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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du concours de contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{Contrôle des opérations commerciales}}
\rfoot{\small{session 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes session 2015~\decofourright\\[7pt]Branche du contrôle des opérations commerciales et de l'administration générale}\\[7pt]23 février 2015\quad Durée : 3 heures}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\textbf{Remarque préliminaire :\\
Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au millième près.}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R-\{1\}$ par:
\[f(x) = x + 2 + \dfrac{16}{x - 1}.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminez les limites de $f$ en $+ \infty$, en $- \infty$ et en 1 (à droite et à gauche).
$\bullet~~$Limite en plus l'infini :

On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{16}{x - 1} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x + 2 = + \infty$, d'où $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = + \infty$.

$\bullet~~$Limite en moins l'infini :

On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{16}{x - 1} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x + 2 = - \infty$, d'où $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = - \infty$.

$\bullet~~$Limite en 1 :

Pour $x > 1$, \:$\displaystyle\lim_{x \to 1\atop x > 1} \dfrac{16}{x - 1} = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}x + 2 = 3$, d'où $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = + \infty$ ;

Pour $x < 1$, \:$\displaystyle\lim_{x \to 1\atop x < 1} \dfrac{16}{x - 1} = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}x + 2 = 3$, d'où $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = - \infty$
\item %Démontrez que la droite d'équation $y = x + 2$ est une asymptote oblique à $\mathcal{C}$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.
Soit la fonction $d$ définie sur $\R- \{1\}$ par : $d(x) = f(x) - (x + 2) = \dfrac{16}{x - 1}$.

On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} d(x) = \displaystyle\lim_{x \to - \infty} d(x) = 0$.

Ceci montre que la droite d'équation $y = x + 2$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}$ au voisinage de l'infini.
\item %Calculez la fonction dérivée $f'$ de $f$.
$f$ est une somme de fonctions dérivables sur $\R- \{1\}$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = 1 - \dfrac{16}{(x - 1)^2} = \dfrac{(x - 1)^2 - 16}{(x - 1)^2} = \dfrac{(x - 1 + 4)(x - 1 - 4)}{(x - 1)^2} = \dfrac{(x + 3)(x - 5)}{(x - 1)^2}$.

Comme $(x - 1)^2 > $, le signe de $f'(x)$ est celui du trinôme $(x + 3)(x - 5)$.

Celui-ci est positif sauf entre les racines $-3$ et 5.

Donc la fonction $f$ est croissante sauf sur l'intervalle $[-3~;~5]$ où elle est décroissante.

On a $f(-3) = -3 + 2 + \dfrac{16}{-3 - 1} = - 1 - 4 = - 5$ et $f(5) = 5 + 2 + \dfrac{16}{5 - 1} = 7 + 4 = 11$.
\item %Déduisez-en le tableau de variations de $f$.
D'où le tableau de variations de $f$ :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(13,3)
\psframe(13,3)\psline(0,2)(13,2)\psline(0,2.5)(13,2.5)\psline(1,0)(1,3)\psline(6.95,0)(6.95,2.5)
\psline(7.05,0)(7.05,2.5)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.4,2.4){$- \infty$} \uput[u](4,2.4){$- 3$} \uput[u](7,2.4){$1$} \uput[u](10,2.4){$5$}\uput[u](12.6,2.4){$+\infty$} 
\uput[u](0.5,1.9){$f'(x)$} \uput[u](2.5,1.9){$+$} \uput[u](4,1.9){$0$} \uput[u](5.5,1.9){$-$} 
\uput[u](10,1.9){$0$} \uput[u](8.5,1.9){$-$} \uput[u](11.5,1.9){$+$}
\uput[u](1.4,0){$-\infty$}\uput[d](4,2){$-5$}\uput[u](10,0){11}\uput[u](6.5,0){$-\infty$}\uput[u](7.4,1.5){$+ \infty$}\uput[d](12.6,2){$+ \infty$}
\rput(0.5,1){$f$}
\psline{->}(1.4,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)\psline{->}(7.5,1.5)(9.5,0.5)
\psline{->}(10.4,0.5)(12.6,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}
\item %Déterminez une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $x = 0$.
On a $M(x~;~y) \in T \iff y - f(0) = f'(0)(x - 0)$.

Avec $f(0) = 2 + \dfrac{16}{-1} = - 14$ et $f'(0) = \dfrac{3 \times (- 5)}{(- 1)^2} = - 15$, on obtient :

$M(x~;~y) \in T \iff y - (- 14) = - 15(x - 0) \iff y = - 15x - 14$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

%On considère trois vecteurs non coplanaires $\vect{\imath},\:\vect{\jmath}, \vect{k}$ et on définit :
%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%\vect{u}& =&\phantom{3}\vect{\imath}-\vect{\jmath}+ 2\vect{k} \\
%\vect{v}& =&3\vect{\imath}+ \vect{\jmath}\\ 
%\vect{w}& =&\phantom{3\vect{\imath} +}\vect{\jmath} + 5\vect{k}
%\end{array}\right.\]
\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Montrez que $\vect{\imath}$ et $\vect{\jmath}$ ne sont pas colinéaires.
Si $\vect{\imath}$ et $\vect{\jmath}$ étaient colinéaires le plan défini par $\vect{\imath}$ et $\vect{k}$ serait le même que le plan défini par $\vect{\jmath}$ et $\vect{k}$ et les trois vecteurs seraient coplanaires : impossible.
\item %Les vecteurs $\vect{u}, \vect{v}$ et $\vect{w}$ sont-ils coplanaires ?
Les vecteurs $\vect{u}, \vect{v}$ et $\vect{w}$ sont coplanaires si par exemple il existe $\alpha, \beta \in \R$ tels que :

$\vect{u} = \alpha \vect{v} + \beta \vect{w} $ soit :

$\vect{\imath}-\vect{\jmath}+ 2\vect{k} = \alpha(\vect{\imath}+ \vect{\jmath}) + \beta(\vect{\jmath} + 5\vect{k}) \iff \vect{\imath}(1 - \alpha) + \vect{\jmath}(- 1 - 1 - 1) + \vect{k}(2 - 5\beta) = 0$

Or les vecteurs $\vect{\imath},\:\vect{\jmath}, \vect{k}$ étant non coplanaires l'égalité précédente entraîne que :

$1  - \alpha = - 3 = 2 - 5\beta = 0$ : ce système n'a pas de solution, les vecteurs $\vect{u}, \vect{v}$ et $\vect{w}$ ne sont pas coplanaires
\end{enumerate}

%Maintenant, considérons le plan $(P)$ dont $\vect{u}$ est un vecteur normal.

%Soit A$(1~;~-1~;~0)$ un point du plan $(P)$ et B$\left(x_{\text{B}}~;~y_{\text{B}}~;~z_{\text{B}}\right)$ un point quelconque de l'espace.

\begin{enumerate}[resume]
\item %Donnez l'équation du plan $(P)$.
$\vect{u}\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$ étant un vecteur normal à $(P)$, on sait que :

$M(x~;~y~;~z) \in (P) \iff 1x - 1y + 2z + d = 0$, \: $d \in \R$. Or 

$A(1~;~-1;~0) \in (P) \iff 1 +1 + 0 + d = 0 \iff d = - 2$. Donc 

$M(x~;~y~;~z) \in (P) \iff x - y + 2z - 2 = 0$.

\item %Comment savoir si le point B appartient au plan $(P)$ ?
B$\left(x_{\text{B}}~;~y_{\text{B}}~;~z_{\text{B}}\right) \in (P) \iff x_{\text{B}} - y_{\text{B}} + 2z_{\text{B}} - 2 = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\bigskip

%On considère un virus qui se propage en France: on constate que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt, elle peut être guérie, sinon elle est mortelle.
%
%Une campagne de tests est menée sur un panel de population dont $1$\,\% est porteur de la maladie. Il se trouve que, si le sujet est malade, le test se révèle positif dans $95$\,\% des cas, tandis que si le sujet est sain, le test est négatif dans $99$\,\% des cas.
%
%On admettra ces chiffres comme référence pour l'ensemble de la population.
%
%On note 
%
%$M$ l'évènement \og le sujet est atteint par la maladie \fg,
%
%$P$ l'évènement \og le test est positif\fg{} et
%
%$N$ l'évènement \og le test est négatif\fg.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Établissez un arbre de probabilités pondéré modélisant les données de l'étude.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=2.75cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$M~~$}\taput{0,01}}
	{\TR{$P~~$}\taput{0,95}
	\TR{$N~~$}\tbput{0,05}
	}
\pstree{\TR{$\overline{M}~~$}\tbput{0,99}}
	{\TR{$P~~$}\taput{0,01}
	\TR{$N~~$}\tbput{0,99}
	}
}

\end{center}
\item %Pour un sujet pris au hasard, quelle est la probabilité qu'il soit malade et que le test se révèle positif ?
On a $p(M \cap P) = p(M) \times p_M(P) = 0,01 \times 0,95 = \np{0,0095}$.
\item %Pour un sujet pris au hasard, vérifiez que la probabilité pour que son test soit positif est \np{0,0194}.
On a de même $p\left(\overline{M} \cap P\right) = p(\overline{M}) \times p_{\overline{M}}(P) = 0,99 \times 0,01 = \np{0,0099}$.

D'après la loi des probabilités totales :

$p(P) = p(M \cap P) + p\left(\overline{M} \cap P\right) = \np{0,0095} + \np{0,0099} = \np{0,0194}$.
\item %Pour un sujet choisi parmi ceux dont le test est positif, quelle est la probabilité pour qu'il soit malade ?
Il faut calculer $p_P(M) = \dfrac{p(P \cap M)}{p(P)} = \dfrac{p(M\cap P)}{p(P)} = \dfrac{\np{0,0095}}{\np{0,0194}} = \dfrac{95}{194} \approx 0,490$.
\item %On choisit maintenant $5$ personnes au hasard, dans une population de taille telle que chaque tirage puisse être assimilé à un tirage avec remise et chaque épreuve puisse être considérée comme indépendante des autres.

%Quelle est la probabilité qu'au moins un des sujets obtienne un test positif ? 

%(À toutes fins utiles, on donne :
%
%\[\left.\np{0,9806}^3 \approx \np{0,9429}\quad ;\quad \np{0,9806}^4 \approx \np{0,9246}\quad ;\quad \np{0,9806}^5 \approx \np{0,9067}\quad  ;\quad \np{0,9806}^6 \approx \np{0,8891}\right)\]
On peut considérer que la variable aléatoire $X$ donnant le nombre de personnes positives pari les 5 interrogées suit une loi binomiale de paramètres $n = 5$ et $p(P) = \np{0,0194}$.

On a $p(X = 0) = \binom{5}{0} \times \np{0,0194}^0 \times (1 - \np{0,0194})^5 \approx 0,907$.
\end{enumerate}

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrez par récurrence que pour tout $n \geqslant 1$ :
\[\displaystyle\sum_{k=1}^n k \cdot 2^{(k-1)} = (n - 1)2^n + 1.\]

Démonstration par récurrence :

\emph{Initialisation} :

Pour $n = 1, \: \displaystyle\sum_{k=1}^1 1 \cdot 2^{(0)} = 1$ et $0\cdot 2^1 + 1 = 1$.

L'égalité est vraie au rang 1.

\emph{Herédité} :

On suppose que pour $n \geqslant 1 : \: \displaystyle\sum_{k=1}^n k \cdot 2^{(k-1)} = (n - 1)2^n + 1$.

Alors $\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} k \cdot 2^{(k-1)} = \displaystyle\sum_{k=1}^n k \cdot 2^{(k-1)} + (n + 1)\cdot 2^n = (n - 1)2^n + 1 + (n + 1)\cdot 2^n = $

$2^n\left(n - 1 + n + 1 \right) + 1 = n \times 2 \times 2^n + 1 = n \times 2^{n+1} + 1$ : l'égalité est vraie au rang $n + 1$.

Conclusion : l'égalité est vraie au rang 1 et si elle est vraie à un rang au moins égal à 1, elle l'est aussi au rang suivant : d'après le principe de récurrence :

Quel que soit $n \in \N^*, \:\: \displaystyle\sum_{k=1}^n k \cdot 2^{(k-1)} = (n - 1)2^n + 1$.

\item Calculez
\[\displaystyle\sum_{k=3}^{103}(3 k+ 1).\]

Soit $S = 10 + 13 + 16  + \ldots + 304 + 307 + 310$ ou encore 

\phantom{Soit }$S = 310 + 307 + 304 + \ldots + 16 + 13 + 10$ ; en sommant les deux lignes précédentes verticalement, on a :

$2S = 320 + 320 + 320 + \ldots + 320 + 320 + 320 =  101 \times 320$, d'où $S = \dfrac{101 \times 320}{2} = 101 \times 160 = \np{16160}$.
\end{enumerate}
\end{document}