \dfrac{2}{100} = \np{90000} + \np{1800} = \np{91800}$ \item $I_1 = I_0 + I_0\times \dfrac{3}{100} = \np{8000} + \np{8000}\times \dfrac{3}{100} = \np{8000} + \np{240} = \np{8240}$ \item $U_1= R_1 - I_1 = \np{91800} - \np{8240} = \np{83560}$ \item $R_2 = R_1 + R_1\times \dfrac{2}{100} = \np{91800} + \np{91800}\times \dfrac{2}{100} = \np{91800} + \np{1836} = \np{93636}$ \item $I_2 = I_1 + I_1\times \dfrac{3}{100} = \np{8240} + \np{8240}\times \dfrac{3}{100} = \np{8240} + \np{247,20} = \np{8487,20}$ \item $U_2= R_2 - I_2 = \np{93636} - \np{8487,20} = \np{85148,80}$ \end{list} \item %Montrer que, pour tout entier $n$ positif on a: \\ % $R_n=\np{90000}\times (1,02)^n$ et $I_n=\np{8000}\times (1,03)^n$ \begin{list}{\textbullet}{} \item Ajouter 2\;\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{2}{100}$, soit $1,02$. La suite $(R_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q_R=1,02$ et de premier terme $R_0=\np{90000}$. On en déduit que pour tout $n$ positif, on a: \\ $R_n= R_0\times q_R^n = \np{90000}\times (1,02)^n$. \item Ajouter 3\;\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{3}{100}$, soit $1,03$. La suite $(I_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q_I=1,03$ et de premier terme $I_0=\np{8000}$. On en déduit que pour tout $n$ positif, on a: \\ $I_n= I_0\times q_I^n = \np{8000}\times (1,03)^n$. \end{list} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour tout entier $n$ positif: %$U_{n+1}-U_{n} = \np{1800}\times (1,02)^n - 240\times (1,03)^n$. $U_{n+1}-U_{n} = \left (R_{n+1} - I_{n+1}\right ) - \left (R_{n}- I_{n}\right )\\ \phantom{U_{n+1}-U_{n}} = \left (\np{90000}\times (1,02)^{n+1} - \np{90000}\times (1,02)^n \right ) - \left ( \np{8000}\times (1,03)^{n+1} - \np{8000}\times (1,03)^n\right )\\ \phantom{U_{n+1}-U_{n}} = \np{90000}\times (1,02)^n \left ( 1,02-1\right ) - \np{8000}\times (1,03)^n \left (1,03-1\right )\\ \phantom{U_{n+1}-U_{n}} = \np{90000}\times (1,02)^n \times 0,02 - \np{8000}\times (1,03)^n \times 0,03\\ \phantom{U_{n+1}-U_{n}} =\np{1800}\times (1,02)^n - 240\times (1,03)^n$ \item %Montrer que: $U_{n+1} < U_n$ équivaut à: $n\times \ln \left ( \dfrac{1,03}{1,02}\right ) > \ln \left ( \dfrac{15}{2} \right )$. $U_{n+1} < U_n \iff U_{n+1} - U_n<0 \iff \np{1800}\times (1,02)^n - 240\times (1,03)^n\\ \phantom{U_{n+1} < U_n} \iff \np{1800}\times (1,02)^n < 240\times (1,03)^n \iff \dfrac{\np{1800}}{240} < \dfrac{(1,03)^n}{(1,02)^n}\\ \phantom{U_{n+1} < U_n} \iff \dfrac{15}{2} < \left (\dfrac{1,03}{1,02}\right )^n \iff \ln \left ( \dfrac{15}{2} \right ) < \ln \left (\left (\dfrac{1,03}{1,02}\right )^n\right )\\ \phantom{U_{n+1} < U_n} \iff \ln \left ( \dfrac{15}{2} \right ) < n\times \ln \left (\dfrac{1,03}{1,02}\right ) \iff n\times \ln \left ( \dfrac{1,03}{1,02}\right ) > \ln \left ( \dfrac{15}{2} \right ) $ \end{enumerate} \end{enumerate} On admettra que les entiers $n$ supérieurs ou égaux à 207 vérifient $n\times \ln \left ( \dfrac{1,03}{1,02}\right ) > \ln \left ( \dfrac{15}{2} \right )$. \begin{enumerate}[resume] \item %Si l'évolution que M. DUFISC a constatée concernant son revenu et l'impôt correspondant se poursuit, voit-il son revenu après l'impôt diminuer? Si $n\geqslant 207$, alors $n\times \ln \left ( \dfrac{1,03}{1,02}\right ) > \ln \left ( \dfrac{15}{2} \right )$, ce qui veut dire que $U_{n+1}0$ et donc $f'(x)\geqslant 0$. On en déduit que la fonction $f$ est croissante sur $\left [0\;;\;+\infty\strut\right [$. \end{enumerate} \item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f (x)$ sur l'intervalle $\left [0\;;\;10\strut\right ]$. $f(0)= 1-\ln(1)=1$ et $f(10)=\dfrac{1}{2}\times 10 +1 -\ln\left (\dfrac{1}{2}\times 10 +1\right ) = 6-\ln(6)\approx 6-\np{1,7918} \approx \np{4,2082}$ On dresse le tableau de variations de la fonction $f $ sur l'intervalle $\left [0\;;\;10\strut\right ]$. \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} % augmentation de la hauteur de toutes les lignes \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{\hspace*{3cm}} % pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{0pt} % mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| *3{c}|} \hline x & 0 & \esp & 10 \\ \hline f'(x) & & \pmb{+} & \\ \hline & & & \Rnode{max}{\approx \np{4,2082}} \\ f(x) & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min}{1} & & \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min}{max}\\ \hline \end{array}$ } \end{center} \item %Justifier que la suite $(u_n)$ est croissante. $n$ est un entier naturel donc $n\in \left [0\;;\;+\infty\strut\right [$ et $n+1\in \left [0\;;\;+\infty\strut\right [$. $n}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\ \hline \end{array}$ } \end{center} \item %Démontrer que sur l'intervalle $\left ]0\;;\;2\strut \right ]$, l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de $\alpha$). On complète le tableau des variations de $f$ sur $\left ]0\;;\;2\strut \right ]$. \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{\hspace*{4cm}}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{20pt}% mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| l *2{c}|} \hline x & 0 & \esp & 2 \\ \hline &\vline\;\vline \Rnode{max}{~+\infty} & & \\ f(x) &\vline\;\vline & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ &\vline\;\vline & & \Rnode{min}{\approx -1,54} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{max}{min} \rput*(-3.2,0.92){\Rnode{zero}{\red 0}} \rput(-3.2,2.45){\Rnode{alpha}{\red \alpha}} \ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero} \\ \hline \end{array}$ } \end{center} La fonction $f$ est dérivable donc continue sur $\left ]0\;;\;2\strut \right ]$, elle est strictement décroissante sur cet intervalle; de plus $\ds\lim_{x\to 0} f(x)>0$ et $f(2)<0$. Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, on peut dire que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique sur $\left ]0\;;\;2\strut \right ]$. \item On admet que sur $\left [2\;;\;+\infty\strut \right [$, l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\beta$. On en déduit le signe de $f$ sur l'intervalle $\left ]0\;;\;+\infty\strut \right [$. \begin{center} { \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \def\esp{\hspace*{0.8cm}} $\begin{array}{|c | *{9}{c} |} \hline x & 0 & \esp\esp & \alpha & \esp & 2 & \esp & \beta & \esp\esp & +\infty \\ \hline f(x) &\vline\;\vline & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & & \pmb{-} & & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &\\ \hline \end{array}$ } \end{center} \item Pour tout réel $k$, on considère la fonction $g_k$ définie sur $\left ]0\;;\;+\infty\strut \right [$ par: \\ $g_k(x)=x^2-8\ln(x)+k$. Donc $g_k(x)=f(x)+k$. %En s'aidant du tableau de variation de $f$, déterminer la plus petite valeur de $k$ pour laquelle la fonction $g_k$ est positive sur l'intervalle $\left ]0\;;\;+\infty\strut \right [$. La fonction $f$ admet le nombre $4-8\ln(2)$ comme minimum; en prenant pour $k$ l'opposé du minimum soit $k=-4+8\ln(2)$, la fonction $g_k$ sera tout le temps positive, sauf en $x=2$ où elle s'annulera. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\Large{}Exercice 4} \medskip \begin{list}{\textbullet}{On dispose d'une urne contenant 6 jetons indiscernables au toucher dont:} \item trois jetons numérotés 1; \item deux jetons numérotés 2; \item un jeton numéroté 3. \end{list} et d'un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées 1, 1, 2, 2, 2, 3. L'épreuve $(E)$ consiste à tirer au hasard et simultanément deux jetons de l'urne et à lancer une fois le dé.\\ On effectue une épreuve. On suppose que tous les événements élémentaires sont équiprobables. \begin{list}{\textbullet}{On résume la situation avec des arbres pondérés.} \item Le dé comporte 6 faces qui peuvent faire apparaître les numéros 1, 2 ou 3. On note respectivement $D_1$, $D_2$ et $D_3$ l'apparition du 1, du 2 ou du 3 \begin{list}{$\circ$}{} \item Le numéro 1 est présent deux fois donc sa probabilité d'apparition est $\dfrac{2}{6}$. \item Le numéro 2 est présent trois fois donc sa probabilité d'apparition est $\dfrac{3}{6}$. \item Le numéro 3 est présent une fois donc sa probabilité d'apparition est $\dfrac{1}{6}$. \end{list} Voici l'arbre pondéré représentant le lancer du dé. \begin{center} %\bigskip \psset{treemode=R,treesep=.8cm,levelsep=4cm,nodesepB=4pt} \pstree[nodesepA=0pt]{\TR{}} { \TR{$D_1$}\ncput*{\blue $2/6$} \TR{$D_2$}\ncput*{\blue $3/6$} \TR{$D_3$} \ncput*{\blue $1/6$} } %\bigskip \end{center} \newpage \item On extrait simultanément deux numéros parmi six dans l'urne. \begin{list}{$\circ$}{Les résultats possibles sont:} \item deux 1 (événement noté $U_{11}$) avec une probabilité de $\dfrac{\binom{2}{3}}{\binom{2}{6}} = \dfrac{3}{15}$; \item un 1 et un 2 (événement noté $U_{12}$) avec une probabilité de $\dfrac{\binom{1}{3}\times \binom{1}{2}}{\binom{2}{6}} = \dfrac{6}{15}$; \item un 1 et un 3 (événement noté $U_{13}$) avec une probabilité de $\dfrac{\binom{1}{3}\times \binom{1}{1}}{\binom{2}{6}} = \dfrac{3}{15}$; \item deux 2 (événement noté $U_{22}$) avec une probabilité de $\dfrac{\binom{2}{2}}{\binom{2}{6}} = \dfrac{1}{15}$; \item un 2 et un 3 (événement noté $U_{23}$) avec une probabilité de $\dfrac{\binom{1}{2}\times \binom{1}{1}}{\binom{2}{6}} = \dfrac{2}{15}$. \end{list} On représente cette situation par un arbre pondéré. \begin{center} %\bigskip \psset{treemode=R,levelsep=4cm, treesep=15mm,nodesepB=4pt} \pstree[nodesepA=0pt]{\TR{}} { \TR{$U_{11}$}\ncput*{\blue $3/15$} \TR{$U_{12}$}\ncput*{\blue $6/15$} \TR{$U_{13}$}\ncput*{\blue $3/15$} \TR{$U_{22}$}\ncput*{\blue $1/15$} \TR{$U_{23}$}\ncput*{\blue $2/15$} } %\bigskip \end{center} \item On peut donc représenter le jeu complet: voir l'arbre 1 page \pageref{arbre1}. \end{list} \begin{enumerate} \item On va calculer les probabilités des événements ci-dessous \begin{list}{\textbullet}{} \item A : \og le produit des trois numéros obtenus est égal à 4 \fg{} Voir l'arbre 2 page \pageref{arbre2}; les trajets favorables sont en rouge. $P(\text A) =P\left (U_{12}\cap D_2\right ) + P\left (U_{22} \cap D_1\right ) = \dfrac{6}{15}\times \dfrac{3}{6} + \dfrac{1}{15}\times \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{15}+ \dfrac{2}{90} = \dfrac{18}{90} + \dfrac{2}{90} = \dfrac{20}{90} = \dfrac{2}{9}$ \item B : \og la somme des trois numéros obtenus est égale à 5 \fg{} Voir l'arbre 3 page \pageref{arbre3}; les trajets favorables sont en rouge. $P(\text B) =P\left (U_{11}\cap D_3\right ) + P\left (U_{12}\cap D_2\right ) + P\left (U_{13}\cap D_1\right ) + P\left (U_{22}\cap D_1\right ) \\[7pt] \phantom{P(\text B)} =\dfrac{3}{15} \times \dfrac{1}{6} + \dfrac{6}{15} \times \dfrac{3}{6} + \dfrac{3}{15} \times \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{15} \times \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{90} + \dfrac{18}{90} + \dfrac{6}{90} + \dfrac{2}{90} = \dfrac{29}{90}$ \end{list} \newpage \item Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de numéro 2 lors d'une épreuve. %Donner la loi de probabilité de $X$ et en dresser le tableau. Voir l'arbre 4 page \pageref{arbre4}. \begin{list}{\textbullet}{} \item Nombre de 2 égal à 0 $P(X=0) = P\left (U_{11}\cap D_1\right ) + P\left (U_{11}\cap D_3\right ) + P\left (U_{13}\cap D_1\right ) + P\left (U_{13}\cap D_3\right )\\[7pt] \phantom{P(X=0)} = \dfrac{3}{15} \times \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{15} \times \dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{15} \times \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{15} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{15} \times \dfrac{6}{6} = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}$ \item Nombre de 2 égal à 1 $P(X=1) = P\left (U_{11}\cap D_2\right ) + P\left (U_{12}\cap D_1\right ) + P\left (U_{12}\cap D_3\right ) + P\left (U_{13}\cap D_2\right ) + P\left (U_{23}\cap D_1\right )\\[7pt] \phantom{P(X=1)} + P\left (U_{23}\cap D_3\right )\\[7pt] \phantom{P(X=1)} = \dfrac{3}{15} \times \dfrac{3}{6} +\dfrac{6}{15} \times \dfrac{2}{6} +\dfrac{6}{15} \times \dfrac{1}{6} +\dfrac{3}{15} \times \dfrac{3}{6} +\dfrac{2}{15} \times \dfrac{2}{6} +\dfrac{2}{15} \times \dfrac{1}{6}\\[7pt] \phantom{P(X=1)} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{2}{15} + \dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{10} + \dfrac{2}{45} + \dfrac{1}{45} = \dfrac{9+12+6+9+4+2}{90} = \dfrac{42}{90} =\dfrac{7}{15}$ \item Nombre de 2 égal à 2 $P(X=2) = P\left (U_{12}\cap D_2\right ) + P\left (U_{22}\cap D_1\right ) + P\left (U_{22}\cap D_3\right ) + P\left (U_{23}\cap D_2\right )\\[7pt] \phantom{P(X=2)} = \dfrac{6}{15} \times \dfrac{3}{6} +\dfrac{1}{15} \times \dfrac{2}{6} +\dfrac{1}{15} \times \dfrac{1}{6} +\dfrac{2}{15} \times \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{45} + \dfrac{1}{90} + \dfrac{1}{15}\\[7pt] \phantom{P(X=2)} = \dfrac{18+2+1+6}{90} = \dfrac{27}{90} = \dfrac{3}{10}$ \item Nombre de 2 égal à 3 $P(X=3) = P\left (U_{22}\cap D_2\right ) = \dfrac{1}{15} \times \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{30}$ \end{list} On en déduit la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|} \hline $x_i$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$\\ \hline $P(X=x_i)$ & $\dfrac{1}{5}$ &$\dfrac{7}{15}$ &$\dfrac{3}{10}$ & $\dfrac{1}{30}$ \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Lors d'une épreuve, on appelle \og succès \fg{} l'obtention de trois numéros impairs. %Montrer que la probabilité d'avoir un succès est égale à $\dfrac{1}{5}$. Voir l'arbre 5 page \pageref{arbre5}. La probabilité $p$ du succès est: $p= P\left (U_{11}\cap D_1\right ) + P\left (U_{11}\cap D_3\right ) + P\left (U_{13}\cap D_1\right ) + P\left (U_{13}\cap D_3\right )\\[7pt] \phantom{p} = \dfrac{3}{15}\times \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{15}\times \dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{15}\times \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{15}\times \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{15}\times \dfrac{2+1+2+1}{6} = \dfrac{1}{5} \times 1 = \dfrac{1}{5}$ \item Soit $n\in\N\setminus \left \lbrace0\;;\;1\strut\right \rbrace$. On répète $n$ fois de suite et d'une manière indépendante l'épreuve $(E)$. Soit l'événement $A_n$: \og obtenir au moins un succès lors des $n$ épreuves \fg{}, de probabilité $P_n$. Chaque épreuve $(E)$ n'a que deux issues et on répète $n$ fois de suite et d'une manière indépendante cette épreuve. Donc la variable aléatoire $Y$ qui donne le nombre de succès sur $n$ épreuves suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=\dfrac{1}{5}$. Donc: $P_n = P\left (A_n\right ) = P(Y\geqslant 1) = 1- P(Y=0) = 1- \ds\binom{0}{n} \left (\frac{1}{5}\right )^0 \left (1-\dfrac{1}{5}\right )^{n-0}=1-\left (\dfrac{4}{5}\right )^n$ \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\Large Arbre 1}\label{arbre1} \end{center} \begin{center} \bigskip { \psset{treemode=R,levelsep=4cm, treesep=8mm,nodesepB=4pt}%labelsep=2pt, \pstree[nodesepA=0pt]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{11}$}\ncput*{\blue $3/15$}} { \TR{$D_1$}\ncput*{\blue $2/6$} \TR{$D_2$}\ncput*{\blue $3/6$} \TR{$D_3$} \ncput*{\blue $1/6$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{12}$}\ncput*{\blue $6/15$}} { \TR{$D_1$}\ncput*{\blue $2/6$} \TR{$D_2$}\ncput*{\blue $3/6$} \TR{$D_3$} \ncput*{\blue $1/6$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{13}$}\ncput*{\blue $3/15$}} { \TR{$D_1$}\ncput*{\blue $2/6$} \TR{$D_2$}\ncput*{\blue $3/6$} \TR{$D_3$} \ncput*{\blue $1/6$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{22}$}\ncput*{\blue $1/15$}} { \TR{$D_1$}\ncput*{\blue $2/6$} \TR{$D_2$}\ncput*{\blue $3/6$} \TR{$D_3$} \ncput*{\blue $1/6$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{23}$}\ncput*{\blue $2/15$}} { \TR{$D_1$}\ncput*{\blue $2/6$} \TR{$D_2$}\ncput*{\blue $3/6$} \TR{$D_3$} \ncput*{\blue $1/6$} } } } %\bigskip \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{\Large Arbre 2}\label{arbre2} \end{center} \begin{center} \bigskip %%% produit { \def\ARouge{\ncline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]} \psset{treemode=R,levelsep=4cm, treesep=8mm,nodesepB=4pt}%labelsep=2pt, \pstree[nodesepA=0pt]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{11}$}\ncput*{\blue $3/15$}} { \TR{$D_1$}~{produit 1}\ncput*{\blue $2/6$} \TR{$D_2$}~{produit 2}\ncput*{\blue $3/6$} \TR{$D_3$}~{produit 3}\ncput*{\blue $1/6$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR[edge=\ARouge]{$U_{12}$}\ncput*{\blue $6/15$}} { \TR{$D_1$}~{produit 2}\ncput*{\blue $2/6$} \TR[edge=\ARouge]{$D_2$}~{\red produit 4}\ncput*{\blue $3/6$} \TR{$D_3$}~{produit 6}\ncput*{\blue $1/6$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{13}$}\ncput*{\blue $3/15$}} { \TR{$D_1$}~{produit 3}\ncput*{\blue $2/6$} \TR{$D_2$}~{produit 6}\ncput*{\blue $3/6$} \TR{$D_3$}~{produit 9}\ncput*{\blue $1/6$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR[edge=\ARouge]{$U_{22}$}\ncput*{\blue $1/15$}} { \TR[edge=\ARouge]{$D_1$}~{\red produit 4}\ncput*{\blue $2/6$} \TR{$D_2$}~{produit 8}\ncput*{\blue $3/6$} \TR{$D_3$}~{produit 12}\ncput*{\blue $1/6$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{23}$}\ncput*{\blue $2/15$}} { \TR{$D_1$}~{produit 6}\ncput*{\blue $2/6$} \TR{$D_2$}~{produit 12}\ncput*{\blue $3/6$} \TR{$D_3$}~{produit 18}\ncput*{\blue $1/6$} } } } %\bigskip \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{\Large Arbre 3}\label{arbre3} \end{center} \begin{center} \bigskip %%% somme { \def\ARouge{\ncline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]} \psset{treemode=R,levelsep=4cm, treesep=8mm,nodesepB=4pt}%labelsep=2pt, \pstree[nodesepA=0pt]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR[edge=\ARouge]{$U_{11}$}\ncput*{\blue $3/15$}} { \TR{$D_1$}~{somme 3}\ncput*{\blue $2/6$} \TR{$D_2$}~{somme 4}\ncput*{\blue $3/6$} \TR[edge=\ARouge]{$D_3$}~{\red somme 5}\ncput*{\blue $1/6$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR[edge=\ARouge]{$U_{12}$}\ncput*{\blue $6/15$}} { \TR{$D_1$}~{somme 4}\ncput*{\blue $2/6$} \TR[edge=\ARouge]{$D_2$}~{\red somme 5}\ncput*{\blue $3/6$} \TR{$D_3$}~{somme 6}\ncput*{\blue $1/6$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR[edge=\ARouge]{$U_{13}$}\ncput*{\blue $3/15$}} { \TR[edge=\ARouge]{1}~{\red somme 5}\ncput*{\blue $2/6$} \TR{$D_2$}~{somme 6}\ncput*{\blue $3/6$} \TR{$D_3$}~{somme 7}\ncput*{\blue $1/6$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR[edge=\ARouge]{$U_{22}$}\ncput*{\blue $1/15$}} { \TR[edge=\ARouge]{$D_1$}~{\red somme 5}\ncput*{\blue $2/6$} \TR{$D_2$}~{somme 6}\ncput*{\blue $3/6$} \TR{$D_3$}~{somme 7}\ncput*{\blue $1/6$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{23}$}\ncput*{\blue $2/15$}} { \TR{$D_1$}~{somme 6}\ncput*{\blue $2/6$} \TR{$D_2$}~{somme 7}\ncput*{\blue $3/6$} \TR{$D_3$}~{somme 8}\ncput*{\blue $1/6$} } } } %\bigskip \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{\Large Arbre 4}\label{arbre4} \end{center} \begin{center} \bigskip { \newrgbcolor{vb}{0 0.545 0} \psset{treemode=R,levelsep=4cm, treesep=8mm,nodesepB=4pt}%labelsep=2pt, \pstree[nodesepA=0pt]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{11}$}\ncput*{\blue $3/15$}} { \TR{$D_1$}~{\vb nombre de 2: 0}\ncput*{\blue $2/6$} \TR{$D_2$}~{nombre de 2: 1}\ncput*{\blue $3/6$} \TR{$D_3$}~{\vb nombre de 2: 0}\ncput*{\blue $1/6$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{12}$}\ncput*{\blue $6/15$}} { \TR{$D_1$}~{nombre de 2: 1}\ncput*{\blue $2/6$} \TR{$D_2$}~{\blue nombre de 2: 2}\ncput*{\blue $3/6$} \TR{$D_3$}~{nombre de 2: 1}\ncput*{\blue $1/6$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{13}$}\ncput*{\blue $3/15$}} { \TR{$D_1$}~{\vb nombre de 2: 0}\ncput*{\blue $2/6$} \TR{$D_2$}~{nombre de 2: 1}\ncput*{\blue $3/6$} \TR{$D_3$}~{\vb nombre de 2: 0}\ncput*{\blue $1/6$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{22}$}\ncput*{\blue $1/15$}} { \TR{$D_1$}~{\blue nombre de 2: 2}\ncput*{\blue $2/6$} \TR{$D_2$}~{\red nombre de 2: 3}\ncput*{\blue $3/6$} \TR{$D_3$}~{\blue nombre de 2: 2}\ncput*{\blue $1/6$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{23}$}\ncput*{\blue $2/15$}} { \TR{$D_1$}~{nombre de 2: 1}\ncput*{\blue $2/6$} \TR{$D_2$}~{\blue nombre de 2: 2}\ncput*{\blue $3/6$} \TR{$D_3$}~{nombre de 2: 1}\ncput*{\blue $1/6$} } } } %\bigskip \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{\Large Arbre 5}\label{arbre5} \end{center} \begin{center} \bigskip { \def\ARouge{\ncline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]} \psset{treemode=R,levelsep=4cm, treesep=8mm,nodesepB=4pt}%labelsep=2pt, \pstree[nodesepA=0pt]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR[edge=\ARouge]{$U_{11}$}\ncput*{\blue $3/15$}} { \TR[edge=\ARouge]{$D_1$}~{\red{}nb numéros impairs: 3}\ncput*{\blue $2/6$} \TR{$D_2$}~{nb numéros impairs: 2}\ncput*{\blue $3/6$} \TR[edge=\ARouge]{$D_3$}~{\red{}nb numéros impairs: 3}\ncput*{\blue $1/6$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{12}$}\ncput*{\blue $6/15$}} { \TR{$D_1$}~{nb numéros impairs: 2}\ncput*{\blue $2/6$} \TR{$D_2$}~{nb numéros impairs: 1}\ncput*{\blue $3/6$} \TR{$D_3$}~{nb numéros impairs: 2}\ncput*{\blue $1/6$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR[edge=\ARouge]{$U_{13}$}\ncput*{\blue $3/15$}} { \TR[edge=\ARouge]{$D_1$}~{\red{}nb numéros impairs: 3}\ncput*{\blue $2/6$} \TR{$D_2$}~{nb numéros impairs: 2}\ncput*{\blue $3/6$} \TR[edge=\ARouge]{$D_3$}~{\red{}nb numéros impairs: 3}\ncput*{\blue $1/6$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{22}$}\ncput*{\blue $1/15$}} { \TR{$D_1$}~{nb numéros impairs: 1}\ncput*{\blue $2/6$} \TR{$D_2$}~{nb numéros impairs: 0}\ncput*{\blue $3/6$} \TR{$D_3$}~{nb numéros impairs: 1}\ncput*{\blue $1/6$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{23}$}\ncput*{\blue $2/15$}} { \TR{$D_1$}~{nb numéros impairs: 2}\ncput*{\blue $2/6$} \TR{$D_2$}~{nb numéros impairs: 1}\ncput*{\blue $3/6$} \TR{$D_3$}~{nb numéros impairs: 2}\ncput*{\blue $1/6$} } } } %\bigskip \end{center} \end{document}