\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{tabularx} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \usepackage{arydshln} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Corrigé : François Hache \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=1.9cm, bottom=2.4cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat spécialité}, pdftitle = {Concours contrôleur des douanes session 2024\\}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{4pt} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours contrôleur des douanes} \lfoot{\small{Contrôle des opérations commerciales}} \rfoot{\small{session 2024}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Concours contrôleur des douanes session 2024~\decofourright\\[7pt]Branche du contrôle des opérations commerciales et de l'administration générale}} \end{center} %\textbf{Remarques préliminaires :\\ %-- Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.\\ %-- Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. \emph{Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet}.} \bigskip \textbf{\large Exercice 1} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty~;~-2[ \cup ]-2~;~+ \infty[$ par: $f(x) = \dfrac{x^3 +x^2 + x + 1}{x + 2}.$ %\smallskip \begin{enumerate} \item On détermine les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. \begin{list}{\textbullet}{} \item La fonction $f$ est une fonction rationnelle donc sa limite en l'infini est la limite du quotient de ses termes de plus haut degré. $\ds\lim_{x\to -\infty} f(x) = \ds\lim_{x\to -\infty} \dfrac{x^3 +x^2 + x + 1}{x + 2} = \ds\lim_{x\to -\infty} \dfrac{x^3}{x} = \ds\lim_{x\to -\infty} x^2 = +\infty$ $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x) = \ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{x^3 +x^2 + x + 1}{x + 2} = \ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{x^3}{x} = \ds\lim_{x\to +\infty} x^2 = +\infty$ \item Limite à gauche de $-2$ $\left . \begin{array}{r} \ds\lim_{x\to -2 \atop x<-2} x^3+x^2+x+1 = -5<0\\ \ds\lim_{x\to -2 \atop x<-2} x+2 = 0\\ x+2<0 \end{array} \right \} \implies \ds\lim_{x\to -2 \atop x<-2} f(x)=+\infty$ \item Limite à droite de $-2$ $\left . \begin{array}{r} \ds\lim_{x\to -2 \atop x>-2} x^3+x^2+x+1 = -5<0\\ \ds\lim_{x\to -2 \atop x>-2} x+2 = 0\\ x+2>0 \end{array} \right \} \implies \ds\lim_{x\to -2 \atop x>-2} f(x)=-\infty$ \end{list} \item $f'(x) = \dfrac{\left ( 3x^2+2x+1 \right )\times \left ( x+2\right ) - \left ( x^3+x^2+x+1\right ) \times 1}{\left (x+2\right )^2}\\ \phantom{f'(x)} =\dfrac{3x^3+2x^2+x +6x^2+4x+2 -x^3-x^2-x-1}{\left (x+2\right )^2} =\dfrac{2x^3+7x^2 + 4x +1}{\left (x+2\right )^2}$ \item On note $g$ la fonction définie sur $\R$ par: $g(x) = 2x^3 + 7x^2 + 4x + 1$. \begin{enumerate} \item %Étudier les variations de la fonction $g$ et dresser son tableau de variation complet. $g'(x)= 6x^2 + 14x +4$ On détermine le signe du trinôme $6x^2 + 14x +4$. $\Delta= 14^2-4 \times 6 \times 4 = 100=10^2$ Le trinôme admet deux racines: $x'=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-14-10}{2\times 6}=-2$ et $x''=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-14+10}{2\times 6}=\dfrac{-4}{12}=-\dfrac{1}{3}$. D'où le signe de $g'(x)$ sur $\R$: \begin{center} { \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \def\esp{\hspace*{1cm}} $\begin{array}{|c | *{7}{c} |} \hline x & -\infty & \esp & -2 & \esp & -\frac{1}{3} & \esp & +\infty \\ \hline g'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \\ \hline \end{array}$ } \end{center} $\ds\lim_{x\to -\infty} g(x) = \ds\lim_{x\to -\infty} 2x^3 + 7x^2 + 4x + 1 = \ds\lim_{x\to -\infty} 2x^3 = -\infty$ $\ds\lim_{x\to +\infty} g(x) = \ds\lim_{x\to +\infty} 2x^3 + 7x^2 + 4x + 1 = \ds\lim_{x\to +\infty} 2x^3 = +\infty$ $g(-2)= 2\times (-2)^3 + 7\times (-2)^2 + 4\times (-2) +1 = -16+28-8+1=5$ $g \left (-\dfrac{1}{3}\right )= 2\times \left (-\dfrac{1}{3}\right )^3 + 7\times \left (-\dfrac{1}{3}\right )^2 + 4\times \left (-\dfrac{1}{3}\right ) +1 =-\dfrac{2}{27}+\dfrac{7}{9}- \dfrac{4}{3}+1 = \dfrac{10}{27}$ On établit le tableau des variations de $g$ sur $\R$. \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{\hspace*{1cm}}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| *6{c} c|} \hline x & -\infty & \esp & -2 & \esp & -\frac{1}{3} & \esp & +\infty \\ \hline g'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\ \hline & & & \Rnode{max1}{5} & & & & \Rnode{max2}{+\infty} \\ g(x) & & & & & & & \rule{0pt}{\hauteur}\\ & \Rnode{min1}{-\infty} & & & & \Rnode{min2}{\frac{10}{27}} & & \rule[-7pt]{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max1} \ncline{->}{max1}{min2} \ncline{->}{min2}{max2} \\ \hline \end{array}$ } \end{center} \item %Montrer que l'équation $g(x)= 0$ admet une solution unique sur $]-\infty~;~-2[$, que l'on notera $\alpha$. La fonction $g$ est une fonction polynôme donc elle est continue sur $\R$. De plus elle est strictement décroissante sur $]-\infty~;~-2[$. Enfin $\ds\lim_{x\to -\infty} g(x)<0$ et $g(-2)=5>0$. \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \def\esp{\hspace*{3cm}} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres $\begin{array}{|c| *3{c}|} \hline x & -\infty & \esp & -2 \\ \hline & & & \Rnode{max}{5} \\ g(x) & & & \\ & \Rnode{min}{-\infty} & & \ncline{->}{min}{max} \rput*(-2,0.8){\Rnode{zero}{\red 0}} \rput(-2,1.9){\Rnode{alpha}{\red \alpha}} \ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}\\ \hline \end{array}$ } \end{center} Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, on peut dire que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique sur $]-\infty~;~-2[$. On l'appelle $\alpha$ et on admettra que $\alpha = - 2,86$. \item %L'équation $g(x) = 0$ admet-elle d'autres solutions dans $\R$ ? D'après son tableau de variations, on peut dire que la fonction $g$ admet sur l'intervalle $[-2\;;\; +\infty[$ un minimum égal à $\frac{10}{27}$, donc strictement positif. On en déduit que l'équation $g(x)=0$ n'a pas de solution sur $[-2\;;\; +\infty[$. \end{enumerate} \item %Dresser un tableau indiquant, en fonction de $x$, le signe de $f'(x)$ et les variations de $f$. $f'(x) =\dfrac{2x^3+7x^2 + 4x +1}{\left (x+2\right )^2}=\dfrac{g(x)}{\left (x+2\right )^2}$ D'après les questions précédentes, on peut déterminer le signe de $g(x)$, puis le signe de $f'(x)$, puis les variations de la fonction $f$. \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{\hspace*{1cm}}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| *{7}{c} |} \hline x & -\infty & \esp & \alpha & \esp & -2 & \esp & +\infty \\ \hline g(x) & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \\ \hline (x+2)^2 & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0& \pmb{+} &\\ \hline f'(x) & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \vline\;\vline & \pmb{+} & \\ \hline & \Rnode{max1}{+\infty} & & & &\Rnode{max2}{+\infty~} \vline\;\vline\phantom{+\infty~} & & \Rnode{max3}{+\infty} \\ f (x) & & & & & \vline\;\vline & & \rule{0pt}{\hauteur}\\ & & & \Rnode{min1}{f(\alpha)} & & \phantom{~-\infty}\vline\;\vline \Rnode{min2}{~-\infty} & & \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{max1}{min1} \ncline{->}{min1}{max2} \ncline{->}{min2}{max3}\\ \hline \end{array}$ } \end{center} $f(\alpha)\approx 19,85$ \end{enumerate} %\bigskip \newpage \textbf{\large Exercice 2} \medskip Une entreprise de location de voitures sur circuit propose à ses clients deux types de voitures : voiture à moteur classique ou voiture électrique. Par ailleurs, un client peut prendre l'option PILOTE. Dans ce cas, la voiture, qu'elle soit électrique ou à moteur classique, est louée avec un pilote. \begin{list}{\textbullet}{On sait que:} \item 60\,\% des clients choisissent une voiture électrique ; parmi eux, 20\,\% prennent l'option PILOTE ; \item 42\,\% des clients prennent l'option PILOTE. \end{list} \medskip \begin{list}{\textbullet}{On choisit au hasard un client et on considère les évènements:} \item $E$ : le client choisit une voiture électrique; \item $L$ : le client prend l'option PILOTE. \end{list} \medskip \textbf{Partie A :} \medskip \begin{enumerate} \item On traduit la situation par un arbre pondéré. \begin{center} %\bigskip \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$E$}\naput{$0,60$}} { \TR{$L$}\naput{$0,20$} \TR{$\overline{L}$}\nbput{\blue $1-0,20=0,80$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{E}$}\nbput{\blue $1-0,60=0,40$}} { \TR{$L$}\naput{} \TR{$\overline{L}$}\nbput{} } } %\bigskip \end{center} \item La probabilité que le client choisisse une voiture électrique et qu'il ne prenne pas l'option PILOTE est: $P\left ( E\cap \overline{L} \right ) = P(E)\times P_{E}\left (\overline{L}\right ) = 0,60\times 0,80=0,48$. \item La probabilité que le client choisisse une voiture à moteur classique et qu'il prenne l'option PILOTE est: $P\left ( \overline{E}\cap L\right )$. On sait que 42\,\% des clients prennent l'option PILOTE, donc $P(L)=0,42$. D'après la formule des probabilités totales: $P(L)=P(E\cap L) + P \left ( \overline{E}\cap L\right )$. $P(E\cap L)=0,6\times 0,2 = 0,12$ donc $0,42 = 0,12 + P \left ( \overline{E}\cap L\right )$ donc $P \left ( \overline{E}\cap L\right )=0,30$. \item %En déduire $P_{\overline{E}}(L)$, probabilité de $L$ sachant que $E$ n'est pas réalisé. $P_{\overline{E}}(L) = \dfrac{P\left ( \overline{E} \cap L\right )}{P\left ( \overline{E} \right )} = \dfrac{0,30}{0,40}=0,75$ On peut compléter l'arbre pondéré. \begin{center} %\bigskip \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$E$}\naput{$0,60$}} { \TR{$L$}\naput{$0,20$} \TR{$\overline{L}$}\nbput{$0,80$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{E}$}\nbput{$0,40$}} { \TR{$L$}\naput{\blue $0,75$} \TR{$\overline{L}$}\nbput{\blue $1-0,75=0,25$} } } %\bigskip \end{center} \item Un client a pris l'option PILOTE. La probabilité qu'il ait choisi une voiture électrique est: $P_{L}(E)=\dfrac{P(E\cap L)}{P(L)} = \dfrac{0,12}{0,42}=\dfrac{2}{7}\approx 0,29$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B :} \medskip Les arrondis se feront à $10^{-4}$ près. Lorsqu'un client ne prend pas l'option PILOTE, la probabilité que sa voiture subisse un accident est égale à $0,12$. Cette probabilité est de $0,005$ si le client prend l'option PILOTE. %\smallskip On considère un client. On note $A$ l'évènement : sa voiture subit un accident. %\medskip \begin{enumerate} \item On résume la situation par un arbre pondéré. \begin{center} \bigskip \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$L$}\naput{$0,42$}} { \TR{$A$}\naput{$0,05$} \TR{$\overline{A}$}\nbput{\blue $1-0,05=0,95$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{L}$}\nbput{\blue $1-0,42=0,58$}} { \TR{$A$}\naput{$0,12$} \TR{$\overline{A}$}\nbput{\blue $1-0,12=0,88$} } } \bigskip \end{center} $P(L \cap A)=0,42\times 0,05 = 0,021$ et $P\left(\overline{L} \cap A\right) = 0,58 \times 0,12 = \np{0,0696}$ \item L'entreprise loue \np{1000} voitures. $P(A) = P(L \cap A) + P\left(\overline{L} \cap A\right) = 0,021 + \np{0,0696} = \np{0,0906}$ Il y a donc environ 9\;\% de risque d'accident, donc l'entreprise peut s'attendre à environ 90 accidents si elle loue $\np{1000}$ voitures. %À combien d'accidents peut-elle s'attendre ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Exercice 3} \medskip On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 8$ et, pour tout entier naturel, $u_{n+1} = \dfrac{6 u_n + 2}{u_n+ 5}.$ \begin{enumerate} \item $u_1 = \dfrac{6 u_0 + 2}{u_0+ 5} = \dfrac{6\times 8 +2}{8+5} =\dfrac{50}{13}$ \item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par: $f(x) = \dfrac{6x + 2}{x + 5}.$ %Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a: $u_{n+1}= f\left(u_n\right)$. \begin{enumerate} \item %Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. $f'(x)= \dfrac{6\times(x+5) - (6x+2)\times 1}{(x+2)^2} = \dfrac{6x+30-6x-2}{(x+5)^2} = \dfrac{28}{(x+5)^2}$ $f'(x)>0$ donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$. %En déduire que pour tout réel $x > 2$,on a $f(x) > 2$. On déduit que si $x>2$, on a $f(x)>f(2)$. Or $f(2)=\dfrac{6\times 2+2}{2+5} = \dfrac{14}{7}=2$. Donc pour tout réel $x > 2$,on a $f(x) > 2$. \item On va démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n > 2$. \begin{list}{\textbullet}{} \item \textbf{Initialisation} Pour $n=0$, $u_n=u_0=8>2$; donc la propriété est vraie au rang 0. \item \textbf{Hérédité} On suppose que la propriété est vraie au rang $n$, c'est-à-dire $u_n>2$. La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0\;;\;+\infty[$ donc $f(u_n)>f(2)$. Or $f(u_n)=u_{n+1}$ et $f(2)=2$; on déduit que $u_{n+1}>2$ et donc que la propriété est vraie au rang $n+1$. \item \textbf{Conclusion} La propriété est vraie pour $n=0$ et elle est héréditaire. Donc, d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout $n$. \end{list} \end{enumerate} \item On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a: $u_{n+1} - u_n = \dfrac{\left(2 - u_n\right)\left(u_n + 1\right)}{u_n + 5}.$ \begin{enumerate} \item %Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante. Pour tout $n$, on a $u_n>2$ donc $u_n+1>0$, $u_n+5>0$ et $2-u_n<0$ Donc $\dfrac{\left(2 - u_n\right)\left(u_n + 1\right)}{u_n + 5}<0$ et donc $u_{n+1}-u_n <0$. La suite $(u_n)$ est donc décroissante. \item% En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. Pour tout $n$, $u_n>2$ donc la suite $(u_n)$ est minorée par 2. La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée donc, d'après le théorème de la convergence monotone, on peut déduire que la suite $(u_n)$ est convergente. \end{enumerate} \item On définit la suite $\left(v_n\right)$ pour tout entier naturel par : $v_n = \dfrac{u_n - 2}{u_n + 1}$. \begin{enumerate} \item $v_0 = \dfrac{u_0 - 2}{u_0 + 1} = \dfrac{8-2}{8+1}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$ \item %Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac47$. $v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1} - 2}{u_{n+1} + 1} = \dfrac{\dfrac{6 u_n + 2}{u_n+ 5}-2}{\dfrac{6 u_n + 2}{u_n+ 5}+1} = \dfrac{\dfrac{6 u_n + 2-2u_n-10}{u_n+ 5}}{\dfrac{6 u_n + 2 +u_n+5}{u_n+ 5}} = \dfrac{4u_n - 8}{u_n+5}\times \dfrac{u_n+5}{7u_n+7}\\ \phantom{v_{n+1}} = \dfrac{4\left (u_n-2\right )}{7\left ( u_n+1\right )} =\dfrac{4}{7}\times \dfrac{u_n-2}{u_n+1} =\dfrac{4}{7}v_n$ Donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac47$ et de premier terme $v_0=\dfrac{2}{3}$. \item %Déterminer, en justifiant, la limite de $\left(v_n\right)$. $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac47$ et de premier terme $v_0=\dfrac{2}{3}$ donc, pour tout $n$, on a $v_n=\dfrac{2}{3}\times \left (\dfrac{4}{7}\right )^n$. Or $-1<\dfrac{4}{7}<1$, donc $\ds\lim_{n\to +\infty} v_n = 0$. %En déduire la limite de $\left(u_n\right)$. Pour tout $n$, $u_n-2 \neq u_n+1$ donc $\dfrac{u_n-2}{u_n+1}\neq 1$ donc $v_n \neq 1$. $v_n = \dfrac{u_n - 2}{u_n + 1} \iff v_n u_n + v_n = u_n - 2 \iff 2+v_n = u_n\left (1-v_n\right ) \iff \dfrac{2+v_n}{1-v_n} = u_n$ $\ds\lim_{n\to +\infty} v_n = 0$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty} 2+v_n = 2$ et $\ds\lim_{n\to +\infty} 1-v_n = 0$; donc $\ds\lim_{n\to +\infty} \dfrac{2+v_n}{1-v_n} = 2$ et donc $\ds\lim_{n\to +\infty} u_n=2$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\large Exercice 4} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $(\mathcal{P})$ le plan défini par le point M$(-1~;~1~;~0)$ et par le vecteur normal $\vect{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}2\\3\\5\end{pmatrix}$. Soit A$(1~;~-4~;~5)$. On veut déterminer la distance du point A au plan $(\mathcal{P})$, c'est-à-dire la distance AH, où H est le projeté orthogonal de A sur $(\mathcal{P})$. \begin{enumerate} \item% Exprimer $\vectt{AM} \cdot \vect{n}$ en fonction de la distance AH. $\vectt{AM} \cdot \vect{n} = \left (\vectt{AH}+\vectt{HM}\right ) \cdot \vect{n} =\vectt{AH}\cdot \vect{n}+\vectt{HM} \cdot \vect{n}$ Or H et M sont deux points du plan $(\mathcal{P})$ dont $\vect{n}$ est un vecteur normal, donc $\vectt{HM}\perp \vect{n}$ et donc $\vectt{HM} \cdot \vect{n}=0$. On en déduit que $\vectt{AM} \cdot \vect{n} =\vectt{AH}\cdot \vect{n}$. Le point H est le projeté orthogonal du point A sur le plan $(\mathcal{P})$, donc les vecteurs $\vectt{AH}$ et $\vect{n}$ sont colinéaires. \begin{list}{\textbullet}{On en déduit que:} \item $\vectt{AH}\cdot \vect{n}= \text{AH}\times \left |\left |\vect{n}\right |\right |$ si $\vectt{AH}$ et $\vect{n}$ sont de même sens; \item $\vectt{AH}\cdot \vect{n}= -\text{AH}\times \left |\left |\vect{n}\right |\right |$ si $\vectt{AH}$ et $\vect{n}$ sont de sens contraire. \end{list} $\left |\left |\vect{n}\right |\right |= \ds\sqrt{2^2+3^2+5^2}= \sqrt{38}$ On peut donc en déduire que $\left|\vectt{AM} \cdot \vect{n}\right| = \text{AH}\sqrt{38}$. \item %En déduire la distance A au plan $(\mathcal{P})$. $\vectt{AM}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} -1-1\\ 1-(-4) \\ 0-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ -5 \end{pmatrix}$ et $\vect{n}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}2\\3\\5\end{pmatrix}$. Donc $\vectt{AM} \cdot \vect{n} = -2\times 2 + 5\times 3 +(-5)\times 5 = -14$. $\left|\vectt{AM} \cdot \vect{n}\right| = \text{AH}\sqrt{38}$ équivaut à $14=\text{AH}\sqrt{38}$ c'est-à-dire $\text{AH} = \dfrac{14}{\sqrt{38}}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $(\mathcal{P})$ le plan défini par le point $M(x~;~y~;~z)$ et par le vecteur normal $\vect{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$. Soit $A\left(x_{A}~;~y_{A}~;~z_{A}\right)$ un point de l'espace et $H$ son projeté orthogonal sur le plan $(\mathcal{P})$. %\medskip \begin{enumerate} \item %Exprimer $\vect{AM} \cdot \vect{n}$ en fonction de $AH,\: a,\: b$ et $c$. $\vect{AM} \cdot \vect{n} = \left (\vect{AH}+\vect{HM}\right ) \cdot \vect{n} =\vect{AH}\cdot \vect{n}+\vect{HM} \cdot \vect{n}$ Or $H$ et $M$ sont deux points du plan $(\mathcal{P})$ dont $\vect{n}$ est un vecteur normal, donc $\vect{HM}\perp \vect{n}$ et donc $\vect{HM} \cdot \vect{n}=0$. On en déduit que $\vect{AM} \cdot \vect{n} =\vect{AH}\cdot \vect{n}$. Le point $H$ est le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $(\mathcal{P})$, donc les vecteurs $\vect{AH}$ et $\vect{n}$ sont colinéaires. $\left |\left |\vect{n}\right |\right |= \ds\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ \begin{list}{\textbullet}{On en déduit que:} \item $\vect{AH}\cdot \vect{n}= AH\times \ds\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ si $\vect{AH}$ et $\vect{n}$ sont de même sens; \item $\vect{AH}\cdot \vect{n}= -AH\times \ds\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ si $\vect{AH}$ et $\vect{n}$ sont de sens contraire. \end{list} On peut donc en déduire que $\left|\vect{AM} \cdot \vect{n}\right| = AH \times \ds\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. \item% Montrer que $\left | \vect{AM} \cdot \vect{n}\right | = \left|ax_{A}+ by_{A} + cz_{A} -d\right|$ où $d$ est une constante à préciser. $\vect{AM}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x-x_A \\ y-y_A \\ z-z_A \end{pmatrix}$ et $\vect{n}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$. $\text{Donc }\vect{AM} \cdot \vect{n} = a\left (x-x_A\right ) + b\left ( y-y_A\right ) + c\left ( z-z_A \right )\\ \phantom{\text{Donc }\vect{AM} \cdot \vect{n}} = -ax_A -by_A -cz_A + ax +by +cz \\ \phantom{\text{Donc }\vect{AM} \cdot \vect{n}} = -\left (ax_A +by_A +cz_A -\left ( ax +by +cz \right )\right )$ $\text{et donc }\left | \vect{AM} \cdot \vect{n} \right | = \left | -\left (ax_A +by_A +cz_A - \left ( ax +by +cz \right )\right ) \right |\\ \phantom{\text{et donc }\left | \vect{AM} \cdot \vect{n} \right | } = \left | ax_A +by_A +cz_A - \left ( ax +by +cz \right ) \right |\\ \phantom{\text{et donc }\left | \vect{AM} \cdot \vect{n} \right | } = \left | ax_A +by_A +cz_A +d \right |$ avec $d=- \left ( ax +by +cz \right )$. \item %Exprimer alors la distance de $A$ à $(\mathcal{P})$ en fonction de $x_{A},\: y_{A}, \:z_{A},\: a,\: b,\: c$ et $d$. On a vu que: $\left|\vect{AM} \cdot \vect{n}\right| = AH \times \ds\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ et que: $\left|\vect{AM} \cdot \vect{n}\right| = \left | ax_A +by_A +cz_A +d \right |$. On en déduit que $AH \times \ds\sqrt{a^2+b^2+c^2} = \left | ax_A +by_A +cz_A +d \right |$, et donc que: $AH = \dfrac{\left | ax_A +by_A +cz_A +d \right |}{\ds\sqrt{a^2+b^2+c^2} }$. \end{enumerate} \end{document}