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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes\\Contrôle des opérations commerciales}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{session 2021}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du concours contrôleur des douanes session 2021~\decofourright\\[7pt]BRANCHE DU CONTRÔLE DES OPÉRATIONS COMMERCIALES ET DE L'ADMINISTRATION GÉNÉRALE}\\[7pt] février 2021\quad Durée : 3 heures}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

%\textbf{Remarque préliminaire :\\
%-- Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.\\
%-- Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet.}
%
%\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

%Une école d'ingénieurs organise la sélection de ses futurs étudiants de la manière suivante :
%
%Après examen de leur dossier scolaire, $15$\,\% des candidats sont admis directement ;
%
%Tous les autres candidats passent une épreuve écrite dont le taux de réussite est estimé à $60$\,\% ;
%
%Tous les candidats ayant réussi l'épreuve écrite sont convoqués pour passer une épreuve orale.
%
%Ceux qui réussissent l'épreuve orale sont alors admis.
%
%On estime que les candidats qui passent l'épreuve orale ont une chance sur trois de réussir.
%
%On choisit un candidat au hasard.
%
%On considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $D$ : \og Le candidat est admis sur dossier \fg
\item[$\bullet~~$] $E$ : \og Le candidat passe et réussit l'épreuve écrite \fg 
\item[$\bullet~~$] $O$ : \og Le candidat passe et réussit l'épreuve orale \fg 
\item[$\bullet~~$] $A$ : \og Le candidat est admis \fg
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Établir l'arbre pondéré décrivant les différentes étapes de la sélection.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$D$~~}\naput{0,15}}
	{\pstree{\Tn}
		{\Tn	
		}
	\pstree{\Tn}
		{\Tn	
		}
	}
\pstree{\TR{$\overline{D}$~~}\nbput{0,85}}
	{\pstree{\TR{$E$~}\naput{0,60}}
		{\TR{$O$}\naput{$\frac13$}
		\TR{$\overline{O}$}\nbput{$\frac23$}
		}
	\pstree{\TR{$\overline{E}$~}\nbput{0,40}}
		{\Tn
		\Tn
		}
	}
}
\end{center}
\item ~%Calculer les probabilités $P(E)$ et $P(O)$.

$\bullet~~$$p(E) = p\left(\overline{D}\right) \times p_{\overline{D}}(E) = 0,85 \times 0,6 = 0,51$.

$\bullet~~$$p(O) = p(E) \times p_E(O) = 0,51 \times \dfrac13 = 0,17$.
\item %Justifier que la probabilité que le candidat soit admis est $P(A) = 0,32$.
On a $p(A) = p(D) + p(O) = 0,15 + 0,17 = 0,32$.
\item %Parmi les candidats admis, quelle est la proportion de ceux qui ont été admis sur dossier (résultat donné sous forme de fraction) ?
On a $\dfrac{p(D)}{p(A)} = \dfrac{0,15}{0,32} = \dfrac{15}{32}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

%Le nombre de clients potentiels du marché sur lequel sont en concurrence les sociétés SFT et Vert Télécom est supposé stable et égal à $70$ millions de clients.

%Au premier janvier 2010, la société SFT possède $7$ millions de clients, tandis que la société Vert Télécom en détient $63$ millions.

%Chaque année, $20$\,\% de la clientèle de SFT change pour Vert Télécom et de même, $20$\,\% de la clientèle de Vert Télécom change pour SFT.

%Soit $u_n$ le nombre de clients (en millions) de la société SFT au premier janvier de l'année $2010 + n.$

On a $u_0 = 7$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $u_1 = 18,2$.
On a donc $u_1 = 0,8u_0 + 0,2 \times 63 = 5,6 + 12,6 = 18,2$. (millions)
\item %Montrer que $u_{n+1} = 0,6u_n + 14$ pour tout naturel $n$.
Soit $u_n$ le nombre de clients l'année $2010 + n.$

L'année suivante la société QSFT ne garde que $0,8u_n$ clients et en gagne de l'autre société $0,2 \left(70 - u_n\right)$.

On a donc $u_{n+1} = 0,8u_n + 0,2 \left(70 - u_n\right) = 0,8u_n + 14 - 0,2u_n$, soit 
\[u_{n+1} = 0,6u_n + 14.\]

\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout naturel $n$, par $v_n = u_n - 35$.

%La suite $\left(v_n\right)$ est-elle arithmétique ou géométrique ?
On a $v_{n+1} = u_{n+1} - 35 = 0,6u_n + 14 - 35 = 0,6u_n - 21 = 0,6\left(u_n - 35\right) = 0,6v_n$.

L'égalité vraie pour tout naturel $n$ par $v_{n+1} = 0,6v_n$ montre que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,6$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 35 = 7 - 35 = - 28$.

%Donner sa raison et son premier terme.
\item %Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ pour tout naturel $n$.
On sait que quel que soit $n \in \N$,= \: $v_n = v_0 \times q^n$, $q$ étant la raison de la suite, soit :
\[v_n = - 28 \times 0,6^n.\]

Or $v_n = u_n - 35 \iff u_n = v_n + 35 \iff u_n = 35 - 28\times 0,6^n$.
\item %Déterminer la limite de $u_n$ en $+ \infty$ et conclure.
Comme $0 < 0,6 < 1$ on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,6^n = 0$ et ensuite $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 28 \times 0,6^n = 0$, d'où :

\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 35.\]

Au bout d'un certain nombre d'années les deux sociétés auront sensiblement le même nombre de clients.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\R$ par :
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&\e^x\\
g(x)&=&2\e^{\frac x2} - 1
\end{array}\]

On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g $ dans un repère orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ ont un point commun d'abscisse $0$ et qu'en ce point, elles ont la même tangente $\Delta$ dont on déterminera une équation.
Les deux courbes ont un point commun si celui-ci a une abscisse telle ses images par $f$ et $g$ sont égales c'est-à-dire si $x$ est solution de l'équation :

$f(x) = g(x) \iff \e^x = 2\e^{\frac x2} - 1$.

On pose $X = \e^{\frac x2}$ ; l'équation devient :

$X^2 = 2X - 1 \iff X^2 - 2X + 1 = 0 \iff (X - 1)^2 = 0 \iff X = 1 = \e^{\frac x2}$ et par croissance de la fonction logarithme népérien :

$\ln 1 = \dfrac x2 \iff 0 = \dfrac x2 \iff 0 = x$ : les deux courbes ont un seul point commun d'abscisse 0 et d'ordonnée $f(0) = \e^0 = 2\e^{\frac 02} - 1 = 1 = 2 - 1 = 1$.

Tangentes au point (0~;~1) à $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ :

Ces tangentes ont comme coefficients directeurs respectifs les nombres dérivés $f'(0)$ et $g'(0)$.

$f$ et $g$ sont dérivables sur $\R$, donc 

$f'(x) = \e^x$, d'où $f'(0) = \e^0 = 1$ et 

$g'(x) = 2 \times \dfrac12 \e^{\frac x2} $ d'où $g'(0) = \e^0 = 1$.

Les nombres dérivés sont égauX au point d'abscisse zéro et en ce point on a :

$M(x~;~y) \in \Delta \iff y - f(0) = f'(0)(x - 0 \iff y - 1 = 1\times x \iff y = x + 1$. 
\item Étude de la position relative de la courbe $\mathcal{C}_g$ et de la droite $\Delta$.

Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par :
\[h(x) = 2\e^{\frac x2} - x - 2.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de la fonction $h$ en $- \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \e^{\frac x2} = 0$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} (- x - 2- = + \infty$ on a par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} h(x) = + \infty$.
		\item %Justifier que, pour tout réel $x$,\: $h(x) = x\left(\dfrac{\e^{\frac x2}}{\frac x2} - 1 - \dfrac 2x\right)$.
Dans l'écriture de $h(x)$ on factorise pour $x$ non nul, $x$ :
		
$h(x) = x\left(\dfrac{\e^{\frac x2}}{\dfrac{x}{2}} - 1 - \dfrac 2x\right)$.

%En déduire la limite de la fonction $h$ en $+\infty$.
Par puissance comparée on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\e^{\frac x2}}{\dfrac{x}{2}} = + \infty$.
		\item %On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur $\R$.

%Pour tout réel $x$, calculer $h'(x)$ et étudier le signe de $h'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
La fonction $h$ est dérivable sur $\R$ comme somme de fonctions dérivables sur $\R$ et :

$h'(x) = 2 \times \dfrac12 \e^{\frac x2} - 1 = \e^{\frac x2} - 1$.

$\bullet~~\e^{\frac x2} - 1 > 0 \iff \e^{\frac x2} > 1 \Longrightarrow \frac x2 > \ln 1 \iff x > 0$ ; $h'(x) > 0$ sur $]0~;~+ \infty[$ ;

$\bullet~~\e^{\frac x2} - 1 < 0 \iff \e^{\frac x2} < 1 \Longrightarrow \frac x2 < \ln 1 \iff x < 0$ ; $h'(x) < 0$ sur $]-\infty~;~0[$ ;

$\bullet~~\e^{\frac x2} - 1 = 0 \iff x = 0$.
		\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $h$ sur $\R$.
D'après la question précédente $h$ est décroissante sur $]- \infty~;~0[$ et croissante sur $]0~;~+ \infty[$.

On sait que $h(0) = 0$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.4,2.4){$-\infty$} \uput[u](4,2.4){$0$} \uput[u](6.6,2.4){$+\infty$} 
\uput[u](0.5,1.9){$f'(x)$} \uput[u](2.5,1.9){$-$} \uput[u](4,1.9){$0$} \uput[u](5.5,1.9){$+$}
\psline{->}(1.4,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)
\uput[u](4,0){0}\uput[d](1.4,2){$+\infty$}\uput[d](6.5,2){$+ \infty$}
\rput(0.5,1){$f$}
\end{pspicture}
\end{center}
		\item %En déduire que, pour tout réel $x$,\: $ 2\e^{\frac x2} - 1 \geqslant x + 1$.
Le tableau de variations montre que quel que soit $x \in \R$, \: $h(x) \geqslant 0 \iff 2\e^{\frac x2} - x - 2  \geqslant 0 \iff 2\e^{\frac x2} - x - - 1 - 1  \geqslant 0 \iff 2\e^{\frac x2} -  1 \geqslant x + 1$.
		\item %Que peut-on en déduire quant à la position relative des courbes $\mathcal{C}_g$ et de la droite $\Delta$ ?
		Géométriquement la dernière équation signifie que la courbe  $\mathcal{C}_g$ est au dessus de la droite $\Delta$ l'égalité n'étant réalisé que pour $x = 0$.
	\end{enumerate}
\item Étude de la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
	\begin{enumerate}
		\item %Pour tout réel $x$, développer l'expression $\left(\e^{\frac x2} - 1\right)^2$.
$\left(\e^{\frac x2} - 1\right)^2 = \e^x + 1 - 2\e^{\frac x2}$.
		\item %Déterminer la position relative des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
		En reprenant la dernière expression qui est positive (carré), on a 
		
$\e^x + 1 - 2\e^{\frac x2} \geqslant 0 \iff \e^  \geqslant 2\e^{\frac x2} - 1$ : géométriquement cette inéquation signifie que la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de la courbe $\mathcal{C}_g$ l'égalité n'ayant lieu que pour $x = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

\textbf{Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme de fraction, sauf pour la question 4}

\medskip

%On dispose de deux urnes et d'un dé tétraédrique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 4.
%
%L'urne $U_1$ contient deux boules rouges et une boule noire.
%
%L'urne $U_2$ contient une boule rouge et deux boules noires.
%
%Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé ; si le résultat est 1,
% il tire au hasard une boule dans l'urne $U_1$, sinon il tire au hasard une boule dans l'urne $U_2$.
%
%On considère les évènements suivants :
%
%$A$ : \og obtenir 1 en lançant le dé \fg 
%
%$B$ : \og obtenir une boule noire \fg
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Établir l'arbre pondéré traduisant cette expérience aléatoire.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=2.75cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~~}\taput{$\frac14$}}
	{\TR{$B$~~}\taput{$\frac13$}
	\TR{$\overline{B}$~~}\tbput{$\frac23$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A}$~~}\taput{$\frac34$}}
	{\TR{$B$~~}\taput{$\frac23$}
	\TR{$\overline{B}$~~}\tbput{$\frac13$}
	}	
}
\end{center}

\item %Calculer la probabilité $P(B)$.
D'après la loi des probabilités totales :

$p(B) = p(A \cap B) + p\left(\overline{A} \cap B \right) = \dfrac14 \times \dfrac13 + \dfrac34 \times \dfrac23 = \dfrac{1}{12}+ \dfrac{6}{12} = \dfrac{7}{12}$.
\item %Sachant que l'on a tiré une boule noire, calculer la probabilité d'avoir obtenu 1 en lançant le dé.
Il faut calculer $p_B(A) = \dfrac{p(B \cap A)}{p(B)} = \dfrac{p(A \cap B)}{p(B)} = \dfrac{\frac{1}{12}}{\frac{7}{12}} = \dfrac17$.
\item %On convient qu'une partie est gagnée lorsque la boule obtenue est noire. 

%Une personne joue quatre parties indépendantes en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans l'urne d'où elle provient.

%On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.

%Calculer la probabilité de gagner au moins une partie.
Les quatre parties sont indépendantes. À chacune d'elles la probabilité de gagner est égale à $p(B) = \dfrac{7}{12}$ : la variable $X$ égale au nombre de parties gagnés suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}\left(n=4, \: p = \dfrac{7}{12}\right)$.

%On notera que $\left(\dfrac{5}{12}\right)^4 \approx 0,03$.
La probabilité de ne gagner aucune partie est égale à $\left(1 - \dfrac{7}{12}\right)^4 = \left(\dfrac{5}{12}\right)^4 = \dfrac{5^4}{12^4} = \dfrac{625}{\np{20736}} \approx 0,03$ soit à peu près 3\,\%.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 5}

\medskip

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère les points

\begin{center}A(1~;~0~;~2),\qquad B(1~;~1~;~4)\quad et \quad C$(-1~;~1~;~1)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
On a $\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{AC}}\begin{pmatrix}- 2\\1\\-1\end{pmatrix}$ : ces vecteurs ne sont manifestement pas colinéaires donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
\item %Soit le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(3~;~4~;~-2)$.

%Vérifier que le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.
On calcule $\vect{n} \cdot \vect{\text{AB}} = 0 + 4 - 4 = 0$ :les vecteurs sont orthogonaux ;

$\vect{n} \cdot \vect{\text{AC}} = - 6 + 4 + 2 = 0$ :les vecteurs sont orthogonaux.

%En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
Les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ sont deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) orthogonaux au vecteur $\vect{n}$ : celui-ci est donc un vecteur normal au plan (ABC) et l'on sait qu'une équation du plan (ABC) est :

$M(x~;~y~,~z) \in (\text{ABC}) \iff 3x + 4y - 2z + d = 0$, avec $d \in \R$.

Ainsi par exemple :

A$(1~;~0~;~2) \in (\text{ABC}) \iff 3\time 1  + 4 \times 0 - 2 \times 2 + d = 0 \iff - 1+ d = 0 \iff d = 1.$

\[\text{Donc : }\:M(x~;~y~,~z) \in (\text{ABC}) \iff 3x + 4y - 2z + 1 = 0.\]
\end{enumerate}
\end{document}