\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{tabularx} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \usepackage{arydshln} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=1.9cm, bottom=2.4cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat spécialité}, pdftitle = {Concours contrôleur des douanes session 2019\\}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\text{e}} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du concours de contrôleur des douanes} \lfoot{\small{Contrôle des opérations commerciales}} \rfoot{\small{session 2019}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du concours de contrôleur des douanes session 2019~\decofourright\\[7pt]Branche du contrôle des opérations commerciales et de l'administration générale}\\[7pt]février 2019\quad Durée : 3 heures} \medskip \textbf{OPTION A : Mathématiques} \end{center} %\textbf{Remarque préliminaire :\\ %-- Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.\\ %-- Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet.} % %\bigskip \textbf{\large Exercice 1} \medskip %On considère deux urnes $U_1$ et $U_2$. % %L’urne $U_1$ contient 17 boules blanches et 3 boules noires indiscernables au toucher. % %L'urne $U_2$ contient 1 boule blanche et 19 boules noires indiscernables au toucher. % %On réalise des tirages en procédant de la manière suivante : % %\textbf{Étape 1 :} On tire au hasard une boule dans $U_1$ on note sa couleur et on la remet dans $U_1$. % %\textbf{Étape \boldmath$n \:(n \geqslant 2$) :}\unboldmath %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$]Si la boule tirée à l’étape $(n - 1)$ est blanche, on tire au hasard une boule dans $U_1$ on note sa couleur et on la remet dans $U_1$. %\item[$\bullet~~$]Si la boule tirée à l’étape $(n - 1)$ est noire, on tire au hasard une boule dans $U_2$ on note sa couleur et on la remet dans $U_2$. %\end{itemize} % %\smallskip % %On note $A$ l’évènement \og le tirage a lieu dans l’urne $U_1$ à l’étape $n$ \fg{} et $p_n$ sa probabilité. % %On a donc $p_1 = 1$. \medskip \begin{enumerate} \item ~%Calculer $p_2$. \begin{center} \pstree[treemode=R,levelsep=2.75cm]{\TR{}} {\pstree{\TR{$U_1$~~}\taput{1}} {\TR{$U_1$~~} \taput{$\frac{17}{20}$} \TR{$U_2$~~} \tbput{$\frac{3}{20}$} } %\Tn } \end{center} Donc $p_2 = \frac{17}{20}$. \medskip \item %Montrer que pour tout $n$ entier naturel non nul, $p_{n+1} = 0,8p_n + 0,05$. %On pourra s’aider d’un arbre pondéré. Soit l'arbre pondéré suivant : \begin{center} \pstree[treemode=R,levelsep=2.75cm]{\TR{}} {\pstree{\TR{$U_1$~~}\taput{$p_n$}} {\TR{$U_1$~~} \taput{$\frac{17}{20}$} \TR{$U_2$~~} \tbput{$\frac{3}{20}$} } \pstree{\TR{$U_2$~~}\tbput{$1- p_n$}} {\TR{$U_1$~~} \taput{$\frac{1}{20}$} \TR{$U_2$~~} \tbput{$\frac{19}{20}$} } } \end{center} D'après la loi des probabilités totales : $p_{n+1} = p_n \times \frac{17}{20} + (1 - p_n)\times \frac{1}{20} = \frac{17}{20}p_n - \frac{1}{20}p_n + \frac{1}{20} = \frac{16}{20}p_n + \frac{5}{100} = \frac{80}{100}p_n + \frac{5}{100} = 0,8p_n + 0,05$. \item %Calculer $p_3$. En appliquant la relation de récurrence précédente : $p_3 = 0,8p_2 + 0,05 = 0,8 \times \frac{17}{20} + 0,05 = \dfrac{13,6}{20} + 0,05 = \dfrac{68}{100} + 0,05 = 0,68 + 0,05 = 0,73$. \item \begin{enumerate} \item %Démontrer par récurrence que pour tout entier $n, \: p_n \geqslant 0,25$. \emph{Initialisation} : $p_1 = 1 \geqslant 0,25$ : l'inégalité est vraie au rang 1. \emph{hérédité} : soit $n \geqslant 1$ tel que $p_n \geqslant 0,2$, alors $0,8 \times p_n \geqslant 0,8 \times 0,2$ ou $0,8 \times p_n \geqslant 0,16$ et enfin $0,8 \times p_n + 0,05 \geqslant 0,16 + 0,05$ ou encore $0,8 \times p_n + 0,05 \geqslant 0,21 > 0,20$, soit $p_{n+1} \geqslant 0,2$ : la relation est vraie au rang $n + 1$. Conclusion : l'inégalité est vraie au rang 1 et si elle est vraie au rang $n \geqslant 1$, elle l'est encore au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence quel que soit $n \geqslant 1$, on a $p_n \geqslant 0,2$. \item %Démontrer que la suite $\left(p_n\right)$ est décroissante. Pour $n \geqslant 1$, on a $p_{n+1} - p_n = 0,8p_n + 0,05 - p_n = - 0,2p_n + 0,05$. Or $p_n \geqslant 0,25 \Longrightarrow 0,2p_n \geqslant 0,2 \times 0,25 \iff 0,2p_n \geqslant 0,05 \iff - 0,2p_n \leqslant - 0,05 \Longrightarrow - 0,2p_n + 0,05\leqslant - 0,05 + 0,05 \iff p_{n+1} - p_n \leqslant 0$ : la suite $\left(p_n\right)$ est donc décroissante \item %En déduire que la suite $\left(p_n\right)$ est convergente vers un réel noté $\ell$. La site $\left(p_n\right)$ est décroissante et minorée par 0,2, elle converge donc vers un réel $\ell \geqslant 0,2$. \item %Justifier que $\ell$ vérifie l’équation : $\ell = 0,8\ell + 0,05$. %En déduire la valeur de $\ell$. Par continuité le nombre $\ell$ vérifie l'égalité $\ell = 0,8\ell + 0,05 \iff 0,2\ell = 0,05 \iff 5\times 0,2 \ell = 5 \times 0,05$, soit $\ell = 0,25$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Exercice 2} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[f(x) = 1 + x\ln x \] où $ln x$ est le logarithme népérien de $x$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un plan muni d'un repère orthogonal \Oij. Toutes les aires considérées dans ce problème seront exprimées en unités d'aire. \medskip \begin{enumerate} \item Le but est de déterminer un encadrement de l'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_f$ et les deux droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$. On note M et N les points de $\mathcal{C}_f$ d'abscisses respectives 1 et 2, P et Q leurs projetés orthogonaux respectifs sur l'axe des abscisses. \begin{enumerate} \item %Montrer que $f$ est positive sur [1~;~2]. Somme de fonctions dérivables sur $]0~;~+\infty[$, \: $f$ est dérivable sur cet intervalle et $f'(x) = \ln x + x \times \dfrac 1x = \ln x +1$. Or $\ln x +1 = 0 \iff \ln x = - 1$ et par croissance de la fonction exponentielle : $\e^{\ln x} = x = \e^{-1} = \dfrac{1}{\e}$. On a de même $f'(x) > 0 \iff \ln x + 1 > 0 \iff \ln x > - 1 \iff x > \dfrac{1}{\e}$. Donc $f'(x) > 0$ sur $]]\e^{-1} ~;~+ \infty[$. La fonction $f$ est croissante sur cet intervalle. De la même façon on montre que $f$ est décroissante sur $]0~;~\e^{-1}[$. Le point de coordonnées $\left(\e^{-1}~;~f\left(\e^{-1}\right) \right)$ est le minimum de la courbe représentative $\mathcal{C}_f$. Or $f\left(\e^{-1}\right) = 1 + \e^{-1} \times \ln \left(\e^{-1}\right) = 1 + \e^{-1} \times (-1) = 1 - \e^{-1} \approx 0,632$. Le minimum étant supérieur à zéro, ceci montre que la fonction $f$ est positive (strictement ) sur $]0~;~+ \infty[$. \item %Montrer que le coefficient directeur de la droite (MN) est $2 \ln 2$. $f(1) = 1 + 1\times\ln 1 = 1$, donc M(1~;~1). $f(2) = 1 + 2\ln 2$, donc N$(2~;~1 + 2\ln 2)$. Donc $\vect{\text{MN}}(1~;~2\ln 2)$ est un vecteur directeur de la droite (MN). Le coefficient directeur de la droite (MN) est $2 \ln 2$. \item %Soit E le point d'abscisse $\dfrac{4}{\text{e}}$. %Montrer que sur l'intervalle [1~;~2], le point E est l'unique point de $\mathcal{C}_f$ en lequel la tangente à $\mathcal{C}_f$ est parallèle à (MN). %On rappelle que la dérivée $f'$ de $f$ en $x$ donne le coefficient %directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $x$. Il faut donc trouver les solutions de l'équation $f'(x) = 2\ln 2$. Or $f$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle : $f'(x) = \ln x + x \times \dfrac 1x = \ln x + 1 = 1 + \ln x$. L'équation à résoudre dans $]0~;~+ \infty[$ est donc : $f'(x) = 2\ln 2 \iff 1 + \ln x = 2\ln 2 \iff \ln x = \ln 4 - 1 \iff \ln x = \ln 4 - \ln \e = \ln \dfrac{4}{\e} \iff x = \dfrac{4}{\e}$. Donc E est bien le seul point de $\mathcal{C}_f$ où la tangente à la courbe est parallèle à la droite (MN). \item %On appelle $T$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point E. %Montrer qu'une équation de $T$ est $y = (2\ln 2)x - 4\e + 1$. On sait que $X(x~;~y) \in T \iff y - f\left(\frac{4}{\e}\right) = f'\left(\frac{4}{\e}\right) \left(x - \frac{4}{\e} \right)$. On a $f\left(\dfrac{4}{\text{e}}\right) = 1 + \dfrac{4}{\text{e}}\ln \dfrac{4}{\text{e}} = 1 + \dfrac{4}{\text{e}}\left(\ln 4 - \ln \e \right) = 1 + \dfrac{4}{\text{e}}\left(2\ln 2 - 1 \right) = \dfrac{\e + 8\ln 2 - 4}{\e}$. On a vu que $f'\left(\frac{4}{\e}\right) = 2\ln 2$ (ou $\ln 4$), donc : $X(x~;~y) \in T \iff y - \dfrac{\e + 8\ln 2 - 4}{\e} = 2\ln 2\left(x - \frac{4}{\e}\right)$, soit encore $X(x~;~y) \in T \iff y = x \ln 4 + \dfrac{\e + 8\ln 2 - 4}{\e}- 8\dfrac{\ln 2}{\e} \iff y = x\ln 4 + 8\dfrac{\ln 2}{\e}+ 1 - 8\dfrac{\ln 2}{\e} - \dfrac{4}{\e}$. Finalement : $X(x~;~y) \in T \iff y = (2\ln 2)x + 1 - \dfrac{4}{\e}.$ \end{enumerate} \item %Soit $g$ la fonction définie sur [1~;~2] par \[g(x) = f(x) - (2\ln 2)x + 4\text{e} - 1.\] \begin{enumerate} \item %Montrer que pour tout $x$ de [1~;~2], $g'(x) = 1 + \ln (4x)$. On a $g'(x) = f'(x) - 2\ln 2 = 1 + \ln x - 2\ln 2 = 1 + \ln x - \ln 4 = 1 + \ln \dfrac x4$. \item %Étudier les variations de $g$ sur [1,2] et en déduire la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de la tangente $T$ sur cet intervalle. Signe de $g'(x)$ : $\bullet~~$$g'(x) > 0 \iff 1 + \ln \dfrac x4 > 0 \iff 1 > - \ln \frac x4 \iff 1 > \ln \frac 4x \iff \ln \e > \ln \frac 4x \iff \e > \frac 4x \iff x > \frac{4}{\e}$. Or $\frac{4}{\e} \approx 1,472$ : la fonction $g$ est croissante sur $\left[\dfrac{4}{\e}~;~2\right]$ ; $\bullet~~$$g'(x) < 0 \iff 1 + \ln \dfrac x4 < 0 \iff 1 < - \ln \frac x4 \iff 1 < \ln \frac 4x \iff \ln \e < \ln \frac 4x \iff \e < \frac 4x \iff x < \frac{4}{\e}$ : la fonction $g$ est décroissante sur $\left[1~;~\dfrac{4}{\e}\right]$ ; $\bullet~~$$g'(x) = 0 \iff x = \frac{4}{\e}$. Pour $x \in [1~;~2], \: g(x)$ est la différence entre le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $x$ et le point de la tangente en E à cette même courbe. Les résultats précédents signifient géométriquement que la tangente est sous la courbe si $x \in \left[1~;~\dfrac{4}{\e}\right]$, qu'elle est au dessus de la courbe si $x \in \left[\dfrac{4}{\e}\right]$ et que $\mathcal{C}$ et $T$ ont le point E en commun. \end{enumerate} \item %Soient M$'$ et N$'$ les points d'abscisses respectives 1 et 2 de la droite $T$. %On admet que la courbe $\mathcal{C}_f$ reste sous la droite (MN) sur l'intervalle [1~;~2] et que les points M$'$ et N$'$ ont des ordonnées strictement positives. Figure : \begin{center} \psset{xunit=3cm,yunit=2cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(3,3) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(3,3) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.1}{3}{ x x ln mul 1 add} \psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{3}{x 1.3863 mul 0.472 sub} \psline[linestyle=dashed](1.472,0)(1.472,1.568)(0,1.568) \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1)\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,2.386) \uput[dr](1,0.915){\blue M$'$}\uput[dr](2,2.301){\blue N$'$} \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,0.915)\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,2.301) \uput[ul](1,1){\red M}\uput[ul](2,2.386){\red N} \uput[d](1.472,0){$\frac{4}{\e}$}\uput[l](0,1.568){$f\left(\frac{4}{\e}\right)$} \uput[r](1.472,1.568){E} \uput[ul](1,0){P}\uput[ul](2,0){Q} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item %On cherche à calculer les aires des trapèzes MNQP et M$'$N$'$QP. %On rappelle que l'aire d'un trapèze rectangle est $\dfrac{(\text{petite base} + \text{grande base})\times \text{hauteur}}{2}$. %Calculer $\dfrac{\text{PM} + \text{QN})\times \text{PQ}}{2}$ et $\dfrac{(\text{PM}' + \text{QN}')\times \text{PQ}}{2}$. $\bullet~~$On a PM $ = f(1) = 1$, \: QN $= f(2) \approx 2,386$ et PQ $ = 1$. Donc $\dfrac{(\text{PM}' + \text{QN}')\times \text{PQ}}{2} = \frac{(1 + 2,386)\times 1}{2} \approx 1,693$. $\bullet~~$ Avec $y = (2\ln 2)x + 1 - \dfrac{4}{\e}$, on a PM$' = y(1) =(2\ln 2) + 1 - \dfrac{4}{\e} \approx 0,915$, \: QN$'= 4\ln 2 + 1 - \dfrac{4}{\e} \approx 2,301$ et PQ $ = 1$. Donc $\dfrac{\text{PM}' + \text{QN}')\times \text{PQ}}{2} = \frac{(0,915 + 2,301)\times 1}{2} \approx 1,608$. \item %Si on pose $\ln 2 \approx 0,69$ et $\dfrac{4}{\text{e}} \approx 1,47$, donner un encadrement de $\mathcal{A}$ d'amplitude $10^{-1}$. D'après la question précédente, on a $1,608 < \mathcal{A} < 1,693$ soit $1,6 < \mathcal{A} < 1,7$ au dixième près. \end{enumerate} \item Le but est de déterminer la valeur exacte de $\mathcal{A}$. \begin{enumerate} \item %À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_{x = 1}^{x = 2} x \ln (x)\:\text{d}x$. On a $\left\{\begin{array}{l l} u' = x&v = \ln x\\ u = \dfrac{x^2}{2}&v' = \dfrac 1x \end{array}\right.$. En intégrant par parties on a donc : $\displaystyle\int_{x = 1}^{x = 2} x \ln (x)\:\text{d}x= \left[\dfrac{x^2}{2}\ln x\right]_1^2 - \displaystyle\int_1^2 \dfrac{x}{2}\:\text{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2}\ln x - \dfrac{x^2}{4}\right]_1^2 = 2\ln 2 - 1 - (\frac12\times \ln 1 - \frac14) = 2\ln 2 - 1 + \dfrac14 = 2\ln 2 - \dfrac34$. \item %En déduire la valeur exacte de $\mathcal{A}$. On a $\mathcal{A} = 1 + 2\ln 2 - \dfrac34 = 2\ln 2 + \dfrac14$ (environ \np{1,63629} qui est bien entre 1,6 et 1,7) \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Exercice 3} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(x)= \dfrac{\ln (x + 3)}{x + 3}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item %Montrer que $f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$. $f$ est définie si $x +3 > 0 \iff x > - 3$, donc $f$ est définie et dérivable ($x + 3 \ne 0$) sur $[0~;~+\infty[$ et sur cet intervalle : $f'(x) = \dfrac{\frac{1}{x + 3}\times (x + 3) - 1 \times \ln (x + 3)}{(x + 3)^2} = \dfrac{1 - \ln (x + 3)}{(x + 3)^2}$. %Étudier le signe de sa dérivée $f'$, sa limite éventuelle en $+\infty$. Comme $(x + 3)^2 > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $- \ln (x + 3)$, donc $\bullet~~1 - \ln (x + 3) > 0 \iff \ln (x + 3) < 1 \iff \ln (x + 3) < \ln \e \iff x + 3 < \e \iff x < \e - 3 \approx - 0,28$, donc $\e - 3 \ne [0~;~+ \infty[$, donc $\bullet~~1 - \ln (x + 3) < 0 \iff x > \e - 3 $, soit ici $x \geqslant 0$ : la fonction $f$ est décroissante sur son intervalle de définition. On a $f(0) = \dfrac{\ln 3}{3}$ et en posant $x + 3 = u$, on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = \displaystyle\lim_{u \to + \infty} \dfrac{\ln u}{u} = 0$ par comparaison comparée. On peut donc en conclure que $f$ est décroissante et strictement positive. %Que pouvez-vous en conclure pour $f$ sur l'intervalle ? \item On définit la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ par son terme général \[u_n = \displaystyle\int_n^{n+1} f(t)\:\text{d}t.\] \begin{enumerate} \item %Justifier que, si $n \leqslant x \leqslant n + 1$, alors $f(n + 1) \leqslant f(x) \leqslant f(n)$. On a $n \leqslant x \leqslant n + 1\Longrightarrow f(n + 1) \leqslant f(x) \leqslant f(n)$ par décroissance de la fonction $f$. \item %Montrer, sans chercher à calculer $u_n$ que pour tout entier naturel $n,$ D'après la question précédente : $n \leqslant t \leqslant n + 1\Longrightarrow f(n + 1) \leqslant f(t) \leqslant f(n) \Longrightarrow $ $\displaystyle\int_n^{n+1}f(n + 1)\:\text{d}t \leqslant \displaystyle\int_n^{n+1}f(x)\:\text{d}t \leqslant \displaystyle\int_n^{n+1}f(n)\:\text{d}t \iff$ $ (n + 1 - n)f(n+1) \leqslant u_n \leqslant (n + 1 - n)f(n) \iff f(n + 1) \leqslant u_n \leqslant f(n)$ car si les trois fonctions sont positives et rangées dans un certain ordre, leurs intégrales sont rangées dans le même ordre. \item %En déduire que la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est convergente et déterminer sa limite. Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}f(n + 1) = \displaystyle\lim_{n \to + \infty}f(n) = 0$, on en déduit (théorème des gendarmes que $\displaystyle\lim_{n \ to + \infty}u_n = 0$. \end{enumerate} \item Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $F(x) = [\ln (x + 3)]^2$. \begin{enumerate} \item %Justifier la dérivabilité sur $[0~;~+\infty[$ de la fonction $F$ et déterminer, pour tout réel positif $x$, le nombre $F'(x)$. $F$ est la composée de trois fonctions $x \longmapsto x + 3, \quad t \longmapsto \ln t$ et $u \longmapsto u^2$ toutes dérivables sur $]0~;~+ \infty[$ ; $F$ est donc dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et $F'(x) = 2 \times \ln (x + 3) \times \dfrac{1}{x + 3} = 2\dfrac{\ln (x + 3)}{ x + 3} = 2f(x)$. \item %On pose, pour tout entier naturel $n,\: I_n = \displaystyle\int_0^n f(x)\:\text{d}x$. %Calculer $I_n$. On a vu que $F'(x) = 2f(x)$ sur $[0~;~+ \infty[$ ou $f(x) = \dfrac12 F'(x)$, donc : $I_n = \displaystyle\int_0^n \dfrac12 F'(x)\:\text{d}x = \dfrac12 \displaystyle\int_0^n F'(x)\:\text{d}x = \dfrac12[F(x)]_0^{n} = \dfrac12 \left(F(n) - F(0)\right) = $ $I_n = \dfrac12 \left([\ln (n + 3)]^2 - [\ln 3]^2\right)$. \end{enumerate} \item On pose, pour tout entier naturel $n$,\: $S_n= u_0 + u_1 + \ldots + u_{n-1}$. %Calculer $S_n$. $S_n = \displaystyle\int_0^{1} f(t)\:\text{d}t + \displaystyle\int_1^{2} f(t)\:\text{d}t + \ldots + \displaystyle\int_{n-1}^{n} f(t)\:\text{d}t = \displaystyle\int_0^{n}f(t)\:\text{d}t$ par linéarité de l'intégrale. Donc $S_n = \displaystyle\int_0^{n}\dfrac12 F'(t)\:\text{d}t = \dfrac12\displaystyle\int_0^{n} F'(t)\:\text{d}t = \dfrac12 [F(n) - F(0)] = \dfrac12\left[[\ln (n + 3)]^2 - [\ln 3]^2\right]$ %La suite $\left(S_n\right)$ est-elle convergente ? Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} [\ln (n + 3)]^2 = + \infty$, la suite $\left(S_n\right)$ n'est pas convergente. \end{enumerate} \end{document}